בתשובה להאייל הצעיר, 23/09/05 21:27
חקירת מושג הקבוצה 331850
האם אפשר להציג מתמטית (אל"מ) חשיבה אנושית מסוג A AND NOT A?
חקירת מושג הקבוצה 331870
אני לא בטוח שאני מבין למה אתה מתכוון, אבל הביטוי A AND NOT A היא טענה פורמלית תקנית לחלוטין ‏1. היא פשוט לא נכונה באף מערכת עקבית.

1 נו, ברוב השפות המעניינות.
חקירת מושג הקבוצה 331872
אני מתכוון בדיוק למה ששאלתי. דרך חשיבה אנושית שפועלת A AND NOT A, המובילה להסקנת מסקנות [ועקביות] על העולם.
חקירת מושג הקבוצה 331876
אתה יכול לתת דוגמה לחשיבה כזאת?

(בכל אופן, בהחלט ניתן לבנות מערכות אקסיומות שלא יפעלו באותה דרך כמו הלוגיקה "הרגילה". יתרה מזאת: אם זאת מערכת אפקטיבית, ניתן לבנות אותה *בתוך* ZF. לעובדה הזאת יש גם השלכות פילוסופיות מסוימות, שיהיה לי קל להדגים אותן אם תדגים לי את אותה דרך חשיבה עליה אתה מדבר).
חקירת מושג הקבוצה 331988
תהליך מחשבתי מקובל לבנית משמעות לדבר מה A היא בהסתמכות על משמעותם של B,C,D ידועים. אבל לפעמים אנחנו מפעילים תהליך מחשבתי שנותן משמעות ל A ספציפי דרך הנגדה עם NOT A. למשל כשאחנו מתארים מישהו כ'גבוה' או 'רתחן' אנחנו מגיעים לזה תוך הנגדה מובלעת עם 'לא גבוה' או "לא רתחן'. במקרה השני, התהליך לוקח בחשבון את ההתנהגות שלו אותה אנחנו רואים 'צועק מכעס,' יחד עם התנהגות אלטרנטיבית מדומינת כמו 'הוא היה יכול שלא לצעוק,' ומגיעים למסקנה על אופיו. כך נתנו משמעות ל A - הערכתנו את האדם איתו אנחנו משוחחים - על ידי הנגדה בו זמנית עם NOT A.

מקווה שזה יותר ברור.
חקירת מושג הקבוצה 331992
אתה לא מדבר על מצב שאנחנו טוענים ש-A מתקיים וגם לא-A מתקיים. אתה מדבר על זה שאנחנו יודעים מה זה A וגם יודעים מה זה לא-A. הסימון A AND NOT A איננו מתאים במקרה הזה.

בכל אופן, גם במתמטיקה קורה הרבה שאנחנו מגדירים לא-A תוך שימוש בהגדרות אחרות, וכתוצאה מכך A מוגדר "אוטומטית". האם המתמטיקה *מתעסקת* בדרכי חשיבה כאלה? אני לא חושב שיש בכלל תורה מתמטית שמתעסקת בהגדרות. אני גם משער שתורה כזו לא תהיה מעניינת במיוחד.
חקירת מושג הקבוצה 331993
אנחנו כן טוענים ש A מתקיים וגם לא-A מתקיים. 'גבוה' 'נמוך' מתקיימים יחדיו. זה שעבור תהליך המחשבה לאחד יש חיזוק אמפירי והשני נמצא במישור מדומין-אידאי לא משנה את העובדה ששניהם קיימים לצורך התהליך. אפשר להפסיק כאן.
חקירת מושג הקבוצה 331998
מצד שני, אפשר גם להמשיך, אם אין לך התנגדות. זאת כן שאלה חשובה.

"גבוה" ו"נמוך" אינן טענות. אלה תכונות. "אני גבוה" זו טענה. אם תרצה, גם "הייתי יכול להיות נמוך" זו טענה (על אף שהיא בעצם לא אומרת כלום ‏1). לא מתקיים "אני גבוה" וגם "אני נמוך". כן יכול להתקיים "אני גבוה" וכן "הייתי יכול להיות נמוך".

1 <התפלספות> האמנם? יש שתי דרכים מקובלות לעסוק בלוגיקה של טענות. הראשונה היא הגישה הבינארית, לפיה כל אות שמסמנת טענה למעשה שווה לאחד משני איברים, "אמת" או "שקר". השנייה היא הגישה הקבוצתית, שמסמנת טענה כקבוצה. כך "a או b" בלוגיקה הבינארית הופכת ל"A איחוד B" בלוגיקה הקבוצתית, "לא a" בלוגיקה הבינארית הופכת ל"משלים של A (ל-U, קבוצת כל התרחישים האפשריים)" בלוגיקה הקבוצתית, וכו'.
באיזה מובן קבוצה (חלקית ל-U) היא "נכונה"? יש תרחיש אחד שהוא ה"אמת", ואותו נסמן ב-u. טענה-קבוצתית A היא "אמיתית", אם u שייכת ל-A. מעתה, לכל טענה קבוצתית שתסומן באות גדולה, נסמן את הטענה הבינארית לפיה u שייכת לה, באות הקטנה המתאימה.
הבעיה מתחילה כשמסמנים גרירה ב"לוגיקה הקבוצתית" באמצעות סימן ההכלה. הבעיה היא קודם כל שבעוד "A איחוד B" ודומיהן הן קבוצות, "A מוכל ב-B" היא טענה במובן הבינארי. בעיה שנייה היא שליחסים האלה אין את אותן תכונות. עבור כל שתי טענות p,q, אחת מהן גוררת את השנייה ע"פ הלוגיקה הבינארית. כמובן שתכונה זו לא מתקיימת עבור יחס ההכלה בלוגיקה הקבוצתית. השלישית, והיא החשובה ביותר, היא שטענת ההכלה *חזקה* יותר מטענת הגרירה הבינארית. הטענה
p --> q
שקולה במודל הבינארי לטענה
~p or q
ולכן תתורגם למודל הקבוצתי כ"(u שייכת לקבוצה) P-משלים איחוד Q".
לעומת זאת הטענה "P מוכלת ב-Q" אומרת ש*כל* x ב-U שייך ל-P-משלים איחוד Q.
למעשה, במודל הקבוצתי ניתן לטעון טענות על כל התרחישים האפשריים-היפותטית. כך ניתן גם לומר "לא הייתי יכול להיות נמוך".
<\התפלספות>
חקירת מושג הקבוצה 332694
אם כך, חבל לקבור את הנושא הזה תחת הררי המונדיות, מה עוד שסביר שהדיון הזה יהיה שקול למחיאת ידים בכף יד אחת (אני היא היד החסרה, אם אתה תופס להיכן אני נרדף-ט)
חקירת מושג הקבוצה 334060
1 מה התפלספות?
מה שתארת נקרא בדרך כלל אלגברה בוליאנית והוא כלי שימושי לכל מיני דברים בלוגיקה:
לצורכי הצרנה של "הייתי יכול להיות נמוך" לוגיקה מודאלית ניראת מתאימה יותר:
חקירת מושג הקבוצה 334246
זה בדיוק העניין: לא דיברתי על אלגברה בוליאנית ‏1. דיברתי על כך שיש שתי דרכי רישום לטענות לוגיות: האלגברה הבוליאנית ומודל שמשתמש בקבוצות. כל טענה שניתן לנסח באלגברה בוליאנית אפשר לתרגם לטענה על מודל הקבוצות, אך לא להיפך.

בכל אופן, תודה על הקישורים. לא הכרתי עד עכשיו את הלוגיקה המודאלית.

1 כלומר, דיברתי, אבל לא זה היה העניין.
חקירת מושג הקבוצה 334276
עכשיו אני לא בטוח שהבנתי אותך. אלגברה בוליאנית זה לא רק ''אמת'' ו''שקר'', אלא משהו כללי יותר שכולל את מודל הקבוצות שתארת (אם הבנתי אותו נכון). את הטענה השניה אני מנסח בתור ''לא כל האלגבראות הבוליאניות שקולות (לגבי טענות מסדר שני)''.
חקירת מושג הקבוצה 334404
צודק. קראתי שוב את הפסקה הרלוונטית בערך בויקיפדיה, וגיליתי שדיברתי, בלי לדעת, על אלגברה בוליאנית.

אני כנראה גאון שמאחר את זמנו :-) .
חקירת מושג הקבוצה 334420
אם כבר מדברים על זה, אז שים לב שאלגברה בוליאנית היא משהו כללי יותר מאשר קבוצת כל תתי-הקבוצות של קבוצה נתונה עם חיתוך ומשלים. למעשה, זה שקול למשפחה של תתי-קבוצות כאלו, הסגורה לחיתוך ומשלים. בעזרת המקרים שלא טריוויאליים האלו בונים כפיות‏1.

1 אם כי אני מעדיף את הגישה של kunen, שעובדת עם סתם יחסי סדר.
הערה שימושית 334476
(כפיות זה forcings ולא tea spoons)
הערה שימושית 334499
אתה ואלון, party poopers תגובה 320231.

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים