ההשערה וההוכחה 2734
המוזיקה של המספרים הראשוניים: החיפוש אחר פתרון התעלומה המתמטית הגדולה ביותר, מאת מרכוס דוּ סוֹטוֹי, הוצאת ידיעות אחרונות, 476 עמ', 2006.

ההוכחה והפרדוקס: משפטי האי־שלמות של קורט גדל, מאת רבקה גולדסטיין, הוצאת אריה ניר, 224 עמ', 2006.

המוזיקה של המספרים הראשוניים / מרכוס דוּ סוֹטוֹי


הערכים הממשיים של פונקציית זטה של רימן מעל חלק מהמישור (איור: גדי אלכסנדרוביץ' ותוכנת Mathematica)




פונקציית זֶטָה של רימן היא פונקציה מתמטית, לא מורכבת מדי, המוגדרת מעל המישור (ראו איור משמאל). יש לפונקציה אפסים – כלומר, נקודות בהן ערך הפונקציה הוא אפס – אותם קל לגלות, המכונים "האפסים הטריוויאליים". הם לא באמת מעניינים מישהו. שאר האפסים, לעומת זאת, התגלו כאחת החידות המתמטיות הגדולות של ימינו; חידה מתמטית אגדית העומדת ללא פתרון מזה כמעט מאה וחמישים שנה. השערת רימן אומרת כי כל האפסים הלא־טריוויאליים של פונקציית הזטה נמצאים על קו אחד במישור, "הקו הקריטי". איש עוד לא מצא אפס לא טריוויאלי שאינו על קו זה, אך איש גם עוד לא הוכיח שאין אפס כזה.

השערת רימן היתה אחת מ-‏23 הבעיות שהציב דויד הילברט בפני הקהילה המתמטית בשנת 1900, כאתגרים למתמטיקאים של המאה העשרים. מתוך ה-‏23, היא אחת הבודדות שטרם נפתרו. כיום היא אחת משבע "בעיות המילניום", שלפותרן ממתין פרס של מיליון דולר. מאמצים רבים מוקדשים לפתרונה, אלא שבניגוד לבעיות מפורסמות אחרות – כמו המשפט האחרון של פרמה, או השערת גולדבאך – העוסקים בה אינם מתמטיקאים חובבים, אלא בעיקר מקצוענים מהשורה הראשונה.

ההבדל הזה, בין השערת רימן לבין המשפט האחרון של פרמה, הוא האתגר הגדול העומד בפני קוראי הספר: אם בספרו הנודע של סיימון סינג קל להבין את הבעיה (למרות שקשה להבין את הפתרון, שעקב מורכבותו אינו מוצג בספר במלואו), הרי שבספרו של דו סוטוי אפילו את הבעיה קשה להבין. ועדיין, הספר מוצג כמסע מרתק בעולמה של המתמטיקה, החל מהמאה השמונה־עשרה (גאוס, ומחקריו בדבר המספרים הראשוניים), עבור דרך רימן, גילוי פונקציית זטה וניסוח ההשערה, ועד לרשימה של פריצות דרך לאורך השנים, תוך הצגה מעוררת עניין של העוסקים בתחום וגישותיהם השונות לבעיה.

אין זה ספר במתמטיקה: זהו ספר על ההיסטוריה של המתמטיקה. ככזה, הוא בדרך־כלל מרתק, אבל לעיתים צפוי ונדוש. הזכרנו את פאול ארדש? צריך לספר לכולם על מספור ארדש. הגענו לעידן המחשב? הנה השרשרת הכה־צפויה על אלן טיורינג, צ'ארלס באבג', עדה לאבלייס, וההוכחה השנויה במחלוקת בדבר צביעת מפות בארבעה צבעים. וכן הלאה.

מה בעצם חשיבותה של השערת רימן, ומה הקשר בינה לבין המספרים הראשוניים המופיעים בכותרת הספר? ובכן, מתברר כי אם ההשערה נכונה, נוכל לדעת מתי מגיע המספר הראשוני הבא – הטיפה הבאה בטפטוף האקראי־לכאורה של אבני־חן בזרם המספרים ה"רגילים". יש לכך השלכות רבות בתחומי מחקר רבים במתמטיקה; למעשה, משפטים מתמטיים רבים הוכחו, תוך שההוכחה מניחה את נכונות השערת רימן; כאילו ההוכחה מתחילה במילים "אם השערת רימן נכונה, אזי...". מכאן ששלילת ההשערה תוביל לפסילת הוכחות־מותנות רבות, ואילו אישושה יוביל למבול של הוכחות חדשות שיוכרו סוף־סוף כנכונות. יש להשערת רימן השפעה גם בתחומים רבים אחרים של המתמטיקה, מעבר לשאלת המספרים הראשוניים, אולם אלה כמעט שאינם נידונים בספר.

ספרו של דו סוטוי ייחודי בכך שלא נכתב בידי סופר מדע־פופולרי, אלא בידי מתמטיקאי העוסק בתחום. ועדיין, אין משמעות הדבר שההסברים המתמטיים בו עמוקים מאלה המופיעים בספרים אחרים בסוגה זו. דו סוטוי נזהר עד מאוד שלא להגזים בתיאורים מתמטיים, ואף מקפיד לספק לכל מונח מעין הקבלה או אלגוריה מהעולם המוכר יותר לקורא. למרבה הצער, לפעמים הדבר מגיע לכדי הגזמה; בשל הימנעות עקרונית מלהשתמש במונחים הטכניים, אנו מוצאים את עצמנו שוב ושוב מול ביטויים מכאיבים כגון "הנקודות בנוף הזֶטָה המצויות בגובה פני הים" במקום פשוט "האפסים של פונקציית זטה" – וזאת למרות שהמונחים הטכניים הוצגו לא אחת. ועדיין, מדובר בספר קריא וקולח, לא רק למתמטיקאים – אולי דווקא להיפך: מי שמצפה ל"בשר" מתמטי עלול להתאכזב, ומי שמצפה לסיפור טוב ודאי ייהנה. העובדה שהפרק האחרון בסיפור טרם נכתב רק מוסיפה לנופך המסתורין שלו.

ההוכחה והפרדוקס / רבקה גולדסטיין



רבים מחשיבים את קורט גדל ללוגיקן הגדול ביותר שקם לעולם מאז אריסטו. משפטי האי־שלמות שלו הם ללא ספק מהחשובים שבמשפטים המתמטיים שהוכחו מעולם, ושמעם נודע למרחוק – הרבה מעבר למעגלי חובבי הלוגיקה, משום שלמשפטי האי־שלמות יש משמעות פילוסופית החורגת מחשיבותם הלוגית. למרבה הצער, רבים רותמים את המשפטים הללו בנסיונות להוכיח טיעונים שונים ומשונים, לעיתים רבות טיעונים הסותרים זה את זה באופן ישיר. נדמה כי רבים פשוט טועים ואינם מבינים את משמעותם האמיתית והעמוקה של המשפטים. זה בסדר, הם בחברה טובה: אי־ההסכמה בדבר המשמעות המטפיזית של משפטי גדל היא כה עמוקה עד שהיו רבים שטענו כי אף גדל עצמו לא הבין את משמעות משפטיו.

זוהי שטות מוחלטת, כמובן, אך בו־בזמן ניתן להבינה. "ההוכחה והפרדוקס", ספרה של רבקה גולדסטיין, שופך אור על הרקע להוכחת משפט האי־שלמות הראשון של גדל, ומסביר את הטרגדיה שלוותה את אותו גאון תמהוני מרגע פרסום ההוכחה ועד יומו האחרון: הוא ניסה להראות דבר אחד, והסובבים אותו הבינו דבר־מה שונה לחלוטין.

קורט גדל היה חבר ב"חוג וינה", קבוצת פילוסופים/לוגיקנים/מתמטיקאים שהושפעו רבות מהוינאי לודוויג ויטגנשטיין. רובם דגלו בתפישה הפוזיטיביסטית, הטוענת כי מה שלא ניתן להוכיח, אין טעם לדון בו, וטענות על קיומו של הלא־מוכח הן חסרות משמעות. אלא שגדל השתקן לא היה פוזיטיביסט כלל: הוא היה פלטוניסט, והאמין בקיומן של אידאות מתמטיות שאינן תלויות ביכולת האדם להוכיח את קיומן. במשפט האי־שלמות האמין גדל שהצליח לגדוע באופן מוחלט את האמונה הפוזיטיביסטית; אלא שלמרבה הטרגדיה, רבים ראו במשפט גדל דווקא משום חיזוק לתפישה זו.

לא אנסה להסביר כאן את ההבדל בין שתי התפישות, ואת התסכול שנגרר אליו גדל, השתקן והמופנם, בעקבות הפרשנויות השגויות. גולדסטיין עושה עבודה מצוינת בהצגת הרקע לחייו הטרגיים של גדל, חוג וינה, התורות הפילוסופיות המתחרות, ועוד. ברור לחלוטין, אגב, באיזה משני הצדדים במאבק מצדדת הכותבת. היא לא מפחדת מעומקם של המים, ולשבחה של גולדסטיין יאמר כי בניגוד לדו סוטוי בספרו הנסקר למעלה, היא לא מנסה לגונן על הקוראים כאילו היו ילדים רכים. בעוד שמרבית הדיון הוא במישור הפילוסופי, המחברת לא נרתעת גם מהמישור המתמטי, והיא מנסה להסביר "על רגל אחת" את הוכחת גדל למשפט האי־שלמות הראשון. זהו מאמץ ראוי לציון, אבל למרבה הצער, היא נכשלת; אני בספק אם מי שלא מכיר את ההוכחה יצליח להבינה מתוך הספר. (משפט האי־שלמות השני, לעומת זאת, טריוויאלי להוכחה בהינתן הראשון).

בעוד שגולדסטיין עושה עבודה מצוינת בהצגת הדילמות הפילוסופיות עימן התמודד גדל – ולמעשה, עימן התמודד העולם הפילוסופי כולו, הרי שהיא עושה עבודה טובה פחות בפיצוח חידת גדל האיש. הגורמים הסובבים אותו (חוג וינה, המכון למחקר מתקדם) מוצגים לעיתים בעומק רב יותר מאשר נשוא הספר. אנו נחשפים לחייו דרך הפריזמה של השאלות הפילוסופיות בלבד, וחייו האישיים, שהיו מוזרים ומרתקים לא פחות, משחקים תפקיד משני בלבד, לעיתים באופן מתסכל ממש. מצד שני, זה אך הוגן, בהתחשב בכך שכבר מכותרת הספר ברור כי הנושא הוא המשפטים – ולא האיש. מי שמתעניין בהיבטים אישיים יותר של גדל האיש יאלץ להמתין לתרגום של אחת הביוגרפיות האחרות; מי שמתעניין בפילוסופיה של המאה העשרים ובתרומתו של גדל למאבקים שהתחוללו בה, יגלה כאן מבוא נהדר לתחום.

כמה מילים על העברית

בקריאת שני הטקסטים לא ניתן שלא להתרשם מההבדל בגישת המתרגמים לשפה העברית. אוריאל גבעון, מתרגם "המוזיקה של המספרים הראשוניים", משתמש בעברית הרזה־יחסית המקובלת בכתיבה כיום. נדמה גם כי גבעון (או שמא עורך הספר?) חושש כי קהל הקוראים שולט בשפה האנגלית דווקא יותר מאשר בעברית, משום שמדי פעם (occasionally) מופיע המונח המקורי (original) בסוגריים, מנהג מעצבן שאינו מוצדק אפילו עבור המונחים הטכניים (technical) ביותר. כך גם לגבי שמות החוקרים השונים המוזכרים בטקסט, אולי מתוך הנחה שהקוראים ייטיבו להבין איך לבטא שם הונגרי מתוך קריאת האותיות הלטיניות יותר מאשר מתוך קריאת עברית מנוקדת. ואם תאמרו, הצגת השמות בלעז נועדה לאפשר לקורא הסקרן למצוא מידע רב יותר עליהם – באינטרנט, למשל – הרי שבדיוק לשם כך קיים האינדקס: גם בתרגום של "ההוכחה והפרדוקס" מופיעים השמות בכתיב הלועזי המקורי, אבל לא באופן הפוגע בנוחות הקריאה, אלא פשוט באינדקס, בסמוך לכל שם בתעתיק עברי.

העברית של "ההוכחה והפרדוקס", בניגוד לזו של "המוזיקה", היא עשירה, משובחת, ומהנה; קשה שלא להבחין בהבדל לאחר קריאת שניים־שלושה עמודים מכל ספר. התחרות, יש להודות, אינה הוגנת, משום שאת המלאכה ביצע רב־המתרגמים עמנואל לוטם. עם זאת, למרבה הצער, בחר לוטם (או שמא עורך הספר?) להחליף את הערות השוליים הרבות בספרה של גולדסטיין לחלק אינטגרלי מהטקסט, והתוצאה היא לעיתים פסקאות שנמשכות ומתפתלות כשהן עוברות לנושאים משניים ולא־חשובים לכאורה, למשל בדבר חייהם של דמויות משנה הנזכרות אך לרגע בטקסט, ושמעבר לעניין נקודתי אין להן כל חשיבות - עד שהטקסט חוזר לנושאו העיקרי כמעט פורחת נשמתו של הקורא.
קישורים
רימן - ויקיפדיה
השערת רימן - ויקיפדיה
ספרו הנודע של סיימון סינג - סקירת הספר "המשפט האחרון של פרמה", טל כהן
נסיונות להוכיח טיעונים שונים ומשונים - "תנו לגדול בשקט", מאמרו של אלון עמית
לודוויג ויטגנשטיין - ויקיפדיה
סקירה של אותו זוג ספרים במדור הספרים של הארץ (קישור עקיף)
פרסום תגובה למאמר

פרסומים אחרונים במדור "ספרים"


הצג את כל התגובות | הסתר את כל התגובות

  ללא כותרת • האייל האלמוני
  ללא כותרת • אודי פסמון
  תודה על הסקירה המעניינת • גדי אלכסנדרוביץ' • 6 תגובות בפתיל
  שמות בתעתיק לועזי • shinnoon • 59 תגובות בפתיל

חזרה לעמוד הראשי פרסום תגובה למאמר

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים