בתשובה לדורון שדמי, 03/09/05 14:40
 |
|
 |
||
|
||||
 |
זה נחמד שאתה גם מתעלם ממה שאני אומר, וגם פוסל שאני אומר. אני במשך כמה ימים מסביר לך שאני *לא רואה* את הישר כקבוצה/אוסף/התחברות/אפיפיור/נשיא המדינה של נקודות. המושגים "ישר" ו"נקודה" *לא* נגזרים זה מזה בהקשר של גיאומטריה אוקלידית. "היות ואין שום הגדרה ריגורוזית למושגים קו ונקודה כאקסיומות הילברט" אםא תה מגדיר כל מושג באמצעות מושגים אחרים, אתה צריך בסופו של דבר מושגי יסוד. "ישר" ו"נקודה" הם מושגי יסוד. זה מה שמאפשר לתהליכים מכאנים להגיע למסקנות לגביהם. *זאת* הגדרה ריגורזית. "להבין את מושג הקבוצה שלא במונחים של אוסף" אני לא יודע מה מונע _ממך_ להבין שאני לא רואה קבוצה כאוסף. קבוצה היא *מושג-יסוד* שכל מה שאני יודע עליו זה שהוא מקיים את ZF. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לאייל הצעיר שלום, תסכים איתי ודאי כי א.ווילס לא ענה בשנת 1993 על השאלה הפשוטה האם לפרמה היתה איזו תמונה ברורה של הוכחה למשפט שאין פתרון למשוואה a^n+b^n-c^n=0 עבור n>2 . מה שויקטור מציע וזה יפה בעיני! הוא להתבונן על המשואה בבסיס n ואז להראות כי באחת הספרות ( על פי מספר האפסים מימין במספר a+b-c ) להראות שהתאפסות אינה אפשרית. לגבי שאלתך אשמח אם תעבור אחרי הדיונים והעידכונים השוטפים באתר : אשמח ללמוד את הגישה שלו ביחד איתך. מתוך רצון שלי לתת חוות דעת מתמטית ברורה על העבודה שלו בחודש אוקטובר. אני עוקב בשמחה אחרי הדיאלוג עם דורון, בהרגשה שלי אתם אינכם רחוקים כלל זה מזה, אבל עדיין לא נפל אצלך האסימון ( אני מקווה שזה בסדר שאני נותן לך משוב כזה כמראה ולא כביקורת) כאשר תבין את העוצמה של שפת התודעה החדשה , שהנקודה והקו הם לא אוביקטים חיצונים לחקירה אלא בעצם צפני המורס המכוננים אותה, תבין באור חדש את המשמעות של המשפט " המשפט האחרון של פרמה " בכל מקרה, אשתדל לענות מחר לשאלות שהפנית קודם אלי. משה גן אדם |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צעיר יקר, אמור נא - כיצד ומדוע אתה מניח לשני מגלומנים אווילים כמו קליין ושדמי לפנות אליך בהתנשאות כה מופרכת, ועדיין ממשיך להתדיין אתם ולהזין בזה את הזיות הגורו שלהם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי זה סוג של מזוכיזם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כנראה. חבל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל, באור הערה של nickless והשימוש במילה אוילים אודה לך אם תקרא את הדיאלוג לזכרו של גלואה הקישור שלו במצורף: אילמלא מותו הטראגי בגיל 22 יתכן שגלואה היה מכליל את שיטת האיחוד שגילה לכל הבניות באמצעות סרגל ומחוגה אל ההבניה האורגנית של כל ענפי המתמטיקה. משה גן אדם אגב, הסבר קדום על אפקט הצבעים סביבון בנהים אפשר למצוא במקורות היהודים במאמר "קו ומידה" של ספר הזוהר אבל אשתף אותך בהמשך במקורות מלפני אלפי שנים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מר קליין היקר, אינני נזקקת ללינקים שלך כדי לדעת מי ומה היה גלואה. דבר אחד ברור: הוא לא היה אוויל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מר קליין היקר, אינני נזקקת ללינקים שלך כדי לדעת מי ומה היה גלואה. דבר אחד ברור: הוא לא היה אוויל. " אז תסבירי לי בבקשה איך אייל יכול לקרוא ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דיון 1009, שאלה מס' 1. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"צעיר יקר, אמור נא - כיצד ומדוע אתה מניח לשני מגלומנים אווילים כמו קליין ושדמי לפנות אליך בהתנשאות כה מופרכת, ועדיין ממשיך להתדיין אתם ולהזין בזה את הזיות הגורו שלהם?" nickless כדי לכתוב דברים אלה, את צריכה קודם כל להראות בבירור מדוע את מגיעה למסקנות הנ"ל (דבר שלא טרחת לעשות). אם אינך טורחת להסביר את תגובתך, אז כל מה שיש לי להגיד לך הוא: "הפוסל, במומו הוא פוסל". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מר שדמי היקר, לא הסברתי את דבריי כיוון שהם נראו לי מובנים מאליהם. אם לא - אסביר: 1. "מגלומנים" - מי שסבור ש*הפריך* את *כל* המתמטיקה עד היום, ובנה מתמטיקה חדשה ומובחרת, הוא מגלומן על פי כל קנה מידה. 2. "אווילים" - מי שאינו מבין שמונח כמו "קבוצה" הוא תלוי הגדרה, וכל עוד הגדרתו מאפשרת בנייה של ענף מתמטי יעיל ומעניין - אין כל משמעות לטענה שהיא *מוטעית* - ודאי שהוא אוויל. 3. "התנשאות מופרכת" - כי אתם מתייחסים לבחור אינטליגנטי, שיודע על מה הוא מדבר, כאילו עליו לעשות איזו קפיצה מחשבתית אדירה ואמיצה מאין כמוה כדי להבין טענות חסרות משמעות כמודגם ב-2. 4. "הזיות גורו" - משום שמיניתם עצמכם למורי הלכה בלי שאיש ביקש זאת מכם או רצה בכך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואתמול אף הסתבר לי גם כי אלון הזכיר פעם נוספת את דורון ביום כתבת המאמר וכינה אותו "טרחן כפייתי הזוי" אך ממש באותה תגובה הוא מזכיר את איאן סטיוארט המתמטיקאי הידוע . אם יש לך דעה כל כך נחרצת אני רוצה להציע לך לקרוא את עמוד 113 באפילוג של ספרו של איאן סטיואט המספרים של הטבע. ( בהוצאת הד ארצי) "...הזמן בשל היום ליצירת מתמטיקה חדשה..." אולי תביני כך שגל שינוי הפרדיגמה של שפת המתמטיקה הוא היום כלל עולמי והחל בשנת 2000 3 שנים לפני שאלון החליט לכתוב את המאמר. וטובי המתמטיקאים מתבטאים בפומבי על אפשרות שכזו הנובעת מפרשנות חיובית למשפט גדל. משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם משהו בדבריך מתייחס לתגובה 327541 ? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"1. "מגלומנים" - מי שסבור ש*הפריך* את *כל* המתמטיקה עד היום, ובנה מתמטיקה חדשה ומובחרת, הוא מגלומן על פי כל קנה מידה" אני מציע לך לקרוא בעיון רב את תגובה 327845 בכך תביני שאין מדובר כן בהפרכות למיניהם, אלא בשיטת התנהלות לא-תבונית של קהילת אנשים מסויימת מאז 1931. 2. "אווילים" - מי שאינו מבין שמונח כמו "קבוצה" הוא תלוי הגדרה, וכל עוד הגדרתו מאפשרת בנייה של ענף מתמטי יעיל ומעניין - אין כל משמעות לטענה שהיא *מוטעית* - ודאי שהוא אוויל. זהו הדבר שאינך מבינה והוא, שכל תורה משמעותית היא תלויית-תובנות כאשר ההגדרות הן צד טכני לחלוטין של ביטויי התובנות. ההגדרות אין בהם דבר ולא חצי-דבר ללא התובנות, ואי-ההבנה שלך בנקודה חשובה זו הינה תוצאה ישירה של תהליך החינוך "מקדש ההגדרות" שעברת באחד ממוסדות הקהילה המתמטית העכשווית, אשר היא היא הקהילה המרשה לעצמה להגדיר סייגים מסייגים שונים ומשונים לשפת המתמטיקה. את טוענת ששפת המהתטיקה היא עולם המכונן עצמו בהגדרה. אינני מסכים איתך ואני טוען ששפת המתמטיקה היא עולם המכונן עצמו בתובנה. 3". "התנשאות מופרכת" - כי אתם מתייחסים לבחור אינטליגנטי, שיודע על מה הוא מדבר, כאילו עליו לעשות איזו קפיצה מחשבתית אדירה ואמיצה מאין כמוה כדי להבין טענות חסרות משמעות כמודגם ב-2." את מוזמנת לקחת את מושג הקבוצה-המלאה ולבחון בעצמך את ההשפעות של קבוצה זו על מושג הקבוצה עצמו, על הלוגיקה, על אוסף אינסופי, על מושג הגבול, על מושג הפונקציה, על מושג המספר, על המושגים בדידיות ורצף, על מושג הסימטריה, על מושג האריתמטיקה, ועוד ועד ... אני אשמח לדון אתך בכל אחד מהנושאים הנ"ל. "4. "הזיות גורו" - משום שמיניתם עצמכם למורי הלכה בלי שאיש ביקש זאת מכם או רצה בכך." אף אחד לא ממנה ואינו יכול למנות את עצמו למורה הלכה של אף אחד אחר, כי כל אדם ריבון לעצמו ואינו צריך שום רב שיכתיב לו איך לחשוב, וזה כולל גם את קהילת המתמטיקאים המקצועיים. משום מה קהילת המתמטיאקים המקצועיים החליטה כי השיטה הדדוקטיבית היא השיטה האחת והיחיד להבין וליצור מתמטיקה ואת, משום מה, מקבלת בחפץ לב את ההגבלה השרירותית הזו על תודעתך. כפי שאני טוען, ערכה של תורה נובע מתובנותיה כאשר הגדרותיה אינן אלא כלי להצגת התובנות. קהילת המתמטיקאית הם קבוצת אנשים הסוגדת להגדרות שהם עצמם יצרו, ועוד הם מגדילים לעשות וטוענים והגדרות אלה "מנותקות מהם לחלוטין" וכי להגדרות אלה "יש קיום עצמאי משלהם" במנותק מיוצריהם. ואם במקום יצירה נאמר "מתמטיקאים מגלים, לא יוצרים" הריי שכאן אנו עוסקים במגלומניות לשמה של אנשים יודעי ח"ן אשר יש באפשרותם לחוש "עולמות אפלטוניים עליונים". כך או כך, גילוי או יצירה, קהילת המתמטיקאים העכשווית נמצאת בשבר אמיתי מאז עבודתו של גדל, ואינה מעיזה לעשות בדק בית לשיטה-הדדוקטיבית בכבודה ובעצמה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אנא הסבר מה ההבדל בין הטענה ש"קהילת המתמטיקאים לוקה בהתנהלות לא תבונית" לבין הפרכת העבודה המתמטית שלה. 2. שפת המתמטיקה, נכון להיום, היא בוודאי תלוית הגדרות. אתה סבור שהמצאת מתמטיקה חדשה שאיננה כזאת - שיבושם לך. אבל המתמטיקה היא המצאת האדם - אתה טוען כך בתוקף בעצמך - ומשום כך, כל עוד המתמטיקה הנלמדת והמיושמת היום בכל העולם היא מסוג X - אין כל טעם ומ שמעות לטענה שהיא מסוג אחר. 3. אין כל קשר בין תגובתך לבין טענתי. 4. כנ"ל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"1. אנא הסבר מה ההבדל בין הטענה ש"קהילת המתמטיקאים לוקה בהתנהלות לא תבונית" לבין הפרכת העבודה המתמטית שלה." הוכיחי נא כי עבודתי מופרכת אך לפני כו עייני נא ב-תגובה 327882 "2. שפת המתמטיקה, נכון להיום, היא בוודאי תלוית הגדרות" לא הבנת אותי. כל תובנה מחייבת מערכת הגדרות שיבטאו אותה בצורה המדוייקת ביותר האפשרית, אך אין זה משנה את העובדה הפשוטה שהתובנה היא לב העניין, כאשר ההגדרות הן אמצעי בלבד לביטוי התובנה. מערכת שמתחילה לעסוק בהגדרות ללא תובנות, איננה אלא משחק עקר מיסודו. "3. אין כל קשר בין תגובתך לבין טענתי. 4. כנ"ל.: הנה תגובתי שוב: 3". "התנשאות מופרכת" - כי אתם מתייחסים לבחור אינטליגנטי, שיודע על מה הוא מדבר, כאילו עליו לעשות איזו קפיצה מחשבתית אדירה ואמיצה מאין כמוה כדי להבין טענות חסרות משמעות כמודגם ב-2." את מוזמנת לקחת את מושג הקבוצה-המלאה ולבחון בעצמך את ההשפעות של קבוצה זו על מושג הקבוצה עצמו, על הלוגיקה, על אוסף אינסופי, על מושג הגבול, על מושג הפונקציה, על מושג המספר, על המושגים בדידיות ורצף, על מושג הסימטריה, על מושג האריתמטיקה, ועוד ועד ... אני אשמח לדון אתך בכל אחד מהנושאים הנ"ל. "4. "הזיות גורו" - משום שמיניתם עצמכם למורי הלכה בלי שאיש ביקש זאת מכם או רצה בכך." אף אחד לא ממנה ואינו יכול למנות את עצמו למורה הלכה של אף אחד אחר, כי כל אדם ריבון לעצמו ואינו צריך שום רב שיכתיב לו איך לחשוב, וזה כולל גם את קהילת המתמטיקאים המקצועיים. משום מה קהילת המתמטיאקים המקצועיים החליטה כי השיטה הדדוקטיבית היא השיטה האחת והיחיד להבין וליצור מתמטיקה ואת, משום מה, מקבלת בחפץ לב את ההגבלה השרירותית הזו על תודעתך. כפי שאני טוען, ערכה של תורה נובע מתובנותיה כאשר הגדרותיה אינן אלא כלי להצגת התובנות. קהילת המתמטיקאית הם קבוצת אנשים הסוגדת להגדרות שהם עצמם יצרו, ועוד הם מגדילים לעשות וטוענים והגדרות אלה "מנותקות מהם לחלוטין" וכי להגדרות אלה "יש קיום עצמאי משלהם" במנותק מיוצריהם. ואם במקום יצירה נאמר "מתמטיקאים מגלים, לא יוצרים" הריי שכאן אנו עוסקים במגלומניות לשמה של אנשים יודעי ח"ן אשר יש באפשרותם לחוש "עולמות אפלטוניים עליונים". כך או כך, גילוי או יצירה, קהילת המתמטיקאים העכשווית נמצאת בשבר אמיתי מאז עבודתו של גדל, ואינה מעיזה לעשות בדק בית לשיטה-הדדוקטיבית בכבודה ובעצמה. אשמח להבין מדוע אין כל קשר בין תגובתך לבין תגובותי ב-3 4 (ושוב אני מבקש ממך שקודם שתעשי זאת, עייני נא ב תגובה 327882) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אנא קרא בתשומת לב את תגובותיי לפני שאתה עונה עליהן. 2. כנ"ל. 3. כנ"ל. 4. כנ"ל. אשמח לדעת מדוע לדעתך יש קשר בין תגובותיך לתגובותיי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"קהילת המתמטיקאים העכשווית נמצאת בשבר אמיתי מאז עבודתו של גדל" לא, היא לא. (אתם מתעקשים לשכנע אותנו שכל מאמר שאלון כתב מדבר עליכם?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לא, היא לא." ועוד איך שכן, הרי אלון בכבודו ובעצמו מודה שהוא מכריע עם לעסוק בפיתוח מערכת X על סמך אמונה ולא על סמך לוגיקה. ראה נא את דיון 2396 הנה הם דבריו המפורשים בנושא: "כעת נקבל כמסקנה מוזרה ממשפט גדל שאם PA עקבית (וזוהי הנחת עבודה סבירה), אז גם Z עקבית (הוכחה: תרגיל לקורא). עכשיו לפנינו תורה עקבית Z שבה ניתן להוכיח את הטענה השקרית "PA איננה עקבית"! אין פה אסון, אלא אבחנה פשוטה שתורה עקבית אינה בהכרח נאותה, כלומר אינה מוכיחה רק משפטים אמיתיים. הנקודה החשובה היא שאם יש לנו סיבה להטיל ספק בעקביות (או בנאותות) של תורה מסויימת, הוכחה של עקביות זו בתוך אותה תורה לא תועיל בכלום – ממילא אנו מטילים ספק בתורה, אז מדוע שנאמין לה כשהיא מוכיחה שהיא עקבית? מצד שני, אם יש לנו סיבות טובות להאמין שתורה היא כן עקבית, חסרונה של הוכחת־עקביות־פנימית כזו לא צריך להפריע לנו כלל." בנוסף לשימוש באמונה, אומר אלון עמית את המשפט המדהים הבא: "אין פה אסון, אלא אבחנה פשוטה שתורה עקבית אינה בהכרח נאותה, כלומר אינה מוכיחה רק משפטים אמיתיים." הבנת את זה ברוך??? לאלון עמית יש אבחנה פשוטה שתורה *עקבית* איננה בהכרח נאותה. זאת אומרת שעיקביות איננה בהכרח עקבית במתמטיקה, ולזה אינך קורה משבר !!! אז שיבושם לך, לך בעקבות אלון עמית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, הבנתי. אתה פשוט לא יודע מה פירוש המונח המתמטי "תורה עקבית". אילו ידעת, לא היית נדהם כל כך. זה לא נורא שלא יודעים, אבל זה קצת טפשי להכריז על משבר-במתמטיקה-שלושה-סימני-קריאה רק כי אתה לא מבין את המונחים, אתה לא חושב? תורה עקבית היא תורה שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה וגם את שלילתה. למשל, התורה שיש לה אקסיומה אחת בלבד, "0=1", היא תורה עקבית לגמרי: היא מוכיחה משפט אחד בלבד, "0=1", ומכיוון שאינה מוכיחה את שלילתו, היא עקבית. כתורה של המספרים הטבעיים, היא לא נאותה. מה לעשות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"תורה עקבית היא תורה שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה וגם את שלילתה. למשל, התורה שיש לה אקסיומה אחת בלבד, "0=1", היא תורה עקבית לגמרי: היא מוכיחה משפט אחד בלבד, "0=1", ומכיוון שאינה מוכיחה את שלילתו, היא עקבית. כתורה של המספרים הטבעיים, היא לא נאותה. מה לעשות." המושגים שלך לעקביות לא ממש עקביים. כפי שהסברתי ואני חוזר ומסביר, מתמטיקה היא שפה המכוננת בתובנה ולא מכוננת בהגדרות טכניות שרירותיות. לכן "1=0" אינה יותר מאשר מערכת סימנים לניארית כגון "*&#" וכו'. ראה נא את ההנחה הסמוייה העומדת בבסיס הדוגמא שלך, והיא: אתה מניח מראש שמי שרואה את אוסף הסימנים "0=1" מסוגל להבין את התובנה שבבסיס ביטוי זה, ואז ורק אז אתה מסיק שיש לנו כאן ביטוי מתמטי שהוא מערכת אקסיומטית של אקסיומה אחת בלבד אשר מתוקף היותה הגדרה אקסיומטית היא חייבת להיות תקיפה במערכת זו אך כייוון שביטוי זה הוא הסתירה בהתגלמותה (אך מצד שני הגדרה אקסיומטית) הריי שאנו מקבלים כאן מן שיווי-משקל של "לא לבלוע ולא להקיא" או בקיצור "מערכת אקסיומטית תקנית שאין בה הכרעה" א) היות והמתמטיקה היא שפה המכוננת בתובנה ולא בהגדרה, אז אם התובנה שלי עוסקת בלוגיקה ברת-הכרעה הריי שהתובנה הזו אינה מאפשרת למערכת "1=0" להתקיים כלל ולכן אין כאן שום "מערכת עקבית שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה וגם את שלילתה" כי התובנה שלי איננה מאפשרת לסוג כזה של מערכות להתקיים במסגרתה. ב) אם התובנה שלי מאפשרת בפירוש קיומם של מערכות אקסיומטיות שאינן ברות-הכרעה, הרי שההגדרה האקסיומטית "1=0" עונה לתובנה הזו ואין שום בעיה של אי-נאותות כאן. לסיכום בעיית האי-נאותות אינה קיימת כלל והיא נובעת מאי-ההבנה הבסיסית שהתובנה היא בסיס המתמטיקה ולא ההגדרה השרירותית. כמו בכל תחום, העוסקים במלאכה חייבים להשתמש בתבונתם כבסיס לכל ולא בשום גחמות טכניות שרירותיות שלהם. כי סוף מעשה במחשבה תחילה, כאשר סוף מעשה הוא מערכת אקסיומטית נתונה, ומחשבה תחילה היא התובנה המכוננת שלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"תורה עקבית היא תורה שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה וגם את שלילתה." ומה עם מערכת אקסיומטית מבוססת על אקסיומה אחת בלבד המבוססת על סתירה עצמית? כגון: "0=1" , "אמת=שקר", "רצף=אוסף"," יום=לילה" , "עיקש=עקשן", "טיפש=חכם", וכו? איזה תובנה עומדת מאחורי קיומה ההכרחי של מערכת אקסיומטית המבוססת על אקסיומה אחת בלבד המבוססת על סתירה עצמית? או שמה תאמר, ההגדרה מחייבת ולא התובנה, כאשר אנו עוסקים בשפה פורמלית. ברוך, אתה טוען טענה תמוהה מאין כמוה והיא: שפה פורמלית הינה שיטה עיקבית להמענות תבונית בעת מתן הגדרות מכוננות. אם זו דרכך (ואכן הדוגמא שנתת אכן תומכת, לצערי, בטענותי) הריי שאני בר-מזל על שאינני שייך לקהילה המכוננת את עולמה בהגדרה, תוך הקפדה יתירה להמנעות מכל תובנה, כבסיס מכונן להגדרה. אשמך עד מאוד לתגובתך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין סתירה בטענה "0=1" כל עוד אנחנו לא יודעים שום דבר על משמעות המילים "1", "0", ו-"=". אתה, באופן פסיכולוגי, משייך לסימנים האלה את משמעות בתחום המספרים הטבעיים/שלמים/רציונליים/ממשיים/מרוכבים (ולכן מניח עליהם הנחות סמויות). זו שגיאה. בשדה Z_2, למשל, מתקיים "0=1+1". האם זו נראית לך סתירה פנימית? "שפה פורמלית הינה שיטה עיקבית להמענות תבונית בעת מתן הגדרות מכוננות" נכון. עכשיו השאלה שנותרה היא "למה זה טוב?". משחר ההיסטוריה חוקרים בני האדם את המספרים הטבעיים ואת הגיאומטריה (האוקלידית, כמובן) שלא מתוך גישה אקסיומטית. למה? כי זה מעניין. על זה אני חושב שאנחנו מסכימים. בהתחלה, הכלי העיקרי לחקר תחומים אלה היה צפייה, וניסיון למצוא חוקיות. הרבה שנים עברו עד שהחלו בני האדם להוכיח טענות. מתברר, שהוכחה היא כלי מאוד יעיל לחקר תחומים אלה. ככל שהשתכללה השיטה (למשל, כשאוקלידס שאל "מה הנחות היסוד שלנו"), גילו החוקרים, שהדרך הטובה ביותר לעסוק בהוכחות, היא הגישה הפורמלית. עד היום, מתמטיקאים עוסקים במערכות אקסיומות שמבוססות על מושגים שאנחנו "מבינים". ו(רוב )המתמטיקאים גם מאמינים שטענות שמוכחות ב-PA חלות על המספרים ה"אמיתיים". התובנה היא המטרה. הגישה הפורמלית היא כלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתמטיקה היא בסך הכל שפה, או למעשה, אוסף של שפות. השפות מאופיינות על ידי הגדרות פורמליות. עצם ההגדרות הפורמליות הופכות את השפות המתמטיות לשימושיות במיוחד לחקר דברים שאינם תלויים בתודעה. למשל, מתמטיקה שימושית בחקירה מדעית, בשימושים הנדסיים, בשימושים כלכליים, בשימושים סטטיסטיים וכו'. כשמדען בודק כמה זמן לקח לכדור ליפול ממגדל פיזה, הוא מודד זמן בשניות, ואם הוא מצליח לנסח חוק שיעזור גם למדען אחר לגמרי שנמצא במגדל שבמכון וויצמן לדעת כמה זמן יקח לכדור שלו ליפול, הרי שהוא מימש את מטרתו. אם לצורך העניין הוא השתמש במושג שהוא קרא לו ''קבוצה'' אבל היה צריך לקרוא לו אוסף, אם לצורך העניין הוא השתמש במספרים ממשיים, שהם לא מספרים אמיתיים, אם לצורך העניין הוא השתמש במושג הנגזרת שבטח גם היא לא מקובלת על מר שדמי, אז מה. העיקר שהמדען במכון וויצמן יודע בדיוק באיזה מושגים השתמש המדען שבפיזה, יודע מה המשמעות שלהם, ואיך להשתמש בהם בשביל לחשב את התוצאה הסופית, מספר השניות שיקח לכדור ליפול. לצורך זה, מספר הוא הדבר שמראה השעון. בשביל לחקור תובנות ותודעות ושאר ירקות, כדאי להשתמש בשפות לא פורמליות, שפות תלויות תודעה. ולא צריך להמציא שפות כאלה, כבר המציאו אותן, עברית, אנגלית, ערבית, צרפתית, גרמנית, רוסית... וגם המחקר שלהם לא מחכה לדורון שדמי שיבוא ויגאל אותן, כבר היום קיים תחום מחקר שלם, קוראים לזה מדעי הרוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המטרה היא לא "תובנה" 330569 סמיילי (יום ראשון, 18/09/2005 שעה 15:22) מתמטיקה היא בסך הכל שפה, או למעשה, אוסף של שפות. השפות מאופיינות על ידי הגדרות פורמליות. עצם ההגדרות הפורמליות הופכות את השפות המתמטיות לשימושיות במיוחד לחקר דברים שאינם תלויים בתודעה." אנא סמיילי הדגם נא איך ניתן להגדיר הגדרה פורמלית ללא שימוש כלשהו בתודעה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנא דורון, מצא מקום בו כתבתי שלא ניתן או שכן ניתן להגדיר הגדרה פורמלית ללא שימוש כלשהו בתודעה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המטרה היא כמובן לא *חקר* התודעה. משפט מתמטי הוא מעניין אם אנחנו מרגישים שאנחנו "מבינים" אותו כיותר מסדרה סופית של סימנים באלפבית מסוים. גם מערכות האקסיומות "מעניינות" אם הן מלמדות אותנו משהו שאנחנו "מבינים" כיותר מסדרה כזו 1. מערכות האקסיומות המעניינות נבנות ככה שילמדו אותנו משהו על מושגים שאנחנו מבינים באופן אינטואיטיבי. לכן, הטענה של דורון שהגישה האקסיומטית הפורמלית מוציאה את ה"תבונה" (כלומר, את הקשר בין השפה הפורמלית למשהו מעניין) מהמתמטיקה איננה נכונה. כמובן שאין פה שום עניין של חקר התודעה, פונקציות גישור ועוד כהנה וכהנה. מעבר לאי ההבנה בקשר למשמעות המשפט שבכותרת, נדמה לי שדבריך לא סותרים במילה אחת את דבריי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אין סתירה בטענה "0=1" כל עוד אנחנו לא יודעים שום דבר על משמעות המילים "1", "0", ו-"="." שוב אתה משחק את משחק ה"לא-יודע שאני יודע", כי האקסיומה שנתן ברוך מבוססת על הידיעה של 1,0 -+=. "ככל שהשתכללה השיטה (למשל, כשאוקלידס שאל "מה הנחות היסוד שלנו"), גילו החוקרים, שהדרך הטובה ביותר לעסוק בהוכחות, היא הגישה הפורמלית." כל שפה (פורמלית או לא) אשר אין תובנה בבסיסה איננה אלא כלי ריק בבחינת "איסטרא בלגינה קיש קיש קרייא (תרגום מארמית: אבן בחבית ריקה עושה הרבה רעש). איזה השתכללה ואיזה בטיח? היום כאשר אנו על סף חקירה של מערכות מורכבות באמת, אנו רואים עד כמה טריוויאלית היא שיטת הלוגיקה הבינרית העומדת בבסיס השיטה האקסיומטית, אשר תקיפותה נבחנת עדיין עפ"י כללי השחור/לבן של אמת או שקר. אין ביכולתה של מתודה טריוואלית זו לעסוק במורכבות ה"צבעונית" של מרחב התודעה שלנו, ורוב המורכבויות הביולוגיות הן מחוץ לטווח שלה. "עד היום, מתמטיקאים עוסקים במערכות אקסיומות שמבוססות על מושגים שאנחנו "מבינים". ו(רוב )המתמטיקאים גם מאמינים שטענות שמוכחות ב-PA חלות על המספרים ה"אמיתיים"." אכן עד היום מתמטיקאים תקועים במושגים שהוגדרו לפני 2500 שנה, והדוגמה הקלאסית לכך היא "הבנתם" את המספרים הטבעיים, באופן המנותק לחלוטין מהתובנות החדשות המכוננות מספרים אלה. בקיצור, על מה אתה מדבר בדיוק? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. האם הטענה "0=1+1" נראית לך כסתירה? (לי לא רק שהיא לא נראית כסתירה, אני *יודע* שהיא נכונה. בשדה Z_2, כמובן.) ב. כמו שאמרתי, רוב השפות הפורמליות המעניינות הן אכן "שיקוף" של מושג אינטואיטיבי. קשה לומר שאין "תבונה" בבסיסן. [הערת אגב שולית לחלוטין: נדמה לי ש"איסטרא בלגינא" זה מטבע בכד, לא אבן בחבית.] ג. למה אתה משתמש בלוגיקה הבינארית שעבר זמנה? אולי [0=1] זו לא סתירה, אלא טענה חצי נכונה? רגע, אם הטענה [[0=1] חצי נכונה] נכונה או לא נכונה, אז ניתן להציג את כל הלוגיקה הרב-ערכית באמצעות טענות בלוגיקה בינארית, אז אולי הטענה [[0=1] חצי נכונה] היא רבע נכונה? אבל מה עם הטענה [הטענה [[0=1] חצי נכונה] היא רבע נכונה]... (בקיצור, אני לא מסוגל לעבוד עם לוגיקה *באמת* שונה.) ד. עדכן אותי: מה התובנות החדשות המכוננות את המספרים הטבעיים? (כן, אני מכיר את העמוד שאליו אתה עומד לשלוח אותי. יכול להיות שיש שם רעיונות מתמטיים מעניינים, אבל למה לקרוא להם "מספרים"?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"א. האם הטענה "0=1+1" נראית לך כסתירה?" לא, זוהי תוצאה תקנית באריתמטיקת-שעון, אבל אין זה קשור כלל וכלל לטענתו המקורית של ברוך, בה הוא משתמש ב-"0=1" כאשר משמעות הסימנית ויחסיהם ידועה היטב. "רוב השפות הפורמליות המעניינות הן אכן "שיקוף" של מושג אינטואיטיבי." נו, אז תגיד לי אתה, בשביל מה צריך את כל המשחקים המקדימים (שבמקרה זה הם מיותרים לחלוטין) של המנעות מהתובנה העומדת בבסיס הגדרה פורמלית, אם הגדרה זו הינה ריקה מתוכן ללא התובנה המכוננת שלה? "ב. למה אתה משתמש בלוגיקה הבינארית שעבר זמנה?" אני משתמש בלוגיקה-משלימה שהיא אינה לוגיקה בינרית ואף לא לוגיקה עמומה (הדוגמאות שאתה נתת מבוססת על לוגיקה עמומה של מצבי-ביניים בין אמת לשקר). "עדכן אותי: מה התובנות החדשות המכוננות את המספרים הטבעיים?" דרגות הסמטריה הפנימיות הקיימות בתוך כל n>2 , ואשר המתמטיקה הרגילה משתמשת רק בדרגת הסימטריה השבורה לחלוטין של כל מספר טבעי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"בה הוא משתמש ב-"0=1" כאשר משמעות הסימנית ויחסיהם ידועה היטב" ההפך. הוא בדיוק דיבר על שפה שעליה אנחנו לא יודעים *כלום*. "בשביל מה צריך את כל המשחקים המקדימים" למשל, כי אני לא יודע דרך אחרת להיות בטוח שמשהו שנראה כמו קבוצה הוא באמת קבוצה, חוץ מלבנות אותו ב-ZF (וגם אז, אני *כמעט* בטוח, לא בטוח לחלוטין). אני לא מכיר הגדרה מספקת למונח האינטואיטיבי "קבוצה" (כזו שלא נופלת לפרדוקסים). ספר לי קצת על התכונות של הלוגיקה המשלימה, בבקשה. א. תוכל גם להסביר, בלי להפנות אותי לדף שאני מכיר כל כך טוב, מה הן דרגות סימטריה של מספר? ב. נגדיר "מרפס" כמחלקה של כל דרגות הסימטריה של n כלשהו. כל דרגות הסימטריה של 2 יהיו מרפס2, כל דרגות הסימטריה 3 יהיו מרפס3, וכו'. כמובן, שניתן להגדיר חיבור, כפל וכו' על המחלקות (ע"פ הגדרת החיבור והכפל הרגילים). מה דעתך על תורת המרפסים? תחום מעניין או לא? תבוני או לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העדפתי את המרפסים של קונווי שעליהם סיפר אלון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממנו גנבתי את השם. בכל מקרה, כפי שוודאי הבנת, מאחר שדורון קורא לעצים שלו ''מספרים'', אני קראתי ''מרפסים'' למחלקות שהן בעצם המספרים הטבעיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו-כן כדאי לך לעיין בתגובתי הישירה לחלקים נבחרים ממאמרו של אלון עמית בתגובה 330598 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1) ולפני גדל, מתמטיקאים כן הסתמכו על לוגיקה בבחירת התחום אותו יחקרו? 2) בוא נעזוב לרגע בצד את העקביות, ונדבר על *הנחות עבודה* אחרות של מתמטיקאים ושל בני אדם בכלל: - תזת הנאותות: מתמטיקאי שחוקר את תורת המספרים מקבל כהנחת עבודה את העובדה שהאקסיומות שאיתן הוא עובד אכן מתקיימות לגבי המספרים הטבעיים האמיתיים 1. - תזת צ'רץ'-טיורינג: מתמטיקאי שחוקר בתחום החישוביות מניח שאין טעם לחקור מודלים חישוביים חזקים ממכונת טיורינג. על כן הוא מכלה את ימיו בהוכחה שפונקציה כזו וכזו לא ניתנת לחישוב, דווקא במכונת טיורינג. - תזת הצורך לקום בבוקר: אני מניח שאם אני לא אקום בבוקר מהמיטה, צרכיי לא יסופקו כולם ע"י אלוהים. לכן אני מוותר על הרצון להשאר כל ימי במיטה. - תזת המטריקס: אני מניח שאני אכן חי את חיי, ולא חי במטריקס ששולטת במה שאני רואה, וגורמת לי לחשוב שהבנתי הוכחות, שהיו למעשה רצף של סימנים אקראיים. הנחה זו מאפשרת לי לתפקד באופן נורמלי, ואף לעסוק במתמטיקה. ככה זה. בני אדם מניחים הנחות עבודה כל הזמן. כך אנחנו מקבלים החלטות. גם ההחלטה על איזה תחום מתמטי נחקור כוללת הנחות עבודה שונות, לרבות "תזת המטריקס". 3) עושה רושם שאתה נותן למשפט אי השלמות השני של גדל יותר מדי משמעות. נדמה לך שלפני ימיו של גדל חשבו שניתן להוכיח (באופן משכנע) את עקביות PA ב-PA, ואחרי גדל לא. למעשה, המשפט השני הרבה פחות מעניין מהראשון. הוא כמעט קוריוז: אם ניתן להוכיח שהמערכת עקבית, נובע מכך שהיא לא עקבית. בהקשר הזה כדאי לך לקרוא בעצמך את דבריו של אלון שאתה כל הזמן מצטט: "הנקודה החשובה היא שאם יש לנו סיבה להטיל ספק בעקביות (או בנאותות) של תורה מסויימת, הוכחה של עקביות זו בתוך אותה תורה לא תועיל בכלום – ממילא אנו מטילים ספק בתורה, אז מדוע שנאמין לה כשהיא מוכיחה שהיא עקבית? מצד שני, אם יש לנו סיבות טובות להאמין שתורה היא כן עקבית, חסרונה של הוכחת־עקביות־פנימית כזו לא צריך להפריע לנו כלל." אגב, ניתן בהחלט להוכיח עקביות של מערכות אקסיומות במערכות אקסיומות אחרות. זה מה שעושים בשיטת הכפיה, כדי להוכיח אי-כריעות של טענות. הבעיה היחידה, היא שתמיד נצטרך להאמין במשהו. מצד שני, גם אם היינו בטוחים שהמתמטיקה עקבית לחלוטין, עדיין היו לנו הנחות עבודה אחרות בהן היינו צריכים להאמין. 4) תורה עקבית איננה בהכרח נאותה. נכון מאוד. אני אפילו יכול לתת לך הוכחה כמעט קונסטרוקטיבית: מתמטיקאים עוסקים בשלוש גיאומטריות: של אוקלידס, של לובצ'בסקי ושל רימן. לפחות שתיים מהן לא נאותות לגבי נקודות וישרים אמיתיים 2. אז? 5) על מה אתה מדבר כשאתה אומר "עיקביות איננה בהכרח עקבית במתמטיקה"? מה המשמעות של המשפט הזה? אתה יכול להיות לא ברור כשאתה מדבר בשפה שלך. בשפה שלנו אנחנו כבר יודעים מה אפשר להגיד ומה לא. 1 אם יש, בכלל, מספרים טבעיים אמיתיים. 2 אם יש, בכלל, נקודות וישרים אמיתיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"על מה אתה מדבר כשאתה אומר "עיקביות איננה בהכרח עקבית במתמטיקה"? מה המשמעות של המשפט הזה?" מאוד פשוט: אין למתמטיקאים שום בעיות לרוקן מילים מתוכנן המקורי ולכפות אליהם מושגים בעלי משמעות הפוכה כגון: רצף מתואר במושגים של אוסף אלמנטים מובחנים. EACH ו-ALL יש להם אותה משמעות במושג כמת-אונברסלי. עיקביות איננה בהכרח נאותה (ראה את תגובתי לברוך בתגובה 328402 לסדרה אינסופית יש גבול, וכו'. אני טוען שזילות כזו בשפה פשוט לא תיתכן במערכת הטוענת להגדרות ריגורוזיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המתמטיקה בנויה מהגדרות ריגורוזיות *בגלל* שהיא לא מתבססת על העמימות שבשפה, דבר שאתה עושה כל הזמן. הסיבה שקוראים לחבורה "חבורה" ולא "שפריכצניק" היא כי מתמטיקאים, בסופו של דבר, הם בני אדם (כך אומרים). גם הם צריכים לנסח טענות ולתקשר בקלות. לכן הם בוחרים מילים שבקלות מתחברות להם אסוציאטיבית למושג הפורמלי. אף מתמטיקאי שרואה ברחוב חבורה של אנשים לא מחפש את היחידה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני רוצה למחות. אני חיפשתי את האחת והיחידה בכל חבורה שרק נתקלתי ובכל חוג שרק ראיתי (את האפס היה לי קל למצוא). אבל, האם אני ראוי להקרא מתמטיקאי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המחאה שלך מוצדקת. אני חוזר בי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אף מתמטיקאי שרואה ברחוב חבורה של אנשים לא מחפש את היחידה." מה, מתמטיקאים הם לא בני אדם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 318070. (בתקווה שגדי לא יצרח.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מערכת שמתחילה לעסוק בהגדרות ללא תובנות, איננה אלא משחק עקר מיסודו." אפשר דוגמה למערכת שכזו? (ולא, תורת הקבוצות של קנטור אינה כזו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כפי שאני טוען, ערכה של תורה נובע מתובנותיה כאשר הגדרותיה אינן אלא כלי להצגת התובנות." אתה די צודק. מתמטיקאים מסיקים משמעויות "אמיתיות" מטענות מתמטיות. גדל, למשל, לא מוכיח ב-PA ש-PA לא שלמה. הוא בונה ב-PA מערכת "תאומה" של PA שזהה לה, ומוכיח שהיא זו שלא שלמה. אנחנו מסיקים מכך את המסקנה ש-PA לא שלמה 1. זה לא באמת היקש מתמטי. דוגמה אחרת, מובהקת יותר: כאשר אנחנו מוכיחים טענה מסוימת, אנחנו מניחים שהשלילה שלה לא ניתנת להוכחה. הבעיה היא שההגדרה הכללית למערכת אקסיומות מגדירה רק טענות "נכונות", ואין בה דבר כזה "טענה לא נכונה". "לא" זה מושג שהוא חלק מהשפה של מערכת האקסיומות, ואין לו שום מהות מעבר לזה. כדי להסיק שהשלילה של משפט לא נכונה, אנחנו משתמשים בהנחת-עבודה שאומרת שאין טענה שניתנת להוכחה, וגם שלילתה ניתנת להוכחה. זו תזת העקביות. באופן כללי, מתמטיקאים אכן מגדירים לרוב מושגים שיתאימו לאובייקטים שהם מכירים מהחיים. בגלל זה מתמטיקאים עוסקים ב"ישרים" ו"נקודות", למשל, ולא ב"טריגולים" ו"אפינגוסים". מתמטיקאים גם אכן "מתרגמים" משפטים מתמטיים למסקנות על החיים. אבל הדרך שבין ההגדרות והאקסיומות למשפטים היא טכנית לגמרי. 1 אם כי בוודאי ניתן להוכיח את הטענה הזאת במערכת אקסיומות מקובלת אחרת, "חיצונית" ל-PA. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"זה מה שמאפשר לתהליכים מכאנים להגיע למסקנות לגביהם. *זאת* הגדרה ריגורזית." אין דבר כזה תהליכים מכאניים, כי בסוף או בתחילת הדרך יש תודעה שיוצרת/מפרשת אותם. אתה אינך יכול להתבונן על סוכן מכאני שהוא שלוחה שלך ולהגיד שאין לך שום קשר או השפעה על תוצריו. זה בדיוק כמו לא לזהות את בבועתך שלך בראי שאתה יצרת. ואני מניח שאתה מודע לכך שאחד מהמבחנים של תבונה הוא יכולתה לזהות את בבועתה בראי כשייכת לה. יצורים לא תבוניים מזהים את בבועתם כיישות שאינה קשורה אליהם, ואתה נוקט בדיוק בגישה לא-תבונית זו ע"י הסברך המכאניים להגדרה ריגורוזית. זוהי עוד הדגמה לכשל הבסיסי הטמון בשיטת החשיבה הדדוקטיבית, המנסה להעניק מעמד אובייקטיבי (מה שאתה מכנה מכאני או "ללא מגע יד אדם") לתוצריה של התודעה האנושית. אתה כראה אינך קולט עדיין שהגדרה איננה אלא אמצעי כדי להגיע לתובנה, כאשר התובנה היא הדבר המעניק את המשמעות והערך לשיטת חשיבה נתונה. בעניין הישר והנקודה, אני לא רואה שאתה מבדיל ביניהם ברמה היסודית ביותר, שהיא הרמה הלוגית, ואם אינך מבדיל ביניהם ברמה הלוגית, אתה משתמש בהם ללא-תבונה, כאשר "ללא-תבונה" שקול ל"שימוש מכאני" במושגים, ואתה עוד מגדיל לעשות ומשבח את המכאניות הזו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון היקר, מאז שאני מכיר אותך ( יותר מ 3 שנים) לא הצלחת לעורר אפילו אדם אחד באמת לנושא שלך/שלנו באמצעות שיחות באינטרנט. ושוחחת על מתמטיקה עם מאות ואולי אלפי אנשים מכל רחבי העולם. רציתי רק לשאול אותך, מדוע אתה בכל זאת ממשיך לנסות ? שלך משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יוצא נשכר מהקשר עם תודעות אחרות. למעשה אין, לדעתי, דרך אחרת לפתח נושא זה באופן משמעותי ועמוק ללא מפגש עם החיים באשר הם. לצערי, חוץ ממך, אין כרגע אף אדם שמבין לאשורו את הרעיונות הפשוטים שאני מעלה בקשר לשפת-המתמטיקה והשפעתה על התודעה האנושית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני מרגיש שאני מרוויח מהשיחות עם שניכם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל: גם אני מרגיש שאני מרוויח מהשיחות עם שניכם. תודה לך אייל ! אנחנו בטח מרויחים מהנוכחות שלך איתנו משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל צעיר, ברגע זה עשית אותי מאושר. תודה לך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על לא דבר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה לך דורון על תשובתך הכנה לשמחתי אתה האדם היחיד ( וזה לצערי כמובן ) שאני מכיר שאפשר לדבר איתו באמת על הדברים |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו גישה מעניינת. אני מודה: אני לא יכול ממש לדחות אותה. אני יכול רק לציין שיש לי *הרגשה* שאלגוריתם הוא מושג "מספיק" חיצוני לי, ושזו מעין הנחת עבודה שלי בעולם. בכל אופן, זו לדעתי התגובה הכי מעניינת בשיחות איתך עד עכשיו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל צעיר, המתמטיקה-המונדית חוקרת למעשה את הקשר שביו התודעה של המתמטיקאי למושאי תודעתו כאשר מושאים אלה מכונים בשמות כמו, אקסיומה, מספר, אריתמטיקה, פונקציה, נקודה, קו, אינסוף, מלאות, ריקנות, אוסף, קבוצה, גבול, פרופורציה, יתירות, אי-וודאות, סדר, אי-סדר, אקראיות, היזון-חוזר, מורכבות, דינמיקה, פשטות, סימטריה עוד ועוד. שיטת מחקר זו משתמשת בסימטריה ככלי יסודי ומנסה בעזרתה לזהות תשתית-אורגנית המאפשרת שילובן של המושאים הנ''ל בדרך שתעצים את יכולתה של התודעה העוסקת בהם, תוך שימת דגש על תובנה מונחית אבולוציה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה דווקא סימטריה היא כלי כל כך יסודי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי זהו הכלי המתאים ביותר לחקור את הקשרים העמוקים שבין פשטות למורכבות, לפחות מתוך ניסיון אישי שלי ב-25 שנים שאני עוסק בפיתוח רעיונותיי. ב-4 השנים האחרונות התחלתי לשתף אחרים ברעיונותיי דרך ה-Internet , דבר שנתן תנופה משמעותית ביותר לתהליך הפיתוח. לפני כ-3 שנים הכרתי את משה (שגם הוא עוסק במקביל בפיתוח בפיתוח רעיונות בעלי השקפה דומה) דרך תווך של צבי ינאי, ומאז אנו משתפים פעולה זה עם זה, וזה פשוט נהדר לעבוד ביחד. בעניין הסימטריה: מלאות מוחלטת או ריקנות מוחלטת הם מצבי הסימטריה האולטימטיביים שאינם נגישים לשום שפה. ביניהם קיים מושג האוסף, שהוא תוצר החבירה בין מצבי קיצון אלה. האוסף ניתן למיון עפ"י דרגות הסימטריה הפנימיות, המתקיימות בין אוסף לרצף, כאשר דרגת הסימטריה הגבוהה ביותר של חבירה זו מתוארת כסופר-פוזיציה של כל מצבי החבירה האפשריים (בהינתן כמות סופית ידועה) העוברת ממצב מקבילי מלא לסימטריה שבורה סידרתית. המספר הטבעי הרגיל מתואר רק שמונחים של סימטריה שבורה סידרתית. מצב הסופר-פוזיציה מתואר במונחים של יתירות ואי-וודאות, כאשר אני משתמש במודל שבירת הסימטריה, כדי לתאר את התפתחות תכונת ההפנייה-העצמית של מערכת נתונה לעצמה, כבסיס לתיאור התפתחותה של תודעה. ראה נא את השימוש שאני עושה ברעיונותיי כדי להסביר את תופעת האנטרופיה, והקשר שלה להתפתחות מערכות מורכבות המודעות לעצמן: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה ריקנות מוחלטת לא נגישה לשום שפה? נראה שרצף הסימנים "{}" מתאר אותה היטב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"למה ריקנות מוחלטת לא נגישה לשום שפה? נראה שרצף הסימנים "{}" מתאר אותה היטב." תיאורו של דבר אינו הדבר עצמו, או במקרה זה, תוכנה של הקבוצה הריקה (הריקנות) אינו שקול לקבוצה-הריקה, והמתמטיקה משתמשת בקבוצה-הריקה ואיננה יכולה להשתמש בריקנות עצמה, כי הריקנות עצמה אינה יכולה לשמש כקלט בשום שפה (פורמלית או לא-פורמלית). מצב דומה נגזר גם על מושג המלאות המוחלטת, שהיא המושג ההופכי לריקנות המוחלטת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון טעות: רצף הסימנים "" מתאר אותה היטב. אגב, בתחום החישוביות קלט ריק הוא לגיטימי לחלוטין, ואפילו משמש בהגדרות שונות. למרות שבהקשר הזה ניתן לומר, שהקלט הוא מחרוזת ריקה, ולא ריקנות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה אתה אומר, אפס תפוחים זהה לאפס תפוזים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי כן. (חסר לך שהשאלה הבאה תשווה בין 0 מעלות צלזיוס ל-0 מעלות פרנהייט.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה הזו כבר נדונה ב- http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=19&... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתוך הדיון: I am currently trying to find the CIP for C ( Life and Not Life) unit x . אכן תמונות קשות. את האתר של זים הגשתי ל crack.net ונראה מה יוליד יום.
As kind of an exercise in my own theory. See my poem on this subject: http://www.zimmathematics.com/htm/LifeDeath.htm Do you have a solution for this expression ???? ---- |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חוץ מזה, חלפו מעל ל 3 שבועות מאז שזים הוגש לעיון crank.net ועדיין אין תשובה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב 7 לאוקטובר, אתר "המתמטיקה של זים" דורג ברשימת האתרים ה crank-ים באתר crank.net . בכך הוא מצטרף לעבודתו של דורון שדמי. הדירוג של האתר של זים הוא bizarre : נמוך יחסית בסקאלת ה crank-יות בהשוואה לעבודה של דורון שדמי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, מקש ה-BLANK הוא תו לכל דבר וענין, אך אני מדבר על הריקנות לכשעצמה, שאין בה בתוכה דבר היכול לשמש כקלט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא מדובר על מקש ה-BLANK כקלט. להפך - בהגדרה של מכונת טיורינג מקש ה-BLANK מסמן "פה זה כבר לא הקלט". הסיפור מאוד פשוט: מ"ט משתמשת, כידוע, בסרט עם אינסוף מקומות לתווים. בתחילת הפעולה של המ"ט, המשבצות הראשונות בסרט מכילות את הקלט, ושאר המשבצות מכילות BLANKS. הקלט מוגדר בתור מה שלפני ה-BLANKS. מ"ט רצה על קלט ריק, כאשר אין שום דבר לפני ה-BLANKS. כלומר, כאשר כל הסרט מכיל רק BLANKS. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במצב ריקנות אין לא אתה ולא אני ולא מכונת-טיורינג ולא סרט ולא מידע או אי-מידע על סרט וכו'. אני מקווה שאתה מבין למה אני מתכוון (תיאור זה מתאים גם למצב מלאות מוחלטת). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מבין למה אתה מתכוון. אגב, אני צודק שבמצב כזה כל טענה נכונה, וגם שלילתה נכונה? בכל אופן, ככה תמיד תיארתי לעצמי את ה"תוהו ובוהו" התנ"כי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במצבים עצמיים (מלאות מוחלטת או ריקנות מוחלטת) אלה לא קיימת שום דואליות ולכן שום דבר לא יכול להבחן מול היפוכו. התודעה שלנו מתקיימת במימד עמוק יותר, המסוגל ליצור הלכה למעשה, חבירה בין מלאות מוחלטת לריקנות מוחלטת ולהגדיר ולסדר את תוצרי החבירה בהתאם לדרגות הסימטריה הפנימיות שלהם, המתקיימות בין מצב סימטרי-מקבילי בעל יתיריות ואי-וודאות מכסימלית (הסגורה תחת קרדינל סופי) למצב לא-סימטרי-סדרתי הנעדר כליל יתירות ואי-וודאות. המספרים הטבעיים של המתמטיקה הרגילה מוגבלים רק ואך ורק למצב לא-סימטרי-סדרתי הנעדר כליל יתירות ואי-וודאות, וזאת כתוצאה ישירה של הגדרת תוכן קבוצה כאשר יתירות ואי-וודאות אינן תכונות שלה (לדוגמא:{a,a,b}={a,b}), ומצב לא-סימטרי-סדרתי זה למעשה הוא המאפיין היסודי של R . R היא למעשה ה"צל" של מערכת המספרים של המתמטיקה-המונדית (המבוססת על כל תבניות המידע הסדורות שבין אי-מובחנות מכסימלית למובחנות מכסימלית) , ולוגיקת האמת/שקר אינה אלא מקרה פרטי של הלוגיקה-המשלימה שבין אמת___שקר (כאשר אמת XOR שקר הוא מקרה פרטי וקיצון שלה). ברגע שמתחילים להבין את היקפה, עושרה ועומקה של הלוגיקה-המשלימה ומשבצים את לוגיקת האמת/שקר במקומה הפרטי המתאים, נחשפת לראשונה הטריוויאליות של המתמטיקה הרגילה, אשר מערכת האקסיומות שלה מוגבלת רק ואך ורק ללוגיקת האמת/שקר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"תיאורו של דבר אינו הדבר עצמו, או במקרה זה, תוכנה של הקבוצה הריקה (הריקנות) אינו שקול לקבוצה-הריקה, והמתמטיקה משתמשת בקבוצה-הריקה ואיננה יכולה להשתמש בריקנות עצמה, כי הריקנות עצמה אינה יכולה לשמש כקלט בשום שפה (פורמלית או לא-פורמלית)." אם "תיאורו של דבר אינו הדבר עצמו", אז כל "דבר" אינו נגיש לאף שפה, ואי-הנגישות איננה נחלתן הבלעדית של הריקנות-המוחלטת והמלאות-המוחלטת, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אם "תיאורו של דבר אינו הדבר עצמו", אז כל "דבר" אינו נגיש לאף שפה, ואי-הנגישות איננה נחלתן הבלעדית של הריקנות-המוחלטת והמלאות-המוחלטת, לא?" יש פסוק יפה בתנ"ך האומר: "וידע אדם את חווה". במילים אחרות הידע המתואר לעיל לא היה תאורטי אלא מעשי לעילא ולעילא (אחרת, לפי התנ"ך, לא היינו כאן כדי לדון ביננו באייל-הקורא). אי-ההבחנה שבין מודל-תאירוטי של דבר, לדבר עצמו יוצרת בלבול רב בעיקר בתחום מופשט כמו מתמטיקה "טהורה", שבה ניתן להחליף בטעות בין יצוגו של מושג למושג עצמו. הקבוצה-הריקה הינה ייצוגו של מושג הריקנות, ולא הריקנות עצמה. במצב הריקנות עצמה איננו קיימים כלל כדי לדון במושג הריקנות, וגם מושג הקבוצה עצמו אינו קיים כלל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם זו הגישה שלך, אזי הענף שאתה עוסק בו נקרא ''מיסטיקה'' וודאי שלא ''מתמטיקה''. אולי זו הסיבה שקשה לך להסביר את הגישה שלך למתמטיקאים, הם הרי מצפים ל... מתמטיקה. אולי בקהלים אחרים תהיה לך הצלחה רבה יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי. גם עם מתמטיקאים הייתי מנהל את השיחה באופן שונה. מתמטיקאים הרבה פעמים מתעניינים בפילוסופיה של המתמטיקה (ומעל דפי ה''אייל'' היו כבר דיונים מרתקים בנושא הזה). לך יש הרבה מה לומר בנושא הזה. אולי כדאי להתחיל מהפילוסופיה ולא מהמתמטיקה שאתה גוזר ממנה. לי אישית היה הרבה יותר קל (וכיף) לדבר כשעברנו מהנושא המתמטי לנושא הפילוסופי (שעסק גם בפילוסופיה של המתמטיקה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם זו הגישה שלך, אזי הענף שאתה עוסק בו נקרא "מיסטיקה" וודאי שלא "מתמטיקה". מתמטיקה היא לא פחות ולא יותר ממה שרוב קהילת המתמטיקאים בוחרת להגדיר כמתמטיקה, או במילים אחרות, המתמטיקה היא לא פחות ולא יותר מאשר אוסף שיטות חשיבה מוסכמות בין קהילת אנשים העוסקת לפרנסתה בשיטות חשיבה אלה. בחרתי לחקור את מושגי-היסוד של שיטות חשיבה אלה ללא ההמנעות המלאכותית שבה נוקטת קהילת המתמטיקאים העכשווית, מתכונות יסוד הכרחיות הקיימות בתודעתנו ומאפשרות לנו לעסוק במתמטיקה. אין כאך שום איזוטריקה או מיסטיקה, אלא נהפוכו, יש כאן שימוש בכילים מתמטיים כדי לחקור את הקשר שבין תכונותיה ההכרחיות (והלא אישיות) של תודעה לגלות/ליצור מתמטיקה, לבין מושאיה ותוצריה של שפה זו והשפעתם על התודעה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית כל, ההגדרה שלך למתמטיקה ממש מקוממת. שנית, ''שימוש בכילים ... והשפעתם על התודעה'' זו ממש מיסטיקה. אם תתעקש אפשר אולי לקטלג זאת תחת פסיכולוגיה, אבל מתמטיקה זה לא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ראשית כל, ההגדרה שלך למתמטיקה ממש מקוממת. שנית, "שימוש בכילים ... והשפעתם על התודעה" זו ממש מיסטיקה. אם תתעקש אפשר אולי לקטלג זאת תחת פסיכולוגיה, אבל מתמטיקה זה לא." לא דיברתי על יופיה וחשיבותה של המתמטיקה בחיינו. כן דיברתי על נסיונותיה של קהילת אנשים לכפות את הגדרתם לשפת המתמטיקה. אני בהחלט מדבר הפרדיגמה המלאכותית שנהוגה בין קהילת המתמטיקאים בעולם, המתעלמת מתכונות קוגניטיביות של תודעתם, כמו זיכרון מקבילי/סידרתי, קשר זכרון/אלמנטים וכו', קיברנטיקה ושפה, מורכבות וכו' אשר ללא קיומם לא תתכן כלל מתמטיקה. אין פה שום מיסטיקה ואף לא פסיכולוגיה, אלא חקר התנאים ההכרחיים לקיומה של מתמטיקה ביצורים כמונו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מ. השור שלום, השפה שאנו מפתחים היום אינה מערבית אך גם לא מזרחית כי הרי מדובר על שפת המתמטיקה. אגב, ספר היסודות של אוקלידס אינו מביא את האופן האמיתי תוך התבוננות במחומש משוכלל, בו התגלה מושג האירציונליות על ידי היפסוס תלמידו של פיתגורס. משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האייל הצעיר : לגבי המאמר בקישור: אתה עושה בו קפיצה מוזרה. בתחילת המאמר אתה מספר על ביטולה של הגישה הפילוסופית האפלטונית, שהמתמטיקה באמת זנחה, ודורון שדמי לא (המתמטיקה אמורה לייצג את האמת, ובאמת קו הוא לא קבוצה, לכן המתמטיקה שגויה). בסוף המאמר אתה עוסק פתאום בתנועה לשינוי הפרדיגמה המתמטית. משה : ב 12 לאוגוסט בשנת 2000 שמעתי את אלן קונס ( מדלית פילדס) ומפתח הגאומטריה הלא חילופית בכינוס מאה מהילברט אומר כי אנו זקוקים היום להבנה חדשה במתמטיקה שהמקור שלה הוא בגאומטריה ולא בלוגיקה הרגילה. לפני מספר חודשים דורון בטיול משפחתי בפריס מסר באופן אישי למזכירה של אלן קונס את קובץ המאמרים שלו. הדרך הרגילה ללמד ולהדגים את מושג האירציונליות הוא באמצעות משולש ישר זווית שהצלעות שלו הם 1 וכך מראים ששורש 2 הוא לא רציונלי. ( נניח כי a/b זה שורש 2 והם מספרים זרים וכו',... כידוע לך לגבי מספרים שלמים גדולים יותר מ 2 זקוקים למשפט היסודי של האריתמטיקה שניסח אותו לראשונה בצורה מסודרת גאוס. אבל הגילוי המקורי של אירציונליות היה של היפסוס באמצעות סתירה במחומש משוכלל, אבל זה לא נכתב בספר היסודות של אוקלידס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך משתמשים במשפט היסודי של האריתמטיקה עבור מספרים גדולים מ-2? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשפט היסודי של האריתמטיקה אומר כי כל מספר טבעי הוא מכפלה יחידה של ראשונים. אם יש לך מחומש משוכלל ואתה משרטט משולש עם אחד הבסיסים ושני האלכסונים שיוצאים ממנו הזויות של המשלש הזה הם: 36,72,72 מעלות . ניתן להראות בפשטות יחסית כי אורכי הצלעות במשולש לא מתיחסיים זה לזה בצורה שלמה. מאחר מופיע שם יחס הזהב הרי ההוכחה הראשונה ( כנראה של היפסוס תלמידו של פיתגורס) לאירציונליות היתה של שורש 5 ולא של שורש 2 . אם יש לך מספר טבעי n שהוא אינו ריבוע שלם איך אתה מוכיח שהשורש שלו לא רציונלי. אתה מניח בשלילה שהוא כן רציונלי כלומר יש שני מספרים זרים a,b שהמנה שלהם היא השורש של n. האם ניתן להמשיך להוכיח את האירציונליות של שורש n ללא המשפט שניסח אותו לראשונה גאוס ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע בקשר לשורש n, כי לא חשבתי על ההוכחה; חשבתי שתביא אותה בהודעה הזו. בכל הנוגע למשולש של המחומש, גם זו הוכחה שאשמח לשמוע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוכחה בדרך השלילה: אם הצלעות של משולש ששזויותיו הן 36,72,72 הם a,a,b תעביר חוצה זוית של אחת מזויות הבסיס ותקבל משולש דומה עם צלעות b.b.a-b לא יכול להיות אם כך ש a,b שניהם טבעיים כי אתה יכול להמשיך בתהליך עד אין קץ ותקבל בדרך זו סידרה אינסופית של מספרים טבעיים יורדים וזה כמובן לא אפשרי. מ.ש.ל. אם הבנת את זה, אשמח לכתוב לך את ההוכחה הקלאסית לאי- רציונליות של שורש n . בהמשך אראה תוצאה מקורית שלי האומרת כי כי ניתן היה להרחיב את ההוכחה המקורית של היפסוס לכל n ללא כל צורך במשפט היסודי של האריתמטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדמיון נראה נחמד, אבל נתקעתי עם הצלעות. ברור ששתי השוקיים הן b, אבל למה הבסיס הוא a-b? הרי אם המשולש החדש דומה למשולש המקורי והבסיס במשולש החדש הוא x צריך להתקיים x/b=b/a לא? הרי הבסיס במשולש המקורי הוא b, השוק במשולש החדש הוא b והשוק במשולש המקורי הוא a.מזה אני מקבל x=b^2/a ולא ברור לי למה הוא צריך להיות a-b, או אפילו טבעי.איפה הטעות שלי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשולש השני הוא שווה שוקיים (עם זוויות 36,36 ו108) עם צלעותa b b | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן. תודה רבה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשולש השני הוא שווה שוקיים (עם זוויות 36,36 ו108) עם צלעותa b b | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, זה מה שיצא שניסיתי לשמור את הציור של המשולש.. אני מצטער ומניח שקשה להבין מזה את ההוכחה של היפסוס. * * * * * b
a * * * * * b * * * * * a-b * * * ***************** b |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין צורך. הצלחתי כבר להבין, ואם אני הצלחתי כנראה שכל אחד אחר גם הצליח. עכשיו אני סקרן לשמוע על ההוכחה הכללית לאי רציונליות של n. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יופי שהבנת, זה די פשוט ונחמד, עכשיו נוכל להתקדם. בדיאלוג הנפלא "תיאטטוס" של אפלטון מסביר המתמטיקאי הצעיר לסוקרטס על קיומם של מספרים אי-רציונלים שהם שורשי המספרים הבאים : 3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17 האם שמת לב גדי, לעובדה מוזרה שמופיע בדיאלוג זה? משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא (אלא אם אתה מתכוון לכך ש-2 לא נכלל ברשימה). אני לא בטוח שאני מבין למה אתה מאמץ את סגנון הדיון הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח כי n הוא מספר טבעי אשר אינו ריבוע נרצה להוכיח כי השורש שלו הוא מספר לא רציונלי. נניח בשלילה כי קיימים שני מספרים טבעיים a,b כך ש a/b הוא השורש של n כלומר a^2=b^2 n מבלי הגבלת הכלליות נוכל להניח כי a,b הם מספרים זרים ( כלומר ללא גורם משותף) כי אם הם לא זרים אז נוכל לצמצם את הגורם המשותף. למה : אם p ראשוני והוא מחלק את c^2 אז הוא כבר מחלק את c זה נובע בפשטות מהמשפט היסודי של האריתמטיקה. אנו נראה כי בהכרח ל a ול b יש גורם משותף בסתירה להנחה. האם תרצה לחשוב על סיום ההוכחה בעצמך ? אבל ליוונים לא היה עדיין את המשפט היסודי של האריתמטיקה וההוכחה היחידה שהיתה להם היא ההוכחה הקלאסית לאירציונליות של שורש 2 , שלא הופיע בדיאלוג תיאטטוס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, אז זו פשוט הכללה של ההוכחה עבור 2. נחמד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אם p ראשוני והוא מחלק את c^2 אז הוא כבר מחלק את c זה נובע בפשטות מהמשפט היסודי של האריתמטיקה." אנחנו מניחים את הלמה הזאת גם במקרה של n=2. על מה אנחנו מתבססים אז אם לא על המשפט היסודי של האריתמטיקה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
p=2, כמובן. לא n. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן זוהי הרחבה אורגנית של ההוכחה לגבי 2 אם a^2 הוא מספר זוגי אז נובע ש a זוגי האם אנו צריכים בשביל זה את המשפט היסודי של האריתמטיקה אני לא ממש בטוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין בעיה להוכיח אותה גם בלעדיו: פשוט שים לב לכך שמספר זוגי כפול מספר זוגי הוא תמיד מספר זוגי (זה מיידי) ומספר אי זוגי כפול מספר אי זוגי הוא מספר אי זוגי (זה כמעט מיידי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החלק המיידי תקף, כמובן, לכל מחלק ראשוני. תוכל להראות את החלק הכמעט-מיידי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הכוונה היא לייצוג כל מספר איזוגי כ-(2n+1), אז ניתן להכין "רשימת שאריות אפשריות" עבור כל מחלק ראשוני p. נכון שלא נוכל להוכיח כך את הטענה "לכל p ראשוני, שורש p אירציונלי", אבל עבור כל p יחיד, נוכל להוכיח בקלות את הטענה "שורש p אירציונלי". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה מסכים איתי שכל מספר אי זוגי הוא מהצורה 2n+1 כש-n שלם אז אין בעיה. קח שני מספרים כאלו: 2n+1,2m+1. נכפול אותם ונראה מה נקבל: (2n+1)(2m+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1 קיבלנו עוד מספר שמתאים לתבנית שלנו של מספר אי זוגי.באופן כללי הכפלה של שני מספרים ששניהם הם n מודולו p (כש-p ראשוני) תיתן מספר שהוא n^2 מודולו p. לכן שאריות של 1 ו-0 (במקרה של p=2 - בדיוק זוגי ואי זוגי) יישארו. שאריות אחרות - לא. נסה p=3 ו-n=2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הקדמתי (בדיוק ב-30 דקות) תרופה למכה. תגובה 327559. העניין הוא שגם עבור כל ערך ראשוני אחר של p, אני יכול להוכיח את הטענה באמצעות רשימת כל השאריות והריבועים שלהם. לכן אני לא רואה שום דבר שמבדיל בין 2 לראשוניים האחרים. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |