בתשובה לדורון שדמי, 04/09/05 16:44
 |
|
 |
||
|
||||
 |
מר שדמי היקר, לא הסברתי את דבריי כיוון שהם נראו לי מובנים מאליהם. אם לא - אסביר: 1. "מגלומנים" - מי שסבור ש*הפריך* את *כל* המתמטיקה עד היום, ובנה מתמטיקה חדשה ומובחרת, הוא מגלומן על פי כל קנה מידה. 2. "אווילים" - מי שאינו מבין שמונח כמו "קבוצה" הוא תלוי הגדרה, וכל עוד הגדרתו מאפשרת בנייה של ענף מתמטי יעיל ומעניין - אין כל משמעות לטענה שהיא *מוטעית* - ודאי שהוא אוויל. 3. "התנשאות מופרכת" - כי אתם מתייחסים לבחור אינטליגנטי, שיודע על מה הוא מדבר, כאילו עליו לעשות איזו קפיצה מחשבתית אדירה ואמיצה מאין כמוה כדי להבין טענות חסרות משמעות כמודגם ב-2. 4. "הזיות גורו" - משום שמיניתם עצמכם למורי הלכה בלי שאיש ביקש זאת מכם או רצה בכך. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
ואתמול אף הסתבר לי גם כי אלון הזכיר פעם נוספת את דורון ביום כתבת המאמר וכינה אותו "טרחן כפייתי הזוי" אך ממש באותה תגובה הוא מזכיר את איאן סטיוארט המתמטיקאי הידוע . אם יש לך דעה כל כך נחרצת אני רוצה להציע לך לקרוא את עמוד 113 באפילוג של ספרו של איאן סטיואט המספרים של הטבע. ( בהוצאת הד ארצי) "...הזמן בשל היום ליצירת מתמטיקה חדשה..." אולי תביני כך שגל שינוי הפרדיגמה של שפת המתמטיקה הוא היום כלל עולמי והחל בשנת 2000 3 שנים לפני שאלון החליט לכתוב את המאמר. וטובי המתמטיקאים מתבטאים בפומבי על אפשרות שכזו הנובעת מפרשנות חיובית למשפט גדל. משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם משהו בדבריך מתייחס לתגובה 327541 ? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"1. "מגלומנים" - מי שסבור ש*הפריך* את *כל* המתמטיקה עד היום, ובנה מתמטיקה חדשה ומובחרת, הוא מגלומן על פי כל קנה מידה" אני מציע לך לקרוא בעיון רב את תגובה 327845 בכך תביני שאין מדובר כן בהפרכות למיניהם, אלא בשיטת התנהלות לא-תבונית של קהילת אנשים מסויימת מאז 1931. 2. "אווילים" - מי שאינו מבין שמונח כמו "קבוצה" הוא תלוי הגדרה, וכל עוד הגדרתו מאפשרת בנייה של ענף מתמטי יעיל ומעניין - אין כל משמעות לטענה שהיא *מוטעית* - ודאי שהוא אוויל. זהו הדבר שאינך מבינה והוא, שכל תורה משמעותית היא תלויית-תובנות כאשר ההגדרות הן צד טכני לחלוטין של ביטויי התובנות. ההגדרות אין בהם דבר ולא חצי-דבר ללא התובנות, ואי-ההבנה שלך בנקודה חשובה זו הינה תוצאה ישירה של תהליך החינוך "מקדש ההגדרות" שעברת באחד ממוסדות הקהילה המתמטית העכשווית, אשר היא היא הקהילה המרשה לעצמה להגדיר סייגים מסייגים שונים ומשונים לשפת המתמטיקה. את טוענת ששפת המהתטיקה היא עולם המכונן עצמו בהגדרה. אינני מסכים איתך ואני טוען ששפת המתמטיקה היא עולם המכונן עצמו בתובנה. 3". "התנשאות מופרכת" - כי אתם מתייחסים לבחור אינטליגנטי, שיודע על מה הוא מדבר, כאילו עליו לעשות איזו קפיצה מחשבתית אדירה ואמיצה מאין כמוה כדי להבין טענות חסרות משמעות כמודגם ב-2." את מוזמנת לקחת את מושג הקבוצה-המלאה ולבחון בעצמך את ההשפעות של קבוצה זו על מושג הקבוצה עצמו, על הלוגיקה, על אוסף אינסופי, על מושג הגבול, על מושג הפונקציה, על מושג המספר, על המושגים בדידיות ורצף, על מושג הסימטריה, על מושג האריתמטיקה, ועוד ועד ... אני אשמח לדון אתך בכל אחד מהנושאים הנ"ל. "4. "הזיות גורו" - משום שמיניתם עצמכם למורי הלכה בלי שאיש ביקש זאת מכם או רצה בכך." אף אחד לא ממנה ואינו יכול למנות את עצמו למורה הלכה של אף אחד אחר, כי כל אדם ריבון לעצמו ואינו צריך שום רב שיכתיב לו איך לחשוב, וזה כולל גם את קהילת המתמטיקאים המקצועיים. משום מה קהילת המתמטיאקים המקצועיים החליטה כי השיטה הדדוקטיבית היא השיטה האחת והיחיד להבין וליצור מתמטיקה ואת, משום מה, מקבלת בחפץ לב את ההגבלה השרירותית הזו על תודעתך. כפי שאני טוען, ערכה של תורה נובע מתובנותיה כאשר הגדרותיה אינן אלא כלי להצגת התובנות. קהילת המתמטיקאית הם קבוצת אנשים הסוגדת להגדרות שהם עצמם יצרו, ועוד הם מגדילים לעשות וטוענים והגדרות אלה "מנותקות מהם לחלוטין" וכי להגדרות אלה "יש קיום עצמאי משלהם" במנותק מיוצריהם. ואם במקום יצירה נאמר "מתמטיקאים מגלים, לא יוצרים" הריי שכאן אנו עוסקים במגלומניות לשמה של אנשים יודעי ח"ן אשר יש באפשרותם לחוש "עולמות אפלטוניים עליונים". כך או כך, גילוי או יצירה, קהילת המתמטיקאים העכשווית נמצאת בשבר אמיתי מאז עבודתו של גדל, ואינה מעיזה לעשות בדק בית לשיטה-הדדוקטיבית בכבודה ובעצמה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אנא הסבר מה ההבדל בין הטענה ש"קהילת המתמטיקאים לוקה בהתנהלות לא תבונית" לבין הפרכת העבודה המתמטית שלה. 2. שפת המתמטיקה, נכון להיום, היא בוודאי תלוית הגדרות. אתה סבור שהמצאת מתמטיקה חדשה שאיננה כזאת - שיבושם לך. אבל המתמטיקה היא המצאת האדם - אתה טוען כך בתוקף בעצמך - ומשום כך, כל עוד המתמטיקה הנלמדת והמיושמת היום בכל העולם היא מסוג X - אין כל טעם ומ שמעות לטענה שהיא מסוג אחר. 3. אין כל קשר בין תגובתך לבין טענתי. 4. כנ"ל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"1. אנא הסבר מה ההבדל בין הטענה ש"קהילת המתמטיקאים לוקה בהתנהלות לא תבונית" לבין הפרכת העבודה המתמטית שלה." הוכיחי נא כי עבודתי מופרכת אך לפני כו עייני נא ב-תגובה 327882 "2. שפת המתמטיקה, נכון להיום, היא בוודאי תלוית הגדרות" לא הבנת אותי. כל תובנה מחייבת מערכת הגדרות שיבטאו אותה בצורה המדוייקת ביותר האפשרית, אך אין זה משנה את העובדה הפשוטה שהתובנה היא לב העניין, כאשר ההגדרות הן אמצעי בלבד לביטוי התובנה. מערכת שמתחילה לעסוק בהגדרות ללא תובנות, איננה אלא משחק עקר מיסודו. "3. אין כל קשר בין תגובתך לבין טענתי. 4. כנ"ל.: הנה תגובתי שוב: 3". "התנשאות מופרכת" - כי אתם מתייחסים לבחור אינטליגנטי, שיודע על מה הוא מדבר, כאילו עליו לעשות איזו קפיצה מחשבתית אדירה ואמיצה מאין כמוה כדי להבין טענות חסרות משמעות כמודגם ב-2." את מוזמנת לקחת את מושג הקבוצה-המלאה ולבחון בעצמך את ההשפעות של קבוצה זו על מושג הקבוצה עצמו, על הלוגיקה, על אוסף אינסופי, על מושג הגבול, על מושג הפונקציה, על מושג המספר, על המושגים בדידיות ורצף, על מושג הסימטריה, על מושג האריתמטיקה, ועוד ועד ... אני אשמח לדון אתך בכל אחד מהנושאים הנ"ל. "4. "הזיות גורו" - משום שמיניתם עצמכם למורי הלכה בלי שאיש ביקש זאת מכם או רצה בכך." אף אחד לא ממנה ואינו יכול למנות את עצמו למורה הלכה של אף אחד אחר, כי כל אדם ריבון לעצמו ואינו צריך שום רב שיכתיב לו איך לחשוב, וזה כולל גם את קהילת המתמטיקאים המקצועיים. משום מה קהילת המתמטיאקים המקצועיים החליטה כי השיטה הדדוקטיבית היא השיטה האחת והיחיד להבין וליצור מתמטיקה ואת, משום מה, מקבלת בחפץ לב את ההגבלה השרירותית הזו על תודעתך. כפי שאני טוען, ערכה של תורה נובע מתובנותיה כאשר הגדרותיה אינן אלא כלי להצגת התובנות. קהילת המתמטיקאית הם קבוצת אנשים הסוגדת להגדרות שהם עצמם יצרו, ועוד הם מגדילים לעשות וטוענים והגדרות אלה "מנותקות מהם לחלוטין" וכי להגדרות אלה "יש קיום עצמאי משלהם" במנותק מיוצריהם. ואם במקום יצירה נאמר "מתמטיקאים מגלים, לא יוצרים" הריי שכאן אנו עוסקים במגלומניות לשמה של אנשים יודעי ח"ן אשר יש באפשרותם לחוש "עולמות אפלטוניים עליונים". כך או כך, גילוי או יצירה, קהילת המתמטיקאים העכשווית נמצאת בשבר אמיתי מאז עבודתו של גדל, ואינה מעיזה לעשות בדק בית לשיטה-הדדוקטיבית בכבודה ובעצמה. אשמח להבין מדוע אין כל קשר בין תגובתך לבין תגובותי ב-3 4 (ושוב אני מבקש ממך שקודם שתעשי זאת, עייני נא ב תגובה 327882) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אנא קרא בתשומת לב את תגובותיי לפני שאתה עונה עליהן. 2. כנ"ל. 3. כנ"ל. 4. כנ"ל. אשמח לדעת מדוע לדעתך יש קשר בין תגובותיך לתגובותיי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"קהילת המתמטיקאים העכשווית נמצאת בשבר אמיתי מאז עבודתו של גדל" לא, היא לא. (אתם מתעקשים לשכנע אותנו שכל מאמר שאלון כתב מדבר עליכם?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לא, היא לא." ועוד איך שכן, הרי אלון בכבודו ובעצמו מודה שהוא מכריע עם לעסוק בפיתוח מערכת X על סמך אמונה ולא על סמך לוגיקה. ראה נא את דיון 2396 הנה הם דבריו המפורשים בנושא: "כעת נקבל כמסקנה מוזרה ממשפט גדל שאם PA עקבית (וזוהי הנחת עבודה סבירה), אז גם Z עקבית (הוכחה: תרגיל לקורא). עכשיו לפנינו תורה עקבית Z שבה ניתן להוכיח את הטענה השקרית "PA איננה עקבית"! אין פה אסון, אלא אבחנה פשוטה שתורה עקבית אינה בהכרח נאותה, כלומר אינה מוכיחה רק משפטים אמיתיים. הנקודה החשובה היא שאם יש לנו סיבה להטיל ספק בעקביות (או בנאותות) של תורה מסויימת, הוכחה של עקביות זו בתוך אותה תורה לא תועיל בכלום – ממילא אנו מטילים ספק בתורה, אז מדוע שנאמין לה כשהיא מוכיחה שהיא עקבית? מצד שני, אם יש לנו סיבות טובות להאמין שתורה היא כן עקבית, חסרונה של הוכחת־עקביות־פנימית כזו לא צריך להפריע לנו כלל." בנוסף לשימוש באמונה, אומר אלון עמית את המשפט המדהים הבא: "אין פה אסון, אלא אבחנה פשוטה שתורה עקבית אינה בהכרח נאותה, כלומר אינה מוכיחה רק משפטים אמיתיים." הבנת את זה ברוך??? לאלון עמית יש אבחנה פשוטה שתורה *עקבית* איננה בהכרח נאותה. זאת אומרת שעיקביות איננה בהכרח עקבית במתמטיקה, ולזה אינך קורה משבר !!! אז שיבושם לך, לך בעקבות אלון עמית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, הבנתי. אתה פשוט לא יודע מה פירוש המונח המתמטי "תורה עקבית". אילו ידעת, לא היית נדהם כל כך. זה לא נורא שלא יודעים, אבל זה קצת טפשי להכריז על משבר-במתמטיקה-שלושה-סימני-קריאה רק כי אתה לא מבין את המונחים, אתה לא חושב? תורה עקבית היא תורה שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה וגם את שלילתה. למשל, התורה שיש לה אקסיומה אחת בלבד, "0=1", היא תורה עקבית לגמרי: היא מוכיחה משפט אחד בלבד, "0=1", ומכיוון שאינה מוכיחה את שלילתו, היא עקבית. כתורה של המספרים הטבעיים, היא לא נאותה. מה לעשות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"תורה עקבית היא תורה שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה וגם את שלילתה. למשל, התורה שיש לה אקסיומה אחת בלבד, "0=1", היא תורה עקבית לגמרי: היא מוכיחה משפט אחד בלבד, "0=1", ומכיוון שאינה מוכיחה את שלילתו, היא עקבית. כתורה של המספרים הטבעיים, היא לא נאותה. מה לעשות." המושגים שלך לעקביות לא ממש עקביים. כפי שהסברתי ואני חוזר ומסביר, מתמטיקה היא שפה המכוננת בתובנה ולא מכוננת בהגדרות טכניות שרירותיות. לכן "1=0" אינה יותר מאשר מערכת סימנים לניארית כגון "*&#" וכו'. ראה נא את ההנחה הסמוייה העומדת בבסיס הדוגמא שלך, והיא: אתה מניח מראש שמי שרואה את אוסף הסימנים "0=1" מסוגל להבין את התובנה שבבסיס ביטוי זה, ואז ורק אז אתה מסיק שיש לנו כאן ביטוי מתמטי שהוא מערכת אקסיומטית של אקסיומה אחת בלבד אשר מתוקף היותה הגדרה אקסיומטית היא חייבת להיות תקיפה במערכת זו אך כייוון שביטוי זה הוא הסתירה בהתגלמותה (אך מצד שני הגדרה אקסיומטית) הריי שאנו מקבלים כאן מן שיווי-משקל של "לא לבלוע ולא להקיא" או בקיצור "מערכת אקסיומטית תקנית שאין בה הכרעה" א) היות והמתמטיקה היא שפה המכוננת בתובנה ולא בהגדרה, אז אם התובנה שלי עוסקת בלוגיקה ברת-הכרעה הריי שהתובנה הזו אינה מאפשרת למערכת "1=0" להתקיים כלל ולכן אין כאן שום "מערכת עקבית שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה וגם את שלילתה" כי התובנה שלי איננה מאפשרת לסוג כזה של מערכות להתקיים במסגרתה. ב) אם התובנה שלי מאפשרת בפירוש קיומם של מערכות אקסיומטיות שאינן ברות-הכרעה, הרי שההגדרה האקסיומטית "1=0" עונה לתובנה הזו ואין שום בעיה של אי-נאותות כאן. לסיכום בעיית האי-נאותות אינה קיימת כלל והיא נובעת מאי-ההבנה הבסיסית שהתובנה היא בסיס המתמטיקה ולא ההגדרה השרירותית. כמו בכל תחום, העוסקים במלאכה חייבים להשתמש בתבונתם כבסיס לכל ולא בשום גחמות טכניות שרירותיות שלהם. כי סוף מעשה במחשבה תחילה, כאשר סוף מעשה הוא מערכת אקסיומטית נתונה, ומחשבה תחילה היא התובנה המכוננת שלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"תורה עקבית היא תורה שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה וגם את שלילתה." ומה עם מערכת אקסיומטית מבוססת על אקסיומה אחת בלבד המבוססת על סתירה עצמית? כגון: "0=1" , "אמת=שקר", "רצף=אוסף"," יום=לילה" , "עיקש=עקשן", "טיפש=חכם", וכו? איזה תובנה עומדת מאחורי קיומה ההכרחי של מערכת אקסיומטית המבוססת על אקסיומה אחת בלבד המבוססת על סתירה עצמית? או שמה תאמר, ההגדרה מחייבת ולא התובנה, כאשר אנו עוסקים בשפה פורמלית. ברוך, אתה טוען טענה תמוהה מאין כמוה והיא: שפה פורמלית הינה שיטה עיקבית להמענות תבונית בעת מתן הגדרות מכוננות. אם זו דרכך (ואכן הדוגמא שנתת אכן תומכת, לצערי, בטענותי) הריי שאני בר-מזל על שאינני שייך לקהילה המכוננת את עולמה בהגדרה, תוך הקפדה יתירה להמנעות מכל תובנה, כבסיס מכונן להגדרה. אשמך עד מאוד לתגובתך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין סתירה בטענה "0=1" כל עוד אנחנו לא יודעים שום דבר על משמעות המילים "1", "0", ו-"=". אתה, באופן פסיכולוגי, משייך לסימנים האלה את משמעות בתחום המספרים הטבעיים/שלמים/רציונליים/ממשיים/מרוכבים (ולכן מניח עליהם הנחות סמויות). זו שגיאה. בשדה Z_2, למשל, מתקיים "0=1+1". האם זו נראית לך סתירה פנימית? "שפה פורמלית הינה שיטה עיקבית להמענות תבונית בעת מתן הגדרות מכוננות" נכון. עכשיו השאלה שנותרה היא "למה זה טוב?". משחר ההיסטוריה חוקרים בני האדם את המספרים הטבעיים ואת הגיאומטריה (האוקלידית, כמובן) שלא מתוך גישה אקסיומטית. למה? כי זה מעניין. על זה אני חושב שאנחנו מסכימים. בהתחלה, הכלי העיקרי לחקר תחומים אלה היה צפייה, וניסיון למצוא חוקיות. הרבה שנים עברו עד שהחלו בני האדם להוכיח טענות. מתברר, שהוכחה היא כלי מאוד יעיל לחקר תחומים אלה. ככל שהשתכללה השיטה (למשל, כשאוקלידס שאל "מה הנחות היסוד שלנו"), גילו החוקרים, שהדרך הטובה ביותר לעסוק בהוכחות, היא הגישה הפורמלית. עד היום, מתמטיקאים עוסקים במערכות אקסיומות שמבוססות על מושגים שאנחנו "מבינים". ו(רוב )המתמטיקאים גם מאמינים שטענות שמוכחות ב-PA חלות על המספרים ה"אמיתיים". התובנה היא המטרה. הגישה הפורמלית היא כלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתמטיקה היא בסך הכל שפה, או למעשה, אוסף של שפות. השפות מאופיינות על ידי הגדרות פורמליות. עצם ההגדרות הפורמליות הופכות את השפות המתמטיות לשימושיות במיוחד לחקר דברים שאינם תלויים בתודעה. למשל, מתמטיקה שימושית בחקירה מדעית, בשימושים הנדסיים, בשימושים כלכליים, בשימושים סטטיסטיים וכו'. כשמדען בודק כמה זמן לקח לכדור ליפול ממגדל פיזה, הוא מודד זמן בשניות, ואם הוא מצליח לנסח חוק שיעזור גם למדען אחר לגמרי שנמצא במגדל שבמכון וויצמן לדעת כמה זמן יקח לכדור שלו ליפול, הרי שהוא מימש את מטרתו. אם לצורך העניין הוא השתמש במושג שהוא קרא לו ''קבוצה'' אבל היה צריך לקרוא לו אוסף, אם לצורך העניין הוא השתמש במספרים ממשיים, שהם לא מספרים אמיתיים, אם לצורך העניין הוא השתמש במושג הנגזרת שבטח גם היא לא מקובלת על מר שדמי, אז מה. העיקר שהמדען במכון וויצמן יודע בדיוק באיזה מושגים השתמש המדען שבפיזה, יודע מה המשמעות שלהם, ואיך להשתמש בהם בשביל לחשב את התוצאה הסופית, מספר השניות שיקח לכדור ליפול. לצורך זה, מספר הוא הדבר שמראה השעון. בשביל לחקור תובנות ותודעות ושאר ירקות, כדאי להשתמש בשפות לא פורמליות, שפות תלויות תודעה. ולא צריך להמציא שפות כאלה, כבר המציאו אותן, עברית, אנגלית, ערבית, צרפתית, גרמנית, רוסית... וגם המחקר שלהם לא מחכה לדורון שדמי שיבוא ויגאל אותן, כבר היום קיים תחום מחקר שלם, קוראים לזה מדעי הרוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המטרה היא לא "תובנה" 330569 סמיילי (יום ראשון, 18/09/2005 שעה 15:22) מתמטיקה היא בסך הכל שפה, או למעשה, אוסף של שפות. השפות מאופיינות על ידי הגדרות פורמליות. עצם ההגדרות הפורמליות הופכות את השפות המתמטיות לשימושיות במיוחד לחקר דברים שאינם תלויים בתודעה." אנא סמיילי הדגם נא איך ניתן להגדיר הגדרה פורמלית ללא שימוש כלשהו בתודעה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנא דורון, מצא מקום בו כתבתי שלא ניתן או שכן ניתן להגדיר הגדרה פורמלית ללא שימוש כלשהו בתודעה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המטרה היא כמובן לא *חקר* התודעה. משפט מתמטי הוא מעניין אם אנחנו מרגישים שאנחנו "מבינים" אותו כיותר מסדרה סופית של סימנים באלפבית מסוים. גם מערכות האקסיומות "מעניינות" אם הן מלמדות אותנו משהו שאנחנו "מבינים" כיותר מסדרה כזו 1. מערכות האקסיומות המעניינות נבנות ככה שילמדו אותנו משהו על מושגים שאנחנו מבינים באופן אינטואיטיבי. לכן, הטענה של דורון שהגישה האקסיומטית הפורמלית מוציאה את ה"תבונה" (כלומר, את הקשר בין השפה הפורמלית למשהו מעניין) מהמתמטיקה איננה נכונה. כמובן שאין פה שום עניין של חקר התודעה, פונקציות גישור ועוד כהנה וכהנה. מעבר לאי ההבנה בקשר למשמעות המשפט שבכותרת, נדמה לי שדבריך לא סותרים במילה אחת את דבריי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אין סתירה בטענה "0=1" כל עוד אנחנו לא יודעים שום דבר על משמעות המילים "1", "0", ו-"="." שוב אתה משחק את משחק ה"לא-יודע שאני יודע", כי האקסיומה שנתן ברוך מבוססת על הידיעה של 1,0 -+=. "ככל שהשתכללה השיטה (למשל, כשאוקלידס שאל "מה הנחות היסוד שלנו"), גילו החוקרים, שהדרך הטובה ביותר לעסוק בהוכחות, היא הגישה הפורמלית." כל שפה (פורמלית או לא) אשר אין תובנה בבסיסה איננה אלא כלי ריק בבחינת "איסטרא בלגינה קיש קיש קרייא (תרגום מארמית: אבן בחבית ריקה עושה הרבה רעש). איזה השתכללה ואיזה בטיח? היום כאשר אנו על סף חקירה של מערכות מורכבות באמת, אנו רואים עד כמה טריוויאלית היא שיטת הלוגיקה הבינרית העומדת בבסיס השיטה האקסיומטית, אשר תקיפותה נבחנת עדיין עפ"י כללי השחור/לבן של אמת או שקר. אין ביכולתה של מתודה טריוואלית זו לעסוק במורכבות ה"צבעונית" של מרחב התודעה שלנו, ורוב המורכבויות הביולוגיות הן מחוץ לטווח שלה. "עד היום, מתמטיקאים עוסקים במערכות אקסיומות שמבוססות על מושגים שאנחנו "מבינים". ו(רוב )המתמטיקאים גם מאמינים שטענות שמוכחות ב-PA חלות על המספרים ה"אמיתיים"." אכן עד היום מתמטיקאים תקועים במושגים שהוגדרו לפני 2500 שנה, והדוגמה הקלאסית לכך היא "הבנתם" את המספרים הטבעיים, באופן המנותק לחלוטין מהתובנות החדשות המכוננות מספרים אלה. בקיצור, על מה אתה מדבר בדיוק? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. האם הטענה "0=1+1" נראית לך כסתירה? (לי לא רק שהיא לא נראית כסתירה, אני *יודע* שהיא נכונה. בשדה Z_2, כמובן.) ב. כמו שאמרתי, רוב השפות הפורמליות המעניינות הן אכן "שיקוף" של מושג אינטואיטיבי. קשה לומר שאין "תבונה" בבסיסן. [הערת אגב שולית לחלוטין: נדמה לי ש"איסטרא בלגינא" זה מטבע בכד, לא אבן בחבית.] ג. למה אתה משתמש בלוגיקה הבינארית שעבר זמנה? אולי [0=1] זו לא סתירה, אלא טענה חצי נכונה? רגע, אם הטענה [[0=1] חצי נכונה] נכונה או לא נכונה, אז ניתן להציג את כל הלוגיקה הרב-ערכית באמצעות טענות בלוגיקה בינארית, אז אולי הטענה [[0=1] חצי נכונה] היא רבע נכונה? אבל מה עם הטענה [הטענה [[0=1] חצי נכונה] היא רבע נכונה]... (בקיצור, אני לא מסוגל לעבוד עם לוגיקה *באמת* שונה.) ד. עדכן אותי: מה התובנות החדשות המכוננות את המספרים הטבעיים? (כן, אני מכיר את העמוד שאליו אתה עומד לשלוח אותי. יכול להיות שיש שם רעיונות מתמטיים מעניינים, אבל למה לקרוא להם "מספרים"?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"א. האם הטענה "0=1+1" נראית לך כסתירה?" לא, זוהי תוצאה תקנית באריתמטיקת-שעון, אבל אין זה קשור כלל וכלל לטענתו המקורית של ברוך, בה הוא משתמש ב-"0=1" כאשר משמעות הסימנית ויחסיהם ידועה היטב. "רוב השפות הפורמליות המעניינות הן אכן "שיקוף" של מושג אינטואיטיבי." נו, אז תגיד לי אתה, בשביל מה צריך את כל המשחקים המקדימים (שבמקרה זה הם מיותרים לחלוטין) של המנעות מהתובנה העומדת בבסיס הגדרה פורמלית, אם הגדרה זו הינה ריקה מתוכן ללא התובנה המכוננת שלה? "ב. למה אתה משתמש בלוגיקה הבינארית שעבר זמנה?" אני משתמש בלוגיקה-משלימה שהיא אינה לוגיקה בינרית ואף לא לוגיקה עמומה (הדוגמאות שאתה נתת מבוססת על לוגיקה עמומה של מצבי-ביניים בין אמת לשקר). "עדכן אותי: מה התובנות החדשות המכוננות את המספרים הטבעיים?" דרגות הסמטריה הפנימיות הקיימות בתוך כל n>2 , ואשר המתמטיקה הרגילה משתמשת רק בדרגת הסימטריה השבורה לחלוטין של כל מספר טבעי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"בה הוא משתמש ב-"0=1" כאשר משמעות הסימנית ויחסיהם ידועה היטב" ההפך. הוא בדיוק דיבר על שפה שעליה אנחנו לא יודעים *כלום*. "בשביל מה צריך את כל המשחקים המקדימים" למשל, כי אני לא יודע דרך אחרת להיות בטוח שמשהו שנראה כמו קבוצה הוא באמת קבוצה, חוץ מלבנות אותו ב-ZF (וגם אז, אני *כמעט* בטוח, לא בטוח לחלוטין). אני לא מכיר הגדרה מספקת למונח האינטואיטיבי "קבוצה" (כזו שלא נופלת לפרדוקסים). ספר לי קצת על התכונות של הלוגיקה המשלימה, בבקשה. א. תוכל גם להסביר, בלי להפנות אותי לדף שאני מכיר כל כך טוב, מה הן דרגות סימטריה של מספר? ב. נגדיר "מרפס" כמחלקה של כל דרגות הסימטריה של n כלשהו. כל דרגות הסימטריה של 2 יהיו מרפס2, כל דרגות הסימטריה 3 יהיו מרפס3, וכו'. כמובן, שניתן להגדיר חיבור, כפל וכו' על המחלקות (ע"פ הגדרת החיבור והכפל הרגילים). מה דעתך על תורת המרפסים? תחום מעניין או לא? תבוני או לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העדפתי את המרפסים של קונווי שעליהם סיפר אלון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממנו גנבתי את השם. בכל מקרה, כפי שוודאי הבנת, מאחר שדורון קורא לעצים שלו ''מספרים'', אני קראתי ''מרפסים'' למחלקות שהן בעצם המספרים הטבעיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו-כן כדאי לך לעיין בתגובתי הישירה לחלקים נבחרים ממאמרו של אלון עמית בתגובה 330598 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1) ולפני גדל, מתמטיקאים כן הסתמכו על לוגיקה בבחירת התחום אותו יחקרו? 2) בוא נעזוב לרגע בצד את העקביות, ונדבר על *הנחות עבודה* אחרות של מתמטיקאים ושל בני אדם בכלל: - תזת הנאותות: מתמטיקאי שחוקר את תורת המספרים מקבל כהנחת עבודה את העובדה שהאקסיומות שאיתן הוא עובד אכן מתקיימות לגבי המספרים הטבעיים האמיתיים 1. - תזת צ'רץ'-טיורינג: מתמטיקאי שחוקר בתחום החישוביות מניח שאין טעם לחקור מודלים חישוביים חזקים ממכונת טיורינג. על כן הוא מכלה את ימיו בהוכחה שפונקציה כזו וכזו לא ניתנת לחישוב, דווקא במכונת טיורינג. - תזת הצורך לקום בבוקר: אני מניח שאם אני לא אקום בבוקר מהמיטה, צרכיי לא יסופקו כולם ע"י אלוהים. לכן אני מוותר על הרצון להשאר כל ימי במיטה. - תזת המטריקס: אני מניח שאני אכן חי את חיי, ולא חי במטריקס ששולטת במה שאני רואה, וגורמת לי לחשוב שהבנתי הוכחות, שהיו למעשה רצף של סימנים אקראיים. הנחה זו מאפשרת לי לתפקד באופן נורמלי, ואף לעסוק במתמטיקה. ככה זה. בני אדם מניחים הנחות עבודה כל הזמן. כך אנחנו מקבלים החלטות. גם ההחלטה על איזה תחום מתמטי נחקור כוללת הנחות עבודה שונות, לרבות "תזת המטריקס". 3) עושה רושם שאתה נותן למשפט אי השלמות השני של גדל יותר מדי משמעות. נדמה לך שלפני ימיו של גדל חשבו שניתן להוכיח (באופן משכנע) את עקביות PA ב-PA, ואחרי גדל לא. למעשה, המשפט השני הרבה פחות מעניין מהראשון. הוא כמעט קוריוז: אם ניתן להוכיח שהמערכת עקבית, נובע מכך שהיא לא עקבית. בהקשר הזה כדאי לך לקרוא בעצמך את דבריו של אלון שאתה כל הזמן מצטט: "הנקודה החשובה היא שאם יש לנו סיבה להטיל ספק בעקביות (או בנאותות) של תורה מסויימת, הוכחה של עקביות זו בתוך אותה תורה לא תועיל בכלום – ממילא אנו מטילים ספק בתורה, אז מדוע שנאמין לה כשהיא מוכיחה שהיא עקבית? מצד שני, אם יש לנו סיבות טובות להאמין שתורה היא כן עקבית, חסרונה של הוכחת־עקביות־פנימית כזו לא צריך להפריע לנו כלל." אגב, ניתן בהחלט להוכיח עקביות של מערכות אקסיומות במערכות אקסיומות אחרות. זה מה שעושים בשיטת הכפיה, כדי להוכיח אי-כריעות של טענות. הבעיה היחידה, היא שתמיד נצטרך להאמין במשהו. מצד שני, גם אם היינו בטוחים שהמתמטיקה עקבית לחלוטין, עדיין היו לנו הנחות עבודה אחרות בהן היינו צריכים להאמין. 4) תורה עקבית איננה בהכרח נאותה. נכון מאוד. אני אפילו יכול לתת לך הוכחה כמעט קונסטרוקטיבית: מתמטיקאים עוסקים בשלוש גיאומטריות: של אוקלידס, של לובצ'בסקי ושל רימן. לפחות שתיים מהן לא נאותות לגבי נקודות וישרים אמיתיים 2. אז? 5) על מה אתה מדבר כשאתה אומר "עיקביות איננה בהכרח עקבית במתמטיקה"? מה המשמעות של המשפט הזה? אתה יכול להיות לא ברור כשאתה מדבר בשפה שלך. בשפה שלנו אנחנו כבר יודעים מה אפשר להגיד ומה לא. 1 אם יש, בכלל, מספרים טבעיים אמיתיים. 2 אם יש, בכלל, נקודות וישרים אמיתיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"על מה אתה מדבר כשאתה אומר "עיקביות איננה בהכרח עקבית במתמטיקה"? מה המשמעות של המשפט הזה?" מאוד פשוט: אין למתמטיקאים שום בעיות לרוקן מילים מתוכנן המקורי ולכפות אליהם מושגים בעלי משמעות הפוכה כגון: רצף מתואר במושגים של אוסף אלמנטים מובחנים. EACH ו-ALL יש להם אותה משמעות במושג כמת-אונברסלי. עיקביות איננה בהכרח נאותה (ראה את תגובתי לברוך בתגובה 328402 לסדרה אינסופית יש גבול, וכו'. אני טוען שזילות כזו בשפה פשוט לא תיתכן במערכת הטוענת להגדרות ריגורוזיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המתמטיקה בנויה מהגדרות ריגורוזיות *בגלל* שהיא לא מתבססת על העמימות שבשפה, דבר שאתה עושה כל הזמן. הסיבה שקוראים לחבורה "חבורה" ולא "שפריכצניק" היא כי מתמטיקאים, בסופו של דבר, הם בני אדם (כך אומרים). גם הם צריכים לנסח טענות ולתקשר בקלות. לכן הם בוחרים מילים שבקלות מתחברות להם אסוציאטיבית למושג הפורמלי. אף מתמטיקאי שרואה ברחוב חבורה של אנשים לא מחפש את היחידה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני רוצה למחות. אני חיפשתי את האחת והיחידה בכל חבורה שרק נתקלתי ובכל חוג שרק ראיתי (את האפס היה לי קל למצוא). אבל, האם אני ראוי להקרא מתמטיקאי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המחאה שלך מוצדקת. אני חוזר בי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אף מתמטיקאי שרואה ברחוב חבורה של אנשים לא מחפש את היחידה." מה, מתמטיקאים הם לא בני אדם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 318070. (בתקווה שגדי לא יצרח.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מערכת שמתחילה לעסוק בהגדרות ללא תובנות, איננה אלא משחק עקר מיסודו." אפשר דוגמה למערכת שכזו? (ולא, תורת הקבוצות של קנטור אינה כזו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כפי שאני טוען, ערכה של תורה נובע מתובנותיה כאשר הגדרותיה אינן אלא כלי להצגת התובנות." אתה די צודק. מתמטיקאים מסיקים משמעויות "אמיתיות" מטענות מתמטיות. גדל, למשל, לא מוכיח ב-PA ש-PA לא שלמה. הוא בונה ב-PA מערכת "תאומה" של PA שזהה לה, ומוכיח שהיא זו שלא שלמה. אנחנו מסיקים מכך את המסקנה ש-PA לא שלמה 1. זה לא באמת היקש מתמטי. דוגמה אחרת, מובהקת יותר: כאשר אנחנו מוכיחים טענה מסוימת, אנחנו מניחים שהשלילה שלה לא ניתנת להוכחה. הבעיה היא שההגדרה הכללית למערכת אקסיומות מגדירה רק טענות "נכונות", ואין בה דבר כזה "טענה לא נכונה". "לא" זה מושג שהוא חלק מהשפה של מערכת האקסיומות, ואין לו שום מהות מעבר לזה. כדי להסיק שהשלילה של משפט לא נכונה, אנחנו משתמשים בהנחת-עבודה שאומרת שאין טענה שניתנת להוכחה, וגם שלילתה ניתנת להוכחה. זו תזת העקביות. באופן כללי, מתמטיקאים אכן מגדירים לרוב מושגים שיתאימו לאובייקטים שהם מכירים מהחיים. בגלל זה מתמטיקאים עוסקים ב"ישרים" ו"נקודות", למשל, ולא ב"טריגולים" ו"אפינגוסים". מתמטיקאים גם אכן "מתרגמים" משפטים מתמטיים למסקנות על החיים. אבל הדרך שבין ההגדרות והאקסיומות למשפטים היא טכנית לגמרי. 1 אם כי בוודאי ניתן להוכיח את הטענה הזאת במערכת אקסיומות מקובלת אחרת, "חיצונית" ל-PA. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |