בתשובה להאייל הצעיר, 21/09/05 17:46
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331512
"x הוא לא משתנה חופשי. אין לו ערך בטענה הזאת."

אייל צעיר, אתה כל הזמן מספר לי מהו *לא* x .

אם כך אתה יודע משהו על x אך, כפי שאני טוען, משחק אותה בתור "לא-יודע שהוא יודע".

אז אני שואל אותך: בשביל מה לך כל המשחקים המפותלים האלה?

האם אינך חושב שיותר פשוט להגדיר את מה שאתה רוצה להגדיר מן היסוד בצורה ישירה מבלי להשאיר מושגי-יסוד ללא הגדרה?

אתן לך דוגמא להגדרה ישירה כזו בקשר למושג הקבוצה.

במקום להגיד שקבוצה הינה מושג לא מוגדר, ואנו נשאיר לחוקי השפה הפורמלית את האפשרות לעצב מושג זה (אשר מוביל לכל הסיבוכיות המיותרת של ZF) אנו יכולים לומר בפשטות:

קבוצה הינה תחום שרירותי המוגדר על ידנו, ובכך אנו יוצרים הבחנה ברורה בין מה שנמצא בתוך התחום לבין מה שנמצא מחוץ לתחום.

מכאן נובע כי קיימת קבוצה המכילה אלמנטים בתוכה, ונקרא לה קבוצה לא-ריקה, וכמו-כן קיימת קבוצה ללא כל תכולה, ונקרא לה הקבוצה הריקה.

כיוון שאין הרבה סוגי ריקנות, קיימת רק קבוצה ריקה אחת.

לעומת זאת קיימות הרבה קבוצות לא ריקות, אשר שונות זו מזו בתכולתן.

עכשיו אנו יכולים לקבוע כל מני אקסיומות, המגדירות תכולות שונות , ולחבר כל מני פסוקים המתארים את היחסים בין הקבוצות לעצמן ו/או לקבוצות אחרות.

עכשיו הסבר נא אייל צעיר במה עדיפה ZF על הדרך שהתוותי?
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331612
הנה בעיה: ניתן להגדיר כתחום את תחום כל הקבוצות.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331624
"הנה בעיה: ניתן להגדיר כתחום את תחום כל הקבוצות."

הדגם נא לי כיצד אתה כולל תחום בתוך עצמו ללא פעולת קינון.

שים לב שפעולת קינון אינה הכלה של אלמנט במצבו במקורי בדיוק כמו של {} שונה מהותית מ-{{}}.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331773
למה "ללא פעולת קינון"?

קבוצת כל הקבוצות *שייכת* לעצמה, לא *מוכלת-ממש* בעצמה. זה בדיוק קינון!
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331616
אני יודע בדיוק מהו x: x הוא משתנה קשור לכמת "לכל", ש"רץ" על כל הקבוצות, לרבות הקבוצה הריקה.

(אני גם יודע שאני יודע מה זה x, ואני יודע שאני יודע שאני יודע מה זה x, ואני יודע שאני יודע...)
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331627
"אני יודע בדיוק מהו x: x הוא משתנה קשור לכמת "לכל", ש"רץ" על כל הקבוצות, לרבות הקבוצה הריקה."

אם ZF היא תורת-קבוצות, אז x מייצג קבוצות, ומכיוון שמושג הקבוצה אינו מוגדר אז אינך יכול להניח את המבוקש במנותק מהגדרת קיום של קבוצה+תכונה שלה, כי הגדרת קיום זו חובשת *לא פחות* משניי כובעים, כאשר כובע אחד הוא הגדרת-קיום וכובע שני הוא הגדרת תכונה.

אין להניח את המבוקש במנותק מהגדרת קיומו.

-----------------------------------------------------------------------

יש להבחין היטב בין ההצהרה :"אני יודע שאני לא יודע" לבין ההצהרה:"אני לא-יודע שאני יודע".

הבה ונבחן את ההבדלים:

"אני יודע שאני לא יודע" הינה הצהרה ישירה וישרה המודעת לגבולות הידיעה ומקבלת את אי-הידיעה כחלק בלתי נפרד וטבעי של התודעה.

"אני לא יודע שאני יודע" הינה הצהרה פתלתלה ושיקרית, שבמקום להודות בגלוי באי-ידיעה היא מנסה ליצור מאופן מלאכותי את תנאי אי-הידיעה שלה, כדי להמנע מאי-ידיעה אמיתית הנובעת מגבולות התודעה.

המתמטיקה המודרנית מבוססת על ההצהרה "אני לא יודע שאני יודע", וגישה זו מיושמת כבר בשפה פורמלית כמו ZF כתשתית מכוננת לאקסיומת הקיום של הקבוצה-הריקה.

הבה ונדגים:

There is a set A such that, given any set x, x is not a member of A.

הגדרת A נסמכת על אי-ידיעת x (כדי להמנע מהנחת המבוקש במנותק מהגדרת-הקיום שלו)
וזאת כאשר ידוע לנו בבירור כי x יכול להיות ריק או לא-ריק.

מושג הקבוצה עצמו תלוי לחלוטין ביכולתנו לגשר בין המצבים הבסיסיים "ריק" ו- "לא-ריק",
וללא יכולת גישור זו הטמונה בתודעתנו, אין לנו שום אפשרות לדון כלל במושג הקבוצה.

אך במקום לנתח בפשטות ובאופן ישיר מהם הדרישות המינימליות ההכרחיות המאפשרות לנו לדון במושג הקבוצה, בוחרת קהילת המתמטיקאים ה"טהורים" לעסוק בחקר הסיבוכיות שהם עצמם יוצרים באופן מלאכותי, כאשר שם המשחק הוא "אני לא יודע שאני יודע" המוביל את השחקן להכחשת קיומו הוא תוך זיהוי תנאי אי-הידיעה שהוא יצר במו ידיו, כמצב עצמאי (אובייקטיבי) המנותק ממנו.

יש להבין שתנאי אי-ידיעה מלאכותי זה הוא בדיוק המרחב המאפשר את המשך קיומו "המעניין" של משחק סכולסטי "הרודף אחרי זנבו שלו".

ההבחנה בין "אני יודע שאני לא יודע" לבין "אני לא יודע שאני יודע" מאפשרת למעוניינים בכך "להפריד ראש מזנב" ולהביט נכוחה.

המתמטיקה-המונדית הינה שפה המבוססת על "אני יודע שאני לא יודע".
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331676
Organic mathematics
Mathematical experiment to solve
the 6 th 'problem of hilbert

Moshe Klein

"The organic unity of mathematics is inherent in the nature of this science, for mathematics is the foundation of all exact knowledge of natural phenomena. That it may completely fulfill this high mission, may the new century bring it gifted masters and many zealous and enthusiastic disciples"
. D.Hilbert

Organic mathematics is an extension of the ordinary language of math with the observation of the human act of creating math. An inspiration for this observation can come from the last sentences of David Hilbert's lecture in Paris in 1900.

1. Socrates
The ordinary math is based on logical rules, and the famous "modus ponenS " :
1.All man are to die @ 2.Socrates is a man ---imply----- 3. Socrates will die
Many of the structures in math are based on this rule. But from Socrates himself WE have learnt the famous sentence

I know that I don’t know

This illogical contradiction made Socrates himself to be someone who will remain forever in man's conscience.

2. Hilbert
. 2,500 years after Socrates, David Hilbert made one of the most important lectures ever made. Leading the mathematitian community he declared a list of 23 open problems. In term of Socrates Hilbert modified it to :

I know what I don't know

It made his lecture influential and inspired the math community to try and solve his problems.

3. Goedel

One of the problems of Hilbert ( the 2nd problem) was after the success made on Geometry was to find the compatibility of the arithmetical axioms. 30 years later Goedel proved that aritmetic is incomplete and therefore it is impossible to fulfill Hilbert's task. He described a mathematical sentence in arithmetic that declares.

I can't be proven

As the 2 nd problem, most of the problems in Hilbert's list have been solved during the past century. One of the few that are still open , is the 6 th problem.

4. The 6 th problem

The 6 th problem of Hilbert was about a mathematical treatment of the axioms of physics:
" the investigation on the foundation of geometry suggest the problem : to treat in the same manner, by means of axioms, those physical sciences in which mathematics plays an important part ; in the first rank are the theory of probabilities and mechanics

Hilbert in his lecture

This is the willing to establish the right connection between mathematics and physics. Since mathematicians themselves belong to the physical world the 6 th problem is the only problem in the list , that has an organic quality, since a solution to the problem should be replaced by organic quality , as a solution to the problem contains inherently the formulation of the problem itself. Similar to the invention of calculus we need to develop a new language that emphasizes not just the value of a mathematical result but also the way that it changes. So we need to find a way to immerge those two aspects of math and the real world.

5. Organic mathematics
The Klein bottle invented by Felix Klein, is a mathematical model that demonstrates the quality of merging two opposite sides. The two different sides look separates only from the local point of view but from the global point of view the are one. Using this ability , an organic mathematics language should make the bridge between 3 polarities.

But We know that this ability as the model of Klein bottle can be reached only in the 4 th dimension. by an observation on what can't be observed in infinite we reach the goal :
I can be observed

But differ from Goedel steps we deal with the relation between math and the physical world. So , Instead of logical @ arithmetical sequence as goedel did , we need to find an environment to make physical@mathematical an experience in the effort to solved the 6 th problem of Hilbert . Since I belive that today there is no one Hilbert but many of him . A nice homage to Hilbert will be a common effort to solve one of his problems during the 6 days of the conference "100 to Hilbert".

Moshe klein (interacts) Amos

מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331721
העניין הוא שהטענה "לכל קבוצה x מתקיים..." לא גוררת את הטענה לפיה יש בכלל קבוצה!

אגב, בשפה פורמלית אין דבר כזה "הגדרת תכונה". יש רק טענות שמשתמשות באוצר מילים קבוע מראש. האקסיומה בה אנחנו עוסקים היא *טענה* לפיה קיימת קבוצה שכל קבוצה אינה איבר שלה. כאשר אנחנו מדברים בשפה טבעית, אנחנו נותנים לה שם לצורך הנוחות, וזאת הגדרה.

וגם אני יודע שאתה לא יודע.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331739
"העניין הוא שהטענה "לכל קבוצה x מתקיים..." לא גוררת את הטענה לפיה יש בכלל קבוצה!"

אם מישהו טוען טענות כנ"ל, זה לא גורר שיש לו מה לטעון.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331766
אתה טוען שבכך שאנו אומרים ש"לכל x מתקיים..." אנחנו מניחים שיש קבוצות. לכן באקסיומת הקיום של הקבוצה הריקה אסור להשתמש בכמת "לכל".

הטעות שלך היא שהכמת "לכל" יכול לרוץ גם באופן ריק. גם אם אין קבוצות, ניתן לטעון ש"כל קבוצה היא קוביה הונגרית". יתרה מזאת - זאת תהיה טענה נכונה לחלוטין.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331781
ד"א, בלוגיקה האריסטוטלית, אם אני זוכר נכון, זה היה אחרת: טענת "לכל..." כללה בתוכה גם טענת "קיים לפחות אחד...". נדמה לי שבימי הביניים התחוללו ויכוחים די סוערים סביב הנקודה הזו.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331807
אתה מתעלם מעקרי דברי שהם:

הכמת "לכל" איננו אלא שלוחה של תודעתנו, ואין לו קיום במנותק מתודעתנו.

אנו יוצרים את הכמת "לכל" ואנו גם יוצרים את "זירת הריצה" שלו.

במקרה של אקסיומת הקיום של ZF "זירת-הריצה" היא *לא פחות* מקבוצות, ומושג הקבוצה אינו ניתן להבנה ללא שני המצבים ההכרחיים שהם:"ריק"/"לא-ריק".

לכן אין שום צורך בנוסך הפתלתל המבוסס על ההונאה-העצמית של "אני לא יודע שאני יודע".
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF (גרסה מתוקנת אומגה) 331699
"אני יודע בדיוק מהו x"

עיין נא בתגובה 331691

תודה.

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים