פרויקט ממוחשב פתר את בעיית E-8 2830
בתחילת השבוע הצליחו 18 מתמטיקאים מארה"ב ואירופה, בעזרת פרויקט ממוחשב, לפתור את בעיית E-8 המעסיקה את עולם המדע מאז המאה ה-‏19. הפתרון, שהושג לאחר 77 שעות של הרצת התוכנה, מכיל 60 ג'יגה־בייט וכמות הנייר הדרושה להדפסתו שווה לשטח מנהטן.

המדענים נפגשו מידי קיץ במשך ארבע שנים, במסגרת פרויקט אטלס, במכון האמריקאי למתמטיקה ופיתחו שיטות חישוב המשלבות מתמטיקה תיאורטית וכתיבת תוכנה. מאחר ולא נמצא מחשב חזק מספיק על מנת לבצע את החישוב פוצלה הפעולה הראשונית בין מספר מחשבים ואת החישוב הסופי ביצע במשך 77 שעות מחשב העל SAGE הנמצא באוניברסיטת וושינגטון. חבורת E-8 שייכת ל'חבורות לי' אשר הוגדרו במאה ה-‏19. החבורות ייחודיות בסימטריה שלהן ופענוחן הוא שלב חשוב בהבנת אבני היסוד של היקום. לדברי פיזיקאים, פענוח הבעיה יביא לפריצת דרך בתחומים רבים כגון פיזיקה, מתמטיקה, כימיה ותורת המספרים.
קישורים
הארץ
הסבר מקיף על הפרויקט ואופן החישוב
פרויקט אטלס
פרסום תגובה למאמר

פרסומים אחרונים במדור "חדשות"


הצג את כל התגובות | הסתר את כל התגובות

שתי שאלות 436355
1) מה בעצם הבעיה?

2) כש"הארץ" כותבים "חבורת E-8 היא מבנה מורכב במיוחד, בעל 248 ממדים", למה הכוונה במילה "ממדים" כאן?
תשובה אחת 436357
2) נשמע לי כמו משהו מתמטי סנטנדרטי. לעומת זאת אני די בטוח ש"הארץ" לא ממש מבינים מה הם כותבים. להבדיל ממני, כמובן.
תשובה אחת 436360
כשאומרים בדרך כלל ''מימד'', הקונוטציה שמקבל ההדיוט היא של מימד של מרחב וקטורי. אני לא בטוח שהמימד של חבורת לי הוא אותו הדבר.
תשובה אחת 436382
זה המימד של המרחב המשיק, שהוא אלגברת לי (ולכן יש לו מימד במובן הרגיל, של אלגברה ליניארית).
תשובה אחת 436384
תודה. אני מניח שלא יכלו להכניס את זה ל''הארץ'', אבל עדיין רצו להישמע סקסיים ומרובי-ממדים.
שתי שאלות 436363
אם אני מבין נכון הם מתכוונים למימדים במובן הרגיל (באותו מובן שלקליפת הכדור בשלושה מימדים יש מימד 2). אפשר להתחיל כאן:
ד"ל: אני עדיין לא מבין מה בדיוק הם עשו ולמה.
מה לא מובן? 436442
המחשב, "הרהור עמוק", התבקש לענות על השאלה בדבר "החיים, היקום וכל השאר". למרבה הצער, אחרי יותר משבעים ושבע שעות חישוב, הוא פולט תשובה סתומה: E-8

מה לא מובן? נשמע כמו הזיה ובדיה חולנית.
מה לא מובן? 436443
כל כך עצוב לשמוע ש-‏42 ירד מגדולתו.
והרי החדשות 436379
בתחילת השבוע סיימו 18 מתמטיקאים מארה"ב ואירופה פרויקט של ארבע שנים להוכחת בעיית E-8 (מישהו בקהל יודע מה זה?).
הם השתמשו במחשב.
ואיזשהו יחצ"ן פמפם הודעה פיקנטית לעיתונות.

בשבוע הבא במעריב: "לצורך הצגת הנתונים על המסך נזקקו החוקרים למיליוני פיקסלים, ואם היו מציבים את הביטים של התקשורת אחד על השני, היה אפשר להקיף את השמש שבע פעמים"
והרי החדשות 436380
E-8 זה פשוט שיפור של G-8 שהפכו מ-great ל-enormous.
אז מה בעצם עשו שם 436381
(בקיצור)

"אלגברות לי" הן מבנים מתמטיים חשובים במיוחד, בעלי הקשרים אלגבריים, גאומטריים וטופולוגיים, ויישומים בתחומים שונים בפיזיקה. את האלגברות האלה‏1 הצליחו להבין באופן עקרוני כבר במאה התשע-עשרה: אפשר להרכיב אותן משני חלקים: ה"רדיקל", שהוא סימפטי באופן יחסי, והשארית, שהיא "אלגברת לי פשוטה למחצה".

בתורה, אפשר לפרק כל אלגברת לי פשוטה למחצה כ"סכום ישר" (זה מין דבר טוב) של "אלגברות לי פשוטות".

גם את אלגברות לי הפשוטות הצליחו למיין: יש ארבע משפחות אינסופיות (הקרויות, באופן חסר-השראה משהו, An, Bn, Cn ו- Dn, כאשר n יכול להיות כל מספר טבעי), ועוד חמש "אלגברות לי ספורדיות": G2, F4, E6, E7 ו- E8. האחרונה היא הגדולה ביותר, ממימד 248 ‏2. את המשפחות אפשר להסביר בקלות יחסית, אבל האלגברות הספורדיות הן מבנים די משונים (שעצם קיומן הוא נס לא קטן), ולא פשוט לטפל בהן.

הצרה העיקרית היא שאלגברות פשוטות קשה מאד לפענח: הן קרויות "פשוטות" לא בגלל שיש בהן משהו פשוט, אלא בגלל שהן אינן "מורכבות" - אי אפשר לפרק אותן לחלקים קטנים יותר.
אחת הדרכים להתמודד איתן בכל זאת, היא להכיר את ה"הצגות האוניטריות" שלהן (מין דרך לתאר מבנה מסובך בשפה של מטריצות (גם זה טוב)).

המדענים דנן הצליחו, בשעטו"מ, למיין את כל ההצגות האוניטריות של אלגברת לי הפשוטה מטיפוס E8. לא סביר שעכשיו מתמטיקאים יתעניינו בשאלה מה הרכיב השביעי של ההצגה ה- 11486, אבל שאלות על מאפיינים של ההצגות (למשל, כמה הצגות אי-פריקות יש מכל מימד) הן שאלות מעניינות עם פוטנציאל לא מבוטל.

1 ממימד סופי, מעל המרוכבים
2 זה המימד שלה כמרחב וקטורי מעל המרוכבים
אז מה בעצם עשו שם 436383
אני מקווה שאפשר לשאול אותך שאלות.

ההצגה היוניטרית SU(2) היא הצגה של איזו אלגברת לי? (SU(2) היא ההצגה היוניטרית ממנה מתקבלים האופרטורים של הספין ושל התנע הזוויתי הכולל של חלקיקים)
אז מה בעצם עשו שם 436385
האם האלגברות האלה נוצרו מלכתחילה לצרכים מתמטיים או פיסיקליים? ואם לצרכים פיסיקליים, איך נבנה הדבר הזה? (כמובן, אלה שאלות של הדיוט מוחלט. אשר על כן מתבקשות תשובות כלליות מאוד).
אז מה בעצם עשו שם 436456
מי שפיתח את האלגברות והחבורות האלה (סופוס לי, אלי קרטן, ואחרים) היו מתמטיקאים. למיטב ידיעתי השימושים הפיזיקליים הופיעו מאוחר יותר, בראשית מכניקת הקוונטים; היום ברור שאלו מרכיבי היסוד גם בתורות מיתרים מכל הסוגים.

את השאלה "איך נבנה הדבר הזה" אני לא כל-כך מבין. כמו כל מבנה מתמטי אחר, על פיסת נייר (או הרבה פיסות נייר); אין צורך במאיצי חלקיקים.
אז מה בעצם עשו שם 436465
אכן, לא "בניתי" ניסוח הולם. אני אנסה: אם הענפים האלה התפתחו קודם כל במתמטיקה, אז זה פחות או יותר מובן לי. אבל אם, כפי שנדמה לי, קיימים ענפים במתמטיקה שנוצרו כדי למלא צרכים של הפיסיקה, אז פחות ברור לי איך המתמטיקאים ניגשים לזה.
וגם - אם הבנתי נכון, את הפרקטלים המציא/גילה מנדלברוט, שהוא מתמטיקאי: איזה מין תהליך זה?
(עליי להתנצל גם על הניסוח כאן, שהוא אידיוטי, אבל אני מקווה שקצת יותר מובן...)
אז מה בעצם עשו שם 436475
אולי "הגדיר" היא המילה הנכונה?
אז מה בעצם עשו שם 436487
מבחינה מתמטית - ודאי. מבחינה פיסיקלית עדיין לא שמעתי תיאור כזה, אבל בהחלט אשמח לאמץ אותו.:)
אז מה בעצם עשו שם 436494
אפשר כך: נתון אובייקט פיזיקלי מסובך. יש לו כמה תכונות פשוטות (הוא מהווה חבורה עם מבנה אנליטי וכמה תכונות אלגבריות מוצלחות), וכמה תכונות מסובכות (כשמחזיקים אותו כנגד האור ומנערים בתדר מאד מסויים, נוצרת על הקיר דמות של שפן; ועוד כאלה). מסלקים את התכונות המסובכות, וחושבים בכח - לאיזה יצורים אחרים יש אותן תכונות פשוטות?

פרקטלים הם, באופן פשטני, יצירים גאומטריים שדומים לעצמם. (כאן - דמיון באותו מובן של "דמיון משולשים"). בדרך כלל יש להם מימד (האוסדורף) לא שלם, ולכן הם "מוזרים" מנקודת מבט גאומטרית-קלאסית.
עם זאת, מבחינות מסויימות (וכשמחזיקים את הראש נטוי בזווית מסויימת) הם מתארים את המציאות הפיזיקלית לא פחות טוב מן הגאומטריה הקלאסית.
אז מה בעצם עשו שם 436499
תודה. הדברים האלה ידועים לי, ומכאן עליי להסיק ששוב לא הסברתי את עצמי כראוי, ולבקש את סליחתך. אם אצליח למצוא ניסוח בהיר יותר, אנסה שוב, ואם עדיין תהיה לך סבלנות לתהיותיי, אשמח אם תענה.:)
אז מה בעצם עשו שם 436386
כלומר, זה בעצם לא משהו בחבורות לי, אלא באלגבראות לי, שאותן אפילו הדיוט כמוני מכיר קצת למרות שאני לא מכיר כלום בחבורות לי?
אז מה בעצם עשו שם 436398
בני אדם יכולים לבדוק את התוצאות הסופיות?
אז מה בעצם עשו שם 436464
בוודאי - כל מה שהם צריכים זה מחשב גדול...

צריך לזכור ש- E8 היא חבורת לי "ספורדית", כלומר, מיוחדת במינה. יש בסביבה עוד כמה כאלה, וגם משפחות אינסופיות, שאותן קל יותר להסביר ולפענח. ומשום שמדובר במשפחות אינסופיות, לא ניתן לסמוך על מחשבים שיעשו עבורנו את העבודה השחורה - זה אף פעם לא יספיק. במקרים כאלה מוכרחים למצוא דרכים מחוכמות לתאר באופן ממצה את ההתנהגות ה"אינסופית" של כל המשפחה.
הבעיות האלה נפתרו כבר (לפחות עבור המשפחה An; נדמה לי שעבור כולן), והתאור שלהן חייב פיתוח של תאוריה מקיפה ומורכבת (אחד החוקרים הבולטים בנושא הוא פרופ' דוד קשדן, היום באוניברסיטה העברית).

היתרון הוא שכעת, כאשר מתקבלים הפרטים החישוביים של E8, אפשר לשבץ אותם בתאוריה הכוללת, ולראות שהם מתאימים לתחזיות (מה שהיה ידוע מראש, כמובן. זו מתמטיקה.)
אז מה בעצם עשו שם 436418
איך בנו אלגברות כאלה, אם לא היה עד עכשיו תיאור של המבנה שלהן?
אז מה בעצם עשו שם 436430
ידעו את המבנה של רובן...

אבל זה לא בהכרח קשור. גם "חבורה", שהיא מבנה יותר פשוט מאלגברה, קל מאוד להגדיר (קבוצה עם פעולה שמקיימת כמה תכונות), ויש הרבה דברים שאנחנו יודעים לבנות ולהגיד שהם חבורות (המספרים השלמים; פרמוטציות; סימטריות של ריבוע; השעות על שעון). זה עדיין לא אומר שאנחנו יודעים את המבנה של *כל* החבורות. מה גם שלפעמים יש לנו רק תיאור בסיסי של חבורה, אבל לא ברור איך נראית "מבפנים": קל להגדיר חבורה בתור "אוסף ההעתקות במישור שמשמרות מרחקים" - יותר קשה לראות מה הצורה המדוייקת שלהן (כל העתקה שאפשר להציג בתור הפעלות של סיבובים, שיקופים והזזות).
אז מה בעצם עשו שם 436437
השעות על שעון?
אז מה בעצם עשו שם 436440
המספרים 1 עד 12, עם חיבור מודולו 12 (כלומר, למשל, 5+8=1).
אז מה בעצם עשו שם 436441
או.קיי. תודה.
אז מה בעצם עשו שם 436466
ל''בניה'' מתמטית יכולות להיות הרבה משמעויות. במובן הצר ביותר, ברגע שאני מאפיין באופן חד משמעי את המבנה (כך שברור שיש כזה, ושהוא יחיד במינו), זה מספיק. אבל תאור כזה בדרך כלל אינו מספיק כדי שאפשר יהיה לענות על שאלות הקשורות למבנה החדש.

למשל, במרתף של אביב יש דרקון יחיד, ולכן יש לו צבע מוגדר היטב (וידוע לכל). אבל גם מספר השיניים מוגדר היטב - ואת המספר הזה איננו יודעים (צוות המחקר שיטול על עצמו משימה כזו זקוק לנכונות לא מבוטלת להקרבה עצמית).
אז מה בעצם עשו שם 436583
למה הקרבה עצמית? לא שמעת על נוהל שכן?
אז מה בעצם עשו שם 436584
נוהל שכן הוא כבר מזמן נוהל שלא.
תיקון 436454
*הצגות* של אלגברה *פשוטה*? ממש נפלא. מדובר כמובן בהצגות של *חבורת* לי הפשוטה מטיפוס E8, ולא של האלגברה. שאר הסיפור די דומה (בעקרון).

ליתר דיוק, לא מיינו את ההצגות האוניטריות של חבורת לי המרוכבת מטיפוס E8, אלא את אלו של הצורה הממשית המפוצלת שלה. לזו יש מימד 248 מעל הממשיים, ולא מעל המרוכבים. ועוד הבהרה: מתברר שיש 453060 הצגות, שכולן תלויות בפרמטר (מרוכב, אם אפשר לסמוך על האנלוגיה למקרים שאני מכיר).
אז מה בעצם עשו שם 436477
מה הגודל של חבורת E-8?
אז מה בעצם עשו שם 436492
כמה תשובות בדבר:
1. היא אינסופית.
2. עוצמתה שווה לזו של שדה המספרים הממשיים.
3. יש לה מימד (כיריעה אלגברית), שהוא 248.

האינסופיות והעוצמה אינן מפחידות במיוחד - גם החבורה של כל המספרים הממשיים (ביחס לחיבור) היא אינסופית. גם המימד לא נורא (החבורה (SL_16(C ממימד גדול יותר, והיא הרבה יותר סימפטית).
אז מה בעצם עשו שם 436523
למה הפיעו שימושים פסיקלים בתורת הקוונטום?
אז מה בעצם עשו שם 436547
"למה" בשווא או בקמץ? בכל מקרה, זו שאלה לפיזיקאים.
כל העבודה הזאת 436581
בשביל לצייר מנדלה?
גם לי יש טרקטור כזה 436698
חוואי אמריקאי וקיבוצניק נפגשים.
האמריקאי מספר לקיבוצניק - כאשר אני יוצא מהבית בטרקטור שלי אני נוסע יום שלם מבלי להגיע לסוף החווה.
ענה הקיבוצניק: "גם לי יש טרקטור כזה"

מה המשמעות של 77 שעות בלי ציון מהירות המחשב או מדד משמעותי אחר?
גם לי יש טרקטור כזה 436701
אני דווקא מתייחס לזה הפוך- 77 שעות זה לא סיפור כזה גדול באף מחשב ( סימולציות רציניות גם אורכות חודשים ושנים), מה שמראה שהבעיה לא היתה לחשב, אלא *להגדיר* את החישוב.

אגב, חיפוש באינטרנט מראה שכנראה שהכוונה לזה:
גם לי יש טרקטור כזה 436713
המרחק בין "77 שעות" ובין "חודשים ושנים" אינו כל כך גדול; ההבדל האמיתי הוא בין "77 שעות" ובין "הזמן שחלף מאז תחילת היקום בחזקת 100" וכאלה. למהירות המחשב דווקא יש רלוונטיות בפרקי זמן שכאלו - מה שהיום לוקח 77 שעות, כנראה שלפני 10 שנים היה דורש חודשים ושנים.
גם לי יש טרקטור כזה 436715
עדיין, הבעיה העיקרית היתה לבנות את האלגוריתם ( ועדיין היתה בעיה חמורה של זיכרון, עד שנועם אלקיס העיר שאפשר לעבוד במודולו). פרטים משעשעים נוספים יש כאן
גם לי יש טרקטור כזה 436816
תודה, קישור מרתק.
גם לי יש טרקטור כזה 436819
שכחתי להעיר שיש שם גם טרגדיה, אחד החוקרים נפטר מניוון שרירים מפשר חודשים לפני סיום הפרוייקט.

חזרה לעמוד הראשי פרסום תגובה למאמר

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים