בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 24/09/05 0:39
חקירת מושג הקבוצה 331883
הבעיה היא חוסר העיקביות של ZF בטיפול האינסוף, לדוגמא:

ציטוט:

Axiom of regularity (Axiom of foundation) implies that no set is an element of itself
Let A be a set such that A is an element of itself and define B = {A}, which is a set by the axiom of pairing. Applying the axiom of regularity to B, we see that the only element of B, namely, A, must be disjoint from B. But the intersection of A and B is just A. Thus B does not satisfy the axiom of regularity and we have a contradiction, proving that A cannot exist.

זאת אומרת שלפי ZF לא יכולה להתקיים ...{{{N}}}...
אך לפי אקסיומת האינסוף:
If n us in N then n+1 is in N

ואנו מקבלים קבוצה שאיבריה הם ב-Bijection עם רמות הרקורסיה של ...{{{N}}}... ולכן ...{{{N}}}... שקול ל-N הבנוי "לגובה".

מכאן שיש חוסר עיקביות בין הגדרת N לאיסור קיום ...{{{N}}}...
חקירת מושג הקבוצה 331888
או.קיי, N שקולה לקבוצת "רמות הריקורסיה" (מושג בעייתי מאוד לכשעצמו ‏1) של קבוצה-שהיא-האיבר-היחיד-של-עצמה ‏2. איפה אתה רואה חוסר עקביות?

1 רמות הריקורסיה לא עוסקות באובייקטים שונים, אלא בדרכים שונות להציג את אותו אובייקט. כדי "למנות" את רמות הריקורסיה יש לעשות טריק דמוי-גדל, לבנות בתוך המערכת "מערכת בת" זהה לה, ו"למנות" את מספר הדרכים לייצג בה את הקבוצה, תוך שימוש ב-"{", "}", ו-"N" בלבד (מה שעוד יותר בעייתי, כי אין "מילה" כזאת N בשפה של המערכת). כשמציגים את זה ככה, זו לא נראית קבוצה מלאת חשיבות, נכון?
2 אגב, האם קינון טרנספיניטי נחשב? כי אם כן, הטענה איננה נכונה. אם עובדים על פי השיטה בהערה ‏1, אז קינון טרנספיניטי לא נחשב.
חקירת מושג הקבוצה 331889
" איפה אתה רואה חוסר עקביות?"

הגדרת N ל"אורך" ואיסור ...{{{N}}}... ל"גובה"

אגב אינך צריך את N לצורך זה וניתן למצוא את אותה שקילות בין N ל- ...{{{}}}...
חקירת מושג הקבוצה 331893
תיקון:
אגב אינך צריך את ...{{{N}}}... לצורך זה וניתן למצוא את אותה שקילות בין N ל- ...{{{}}}...

"כשמציגים את זה ככה, זו לא נראית קבוצה מלאת חשיבות, נכון?"

אודה לך אם לא תתבל את תגובותיך בתוכן לא רלוונטי.
חקירת מושג הקבוצה 331899
<הערה עוקצנית>
הייתי מבקש ממך אותו דבר, אבל חברי המערכת שונאים שמציפים את האתר בתגובות ריקות.
<\\הערה עוקצנית>

מה שאמרתי רלוונטי מאוד, ואיננו תבלין כלל וכלל. בהינתן קבוצה A שהיא היחידה ששייכת לעצמה, עוצמת הקבוצה
{ A, {A}, {{A}}, {{{A}}}, {{{{A}}}}... }
היא בדיוק 1!
לכן, אתה לא יכול לטעון לשקילות בין הקבוצה הזאת לקבוצת הטבעיים. אתה, לעומת זאת, עוסק בקבוצת רמות הקינון, שהיא הקבוצה:
{ "A", "{A}", "{{A}}", "{{{A}}}", "{{{{A}}}}"... }
זו קבוצת *דרכי הרישום* של A. למעשה, זו קבוצת דרכי הרישום של A שעונה על אילוצים מסוימים.

וכן, זאת לא נראית קבוצה מעניינת.
(מצד שני, אסור לסמוך על התחושות שלי יותר מדי.)
חקירת מושג הקבוצה 331902
"מה שאמרתי רלוונטי מאוד, ואיננו תבלין כלל וכלל. בהינתן קבוצה A שהיא היחידה ששייכת לעצמה, עוצמת הקבוצה

{ A, {A}, {{A}}, {{{A}}}, {{{{A}}}}... }

היא בדיוק 1!"

הכיצד?

הריי:

1 <--> A
2 <--> {A}
3 <--> {{A}}
...

חקירת מושג הקבוצה 331903
את הטענה "A היא היחידה ששייכת לעצמה" ניתן לבטא כך:
A={A}
ולכן:
A={{A}}
A={{{A}}}
A={{{{A}}}}
וכל האיברים של אותה קבוצה
{ A, {A}, {{A}}, {{{A}}}, {{{{A}}}}... }
למעשה שווים. לכן עוצמתה 1.

לעומת זאת, קבוצת רמות הקינון של הקבוצה, היא בסה"כ קבוצה של דרכים מסוימות לסימון הקבוצה A.
חקירת מושג הקבוצה 331909
האם נובע בכך ש:

a={a}

במסגרת ZF?

אם כך הדבר, האם:

{a,b,c,…} = {{a},{b},{c},…} ?
חקירת מושג הקבוצה 331923
לא עבור *כל* x מתקיים
x={x} .
דיברנו על קבוצה *מסוימת* שהגדרנו כך שהיא תקיים את התנאי הזה. גם לגביה יש בינינו הסכמה שההגדרה הזאת לא תקינה.
חקירת מושג הקבוצה 331894
לא הגדרתי איסור {{{N}}}. רק אמרתי שלא מתקיים
N={N}
למשל, כי N אינסופית בעוד {N} סופית מאוד (כאשר N היא קבוצת הטבעיים).

אני לא רואה שום בעיתיות בסדרה
{},{{}},{{{}}},{{{{}}}}...
אלא אם כן בא מישהו וטוען שכל האיברים בה שווים.

אין לי מושג מהן הגדרות "לאורך" ו"לגובה".

אני לא מבין איך שקילות סותרת את ה-Axiom of Foundation.
חקירת מושג הקבוצה 331913
אני לא מבין על מה אתה מדבר.

ראשית, חשבתי שהסכמנו כבר שלא מתעסקים יותר בקבוצות "רקורסיביות אינסופיות", ואם אתה אומר שגם ZF לא מתעסקת איתן, מה טוב.

אבל עכשיו, למה אתה מערב את הקבוצה המסכנה N בכך? עד כמה שידוע לי היא לא קבוצה רקורסיבית שכזו. היא בהחלט לא איבר של עצמה - קבוצת המספרים הטבעיים אינה מספר טבעי, תקן אותי אם אני טועה.

בצורה מדוייקת יותר אפשר לומר שהמספר הטבעי k הוא מהצורה {{{...}}} - k זוגות סוגריים, ואילו N היא אוסף של כל האיברים הללו, ולכן היא לא מורכבת בעצמה רק מאוסף של זוגות סוגריים (כי למשל היא מכילה גם את {} וגם את {{}}) ולכן אינה איבר של עצמה.

לכן אין איתה בעיה של "רקורסיביות אינסופית". הדבר היחיד שאולי מטריד בה זה שיש בה אינסוף איברים שכל אחד מהם מתקבל מהקודם על ידי הוספת סוגריים ("1+"). לי זה לא כל כך מפריע. אם לך זה מפריע, זה כבר עניין של טעם ואתה מוזמן להציג את מערכת האקסיומות שלך ולנסות לשכנע אותנו שהיא עדיפה (לא נראה לי שזה יקרה) אבל אי אפשר להגיד שיש חוסר עקביות ב-ZF.
חקירת מושג הקבוצה 331947
"אבל אי אפשר להגיד שיש חוסר עקביות ב-ZF."

בוא ונבחן את הטענה לגבי שתיי אקסיומות:

א) Axiom of regularity (or axiom of foundation): Every non-empty set x contains some element y such that x and y are disjoint sets.

ב) Axiom of power set: Every set has a power set. That is, for any set x there exists a set y, such that the elements of y are precisely the subsets of x.

{{}} הינו איבר של:
P(N)

{{{}}} הינו איבר של:
P(P(N))

{{{{}}}} הינו איבר של:
P(P(P(N)))

...

ולכן קיימת קבוצה
{{},{{}},{{{}}},...}

שניתנת לחד-חד ועל עם N:
1 <--> {}
2 <--> {{}}
3 <--> {{{}}}
...

בקיצור (ב) מגדירה את מה ש-(א) אוסרת, ותוצר (ב) שקול ל-N.
חקירת מושג הקבוצה 331953
לא הבנתי איך נסתר א'. אני גם לא בטוח מה אתה בדיוק מגדיר בתור N, אבל אני משער שהכוונה לקבוצה {{},{{}},{{{}}},...}.
חקירת מושג הקבוצה 331954
N שהצגת היא *לא* איחוד של
N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N)))...
למה? כי קיימת קבוצה {{},{{}}} שהיא איבר של הקבוצה P(N), ואיננה איבר של N.

לקבוצה N שייכים איבר כלשהו של N, איבר כלשהו של P(N), איבר כלשהו של P(P(N)) וכו'. זה לא סותר את א' בשום צורה.
חקירת מושג הקבוצה 331961
"זה לא סותר את א' בשום צורה."

חביבי התוצאה קובעת בשיטה הפורמלית ולא הדרך אל התוצאה, ולכן מה שאוסרת (א) מייצרת (ב).

קרא לזה "*לא* איחוד של N" או איזה שם אחר שתבחר לתוצר (ב), אבל זה לא ישנה כהוא זה את העובדה שמה שאוסרת (א) מתקיים ע"י (ב), והמבחן הוא מבחן התוצאה ולא שום דבר אחר בשיטה פורמלית.
חקירת מושג הקבוצה 331964
אני לא יודע על איזו "דרך אל התוצאה" אתה מדבר. התוצאה שאליה הגעת לא סותרת את א'. אתה רק הראית שקיימת קבוצה N, שיש לה איבר מכל קבוצת חזקה-של-חזקה-של-חזקה שלה.
חקירת מושג הקבוצה 331972
"אתה רק הראית שקיימת קבוצה N, שיש לה איבר מכל קבוצת חזקה-של-חזקה-של-חזקה שלה."

הראיתי כיצד (ב) מאפשרת את מה ש-(א) אוסרת.

בקיצור:

…P(P(P(N))) --> …{{{N}}}…
חקירת מושג הקבוצה 331973
*אם* ניתן להגיע לאינסוף P (קבוצת החזקה האומגה של N), *אז* ניתן להגיע לקינון אינסופי.

ה"אם" הזה הוא "אם" גדול מאוד (ונדמה לי שדנו בו כבר פעם ב"אייל").
חקירת מושג הקבוצה 331975
"ה"אם" הזה הוא "אם" גדול מאוד "

כל מה שנדרש הוא להבין שקינון אינסופי שקול ל- חד-חד ועל עם N,
והראתי זאת בבירור בתגובה 331947
חקירת מושג הקבוצה 331981
קינון אינסופי כזה מכיל איבר יחיד (את עצמו). הוא לא שקול ל-N.

כמו כן, לא קיימת פונקציה חד-חד ערכית מקבוצת החזקה האינסופית של N על N. קיימת רק פונקציה חד-חד ערכית (שאינה על) מ-N ל-קבוצת החזקה האינסופית של N.
חקירת מושג הקבוצה 332003
"קינון אינסופי כזה מכיל איבר יחיד (את עצמו). הוא לא שקול ל-N."

זה בערך כמו שתגיד לא ש ...0.999 לא שקול ל-‏0.9 + 0.09 + 0.009 + …
חקירת מושג הקבוצה 332006
אני לא רואה את הקשר. בכל אופן:
עוצמת N היא א_0.
עוצמת {N} היא 1.
עוצמת {{N}} היא 1.
עוצמת {{{N}}} היא 1.
עוצמת {{{{N}}}} היא 1.
...

לא חשוב כמה פעמים תחזור על התהליך. עוצמת הקבוצה שתקבל היא 1.
חקירת מושג הקבוצה 332008
"לא חשוב כמה פעמים תחזור על התהליך. עוצמת הקבוצה שתקבל היא 1."

כפי שאמרתי, אני טוען לזהות בין 0.9 + 0.09 + 0.009 + … ל-...0.999 ולכן קיים חד-חד ועל, כפי שניתן לראות בתגובה 331947

כמו כן הגב נא לתגובה 332000
חקירת מושג הקבוצה 332012
"אני טוען לזהות בין 0.9 + 0.09 + 0.009 + … ל-...0.999" - גם אני מסכים לזהות הזאת. היא לא קשורה בשום צורה לנושא שבו אנחנו עוסקים, אבל היא נכונה.

"ולכן" - מה הקשר?

"קיים חד-חד ועל" - אין לי מושג מה אומרת הטענה הזאת. לו היית אומר "קיימת *התאמה* חד-חד *ערכית* ועל *מקבוצה A לקבוצה B*" הייתי מבין אולי על מה אתה מדבר. כדאי שתבהיר *בין איזה קבוצות* יש לטענתך התאמה כזאת, ומה המשמעות של זה.

"כפי שניתן לראות בתגובה 331947" - התגובה הזאת מראה רק שקיימת קבוצה N, שמכילה איבר אחד מכל "רמת חזקה" שלה.

"כמו כן הגב נא לתגובה 332000" - הגבתי.
חקירת מושג הקבוצה 332114
""אני טוען לזהות בין 0.9 + 0.09 + 0.009 + … ל-...0.999" - גם אני מסכים לזהות הזאת. היא לא קשורה בשום צורה לנושא שבו אנחנו עוסקים, אבל היא נכונה.

ועוד איך היא קשורה, כי אם אתה מסכים לנ"ל, אז אתה חייב להסכים לשקילות בין ...{{{}}}... (המקביל ל-...0.999) לבין {},{{}},{{{}}},{{{{}}}}... (המקביל ל-‏0.9 + 0.09 + 0.009 + …)

"קיים חד-חד ועל" - אין לי מושג מה אומרת הטענה הזאת. לו היית אומר "קיימת *התאמה* חד-חד *ערכית* ועל *מקבוצה A לקבוצה B*" הייתי מבין אולי על מה אתה מדבר. כדאי שתבהיר *בין איזה קבוצות* יש לטענתך התאמה כזאת, ומה המשמעות של זה".

1 <--> {} <--> 0.9
2 <--> {{}} <--> 0.09
3 <--> {{{}}} <--> 0.009
...

חקירת מושג הקבוצה 332185
אין דמיון בין שני הדברים. בוא אני אנסה לתת לך דוגמה שאולי תבהיר את זה. ידוע ש
0.9+0.09+0.009...=0.999...
אם כך, תסכים גם ש:
0.1*0.11*0.111*0.1111...=0.11111...
האם אתה רואה איפה ההבדל?
חקירת מושג הקבוצה 332253
אני אסביר יותר במדויק איפה ההבדל. במקרה המספרי מתקיים:
0.9 = 0.9 a
0.99 = 0.9 + 0.09
0.999 = 0.9 + 0.09 + 0.009
0.9999 = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009
... a
ולכן נהוג לסמן:
0.9999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009... a
עם זאת כאשר מדובר בקבוצות:
{} != {{}} a
{{}} != {{},{{}}}
{{{}}} != {{},{{}},{{{}}}}
{{{{}}}} != {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}}}
כך שאין שום סיבה להסיק:
...{{{}}}... = {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},{{{{{}}}}}...} a

(נא להתעלם מסימני ה-"a", שכל מטרתם ליישר את הטקסט לשמאל)
חקירת מושג הקבוצה 332268
בדוק אם סימן יוניקוד U+202A‏ (Left-to-Right Embedding) יכול לשמש אותך מבלי להיראות לעין.
חקירת מושג הקבוצה 332289
בדקתי, והוא לא מיישר את השורה. תודה בכל מקרה.

אגב, לא רחוק ממנו מצאתי בטבלת היוניקוד את הסימן הבא: ‪‪‪⌐
שמוגדר כ-"Reversed Not Sign". מישהו מכיר משמעות מקובלת שלו?
חקירת מושג הקבוצה 334161
סימן מאותו איזור שישמש כאות "אנגלית" בלתי־נראית הוא LRM‏: Left Right Mark. קידודו הוא U+200E.

בתגובה הזו השתמשתי בבן־זוגו: RLM, שקידודו הוא U+200F.
חקירת מושג הקבוצה 334164
כשמנסים להיכנס למאמר כדי לקרוא אותו, זה תוקע את המחשב משום מה, איך אפשר לקרוא את המאמר על כל תגובותיו?
חקירת מושג הקבוצה 334248
אם הבעיה היא במאמר הספציפי הזה, הבעיה היא כנראה שיש יותר מדי תגובות שצריכות להטען. אולי כדאי לפתוח את המאמר עם תגובות מכווצות, ולקרוא פתיל-ראשי אחר פתיל-ראשי.
חקירת מושג הקבוצה 332269
שגיאתך הינה פשוטה בתכלית, כי אינך יכול לתאר את:

0.9999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009... a

או:

...{{{}}}... = {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},{{{{{}}}}}...} a

כאוסף השוואות בין מקרים פרטיים סופיים, אלא אתה חייב להתייחס ישירות לאינסופיות שלהם, ואז ורק אז על בסיס האינסופיות, אתה יכול להסיק מסקנות רלוונטיות לגבי היחסים ביניהם.

(נא להתעלם מסימני ה-"a", שכל מטרתם ליישר את הטקסט לשמאל)
חקירת מושג הקבוצה 332277
אבל בוא נאמר שאנו מסכימים כי ניתן לתאר את הנ"ל כאוסף השוואות בין מקרים פרטיים, אך אז הקרדינל של אגף שמאל של הקבוצות נקבע לא לפי התוכן אלא לפי קיום האלמנט המקונן, ואילו הקרדינל של אגף ימין של המשוואה נקבע ע"י הפירוק לרמות הקינון, כאשר פירוק זה משמש כאיבריה של קבוצה ולכן:

{} = {{}} = 1 a
{{}} = {{},{{}}} = 2 a
{{{}}} = {{},{{}},{{{}}}} = 3 a
{{{{}}}} = {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}}} = 4 a
...

(נא להתעלם מסימני ה-"a", שכל מטרתם ליישר את הטקסט לשמאל)
חקירת מושג הקבוצה 332286
קודם כל, שים לב שהפכת את סימני ה-"!=" שלי ("לא-שווה") לסימני שיוויון, ובכך גם קיבלת משוואות שגויות כמו {} = {{}}.

דבר שני, אתה לא יכול להגדיר קרדינל לצד הימני במשוואה וקרדינל לצד השמאלי במשוואה באופן שונה.

לסיום, אנא שים לב שיש בינינו הסכמה על כך שקבוצת האגפים-הימניים וקבוצת האגפים-השמאליים בסדרת המשוואות הזאת שקולות. הטענה אותה העלית בתגובות אחרות היא שה"גבול" של סדרת האגפים השמאליים שקול לגבול של סדרת האגפים הימניים. זו לא אותה טענה.
חקירת מושג הקבוצה 332288
יותר מכך, בוא נלך עוד צעד לקראת ונאמר שאנו עוסקים בהשוואה בין תוכן האלמנט המקונן (אגף שמאל של המשוואה) , ופירוק התוכן לאיברים מובחנים של קבוצה נתונה (אגף ימין של המשוואה):

|{}| = |{}| = 0 a
|{{}}| = |{ {} }| = 1 a
|{{{}}}| = |{ {},{{}} } = 2 a
|{{{{}}}}| = { {},{{}},{{{}}} } = 3 a
...

וכפי שאתה רואה, יש שיוויון בין קרדינל רמות הקינון, לקרדינל קבוצת מצבי הקינון השונים.

(נא להתעלם מסימני ה-"a", שכל מטרתם ליישר את הטקסט לשמאל)
חקירת מושג הקבוצה 332295
קודם כל, קרא את תגובה 332286.

חוץ מזה, קיים פה "שיוויון" רק כי אתה מגדיר קרדינל באופן שונה עבור כל אגף של המשוואה. חוכמה גדולה.
אני גם יכול לחשוב על הגדרה שתאחד את הפעולות שאתה מבצע על שני צידי המשוואה ‏1, אך היא לא קשורה בשום צורה למובן הסטנדרטי של "עוצמה". לכן כדאי לבחור עבורה שם אחר, לדוגמה: "רמת קינון".

1 רמת קינון: עבור הקבוצה הריקה רמת הקינון מוגדרת כ-‏0, עבור כל קבוצה אחרת, רמת הקינון מוגדרת כרמת הקינון המקסימלית של איבר הקבוצה, ועוד 1. אם אין מקסימום, אז כאינסוף. אם קיים בקבוצה איבר שרמת הקינון שלו אינסוף, גם רמת הקינון של הקבוצה תהיה אינסוף.
חקירת מושג הקבוצה 332309
"חוץ מזה, קיים פה "שיוויון" רק כי אתה מגדיר קרדינל באופן שונה עבור כל אגף של המשוואה. חוכמה גדולה."

אם כך אינך מבין כי רמות הקינון ופירוקן לאברי קבוצה מובחנים, חד-הם.

לדוגמא: אם |{{{{}}}}| = |{{}}| = 1 לשיטתך, הריי שהתעלמת מרמות הקינון והתייחסת רק לכמות האלמנטים הלא-מקוננים הקיימים בקבוצה.

אבל בכך אתה מונע כל אפשרות להדגים את ההשוואה בין קבוצת רמות קינון (שאינה קיימת ב- ZF בגלל אקסיומת היסוד) לקבוצה ב-ZF המתקיימת כאוסף של דרגות הכינון השונות.

אם אתה נוקט בדרך זו, הרי שאינך עוסק בחקירת מושג האיסוף בקינון אינסופי ובאוסף מובחן אינסופי, ומרוקן את הדיון מתוכנו.
חקירת מושג הקבוצה 332313
אני לא מתעלם מההבדל בין {{{{}}}} ל-{{}}. הוא פשוט לא בא לידי ביטוי במושג העוצמה.

למיטב ידיעתי, קבוצת רמות הקינון קיימת גם קיימת (ואף ניתנת לבנייה) ב-ZF. בכל אופן, אינני רואה כיצד היא מתנגשת עם אקסיומת היסוד.

"אינך עוסק בחקירת מושג האיסוף בקינון אינסופי ובאוסף מובחן אינסופי"

הגעת למסקנה הזאת כי אני לא מסכים לקרוא "עוצמה" למשהו שאינו עוצמה.
חקירת מושג הקבוצה 332366
"אני לא מתעלם מההבדל בין {{{{}}}} ל-{{}}. הוא פשוט לא בא לידי ביטוי במושג העוצמה."

בוודאי שלא, אך משום מה אתה בחרת לעשות השוואה בין אלנמטים אינסופיים ע"י השוואת היחסים בין מצבים סופיים של אלמנטים אלה, אז תבוא בטענות לעצמך, כי אני טוען שאינך יכול להסיק דבר מדרך חקירה זו על אלמנטים אינסופיים כפי שכתבתי בתגובה 332269

"למיטב ידיעתי, קבוצת רמות הקינון קיימת גם קיימת (ואף ניתנת לבנייה) ב-ZF."

...{{{}}}... איננה קבוצת רמות-קינון אלא רמות-קינון אינסופיות
אשר לא ניתן להגדירן (פשוטו כמשמעו משורש ג.ד.ר), והן נמנעות ע"י אקסיומת-היסוד.

מטרתי היא להראות כי יש שקילות אי-אפשרות ההגדרה של ...{{{}}}... ואי-אפשרות ההגדרה של קבוצת רמות-הקינון, השקולה לקבוצת המספרים הטבעיים N.

הינה דברי שוב כאשר הלכתי לקראתך והראתי שאפילו אם ננקוט בדרך החקירה שלך (שאיני מסכים איתה) ונחקור אלמנטים אינסופיים ע"י שימוש באלמנטים סופיים, עדיין נקבל שקילות בין רמת קינון סופית כלשהיא לבין קבוצת רמות-הקינון שלה, לדוגמא:

אנו עוסקים בהשוואה בין תוכן האלמנט המקונן (אגף שמאל של המשוואה) , ופירוק התוכן לאיברים מובחנים של קבוצה נתונה (אגף ימין של המשוואה):

|{}| = |{}| = 0 a
|{{}}| = |{ {} }| = 1 a
|{{{}}}| = |{ {},{{}} } = 2 a
|{{{{}}}}| = { {},{{}},{{{}}} } = 3 a
...

וכפי שאתה רואה, יש שיוויון בין קרדינל רמות הקינון, לקרדינל קבוצת מצבי הקינון השונים (מה שאתה קורא לו קבוצת רמות-הקינון) .

טענתי הי פשוטה בתכלית והיא:

רמות הקינון, ופירוקן לאברי קבוצה מובחנים (מה שאתה קורא לו קבוצת רמות-הקינון) , חד-הם. האחד "הולך לעומק" (רמות הקינון) והשני "הולך לאורך" (קבוצת רמות-הקינון).

לכן:

...{{{}}}... = {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},{{{{{}}}}}...} a

(נא להתעלם מסימני ה-"a", שכל מטרתם ליישר את הטקסט לשמאל)
חקירת מושג הקבוצה 332369
בהמשך לתגובה 332366

היות ו:
...{{{}}}... = {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},{{{{{}}}}}...} a

ו:
N = {{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},{{{{{}}}}}...} a

אז:
...{{{}}}... = N

וההסבר המפורט נמצא בתגובה 332188 (ואתה לא הסברת דבר בתגובה 332253)
רחמנות על סימן השוויון. 332374
רחמנות על סימן השוויון. 332377
תודה עוזי, כיצד אסמן "שקול" מבלי לכתוב את המילה?
רחמנות על סימן השוויון. 332381
אני מציע את הסימן "~".
רחמנות על סימן השוויון. 332382
אני ממליץ שלפני שאתה מתחיל לאמץ קיצורי דרך, תסביר באופן מדוייק מאד למה כוונתך ב"שקול".
1. האם הכוונה היא ששני דברים יכולים להיות שקולים זה לזה, או שאולי מדובר בתכונה שיכולה לחול על אובייקט בודד או על יותר משניים?
2. אילו זוגות של דברים יכולים להיות שקולים זה לזה?
3. מתי שני דברים הם שקולים?

(לדוגמא: שני‏1 מספרים טבעיים‏2 הם 'שקולים מבחינת הגודל שלהם'‏3 אם הם שווים‏4 או שסכומם אפס‏5.)

1 זו תשובה לשאלה הראשונה
2 זו תשובה לשאלה השניה
3 כאן בא שמו של היחס שאני מגדיר; לפעמים רוצים לחשוב על יותר מיחס שקילות אחד, ולכן לקרוא לכולם "שקול" עשוי לבלבל
4 כאן אני משתמש ביחס שקילות מוקדם 'שוויון', מתוך הנחה שכולם יודעים מתי שני מספרים טבעיים שווים זה לזה
5 זה סוף התשובה לשאלה השלישית
רחמנות על סימן השוויון. 332395
כוונתי ב- N ~ ...{{{}}}... היא שהקרדינל המדוייק שלהם לא-קיים.
רחמנות על סימן השוויון. 332400
שים לב שבבואך להסביר את המשמעות שבחרת לסימן ~, התעלמת מכל שלושת השלבים שהצעתי לעניינים כאלה.

(אלא אם כוונתך היא ש*שתי* *קבוצות* הן שקולות אם ורק אם *לשתיהן אין קרדינל מדוייק*, ואז אני חושב שזה שימוש קצת מוזר במונח 'שקולות'. האם היית אומר ששני פירות הם "שקולים" אם ורק אם שניהם ירוקים, או שאולי במקרה כזה עדיף לקרוא לכל אחד מהם בנפרד "פרי ירוק"?)
רחמנות על סימן השוויון. 332442
תלוי לאיזה צורך, לא? לצורך הכנת "סלט חמשת הצבעים" פלפל ירוק ומלפפון באמת שקולים (ואני לא מתכוון לעובדה שהקופאית שקלה אותם).
רחמנות על סימן השוויון. 332651
לצורך הכנת סלט צבעוני, אתה יכול להגדיר "*שני* *ירקות* הם שקולים אם הם *בעלי אותו צבע*". אין שום טעם להגיד שהם שקולים אם הם בעלי אותו צבע, שהוא ירוק. זה לא יחסוך שום זמן בחיפוש המרכיבים לסלט (תן לי בבקשה משהו אדום; עכשיו משהו סגול, לא חשוב מה; וכתום, כן - זה די כתום בעיני; משהו לבן - יופי; ועכשיו תן לי איזשהו ירק ששקול למשהו אחר" ("שקול למשהו אחר" זו הדרך שלך לבקש צבע ירוק, ואתה עלול להיות בבעיה אם בכל החנות יש רק דבר ירוק אחד. אולי עדיף לבקש "ירק ששקול לעצמו", אלא שאז אתה עלול להכנס לדיון אימתני עם הירקן בסוגיות של יסודות המתמטיקה).
הבנתי, תודה 332680
רחמנות על סימן השוויון. 332458
אנא עיין ב-http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=45&... כדי להבין כיצד אני מבין ומגדיר את המושג "אוסף אינסופי".

תודה
מצא את ההבדלים 332464
"I know that my approach cannot be grasped easily by persons which are familiar with the standard approach about the successor concept, but at the moment you get it you can see that it is finer than the standard understanding of the successor concept."

"Don't worry about it. You will get it. It takes time to sink in"

אגב, אותי איבדת ב-"we need to define {} as the successor of itself". למה אנחנו צריכים להגדיר את הקבוצה הריקה כעוקב של עצמה? באקסיומות פאנו דווקא בוחרים להדגיש ש-‏0 הוא מספר שאינו עוקב של אף מספר אחר (ולכן בטח שלא צריך לדרוש שהוא יהיה העוקב של עצמו או משהו דומה).
מצא את ההבדלים 332631
"באקסיומות פאנו דווקא בוחרים להדגיש ש-‏0 הוא מספר שאינו עוקב של אף מספר אחר (ולכן בטח שלא צריך לדרוש שהוא יהיה העוקב של עצמו או משהו דומה)."

{} איננו 0 אלא |{}| = 0 , ולכן אין שום קשר בין אקסיומות פיאנו (אשר, דרך אגב, מבוססות על תבנית חשיבה סדרתית בלבד) לתובנות שלי ביחס לעוקב.

אם אתה עוסק במושגים קבוצה ושייכות, הרי שהמינימום ההכרחי לקיום בפועל של קבוצה, היא לא פחות מאשר הקבוצה הריקה {}, ומושג השייכות הוא לא פחות מאשר {} המקונן ב-{} והמקיים את {{}} וכו'.
טענו בחטים והודה לו בשקדי מרק 332642
טענו בפתיתים והודה לו בשקדי מרק 332649
טענו בפתיתים והודה לו בשקדי מרק 332730
לא יכולתם לדחות קצת את הדיון הזה? קצת אכזרי לנהל אותו בדיוק כשסביבי עולים ניחוחות של אוכל מדהים במיוחד, ואין לי מושג מנין הם ואני לא מוזמנת...
טענו בחטים והודה לו בשקדי מרק 332692
בבקשה עוזי, הבמה לרשותך,

הדגם נא לנו את המצב הפשוט ביותר האפשרי של מושג הקבוצה ומושג השייכות.
טענו בחטים והודה לו בשקדי מרק 332695
תגובה 332642
אוי ואבוי, הם מתרבים 332706
אוי ואבוי, הם מתרבים 332756
אני מניח שאתה מתכוון לשקדי המרק.
אוי ואבוי, הם מתרבים 332769
ומה רע בהתרבותם של שקדי המרק?
טענו בחטים והודה לו בשקדי מרק 332811
אני לא יודע לדרג מצבים לפי פשטות, ובוודאי שלא להוכיח שמצב מסויים הוא כל-כך פשוט עד שאי-אפשר להיות פשוט יותר.

בכל אופן, הקבוצה הריקה (שאפשר לסמן כ- {}) נראית לי דוגמא מוצלחת לקבוצה (אם כי אני לא בטוח שאני מבין למה הכוונה ב"מושג הקבוצה"). הקבוצה הריקה שייכת לקבוצה {{}}, ומצד שני לה בעצמה אין איברים בכלל.

(חשבתי שהמטרה היתה לפענח את סימן השוויון מלפני כמה תגובות).
טענו בחטים והודה לו בשקדי מרק 332978
בנושא זה, אני מבחין בין שתיי מערכות מושגים הופכיים:

א)פשטות/מורכבות

ב)פשטנות/מסובכות

(א) היא היחס שכדאי לשאוף אליו והוא: פשטות מירבית המשמשת כמקור מכונן למורכבות מירבית, כאשר יחס הופכי זה הוא בר העצמה.

יחס (ב) הוא הדבר שיש להמנע ממנו.
מתחדישיו של מחייה השפה העברית... 333020
לדעתי, "פשטני" היא מילה נרדפת ל"רדוד" או "שטחי", כלומר ההפך של "עמוק".
"מסובכות" (?) נשמעת לי כמו מילה נרדפת ל"מורכבות".
מתחדישיו של מחייה השפה העברית... 333033
מסובכות הינה תוצר של אוסף פתרונות פשטניים, אשר אינם מקושרים זה לזה באופן אלגנטי.

מורכבות הינה תוצר של אוסף פתרונות פשוטים המקושרים ביניהם באופן אלגנטי.
מתחדישיו של מחייה השפה העברית... 333037
יותר מכך, מורכבות הינה תוצר של אוסף פתרונות פשוטים, כאשר פתרון פשוט הוא המינימום ההכרחי לקיומו של פתרון.

מינימום הכרחי נמדד עפ''י דרגת הסימטריה הפנימית המכוננת אותו, ולכן מערכת מורכת הינה ביטויי לשילובן של סימטריות שונות תוך שאיפה להגשמתה של סימטריה מכוננת המתקיימת בבסיסם.

מערכות מסובכות אינן מכוננות סימטריה, ואינן שואפות לבטא פשטות אלגנטית הנובעת מקשרים סימטריים עמוקים.
מתחדישיו של מחייה השפה העברית... 333126
תודה על הדגמה מצוינת למושג ''מסובכות''.
מתחדישיו של מחייה השפה העברית... 334016
תודה לעצמך.
טענו בחטים והודה לו בשקדי מרק 332982
עוזי תאר נא את אי-ידיעתך תוך התייחסות ל:

"אם אתה עוסק במושגים קבוצה ושייכות, הרי שהמינימום ההכרחי לקיום בפועל של קבוצה, הוא לא פחות מאשר הקבוצה הריקה {}, ושייכות היא לא פחות מאשר {} המקוננת ב-{} והמקיימת את {{}} וכו'."

אנא הסבר לנו את קשייך עם הנ"ל.

תודה.
טענו בחטים והודה לו בשקדי מרק 333051
אני לא בטוח שאני יודע לתאר את אי-ידיעתי. נדמה לי שזה קינון של אי ידיעה בתוך אי ידיעה, אבל מי יודע.

אני מתרגם את הטענה במרכאות לטענה שאני מבין: "יש רק קבוצה אחת המוכלת בכל קבוצה אחרת, והיא הקבוצה הריקה. הקבוצה הלא-ריקה שסכום העוצמות של איבריה הוא הקטן ביותר, היא {{}}".
אם יש לזה משמעויות פילוסופיות או אחרות, אני מפספס אותן לחלוטין.
טענו בחטים והודה לו בשקדי מרק 333100
תודה לך עוזי על תשובתך.

האם לדעתך יכולה להתקיים קבוצה אלמנטרית יותר מאשר הקבוצה-הריקה?
טענו בחטים והודה לו בשקדי מרק 333210
הייתי יכול לענות לו הייתי יודע למה אתה מתכוון ב''אלמנטרי''.
טענו בחטים והודה לו בשקדי מרק 333267
אלמנטרי:

ישות יסודית, שאי-קיומה מונע את קיומם של אלמנטים המורכבים ממנה (תרתי משמע).

אם {} לא קיימת, אז {{}} לא קיימת.

לעומת זאת אם {{}} לא קיימת , {} קיימת.

לכן {} הינה קבוצה אלמנטרית ואילו {{}} הינ קבוצה מורכבת.
רגע 333269
ואני חשבתי ש"כל מושג צריך להיות מובן עד תומו *טרם* השימוש בו"‏1, אז איך אתה מגדיר אלמנטרי על ידי השימוש באלמנטרי?

1 תגובה 329486
רגע 333285
אלמנטרי:

ישות יסודית, שאי-קיומה מונע את קיומם של אלמנטים המורכבים ממנה (תרתי משמע).

עכשיו הסבר נא איפה אתה רואה שימוש במושג אלמנטרי כדי להגדיר אלמנטרי?
רגע 333287
בוא ונחדד עוד יותר את ההסבר:

אלמנטרי (הגדרה):

ישות יסודית, שאי-קיומה מונע את קיומם של אלמנטים המורכבים ממנה (תרתי משמע).

ועכשיו דוגמאות והסברים:

דוגמא 1:

אם {} לא קיימת, אז {{}} בהכרח לא קיימת.

הסבר לדוגמא 1:

אם {} אינה קיימת ב-{{}} אז {{}} אינו אלא {}, אך {} לא קיימת לכן {{}} אינה יכולה להתקיים ללא {} כאלמנט יסוד שלה.

דוגמא 2:

אם {{}} לא קיימת , לא נובע בהכרח ש-{} לא קיימת.

הסבר לדוגמא 2:

אם אנו מסירים את הסוגריים החיצוניים של {{}}, {} קיימת, ולכן קיום {} אינו תלוי בקיום {{}}.

מסקנה:

{} הינה קבוצה אלמנטרית ואילו {{}} הינה קבוצה מורכבת.
רגע 333474
כלומר A יותר אלמנטרית מ- B אם ורק אם A מוכלת ב- B (אפשר גם להגדיר עם שייכות במקום הכלה), למה להמציא מושג חדש?
רגע 333485
זה קצת יותר מסובך.

הצעה לדורון (הגדרה מסודרת ל"אלמנטרי"). ראשית, נאמר שקבוצה x היא "מרכיב" של קבוצה y, אם קיימת סדרה **סופית** של קבוצות y1,y2,...,yn, כך ש- y1 איבר של y, ו- y2 איבר של y1, ו- y3 איבר של y2 וכו', עד ל- yn שהוא איבר של (y(n-1 ו- x שהוא איבר של yn.
למשל, כל איבר של קבוצה הוא "מרכיב" שלה, וגם כל האיברים של האיברים, וכן הלאה.

(לתהליך הזה שבו היחס "מרכיב" נולד מתוך היחס "שייך" קוראים "סגור טרנזיטיבי" (בחולם)).

כעת, דורון מגדיר "קבוצה אלמנטרית" בתור "קבוצה שהיא מרכיב בכל קבוצה לא ריקה" (כדאי להרהר לרגע מה זה אומר).

בתגובה 333100 הוא שואל (בעצם) שתי שאלות:
1. האם הקבוצה הריקה היא אלמנטרית?
2. האם יש עוד קבוצות אלמנטריות?

לשאלה השניה, כמובן שלא: המרכיב היחיד של {{}} הוא הקבוצה הריקה.

לגבי השאלה הראשונה, נדמה לי שהתשובה שלילית, אבל בשלב הזה קצת מוקדם לעלות עם חד-אופן על חבל מתוח.
רגע 333501
מה דעתך על ההגדרה הזו למרכיב: x הוא מרכיב של y אם הוא איבר של y או איבר של מרכיב של y.

בפרט, האם ההגדרה הזו "חזקה יותר" (כלומר, מאפשרת סדרה לא סופית) ואם כן, האם זה רע/לא תואם את מה שדורון מדבר עליו?

בקשר ל-‏1, תוכל להסביר את כיוון המחשבה שלך? אם בונים בצורה פורמלית את כל הקבוצות בעזרת הקבוצה הריקה, נראה לי שהיא כן תהיה מרכיב בכל קבוצה.
רגע 333504
(הדגמה לזה שמתמטיקאים מתחמקים מעיסוק בהגדרות עקרוניות)

זו לא הגדרה מוצלחת, כי היא רקורסיבית (אתה מגדיר "מרכיב" במונחי אותו מושג). בהקשרים מסויימים זה רעיון מצוין‏1, אבל בתור כלל אצבע, הייתי אומר שאפשר להשתמש בהגדרות כאלה רק כשברור שאפשר להסתדר גם בלעדיהן; מצד שני, אם *אפשר* להסתדר בלעדיהן, אז הגדרות רקורסיביות הן כלי מאד מוצלח ואלגנטי.

בעצם אתה לא מגדיר את המושג "מרכיב" (רקורסיביות, כאמור), אלא נותן קריטריון, אילו יחסים נחשבים ל"יחסי מרכיבות": "יחס מרכיבות הוא יחס שבו x מתייחס ל- y אם ורק אם הוא איבר של y, או מתייחס לאיבר של y" (כאן אין שום רקורסיביות, כי היחס עומד "מחוץ" להגדרה). כעת אפשר להוכיח שחיתוך של אוסף יחסי מרכיבות גם הוא יחס מרכיבות, ואז אפשר להתבונן ביחס המרכיבות הקטן ביותר. הפלא ופלא - זה היחס "מרכיב" שאני הגדרתי...

1 למשל: הדוגמא הראשונה שהתגלתה לחבורה (נוצרת סופית) עם גידול‏2 שאיננו פולינומיאלי וגם איננו אקספוננציאלי, נראית בערך כך: זוהי החבורה שנוצרת על-ידי האיברים a,b,c,d, כאשר
a=(1,b), b=(c,1), c=(d,d), d=(1,a).

2 חבורה היא הרי אוסף של מכפלות (תמיד סופיות) של ה"יוצרים" שלה, אלא שבדרך כלל יש כפילויות, למשל abab=baba. ב"גידול" הכוונה היא לשאלה כמה מהר גדלה הפונקציה (f(n שסופרת כמה איברים שונים יש מאורך n.
רגע 333776
לא הבנתי את כלל האצבע. יש כל מיני סדרות שמוגדרות רק ע"י הגדרה רקורסיבית. למשל:

A(n) = 3A(n-1) + 1 .... for A(n-1) odd
A(n) = 1/2 * A(n-1) .... for A(n-1) even

וכאן לא ידועה נוסחא לא רקורסיבית לאיבר ה n . ונניח שיצליחו להוכיח שבסדרה הזו (או סדרה דומה) לא קיימת נוסחא לא רקורסיבית לאיבר ה n. למה זה בעיה?
רגע 333821
אתה מגדיר את (A(n לפי (A(n-1 - עם זה אין שום בעיה. (דיברתי על הגדרה של מושג או של אובייקט).

(דוגמא להגדרה רקורסיבית: "A הוא המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ- A/2+3").
רגע 333883
גם בדוגמא שלך, לא הבנתי למה הרקורסיביות היא בעייתית (אני מבין שזה רק כלל אצבע, אבל בכל זאת). נדמה לי שאפשר לנסח את ההגדרה הרקורסיבית הזו בתור שני אי שיוויונים - ואני לא רואה שום דבר בעייתי במערכת אי שיוויונים, אפילו אם אותו משתנה מופיע בשני האגפים.
רגע 333885
מצויין. למה שווה A?
רגע 333901
7, לא?

אני לא כל כך מצליח לראות את הבעיה שבהגדרה הרקורסיבית שלי שהתחילה את הכל, רק בגלל שיש לה הפניה עצמית. הרי איך "משתמשים" בה? לא אומרים על דברים "זה מרכיב כי בא לי", אלא מסתכלים על הדברים שאנחנו בטוחים במאה אחוזים שהם מרכיב: כל האיברים של y. אחרי שיש לנו את המרכיבים ה"בטוחים" הללו אנחנו בודקים אילו עוד מרכיבים אנחנו מכירים - ועכשיו אנחנו יכולים לקחת את כל האיברים של המרכיבים ה"בטוחים", וכן הלאה וכן הלאה.

להבדיל אלף אלפי הבדלות, אם אני זוכר נכון גם ההגדרה של קונווי למספר היא רקורסיבית, וגם הוא מתחיל את הבניה מהמקרה היחיד שבו הוא יודע שמשהו הוא מספר על בטוח - על ידי שימוש בשתי קבוצות ריקות של מספרים.
רגע 333906
אולי 8? (זה באמת המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ- 8/2+3).

השיפוץ שאתה מציע עכשיו הוא בעצם להגדיר סדרה של יחסים (שייך, שייך לאיבר, שייך לאיבר של איבר, ...) ולהגדיר את "מרכיב" בתור האיחוד שלהם. זה בסדר, ו*לכן* במקרה הזה מותר להשתמש ב"הגדרה" שהצעת. היא באמת יותר אלגנטית (ושוב, אלגנטיות זה קריטריון מצוין, בתנאי שעומדים על קרקע יציבה).

גם אצל קונווי, ההגדרה של משחק בתור זוג סדור של קבוצות של משחקים היא בחצי-קריצה. הוא לא היה משתמש בה אלמלא הפיגום של הסודרים שמאפשר להגדיר את כל המשחקים באינדוקציה טרנספיניטית, כאשר משחק מדור i+1 מוגדר בתור זוג סדור של קבוצות מדור קודם (עם הגדרה מתאימה לסודרים שאינם עוקבים). גם כאן, המושג "משחק" אינו בא לעולם עד שהגדרנו "משחק מדור 0", "משחק מדור 1", וכן הלאה. "משחק" *מוגדר* בתור "משחק מאיזשהו דור".
רגע 333908
7/2+3 זה לא שש וחצי, שקטן משבע?

שאר הדברים שלך מקובלים עלי, אבל איפה יש הגדרה שהיא רקורסיבית "ממש", בלי בסיס? הרי כבר בכיתה א' מלמדים אותנו שרקורסיה חייבת לבוא עם בסיס.
רגע 333916
בדיוק: 7 הוא המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ7/2+3.

שים לב גם שאתה שאלת את עוזי (בהקשר של ההגדרה הרקורסיבית של קונוויי) על מספרים והוא ענה לך על משחקים.
רגע 333921
זה בסדר, כי אצל קונווי ההגדרה של ''מספר'' היא מקרה פרטי של ''משחק'', שמוגדר כמו מספר רק עם פחות מגבלות. לך תבין.
רגע 333977
זהו, שאין. ''הגדרה רקורסיבית'' זה אוקסימורון, אלא אם היא בת-תיקון, שאז זה קיצור ל''תאור אלגנטי שבא במקום ההגדרה (אותה אפשר להבין מתוך ההקשר)''.
רגע 334000
רקורסיה, אם לא נקבע אחרת, מתחילה מפשטות מירבית ופשטות מירבית
מוסברת בקצרה בתגובה 333996
רגע 333918
לא הבנתי למה זה רלוונטי מהו A.

אם הייתי מגדיר את A בתור A=A+1 לא היה שום A שעונה על המשוואה - ועדיין אני לא רואה כאן מה הבעיה.
רגע 333925
הבעיה היא שהכביכול-הגדרה הזו משאירה אותנו בחוסר ודאות לגבי A שאותו היא מבקשת להגדיר במדוייק. עוזי הביא את זה כדוגמא לבעייתיות בהגדרות רקורסיביות כמו זו היפה שגדי הציע.
רגע 333929
אוקי, הבנתי.
רגע 333502
בשפה לא-פורמלית ניתן לומר כי מרכיב שאינו מורכב הינו בהכרח אלמנטרי.

האם יש ספק בקשר לאי-המורכבות של ריקנות מוחלטת (= אי-תכולת הקבוצה-הריקה)?

לעניות דעתי התשובה היא לא, אך לקבוצה-הריקה קיימת קבוצה הופכית שאני מכנה אותה הקבוצה-המלאה, ותוכן הקבוצה-המלאה הינו רצף מוחלט אשר אינו מאפשר קיום של מרכיב זולתו, ולכן הקבוצה-המלאה הינה קבוצה אלמנטרית.
רגע 333503
מה הקבוצה ההופכית של הקבוצה {1}?
רגע 333519
{אף 1}
רגע 333521
לאיבר באוסף יש מרכיב משלים ל-‏0 אך השלמה זו אינה מצב קיום הופכי אלא תמונת ראי, ולפי מודל תמונת הראי, המצב המשלים ל-‏0 של {1} הינו {1-}.
רגע 333550
מערכת המספרים המרוכבים C (ש-R היא ציר X שלה) מאפסת עצמה ע"י "תמונות ראי" שלה.

ב"רקע" C מתקיימת הקבוצה-המלאה כ-oo וב"רקע" 0 מתקיימת הקבוצה-הריקה.
רגע 333575
המילים שאתה כותב מרכאות סביבן? אי אפשר להבין למה כוונתך בהן. תחליט - זו באמת תמונת ראי, או שזו "תמונת ראי"? אם כן, איך היא מוגדרת?
  רגע • גדי אלכסנדרוביץ' • 2 תגובות בפתיל
  רגע • דורון שדמי
  רגע • עוזי ו.
  רגע • האייל האלמוני • 2 תגובות בפתיל
  רגע • דורון שדמי
  רגע • האייל הצעיר • 59 תגובות בפתיל
  רגע • עוזי ו.
  רגע • דורון שדמי
  רגע • האייל הצעיר
  רגע • דורון שדמי • 3 תגובות בפתיל
  רגע • אלון עמית
  מה זה האמס"ש? • סמיילי • 5 תגובות בפתיל
  רגע • אורי גוראל גורביץ' • 3 תגובות בפתיל
  עוד שאלה‏1 • אורי גוראל גורביץ' • 17 תגובות בפתיל
  רגע • גלעד ברזילי
  רגע • אלון עמית
  רגע • שוטה הכפר הגלובלי
  רגע • אלון עמית
  רגע • גלעד ברזילי
  רגע • אלון עמית
  רגע • easy
  רגע • גלעד ברזילי
  רגע • אורי גוראל-גורביץ'
  רגע • גלעד ברזילי
  רגע • אורי גוראל-גורביץ'
  רגע • גלעד ברזילי
  רגע • האייל האלמוני
  רגע • D
  רגע • האייל האלמוני
  רגע • גדי אלכסנדרוביץ'
  רגע • עוזי ו. • 5 תגובות בפתיל
  אלפיים שנות אי-הוכחה • רון בן-יעקב • 5 תגובות בפתיל
  רגע • דורון שדמי
  מה פתאום? • דורון שדמי • 5 תגובות בפתיל
  רגע • אורי גוראל-גורביץ' • 5 תגובות בפתיל
  רגע • דורון שדמי • 2 תגובות בפתיל
  חקירת מושג הקבוצה • גדי אלכסנדרוביץ' • 13 תגובות בפתיל
  חקירת מושג הקבוצה • האייל הצעיר • 108 תגובות בפתיל
  חקירת מושג הקבוצה • האייל הצעיר • 93 תגובות בפתיל
  חקירת מושג הקבוצה • דורון שדמי

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים