בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 28/05/05 21:56
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304128
אני מוכרח לציין שדי מטריד אותי העניין הזה שלא כל האפסים הם אותו דבר. חשבתי ש- 0=0 אומר שמותר להציב אחד במקום השני בכל ביטוי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304155
גם אני חושב ככה, ולא רואה למה משהו ממה שאמרתי סותר את זה. מה שכן, אשמח אם מישהו (עוזי? אלון?) יחדד את ההבדל בין האפס של פנים הקטע לאפס של חוץ הקטע, אם קיים כזה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304164
בין האפסים אין שום הבדל. ההבדל הוא בין המאורעות {X=0.5} שהוא מאורע אפשרי (בעל הסתברות 0), לבין {X=2} שהוא מאורע בלתי אפשרי.
הבדל חשוב יותר: לפונקצית הצפיפות של ההתפלגות יש ערכים שונים (1 בנקודות בתוך הקטע, 0 מחוץ לקטע).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304169
כלומר, הערך של ההסתברות של מאורע לא אומר האם הוא אפשרי או בלתי אפשרי? זה כמובן מסבך בשבילי את הפרשנות האינטואיטיבית שאני מייחס למספר שאנו קוראים לו "ההסתברות של מאורע".

אני חושב שיש בעיה (קטנונית מאוד) עם השורה השנייה שלך: אני יכול לתת לפונקצית הצפיפות של ההתפלגות ערכי 0 גם בתוך הקטע ולא יקרה כלום, כל עוד זה על קבוצה ממידה אפס (או רק עבור קבוצה סופית? אני לא בטוח שאני לא מתבלבל).

אני חושב שהגישה של אלון (מוכל בתוך קטעים קטנים כרצוננו עם הסתברות חיובית) היא די משכנעת, אבל האם לא ניתן לבנות עבורה דוגמה נגדית?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304174
ההסתברות כן אומרת אם המאורע אפשרי או לא אפשרי - אלא אם במקרה מדובר בהסתברות אפס...

את פונקצית הצפיפות אפשר לשנות, אם אתה מוכן לוותר על חלק מהתכונות היפות של הפונקציה f(x)=1 (למשל, זה שהיא רציפה). כמובן שמבחינת מרחב ההתפלגות הערכים במקומות ממידה אפס לא רלוונטיים, ואתה יכול לשנות אותם כאוות נפשך.

למה הכוונה ב"דוגמא נגדית" להסבר של אלון?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304184
אם הסתברות אפס אין פירושה בהכרח שהמאורע בלתי אפשרי, איך ומתי ההסתברות אומרת שהמאורע הוא בלתי אפשרי? נראה לי שהיא מסוגלת רק לומר "המאורע הזה אפשרי בודאות", אבל לעולם לא תוכל לומר "המאורע הזה בלתי אפשרי בודאות".

אם אני יכול לשנות את פונקצית הצפיפות, איך בא לידי ביטוי ההבדל בין הנקודות שמחוץ לקטע לנקודות שבתוכן?

במחשבה שנייה על ה"דוגמא נגדית" די ברור לי שהיא לא יכולה להתקיים. אם נקודה לא מוכלת בקטעים קטנים כרצוננו בעלי הסתברות חיובית, הרי שקיים קטע בו היא מוכלת שהסתברותו הוא אפס, ולכן אין סיכוי שהנקודה תיבחר. לכן נראה לי שהגישה של אלון היא פתרון טוב לבעיה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304188
כללי המשחק החדש לא ברורים לי. המאורע אפשרי אם יש בו נקודה ששייכת למרחב המדגם; אם ההסתברות גדולה מאפס, הוא בהכרח אפשרי, אבל לא להיפך.

פונקצית צפיפות מגדירה מרחב התפלגות, אבל מרחב התפלגות בדרך כלל לא מגדיר פונקצית צפיפות. יותר מזה, אם ההבדל בין שתי פונציות צפיפות הוא רק במקומות ממידה אפס, אז הן מגדירות את אותה התפלגות.

בפסקה השלישית, אני מסכים שזו גישה טובה (בוודאי יותר מאשר בחינה של ערכים מבודדים בפונקצית הצפיפות), אבל אל תבלבל בין "אין סיכוי" ל"לא אפשרי" (אפשרי, בהסתברות אפס).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304199
במקרה של התפלגות אחידה על הקטע [0,1] אין בעיה להגדיר את מרחב המדגם בתור כל הישר הממשי, לא? ואז אנחנו שוב חוזרים לשאלה: מה מבדיל בין משהו שבבירור הוא לא אפשרי (כלומר, מחוץ לקטע) לבין משהו שהוא אפשרי אבל הסתברותו אפס (נקודה בתוך הקטע)?

אני מסכים עם מה שאתה אומר על פונקציות צפיפות, וזו בדיוק הנקודה שלי: בגלל שהרבה פונקציות צפיפות יכולות להגדיר את אותה התפלגות, קשה להסתמך על התכונה "פונקציית הצפיפות היא 1 בתוך הקטע ו-‏0 מחוצה לו" כדי לשים את האצבע על ההבדל בין הנקודות שמחוץ לקטע ואלו שמחוצה לו.

האם "אין סיכוי" זה מה שיש לומר על נקודות מחוץ לקטע, או ש"לא אפשרי" הוא הביטוי המתאים?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304205
אתה שואל "מה מבדיל בין משהו שבבירור הוא לא אפשרי... לבין משהו שהוא אפשרי"? אולי כדאי שתחדד את השאלה. איזה סוג של הבדל אתה מחפש?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304208
תכונה כלשהי של נקודות שמתקיימת עבור נקודות בתוך הקטע אבל לא עבור נקודות מחוץ לקטע. למשל, התכונה "ההסתברות של המאורע שבו נבחרת הנקודה הוא 0" היא תכונה שמשותפת לשני סוגי הנקודות, ולכן לא טובה, ואילו הדוגמא שאתה הבאת כן מבדילה בין שני סוגי הנקודות, ולכן היא כן טובה.

אני לא בטוח אם הניסוח הזה טוב, אבל אני אנסה בכל זאת: תכונה שמבטיחה לי, בהינתן פונקציית צפיפות של ההסתברות, שאני אוכל לדעת אילו נקודות יכולות להתקבל ואילו לא.

כשאני עוצר וחושב על זה, אני בכלל לא בטוח שתכונה כזו חייבת להתקיים. נניח שאני בוחר להגריל נקודה מתוך הקטע [0,1], חוץ מהנקודה 1/2 שאותה אסור להגריל. פונקצית הצפיפות יכולה להיות זהה לזו של התפלגות אחידה על כל הקטע, ולא ברור לי איך אפשר יהיה להרגיש בהבדל בכלל.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304261
ניסיון להסבר פשוט יותר: "בהנתן הפונקציה" - זה כולל את כלל ההתאמה, וגם...את תחום הגדרתו. שם תמצא את ההבדל ("מאורע שנמצא בו - אפשרי, מאורע שאינו נמצא בו - אינו אפשרי").
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304278
זה בהחלט לא עושה את העסק ברור יותר. אין בעיה להרחיב את תחום ההגדרה כדי שיכיל עוד נקודות שעליהן פונקצית הצפיפות מקבלת אפס. עם זאת, ייתכן שלא הבנתי למה בדיוק התכוונת.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304391
אולי אפשר לדבר על קטע [קטן כרצוננו] שהנקודה נמצאת בו, וההסתברות שלו כבר ממש גדולה מאפס. זה מבדיל בין הנקודות בתוך הקטע [0,1] לאלה שבחוץ.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304394
אם כי זה מוריד את הנקודות 0 ו-‏1.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304399
לא. הקטע המדובר יכול להיות סגור.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304403
אני התייחסתי לקטע סגור, כי כך סימנת אותו. ל-‏1 ול-‏0 בקטע הסגור אין קטעים קטנים כרצוננו המכילים אותם.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304658
זה לא משנה (גם הנקודה 1 מוכלת בקטע (סגור) שההסתברות שלו חיובית), אבל כמדומני גדי כבר הראה למה הרעיון הזה נכשל.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304410
אני חושב שזה בדיוק מה שאלון הציע, אבל זה לא עובד: קח את ההסתברות ה"אחידה" שלא ניתן לבחור בה 1/2 שהצעתי קודם. תחת ההסתברות הזו, הנקודה 1/2 מוכלת בסדרה קטנה כרצוננו של קטעים בעלי הסתברות חיובית - אבל אין סיכוי שהיא תיבחר.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304657
אתה צודק בשתי הנקודות שהעלית. על הראשונה כבר עשיתי את ה''חרמפפפ'' המתבקש.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304210
הנגזרת מימין של {P{a<X<a+t כפונקציה של t, באפס.
(זה מבדיל בין נקודות בתוך הקטע לנקודות מחוץ לקטע).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304212
תן לי לישון על זה. זה עובד גם עבור ההתפלגות ה"אחידה" שהעיפו ממנה את 1/2?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304217
1/2 הוא אי-רציפות סליקה (שהנגזרת שלי מסלקת).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304166
ההסתברות של נקודה בתוך הקטע היא אפס; מחוץ לקטע - גם אפס (אותו אפס. אפס יש רק אחד). מאף אחד משני ההיגדים האלה לא ניתן להסיק שהנקודה האמורה יכולה או לא יכולה להתקבל כתוצאה מניסוי מסויים (כפי שעוזי ציין, "הסתברות אפס" זה לא "לא יכול להיות").

הנקודה בתוך הקטע מוכלת בקטעים קטנים כרצוננו בעלי הסתברות חיובית. הנקודה מחוץ לקטע לא.

מפיס?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304187
עם כל הכבוד לעמיתי המלומד...
התכונה שנתת תלויה גם בטופולוגיה של הממשיים, ולא רק במבנה המדיד שלהם.
אפשר לשנות את הטופולוגיה כך שגם הנקודה מחוץ לקטע תקיים את התנאי הזה או להיפך,
מבלי לשנות שום דבר אחר. אין בכך משום סתירה לדבריך אבל חשוב להבין שמנקודת מבט מידתית
גרידא, אין שום הבדל בין 0.5 ל-‏2.
עוד מעט ויסקלונו 304189
נדמה לי שזו קצת רמאות לדבר על מידת לבג של הישר ואז לשנות פתאום את המבנה הטופולוגי.
עוד מעט ויסקלונו 304240
רמאות שלי? זה אלון שהתחיל לדבר טופולוגית.
עוד מעט וסקלונו 304244
לא נכון - מידת לבג היתה ברקע הדיון כל הזמן (והיא מחזיקה במרתף את הטופולוגיה).
עוד מעט וסקלונו 304249
מחזיקה במרתף את הטופולוגיה?
לא בדיוק. אין דרך לשחזר את הטופולוגיה על הממשיים רק בהנתן מידת לבג (ראה תגובתי לאלון).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304203
גם אני לא הבנתי את עווני. *איזה* מבנה מדיד של הממשיים? נראה שגם לי לא ברורים חוקי המשחק, ומה השאלה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304245
בהנתן מרחב המידה (R,B,\mu) כאשר R זה הממשיים, B זה שדה בורל, \mu המידה האחידה על הקטע [0,1], אי אפשר להבדיל בין הנקודה 0.5 לנקודה 2 (או בין כל שתי נקודות).
ההבחנה שנתת זקוקה לטופולוגיה בנוסף למבנה המדיד. זה כל אשר אמרתי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304250
טוב ויפה, אבל למה אתה כן מרשה לדבר על שדה בורל, ולא על הטופולוגיה? מנין בא שדה בורל זה? שוב, אני לא מבין מה המשחק. אילו תכונות של R מותרות ואסורות בהסבר שמחפשים להבדל בין חצי לשתיים?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304252
כי שדה בורל הוא חלק מהמידה (התחום עליו היא מוגדרת). גדי תהה מה ההבדל מבחינה הסתברותית בין 0.5 ל-‏2, והתשובה של עוזי גרמה לו לחשוב‏1 שיש הבדל כזה - שלשתי הנקודות יש הסתברות 0 אבל 0.5 "אפשר" לקבל ו-‏2 "אי אפשר". מבחינה סתברותית גרידא, ונושא היום הוא הסתברות, אין הבדל.

1 אני חושב.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304257
רגע. קודם כל אני מקבל את האבחנה (המעניינת) שאי אפשר לשחזר את הטופולוגיה מהמידה; אני הנחתי שהשאלה של גדי מתייחסת לממשיים מכף-רגל ועד ראש (שדה סדור, מרחב טופולוגי, מרחב מידה, הכל).
שנית, אני ניסיתי לפרש את הטענה כך: נקודות בקטע [0.49,0.51] אפשר לקבל (ההסתברות ליפול שם היא חיובית), ו-‏0.5 נמצאת באיזור הסכנה הזה (למרות שהסיכוי לקבל דווקא אותה הוא כמובן 0). נקודות בקטע דומה סביב 2 אי אפשר לקבל - ולכן, 2 היא במצב אחר מ-‏0.5.

האם אתה טוען אפשר לבנות על R טופולוגיה כזו שתשרה את אותה אלגברת בורל, אבל כזו שבה כל סביבה של 2 תכיל סביבה בעלת הסתברות חיובית? זה דווקא מעניין (שוב, אני לא חושב שגדי חיפש קריטריון כל כך עדין).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304259
קח את האוטומורפיזם (של המידה) המחליף בין 2 ל-‏0.5 .
קח את הטופולוגיה שהוא משרה (כלומר הטופולוגיה בה 2 ו-‏0.5 התחלפו). טא דאם!

אפשר לעשות דברים גרועים בהרבה בלי לשנות את המבנה המדיד, נגיד להפוך את {0.5} לקבוצה פתוחה או לחבר את 0 לאינסוף.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304260
אפשר להדביק את 2 ו-‏0.5, ואז להפוך את נקודת החיתוך לנקודה כפולה. אחרי ההכפלה זו כבר לא טופולוגיה מטרית, אבל נראה לי שמתקבלת אותה אלגברת בורל, עם אותה מידה. אם זה נכון, אז מבחינת תורת המידה (כשלעצמה) באמת אין הבדל בין הנקודות, וזה די סביר.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304262
דוקא את זה‏1 אי אפשר לעשות - בשדה שמתקבל אין קבוצה שמפרידה בין שתי הנקודות. אבל, כמו שכתבתי לאלון, אפשר לעשות הרבה דברים אחרים.

1 אם הבנתי נכון
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304265
לא כל טופולוגיה מוכרחה להיות T_0.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304266
כמובן, אבל לא תקבל את שדה בורל המוכר.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304395
עצור כאן.

לא איכפת לי שתעברו לדבר על שדות בורל ומידות טובות, ובלבד שבסוף תסבירו את המסקנה שלכם גם בלשון בני אדם. עשינו עסק?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304620
חשבתי שזה מה שעשינו :-)
בקיצור, מחר, אם אלון לא יקדימני.
חרמפפפ 304392
תודה.

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים