בתשובה לעוזי ו., 04/09/03 23:10
סודרים 168356
טריוויאלי. אבל ברור (או שלא?) שבניה כזו לא יכולה לספק סודר בכל עוצמה שהיא מכיוון שסודר מגדיר סדר טוב ואם קיים סדר טוב על קבוצה בכל עוצמה אז אקסיומת הבחירה מתקיימת.
סודרים 168475
הבניה הזו מייצרת סודרים מכל העוצמות; (למעשה "עוצמה" היא מקרה פרטי של סודרים). לו היית יודע שכל קבוצה שקולה לאחד המונים, זה היה מוכיח את אקסיומת הבחירה. אלא שזה בכלל לא ברור - הטענה "אם A ו- B קבוצות, אז הן שקולות, או שאחת מהן שקולה לתת-קבוצה של השניה" שקולה בעצמה לאקסיומת הבחירה.
סודרים 168481
מאיפה הגיעו הנה מונים פתאום?

אתה אומר שלא לכל קבוצה יש עוצמה? עד כמה שאני מבין, עוצמה היא למעשה סוג של סדר המוגדר על ידי פונקציות על (נניח). כלומר אם יש פונקציה מ- A על B, נאמר שעוצמת A גדולה שווה לעוצמת B. לא ככה? למה צריך מונים עבור ההגדרה הזו?

אתה רוצה לומר שהטענה "קיימת פונקציה מ- A על B או שקיימת פונקציה מ- B על A" שקולה לאקסיומת הבחירה?
סודרים 168516
אתה למעשה כותב בדיוק על הבעיה. לכאורה, ההגדרה של "עוצמה" של קבוצה כפי שלומדים אותה בקורס מבוא של מתמטיקה בדידה נראית משונה מאוד. אתה יכול לנסות להשוות בין עוצמות, אבל אתה לא ממש יכול להגדיר מה זו ה"עוצמה" הזו שאתה משווה כל הזמן. המונה א0 (או אומגה) הוא -הקבוצה- בהא הידיעה לה אנו קוראים "העוצמה" א0. כנ"ל לגבי הסודר (והמונה) המכונה א1.

ואכן, ללא אקסיומת הבחירה אי אפשר להראות שיש פונקציה מ A על B או להפך. ההוכחה משתמשת בלמה של צורן.
סודרים 169383
חברים, רק הראיתי שלכל עוצמה יש עוצמה גדולה ממנה (בלי להניח את אקסיומת הבחירה). אבל זה *לא* אומר שבדרך הזאת אפשר לקבל את כל המונים/עוצמות!!!

זהירות, אחיי.

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים