בתשובה לאורי גוראל-גורביץ', 01/05/05 20:36
אומרים שמייקל ג'ורדון שיחק בייסבול די גרוע 297273
לכן אני כותב ''''נכון'''' ולא ''נכון'', ולכן אני אומר שלא הבנתי את המשמעות הפילוסופית (וכנראה פשוט לא הבנתי מה שהמרצה אמר).
אומרים שמייקל ג'ורדון שיחק בייסבול די גרוע 297394
זו לא "משמעות פילוסופית", אלא דווקא הבנה של המשפט מבחינה מתמטית.

הפסוק שגדל בנה אומר, בערך, "אני לא יכיח במערכת X", כש-X היא מערכת פורמלית מסויימת (הפסוק הוא אחר לכל מערכת). צריך לשם לב לכך שזה שהוא *אומר* שהוא לא יכיח לא אומר שהוא לא יכיח: הפסוק יכול להיות שקרי. אלא מאי, אם הוא כן יכיח, אז המערכת X מוכיחה משפט שקרי, שאז היא לא עקבית. אם הוא, באמת, לא יכיח, אז הוא נכון, והרי לנו משפט נכון שאיננו יכיח והמערכת X אינה שלמה.

לסיכום, קיומו של הפסוק מראה ש-X היא *או* לא עקבית *או* לא שלמה (או שניהם). הוא לא מראה שהיא אחד מסויים משני אלה.

כתבת למעלה: "ההוכחה של משפט אי השלמות עצמו בונה פסוק מהסוג הזה: הוא לא יכיח אבל הוא "נכון"". זה לא מדוייק: אי-אפשר להראות שפסוק מסויים אינו יכיח במערכת X מבלי להוכיח ש-X עקבית. משפט גדל רחוק מלהראות זאת. הוא תקף בכל מערכת פורמלית מספיק חזקה, ויש הרבה מערכות כאלה שהן דווקא לא עקביות.
אומרים שמייקל ג'ורדון שיחק בייסבול די גרוע 297428
תודה. לכן אומרים שלא ניתן (או לא הצליחו עד עתה) להוכיח ש-ZF עקבית? האם ניתן להוכיח ש-ZF עקבית?
אומרים שמייקל ג'ורדון שיחק בייסבול די גרוע 297437
משפט אחר של גדל, דומה ברוחו, אומר שאף מערכת (חזקה מספיק) אינה יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. לכן, אם מעוניינים להראות ש-ZF עקבית, יש לעבוד במערכת אחרת - אולי ZF עם עוד אקסיומות, אולי משהו אחר. לא מוכרות לי מועמדות מוצלחות למערכות כאלה. מהי מועמדת מוצלחת? כזו שהאקסיומות שלה נראות מובנות-מאליהן, כמו אלו של ZF; מה זה "מובן מאליו" זו כבר שאלה די נזילה.

הבעייה היא שאם אותה מערכת חדשה המוכיחה את עקביות ZF - נקרא לה GA - היא מובנת-מאליה, אין סיבה שלא נהפוך *אותה* למערכת המתמטית הסטנדרטית, נוציא את ZF לגמלאות, ונישאר תקועים עם השאלה "האם GA עקבית?". אם GA איננה ממש מובנת-מאליה, אני לא חושב שמישהו ירצה לקבל אותה: הרבה יותר פשוט סתם להניח שאי-אפשר להוכיח ב-ZF ש-‏5=2+2.
אז מה? 297522
החלטת בסוף לפרסם את מערכת האקסיומות שלנו?
המממ... 297526
חשבתי דווקא לתת כבוד לבן-שיחי.

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים