בתשובה לדורון שדמי, 30/08/05 12:15
אוקיי, ויתרתי 326746
1. למה אתה מתכוון בצירוף "רציף לחלוטין"? על מה חל הצירוף הזה (כלומר, אילו דברים יכולים להיות או לא להיות "רציפים לחלוטין")?

2. למה אתה מתכוון בצירוף "אי-פריקות"?

3. תן בבקשה שלוש דוגמאות לקבוצות פריקות, ושלוש דוגמאות לקבוצות אי-פריקות. אם לא קיימות שלוש דוגמאות לקבוצות אי-פריקות, אנא אמור זאת במפורש.

4. בתורת הקבוצות האקסיומטית (כפי שאתה מבין אותה) בונים קבוצות מקבוצות קודמות להן, כאשר נקודת המוצא היא נטולת קבוצות לחלוטין. כך אפשר לבנות בצעד אחד את הקבוצה הריקה, בצעד הבא את הקבוצה שאיברה היחיד הוא הקבוצה הריקה, וכן הלאה. בנוסף לזה מניחים שישנה קבוצה אינסופית ובת מניה. במאמץ לא קטן, הצליחו קושי ודדקינד לבנות מתוך ההנחות האלה את הישר הממשי - בתור *קבוצה* של אובייקטים שמן הדין לקרוא להם "מספרים ממשיים". כתגמול על העבודה הקשה, לאוסף המספרים הממשיים יש כמה תכונות מאד מוצלחות, שכולן תלויות כמובן ביכולת ללקט מתוכו מספרים בזה אחר זה. בלשונך (נדמה לי), יש בו "תת אלמנטים" ולכן הוא אינו "בלתי פריק".

הגישה שלך חוסכת את כל העבודה הזו, ומדלגת הישר למציאות שבה יש אובייקט אחד ריק (הקבוצה הריקה), ואובייקט אחד "מלא" (הישר הממשי כולו), שהוא "אי פריק" ולכן (סיכום שלי) אי אפשר לעשות איתו כלום.

למה אתה חושב שהגישה השניה עדיפה?

5. ההתייחסות לישר הממשי כאל "הקבוצה המלאה" מצביעה על תחושה שזוהי קבוצה גדולה עד-מאד, שאי אפשר לבנות גדולות ממנה. כדאי שתדע שזוהי תחושה מוטעית מאין כמוה. במתמטיקה הישנה אין קבוצה שהיא "גדולה ביותר" (משפט שהוכיח קנטור לפני יותר ממאה שנים).
אוקיי, ויתרתי 326758
מניחים שיש קבוצה אינסופית ובת מניה? לא אומרים שהיא התוצר של התהליך האינסופי של יצירת הטבעיים (או שזו בדיוק ההנחה?)
אוקיי, ויתרתי 326765
1. האקסיומות מאפשרות לבנות איחוד של קבוצות וקבוצת חזקה, ולקבל (בתנאים מסויימים) תת-קבוצה של קבוצה קיימת.
2. כל הוכחה היא שרשרת סופית של טענות.
3. לכן אי אפשר להוכיח קיום של קבוצה אינסופית בלי להניח שיש כזו.
אוקיי, ויתרתי 326784
עוזי,

כדי להבין את מושג הרצף במשמעותו הפשוטה והמקורית,
עיין נא ב-תגובה 326778

המשך הדיון ביננו בסוגיה זו תלויי ביכולתי להסביר לך מהו מושג הרצף במובנו המקורי ומהי ההשפעה שיש לו על ZF כאשר הוא (הרצף במובנו המקורי) מוגדר כקבוצה המלאה.

אחרי שקראת את תגובה 326778
אנא אמור לי אם הבנת את נקודת השקפתי על מושג הרצף.

תודה,

דורון
אוקיי, ויתרתי 326811
עוזי,

כמו-כן אנא עיין בדיאלוג בין גדי לביני:

דורון: תגובה 326778

גדי:תגובה 326793

דורון: תגובה 326788

גדי: תגובה 326794

דורון:תגובה 326797

גדי:תגובה 326806

דורון:תגובה 326809
אוקיי, ויתרתי 326885
הסברת שה"רצף" הוא "אלמנט אחד ויחיד אשר גודלו לא =0 והוא אינו מורכב מתת-אלמנטים". האם באמת כוונתך היא שיש רק רצף אחד ויחיד, כלומר שכל שני רצפים זהים זה לזה?

התעלמת מן הנקודות 4 ו- 5 בתגובה שלי.
אוקיי, ויתרתי 326891
אני מאוד סקרן לשמוע את התגובה לנקודה 4. אחרי תגובה 326861 קיבלתי את הרושם שמה שדורון עושה הוא בעצם "לקפוץ" על כל שלבי הבניה שנעשים במתמטיקה ה"רגילה" כדי לקבל אובייקטים שניתן לקבל גם במתמטיקה ה"רגילה", כשההבדל הוא שהוא מניח את קיומם אקסיומטית וטוען שבגלל שהמתמטיקה ה"רגילה" לא מניחה את קיומם אקסיומטית, הם לא קיימים בה.
אוקיי, ויתרתי 326952
הערת ביניים: זה הפתיל עם השם הכי מצחיק שהופיע אי פעם באייל.
אוקיי, ויתרתי 327021
כבר היה פתיל עם אירוניה דומה בשם, אם אני לא טועה (דומני שהשם היה ''בקיצור'').
אוקיי, ויתרתי 327057
גדי:

אני מאוד סקרן לשמוע את התגובה לנקודה 4. אחרי תגובה 326861 קיבלתי את הרושם שמה שדורון עושה הוא בעצם "לקפוץ" על כל שלבי הבניה שנעשים במתמטיקה ה"רגילה" כדי לקבל אובייקטים שניתן לקבל גם במתמטיקה ה"רגילה", כשההבדל הוא שהוא מניח את קיומם אקסיומטית וטוען שבגלל שהמתמטיקה ה"רגילה" לא מניחה את קיומם אקסיומטית, הם לא קיימים בה.

דורון:

נהפוכו, מכיוון שהמתמטיקה-המונדית משתמשת במושגים יתירות ואי-וודאות כתכונות מסדר-ראשון, ניתן להבין מייד כי המתמטיקה הרגילה מתעלמת לחלוטין מ-"יקום" שלם של אלמנטים בעלי יתירות ואי-וודאות, ו"קופצת" ישר (כבר ברמת האקסיומות המגדירות קבוצות) לאלמנטים שבהם ערכי הכמת והסדר ידועים היטב.

כדי לראות את ה"קפיצה" הזו בבירור אנא עיין ב:
תודה.
אוקיי, ויתרתי 327009
עוזי:

הסברת שה"רצף" הוא "אלמנט אחד ויחיד אשר גודלו לא =0 והוא אינו מורכב מתת-אלמנטים". האם באמת כוונתך היא שיש רק רצף אחד ויחיד, כלומר שכל שני רצפים זהים זה לזה?

דורון: אנא עיין ב:

תגובה 326953

תגובה 326861

תגובה 326863

תודה.

בקשר לנקודה 4 שהעלת שבה כתבת:

עוזי:

"הגישה שלך חוסכת את כל העבודה הזו, ומדלגת הישר למציאות שבה יש אובייקט אחד ריק (הקבוצה הריקה), ואובייקט אחד "מלא" (הישר הממשי כולו), שהוא "אי פריק" ולכן (סיכום שלי) אי אפשר לעשות איתו כלום."

תשובתי ל-‏4:

תוכן הקבוצה-הריקה ותוכן הקבוצה-המלאה אינם נגישים לשום שפה (פורמלית או לא פורמלית), או במילים אחרות:

ריקנות מוחלטת אינה יכולה לשמש כקלט כי היא "חלשה" מדיי.

מליאות מוחלטת אינה יכולה לשמש כקלט כי היא "חזקה" מדיי.

לכן ניתן להשתמש רק ואך ורק במושג האוסף, שהוא שילוב של לפחות .(=נקודות) ו- _(=קטעים).

המתמטיקה-המונדית חוקרת את היחסים שבין . ו- _ ע"י שימוש במושג הסימטריה.

עוזי (נקודה 5):

ההתייחסות לישר הממשי כאל "הקבוצה המלאה" מצביעה על תחושה שזוהי קבוצה גדולה עד-מאד, שאי אפשר לבנות גדולות ממנה. כדאי שתדע שזוהי תחושה מוטעית מאין כמוה. במתמטיקה הישנה אין קבוצה שהיא "גדולה ביותר" (משפט שהוכיח קנטור לפני יותר ממאה שנים).

תשובתי ל-‏5:

קבוצה הינה הגדרה כללית למרחב-דיון בסוגי אלמנטים שונים.

אוסף הינו אחד מסוגי האלמנטים, כאשר מלאות מוחלטת וריקנות מוחלטת הם סוגי אלמנטים, אשר אינם ניתנים לתיאור ע"י מושג האוסף (כמוסבר לעיל).

השגיאה היסודית של המתמטיקה המודרנית נובעת מהשקילות שבין מושג האוסף למושג הקבוצה.

ברגע שטעות יסודית זו מתוקנת, ניתן להביו מיידית שהקבוצה-המלאה לא נבחנה מעולם במסגרת שפת המתמטיקה, וכל התובנות של קנטור נובעות רק ואך ורק ממושג האוסף בלבד (כאשר מושג הקבוצה שקול אצלו למושג האוסף בלבד).
עוד פענוח 327088
עוזי:
הסברת שה"רצף" הוא "אלמנט אחד ויחיד אשר גודלו לא =0 והוא אינו מורכב מתת-אלמנטים". האם באמת כוונתך היא שיש רק רצף אחד ויחיד, כלומר שכל שני רצפים זהים זה לזה?

דורון: אנא עיין ב: תגובה 326953, תגובה 326861, תגובה 326863.

עוזי: בשלב זה, תשובה שמתחילה ב"כן" או ב"לא" מאד תעזור.

באשר לנקודה 4 (הדילוג לקצה תהליך הבניה של הישר הממשי): אינני מבין מדוע ה"תוכן" של הקבוצה הריקה (האם "תוכן" של קבוצה הם האיברים שלה? לקבוצה הריקה אין כאלה) צריך להיות "נגיש". למה אתה מתכוון ב"נגישות"? וב"קלט"? (גם לגבי "לכן" אני פחות ופחות בטוח).

נקודה 5 (עד כמה הישר הממשי הוא "*ה*קבוצה המלאה"): אני מנחש שכוונתך היא כזו. לדעתך, כדאי לנו (מסיבה לא מוסברת) להמציא שקיימים אטומים מכמה סוגים, ש*אינם* קבוצות של דברים אחרים. אתה קורא לאטומים האלה "אלמנטים", שחלקם יכולים להיות "אוספים" וחלקם אינם אוספים. בין האטומים מסוג "אוסף" אתה מונה את "הקבוצה המלאה", שבהיותה אטום היא "אי פריקה" ואין משמעות לשאלות על ההרכב שלה.

כעת אתה מציע שההתעלמות של המתמטיקה המודרנית מן התורה החלקיקית שלך היא "השגיאה היסודית": המתמטיקה המודרנית מטפלת באובייקטים שאתה מתעניין בהם (הישר הממשי, קטעים ונקודות, מספרים טבעיים, עצים סדורים) בלי להניח שום דבר פרט לקיומה של הקבוצה הריקה, והיא לא נזקקת לאטומים משום סוג.

"השגיאה היסודית" הזו היא אחד מן ההישגים הגדולים של המתמטיקה: אין לנו שום *צורך* באטומים. אפשר לעשות הכל (הכל) באמצעות תורת הקבוצות.
עוד פענוח 330949
"אין לנו שום *צורך* באטומים. אפשר לעשות הכל (הכל) באמצעות תורת הקבוצות."

הדגם נא תוך שימוש בתורת הקבוצות האקסיומטית כיצד אתה "מטפל" באלמנטים שיתירות ואי-וודאות הם תכונות אינהרנטיות (מסדר-ראשון) שלהם.

כמו-כן הדגם נא כיצד ZF או ZFC או כל תורת-קבוצות אחרת מטפלת באלמנט בודד אשר מבחינה לוגית הוא קיים סימולטנית בתוך ומחוץ לקבוצה נתונה.

תודה.
עוד פענוח 330991
א. התואיל בטובך להסביר מהם "יתירות" ו"אי-ודאות"?

ב. אתה רוצה לבנות בשפה של תורת הקבוצות מערכת לוגית שתטפל ב"קבוצות" שאיבר יכול להיות "שייך" להן וגם לא "שייך" להן. אין בעיה. פשוט נגדיר (בשפה של תורת הקבוצות) אובייקטים ששמם "קצובות", ויחס בשם "כיישות", ושמקיימות את כל היחסים שאתה רוצה.
עוד פענוח 331015
א. תעיף מבט בתגובה 326855 ובדיון שאחריה, ותחליט האם אתה רוצה שוב להיכנס לזה.
מדרון חלקלק 331025
אתה יכול ללכת גם צעד אחד קדימה, ולשאול שאלות חתרניות כמו "למה להמשיך לנהל בכלל דיון עם דורון?" ואז אנה אנו באים?

:-)
עוד פענוח 331024
בעצם יש לי פתרון גם לסעיף א': נגדיר "אוסף" כזוג סדור של קבוצה A ופונקציה f מקבוצה A לקבוצה N.
עוד פענוח 331026
אני חושד שהבעיה המרכזית של דורון היא שהוא לא מוכן לקבל מצב שבו האובייקטים שעליהם הוא מדבר מורכבים מאובייקטים יותר בסיסיים ופשוטים, אלא רוצה להניח את קיומם כאקסיומות היסודיות. לכן *אסור* לך להשתמש בקבוצה כדי להגדיר משהו שדורון מדבר עליו.
עוד פענוח 331032
מה שמשעשע זה שאם אנחנו לא יכולים לעשות את זה (בתוך תורת הקבוצות), הוא רואה את זה כהוכחה לליקוי חמור בגישה האקסיומטית.
עוד תובנה על תורת הקבוצות 327099
"אבא, יש לי כמה שאלות. אתה יכול לענות על אף-אחת, או על אחת מהן, או על חלק מהן, או על כולן. שאלה ראשונה: אתה אוהב אותי? ... שאלה שמינית: נתקלתי היום באבן? ..." (הבת שלי, שלום כתה א').
עוד תובנה על תורת הקבוצות 327102
מתוחכמת הנערה. ויש לה סדר עדיפויות ברור.:)

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים