בתשובה לדורון שדמי, 29/09/05 3:29
רגע 333559
אחזור על ההגדרה (שלי): קבוצה "אלמנטרית" זו קבוצה שהיא מרכיב בכל קבוצה לא ריקה. להגדרת המושג "מרכיב", ראה ההודעה הקודמת‏1.

ההגדרה אינה אומרת שקבוצה אלמנטרית היא קבוצה שאין לה מרכיבים (זו הגדרה די משעממת: יש רק קבוצה אחת ללא מרכיבים - הקבוצה הריקה).

האם אתה משוכנע שהקבוצה הריקה היא אלמנטרית *לפי ההגדרה שלי*? זה ידרוש להוכיח שהיא מרכיב בכל קבוצה לא ריקה; הייתי שמח לראות הוכחה כזו.

1 אני יכול להבין מה מוצאים בזה.
רגע 333674
לפי ההגדרה שלך, *אין* שום קבוצה אלמנטרית, לא?
רגע 333729
לא יודע (יש רק מועמד אחד: הקבוצה הריקה).
רגע 333690
"ההגדרה אינה אומרת שקבוצה אלמנטרית היא קבוצה שאין לה מרכיבים (זו הגדרה די משעממת: יש רק קבוצה אחת ללא מרכיבים - הקבוצה הריקה)."

א) אתה טועה, גם הקבוצה המלאה {__} איננה קבוצה מורכבת, בדיוק כמו הקבוצה-הריקה {}.

ב) קבוצות אלה הם ההיפוך המדוייק של שיעמום, לדוגמא:

עפ"י תורת-הקבוצות האקסיומטית, קבוצה לא-ריקה אינה קיימת ללא קיומה של הקבוצה הריקה, לכן הקבוצה-הריקה היא אמת המידה המוחלטת לקביעת היחסים בין קבוצות לא-ריקות.

אני תוהה מדוע התעלמת כליל מהיררכיית-קיום זו, כפי שאני מגדיר ומסביר בקצרה בתגובה 333287

המתמטיקה-המונדית הינה מרחב-הגישור בין הקבוצה-הריקה לקבוצה -המלאה, כפי שאני מסביר בקצרה בתגובה 333661

בקיצור עוזי, אינני מבין כלל מדוע אתה בוחר להתעם כליל מהיררכית-הקיום של תלות קבוצות לא-ריקות הקבוצה-הריקה?

ומדוע אתה בוחר להתעלם כליל מקיום הקבוצה-המלאה וממרחב-הגישור הקיים בינה ובין הקבוצה-הריקה?
רגע 333732
"עפ"י תורת-הקבוצות האקסיומטית, קבוצה לא-ריקה אינה קיימת ללא קיומה של הקבוצה הריקה"

למה החלטת ככה?
רגע 333745
"למה החלטת ככה?"

בטל נא את אקסיומת הקיום ב-ZF , ותבין.
וריאציות על ZF 333753
ביטלתי. עדיין נשארה אקסיומה לפיה יש קבוצה אינסופית. עדיין יש לי תורת קבוצות (חלשה יותר, וקצת פחות מעניינת, אבל קיימת).

נניח שביטלנו גם אותה - קיבלנו מערכת שבה השאלה האם קיימת קבוצה *אינה כריעה*, ובפרט, אין הליך סופי שבמהלכו אנחנו בונים קבוצה ספציפית. זה עדיין לא מוכיח שהקבוצות *לא* קיימות.

עכשיו ניקח את אותה מערכת, ונוסיף לה את אקסיומת הקיום של הקבוצה {.}. מה קיבלנו? עוד מערכת חלשה יותר ‏1 מ-ZF, שניתן *להוכיח* שיש בה קבוצות.

אאל"ט, ניתן להוסיף למערכת אקסיומה לפיה לכל קבוצה יש איבר, ועדיין להישאר עם מערכת עקבית.

מסקנה: אנחנו בהחלט יכולים לעסוק במערכת שבה הקבוצה הריקה לא קיימת, וקבוצות אחרות קיימות. אז למה אנחנו מתעקשים להתבסס רק על שתי אקסיומות קיום? כי זה נוח, ו-Because we can.

1 אאל"ט, בכל משפט בתורה שלנו נוכל להחליף את הנקודה בקבוצה הריקה, ולקבל משפט ב-ZF. לעומת זאת, ההיפך אינו נכון.
וריאציות על ZF 333770
"ביטלתי. עדיין נשארה אקסיומה לפיה יש קבוצה אינסופית."

אם ביטלת את קיומה של הקבוצה הריקה, אינך יכול להשתמש בקבוצה לא-ריקה, כי {.} אינו קיים ללא {} כאשר {} הינו מושג הקיבוץ בכבודו ובעצמו, הקיים לעצמו ללא כל תוכן, ומצב זה הו מצב-היסוד של עצם מושג הקבוצה.

ללא מצב-יסוד זה, אין בידך תורת-קבוצות, פשוטו כמשמעו.
וריאציות על ZF 333774
"{.} אינו קיים ללא {}" - זו הנחת המבוקש. אתה הצגת טענה זו, אני כתבתי תגובה בניסיון להראות לך שהיא שגויה, ואתה טענת שהטיעון שלי אינו נכון, *כי הטענה המקורית נכונה*.

"{} הינו מושג הקיבוץ בכבודו ובעצמו, הקיים לעצמו ללא כל תוכן" - לא נכון. אתה אולי חושב ככה כי הסימן של הקבוצה הריקה הוא "רק סוגריים". בכך אתה מסתמך על שיטת הסימון, ומתעלם מהמהות. כפי ש*אתה* אמרת, המהות של הקבוצה הריקה לא תשתנה אם נסמן אותה כ-"{}", כ"הקבוצה הריקה", או כ-"Ø". הקבוצה הריקה היא מה שהיא, ותו לא. היא *לא* "הקיבוץ בכבודו ובעצמו".
וריאציות על ZF 333779
"{.} אינו קיים ללא {}" - זו הנחת המבוקש."

לא זוהי היררכיית תלות-קיום פשוטה בתכלית.
וריאציות על ZF 333791
העובדה שהקיום של {.} תלויה בקיום של {} *היא בדיוק* הטענה המבוקשת שהנחת.
וריאציות על ZF 333803
"העובדה שהקיום של {.} תלויה בקיום של {} *היא בדיוק* הטענה המבוקשת שהנחת."

לא ביקשתי דבר, אלא טענתי ישירות ובגלוי כי לא ניתן לדון במושג ללא קיומו האלמנטרי המינימלי של אותו מושג.

לדוגמא:

זירת-משחק קיימת גם ללא משחק (לדוגמא: במה ריקה) אך משחק אינו קיים ללא זירת-משחק (לדוגמא: אי-קיום במה).
וריאציות על ZF 333806
טענת ישירות ובגלוי, אבל לא הצגת שום ראיה לכך שהקבוצה הריקה היא הקיום האלמנטרי של קבוצה. לדעתי, היה ניתן ליצור גם תורת קבוצות בלעדיה.
וריאציות על ZF 333810
עיין נא בתגובה 333809
וריאציות על ZF 333813
כבר עניתי לה.

בכל אופן, אני לא מקבל את זה כמובן מאליו שהקבוצה הריקה היא המצב הבסיסי של קבוצה. אתה יודע מה? לצורך הדיון, אני כופר גם בקיומה של הקבוצה הריקה! ‏1

1 אחרי הכל, היא "קיימת" רק במובן אחד: כשאני מניח שהיא קיימת, נוצרת מתמטיקה מעניינת.
וריאציות על ZF 333820
"בכל אופן, אני לא מקבל את זה כמובן מאליו שהקבוצה הריקה היא המצב הבסיסי של קבוצה. אתה יודע מה? לצורך הדיון, אני כופר גם בקיומה של הקבוצה הריקה! ‏1

1 אחרי הכל, היא "קיימת" רק במובן אחד: כשאני מניח שהיא קיימת, נוצרת מתמטיקה מעניינת."

הקבוצה-הריקה היא האטום של תורת-הקבוצות האקסיומטית, ולכן אם היא לא קיימת, ZF לא קיימת.

שוב, טענתך כי ZF שורדת בצורה כלשהיא ללא הקבוצה-הריקה, שקולה לטענה שגופך קיים ללא אבני-היסוד שלו.

המתמטיקאים אינם עקביים בהתיחסותם לאבני-יסוד, כי מצד אחד הם מסכימים להשתמש במושג התלות בין אקסיומה למשפט הנגזר ממנה, אך ללא שום סיבה רציונלית, הם מתעלמים מהיררכיית-תלות של אלמנטים פשוטים באלמנטים מורכבים, ונותנים מעמד קיום זהה לאלמנט מורכב ולאלמנט מרכיב.

במקרה של ZF, הקבוצה-הריקה היא האלמנט המרכיב (אבן-היסוד) של כל קבוצה מורכבת, וקבוצה מורכבת היא בהכרח קבוצה לא-ריקה, התלויה לחלוטין בקיומה של אבן-היסוד שלה (קרי, הקבוצה-הריקה).
וריאציות על ZF 333824
"הקבוצה-הריקה היא האטום של תורת-הקבוצות האקסיומטית" - לא מדויק. יש עוד אקסיומת קיום של קבוצה, שלא עוסקת כלל בקבוצה הריקה.

"לכן אם היא לא קיימת..." - לא נכון. גם אם נחליף את אקסיומת הקיום של הקבוצה הריקה באקסיומת האי-קיום של הקבוצה הריקה, נקבל ככל הנראה מערכת אקסיומות עקבית, שיש בה קבוצות (אקסיומת הקבוצה האינסופית, זוכר?).

"גופך קיים ללא אבני-היסוד שלו" - המושג "הגוף שלי" יכול להיות קיים בעולם היפותטי ללא אבני היסוד שלו. ממש כך.

"הם מתעלמים מהיררכיית-תלות של אלמנטים פשוטים באלמנטים מורכבים, ונותנים מעמד קיום זהה לאלמנט מורכב ולאלמנט מרכיב" - למה אתה חושב ככה? מתמטיקאים יודעים להבדיל היטב בין אקסיומה למשפט, למשל. יש גם דוגמה יותר מוצלחת: רדוקציה חישובית. זה בדיוק הדבר שאתה קורא לו "היררכיית-תלות" עבור הקיום של אלגוריתמים שמחשבים פונקציות שונות. המושג הזה אינו "תבוני" כלל - הוא ממש פורמלי. בכל אופן, מתמטיקאים אכן חוקרים אותו.
וריאציות על ZF 333866
"לא מדויק. יש עוד אקסיומת קיום של קבוצה, שלא עוסקת כלל בקבוצה הריקה."

אם הקבוצה-הריקה לא קיימת, אקסיומות אלה "טוחנות ריק" - פשוטו כמשמעו.

"(אקסיומת הקבוצה האינסופית, זוכר?)."

כדי לזכור את אקסיומת האינסוף צריך שיהיה לה איזה תוצרת, אך ללא קיום הקבוצה הזו, אין תוצרת, אז אני לא זוכר אותה.

"המושג "הגוף שלי" יכול להיות קיים בעולם היפותטי ללא אבני היסוד שלו. ממש כך."

אם כך הוא ישות אלמנטרית השקולה לקבוצה-הריקה בתורת קבוצות.

"למה אתה חושב ככה?"

כי {{}} קיים ללא תלות ב-{} עפ"י המתמטיקה הסטנדרטית.
וריאציות על ZF 333871
מי אמר ש-{{}} קיימת בכלל?

נ.ב.
"אם הקבוצה-הריקה לא קיימת, אקסיומות אלה 'טוחנות ריק"' - שוב אתה מניח את המבוקש, בלי להציג שום טיעון שיצדיק אותו. יותר מזה: אתה מתעקש להתעלם מאקסיומה שאומרת ש*קיימת* קבוצה אינסופית.
וריאציות על ZF 333781
'' הקבוצה הריקה היא מה שהיא''

הקבוצה הריקה היא מצב הקיום הכרחי של עצם המושג ''קבוצה'', ובלעדיו אינך יכול לדון כלל במושג זה, ללא כל קשר לסימון זה או אחר.

מה שאתה עושה כאן הוא דוגמא מאלפת להתעלמות מתובנה פשוטה של מושג, ובחירה בדרך מפותלת ומסובכת של הגדרות נעדרי תובנה.
וריאציות על ZF 333788
איזו הגדרה הגדרתי כאן, אם יורשה לי לשאול?

חוץ מזה, לגבי הטענה לפיה "הקבוצה הריקה היא מצב הקיום ההכרחי של עצם המושג 'קבוצה"', אני אכתוב שוב את מה שכתבתי בתגובה 333783:
בעיני אנשים רבים, "קבוצה" היא משהו שיש בו איברים. לדעתם "מצב הקיום ההכרחי" של קבוצה הוא קבוצה בת איבר אחד. הם אפילו לא מסוגלים לראות איזו מהות יש לקבוצה שאין בה איברים.
מה תגיד להם על זה?
וריאציות על ZF 333812
שוב, עייו נא בתגובה 333809
משחק ההפניות 333814
תגובה 333813.
וריאציות על ZF 333778
"ביטלתי. עדיין נשארה אקסיומה לפיה יש קבוצה אינסופית. עדיין יש לי תורת קבוצות (חלשה יותר, וקצת פחות מעניינת, אבל קיימת)."

אייל צעיר,

בו ונבחן את ההגדרה: "קיימת קבוצה".

מותר לנו להשתמש רק ואך ורק במידע העומד לרשותנו, ואסור לנו בשום צורה ואופן לשער השערות או להניח הנחות שאינן נובעות ישירות מהמידע העומד לרשותנו.

בתנאים של מינימום אפשרי זה, ברור לחלוטין כי ההגדרה "קיימת קבוצה" מתייחסת רק לקיום מושג הקבוצה בלבד, ומינימום זה מאפשר אך ורק את קיומה של קבוצה ללא תוכן.

אנלוגיה:

הגדרה: "קיים תיק".

לפי מידע זה אני יודע כי קיים תיק, וקיומו של התיק אינו תלוי בתכולתו.

תיק שאינו תלוי בתכולתו הינו התיק לעצמו ללא תכולתו, ותיק זה הוא ללא שפק תיק ריק.

כשם שתיק-ריק הוא מצב הקיום האלמנטרי של תיק, כך הקבוצה-הריקה היא מצב הקיום האלמנטרי של קבוצה, ואי-קיומה של הקבוצה-הריקה, מונע את קיומה של קבוצה, ומונע את קיומה של תורת-קבוצות.
וריאציות על ZF 333783
אצלי בבית קיים תיק, ואין לי בבית אף תיק ריק ‏1.

למה אתה מתכוון כשאתה אומר "אסור לשער השערות"? אם לא היינו יודעים שיש קבוצה ריקה, ולא היינו יודעים שיש קבוצה אינסופית האם לא היו כלל קבוצות?
תשובה: שאלה זו לא הייתה ניתנת להכרעה. כלומר, אין זה נכון בהכרח ש*לא היו קבוצות* ‏2, אלא ש*אולי* היו קבוצות.

הנה למדנו בשיעור על מודלים חישוביים את המושגים "מילה" ו"שפה" בחישוביות, וכמה תלמידים לא הסכימו לקבל את קיומן של "המילה הריקה" ושל "השפה הריקה".
אם היינו שואלים את אותם תלמידים מהי קבוצה, הם היו עונים משהו בסגנון "דבר שיש בו איברים". אם היית אומר להם ש"קיימת קבוצה" הם *לא* היו חושבים שברור מאליו שקיימת קבוצה ריקה. להפך. לדעתם ל"ריק" לא יכולה להיות מהות כקבוצה. המצב ה"בסיסי" של קבוצה לדעתם היה צריך להיות מצב בו לקבוצה יש איבר אחד.

1 לצורך כתיבת תגובה זו, אספתי את כל התיקים בבית שלי, והכנסתי זוג גרביים לכל תיק.
2 בהנחה ש-ZF עקבית וכל זה.
וריאציות על ZF 333787
היה לי פעם ויכוח מרתק עם מישהו שסירב לקבל את הקיום של הקבוצה הריקה כי הוא לא היה מוכן לקבל את זה שקבוצה היא לא סך כל האיברים שלה. הוא גם לא ראה שום הבדל בין קבוצה בעלת איבר אחד ובין האיבר שהיא מכילה. זו הייתה הנקודה שבה הבנתי שלפעמים ''תובנות'' זה לא מספיק, וחייבים להשתמש בהגדרות פורמליות אם רוצים להגיד משהו שבן השיח שלך יוכל להבין.
וריאציות על ZF 333815
''...כי הוא לא היה מוכן לקבל את זה שקבוצה היא לא סך כל האיברים שלה''

קיומה של קבוצה אינו תלוי כהוא זה בשיוך או אי-שיוך של אלמנטים אליה, אך ברור לחלוטין שמצב הקיום המינימלי שלה שקול לקבוצה-הריקה.

''הוא גם לא ראה שום הבדל בין קבוצה בעלת איבר אחד ובין האיבר שהיא מכילה.''

כי הוא התייחס לאי-השפעת השיוך על הקיום האלמנטרי של קבוצה, כאשר קיום אלמנטרי זה שקול לקיומה של הקבוצה הריקה.

''זו הייתה הנקודה שבה הבנתי שלפעמים ''תובנות'' זה לא מספיק, וחייבים להשתמש בהגדרות פורמליות אם רוצים להגיד משהו שבן השיח שלך יוכל להבין.''

זאת הנקודה שבמקום להשתמש בתובנה הפשוטה של היררכית תלות-קיום, בחרת בדרך של משחקי שפה פורמלית נעדרי תובנה.
וריאציות על ZF 333855
אתה שם לב שאתה לא אומר שום דבר חדש בהודעות החדשות שלך, נכון?
וריאציות על ZF 333860
"נכון?"

לא נכון!
וריאציות על ZF 333809
"לצורך כתיבת תגובה זו, אספתי את כל התיקים בבית שלי, והכנסתי זוג גרביים לכל תיק."

האם הוצאת והכנסת חפצים לתיק, שינתה משהו בקיומו העצמי של התיק?

בוודאי שלא, אך אם התיק אינו קיים כלל לא היית יכול להכניס גרביים לתוכו, ותיק במצב קיום אלמנטרי הוא תיק ריק, ובזכות קיומו האלמנטרי, ניתן להכניס או לא להכניס לתוכו חפצים.

זוהי המשמעות הפשוטה והישירה של תלות-קיום, שיוך לתיק מחייב לפחות את קיומו של תיק ריק, וזהו בדיוק מעמדה של הקבוצה-הריקה ביחס למושג השיוך בתורת-קבוצות.

לכן ללא קיום הקבוצה-הריקה אין שיוך, וללא שיוך אין תורת-קבוצות.
וריאציות על ZF 333811
וכל זה לא משנה את העובדה שיש לי בבית תיק כלשהו, ואין לי בבית תיק ריק. כלומר, יכול להתקיים עולם שיש בו תיק ואין בו תיק ריק.
וריאציות על ZF 333816
''יכול להתקיים עולם שיש בו תיק ואין בו תיק ריק.''

זה שקול לטענה כי גופך יכול להתקיים ללא האטומים המרכיבים אותו, אך האטומים אינם יכולים להתקיים ללא גופך.
וריאציות על ZF 333818
בדיוק כך. אני יכול לתאר תמונת עולם פיזיקלית שבה יש לי גוף, אבל הוא לא בנוי מאטומים. מצד שני, אם האטומים שלי קיימים, ויש להם את הצורה של הגוף שלי, והם מתפקדים בידיוק כמו הגוף שלי, אז הם בהכרח מהווים את הגוף שלי.
וריאציות על ZF 333822
"בדיוק כך. אני יכול לתאר תמונת עולם פיזיקלית שבה יש לי גוף, אבל הוא לא בנוי מאטומים."

אם גופך קיים אך אינו מורכב (וזה לא משנה ממה) אז גופך שקול לישות אלמנטרית, וישות אלמנטרית ב-ZF היא בדיוק הקבוצה-הריקה.
וריאציות על ZF 333823
לא הבנתי במה התגובות שלך קשורות לנושא המאמר
וריאציות על ZF 333825
התגובות שלו *הן* נושא מאמר.
וריאציות על ZF 333831
"תגובות שלו *הן* נושא מאמר."

מה פתאום, הרי לפי המתמטיקאים, המאמר על טרחנים-כפייתיים מתקיים גם ללא הקיום (להלכה או למעה) של טררחן כפייתי, ולכן אי-הבנתו של האייל האלמוני יש לה בסיס איתן.
וריאציות על ZF 333839
לפי המתמטיקה המונדית, לא יכול להתקיים מאמר על טרחנים כפייתיים, בלי שמתקיים מאמר כזה בצורתו הבסיסית - כלומר, אם יש מאמר על טרחנים כפייתיים, קיים מאמר על טרחנים כפייתיים בלי שקיימים טרחנים.
וריאציות על ZF 333845
''קיים מאמר על טרחנים כפייתיים בלי שקיימים טרחנים.''

שקול הדבר לקיומה של קבוצה-ריקה.
וריאציות על ZF 333847
אתה רוצה להגיד שהקבוצה הריקה קיימת אם ורק אם יש מאמר שנכתב על טרחנים כפייתיים *לפני* שהיו טרחנים כפייתיים?

נו, טוב. אני הרי כופר בקיומה של הקבוצה הריקה ‏1.

1 לצורך הדיון.
וריאציות על ZF 333856
"אתה רוצה להגיד שהקבוצה הריקה קיימת אם ורק אם יש מאמר שנכתב על טרחנים כפייתיים *לפני* שהיו טרחנים כפייתיים?"

חלילה, הקבוצה הריקה קיימת אם ורק אם מושג הקבוצה קיים.
וריאציות על ZF 333861
כמו שציינתי, אין הכרח בקיום הקבוצה הריקה, כדי שתתקיים קבוצה.

וכדי שהדיון הזה לא ימשיך להתנהל כמו שהוא מתנהל עכשיו ("כן!", "לא!", "כן!", "לא!") אני אציין שחובת ההוכחה מוטלת עליך. הוכח בבקשה שאם קיימת קבוצה, קיימת הקבוצה הריקה.
וריאציות על ZF 333867
''כמו שציינתי, אין הכרח בקיום הקבוצה הריקה, כדי שתתקיים קבוצה.''

זה היופי פה, אין פה שום הכרח.

אם יש קבוצה, אז היא לא פחות מהקבוצה-הריקה.

כמה פשוט, ככה יפה.
וריאציות על ZF 333873
זה שקבוצה היא "לא פחות מהקבוצה הריקה" (מתי קבוצה היא יותר מקבוצה אחרת? אם היא מכילה אותה?) לא אומר שהיא "מורכבת" מהקבוצה הריקה, ולכן זה לא אומר שהקבוצה הריקה קיימת.

כמה פשוט, ככה יפה.
וריאציות על ZF 333878
"זה שקבוצה היא "לא פחות מהקבוצה הריקה" "

משמעותו של משפט זה היא:

אם יש קבוצה, אז זאת לפחות הקבוצה-הריקה.

הוכחת תלות-הקיום של קבוצה מורכבת בקבוצה לא-מורכבת:

אלמנטרי (הגדרה):

ישות יסודית, שאי-קיומה מונע את קיומם של אלמנטים המורכבים ממנה (תרתי משמע).

ועכשיו דוגמאות והסברים:

טענה 1:

אם {} לא קיימת, אז {{}} בהכרח לא קיימת.

הוכחה לטענה 1:

אם {} אינה קיימת ב-{{}} אז {{}} אינו אלא {}, אך {} לא קיימת לכן {{}} אינה יכולה להתקיים ללא {} כאלמנט יסוד שלה.

טענה 2:

אם {{}} לא קיימת , לא נובע בהכרח ש-{} לא קיימת.

הוכחה לטענה 2:

אם אנו מסירים את הסוגריים החיצוניים של {{}}, {} קיימת, ולכן קיום {} אינו תלוי בקיום {{}}.

מסקנה:

{} הינה קבוצה אלמנטרית ואילו {{}} הינה קבוצה מורכבת.
וריאציות על ZF 334252
תגובה 333871.
וריאציות על ZF 334388
כדי להבין את מושג ההיררכיה אנא עיין בתגובה 334032

תודה, ושנה-טובה.
וריאציות על ZF 333843
מתמטיקאים אמתיים מסוגלים להבחין בד''כ בין המתמטיקה למציאות.
וריאציות על ZF 333846
''מתמטיקאים אמתיים מסוגלים להבחין בד''כ בין המתמטיקה למציאות.''

הגדר נא ''מציאות''.
וריאציות על ZF 333854
מה שחומק מהגדרות.
וריאציות על ZF 333862
"מה שחומק מהגדרות"

חמוד!

ספר זאת למתמטיקאים.
וריאציות על ZF 333827
שוב אתה משתמש במילה האמורפית "מורכב", ובכך לא מפריד בין שיוך, הכלה, פירוק לגורמים ועוד שלל סוגים שונים של "הרכבה".

חוץ מזה, מי אמר שאני קבוצה? ואם אני קבוצה, למה היא צריכה להיות קבוצת אטומים? אולי היא קבוצת איברים?
וריאציות על ZF 333826
'' אז הם בהכרח מהווים את הגוף שלי.''

קיום אבני-יסוד אינו תלוי בישות המורכבת מהם, אך הישות המורכבת מהם יכולה להתפרק למרכיביה ובכך קיומה בטל אך אבני-היסוד קיימים.
וריאציות על ZF 333828
אתה כותב כל כך יפה ושירי שזה כואב
וריאציות על ZF 333835
אנא בלי כאבים
וריאציות על ZF 333848
זה היה רמז נמוסי שקול ליאללה צגרו ת'בסטה
וריאציות על ZF 333829
(שים לב לשימוש הבעייתי שלך במילה "הרכבה".)

האם יכול להיות שיהיו איברים a,b,c ולא תהיה קבוצה {a,b,c}?
וריאציות על ZF 333834
"האם יכול להיות שיהיו איברים a,b,c ולא תהיה קבוצה {a,b,c}?"

קיום a,b,c פשוט יותר מ-{a,b,c} בלי שום קשר לשימוש במילים כמו "איברים" או "קבוצה", ולכן {a,b,c} תלוי לקיומו ב-a,b,c .

שוב, אתה משחק במילים ובסימנים במקום לעסוק בתובנות.
וריאציות על ZF 333841
הבנתי אותך: אם קיימת קבוצה אז קיימים כל האיברים שלה.
ומדוע אנחנו לא יכולים להגדיר תורת קבוצות, שהנקודה תהיה בה אובייקט אלמנטרי? למה אנחנו חייבים לעסוק דווקא בתורה שבה הקבוצה הריקה היא אובייקט אלמנטרי?
וריאציות על ZF 333853
"ומדוע אנחנו לא יכולים להגדיר תורת קבוצות, שהנקודה תהיה בה אובייקט אלמנטרי?"

איילי הצעיר, האם שמעת פעם על מתמטיקה-מונדית?

אם לא, אז כדאי שתציץ ב:

תודה.
וריאציות על ZF 333865
לכן, כמובן, בחרתי דווקא בנקודה.
וריאציות על ZF 334383
"הבנתי אותך: אם קיימת קבוצה אז קיימים כל האיברים שלה."

לא הבנת אותי כהוא זה.

אם קיימת קבוצה ואנו מגדירים בבירור את מצבי היסוד הבלתי מורכבים של מושג זה, אז קיימת הקבוצה-הריקה וקיימת הקבוצה-המלאה, כאשר אי-תוכן הקבוצה-הריקה "חלש" מידי בכדי לשמש כקלט בכל שפה שהיא, פורמלית או לא פורמלית, ותוכן הקבוצה-המלאה "חזק" מידי בכדי לשמש כקלט בכל שפה שהיא, פורמלית או לא פורמלית.

אינני מסוגל להתחיל להבין מה מונע ממך להבין מיידית את הנ"ל.
וריאציות על ZF 334386
שוב אתה חושב לעומק.

אם היית מפסיק לחשוב לעומק וחושב קצת לרוחב, היית מיד מבין מה מונע ממנו להבין מיידית את הנ''ל.
רגע 333738
בתגובה 333287 אתה "מגדיר ומסביר בקצרה" ש"קבוצה אלמנטרית" היא "ישות יסודית, שאי-קיומה מונע את קיומם של אלמנטים המורכבים ממנה (תרתי משמע)". יש כאן שתי בעיות, אחת מהותית ואחת טכנית.

כשמתמטיקאי משתמש במלה "קיים" בהתייחס לאובייקט מתמטי, הוא מתכוון (במשתמע או במפורש) לקיום של אובייקט כזה בתוך מערכת מתמטית נתונה. למשל, בין האקסיומות של תורת הקבוצות ישנה אקסיומה שמאפשרת לבנות את קבוצת החזקה: היא אומרת שלכל קבוצה x, *קיימת* קבוצה y שאיבריה הם בדיוק הקבוצות שמוכלות ב- x. לא מדובר כאן על כוכב רחוק שמקיים את התכונות האלה, או גלים אלקטרומגנטיים עם איברים מוגדרים, אלא על קיום *במערכת*.
הגישה הזו לא נולדה במוחו של איזה איש מערות. לקח לה המון זמן להתפתח, והיא התגבשה רק מתוך מאות שנים של נסיון, ותובנה מצטברת אחת: אי אפשר להגיד משהו משמעותי על מושגי היסוד בשום דרך אחרת.
אנחנו בונים מערכות מתמטיות ודנים בתכונות של אובייקטים *בתוכן*; ומשאירים לפילוסופים לדבר על "קיום" מופשט, מחוץ למערכת מתמטית.
אתה חושב שזה מקרה, שבמשך אלפיים שנה הפילוסופים לא הוכיחו אפילו משפט אחד?

(קצת חבל לי שהתגובה תלך לאיבוד בדיון הזה).

העניין השני: אין לי או לך מושג אילו דברים מונעים את קיומם של דברים אחרים. לך תדע מתי *אי-קיום* של משהו מונע את קיומו של משהו אחר. והתכונה האמורפית הזו היא בעיניך הגדרה?
רגע 333765
"אתה חושב שזה מקרה, שבמשך אלפיים שנה הפילוסופים לא הוכיחו אפילו משפט אחד?"

עם מתמטיקאים מתעלמים במשך אלפי שנים מהיררכיית קיום, שבה הפשוט הוא אבן-היסוד של המורכב, והמורכב איננו אבן-היסוד של הפשוט, והם חושבים כי התעלמות מאי-הפיכות זו מאפשרת מרחב-קיום משמעותי, אז אין כל פלא שלא-מתמטיקאים לא הוכיחו אפילו משפט אחד במרחב-קיום לא משמעותי זה.

יותר מכך, הגט בין מה שאתה קורא לו פילוסופיה לבין מה שאתה קורא לו מתמטיקה, ניתן ע"י מתמטיקאים אחרי משפטי אי-הכריעות של גדל.

לפני כן לא היתה הפרדה חדה, כפי שהיא נהוגה כיום, בין שאלות קיום מכונני תובנות במתמטיקה, לעיסוק פורמלי מכונן הגדרות בלבד במתמטיקה, כפי שהוא נהוג היום, והמונע כל ביקורת על אופן עבודתם של מתמטיקאים, כאשר התירוץ הפילוסופי (כן, הפילוסופי!) השגור בפי מתמטיקאים הוא: "כל מה שאינו במסגרת חוקי ההגדרות הפורמליות שקבענו, אינו מתמטיקה!".

בקיצור מתקיימת לה קהילת אנשים, אשר קובעת כי משמעות המילה "מעניין" נקבעת עפ"י חוקי-משחק של מועדון חברים סגור ומסוגר, הקובע קטגורית את גבולות הסקרנות והחקירה האנושית לסד של דקדוקי ניסוח טכניים לחלוטין, אשר כל חריגה מהם לא ניתנת להבנה (פשוטו כמשמעו) ע"י חברי אותו מועדון.

"כשמתמטיקאי משתמש במלה "קיים" בהתייחס לאובייקט מתמטי, הוא מתכוון (במשתמע או במפורש) לקיום של אובייקט כזה בתוך מערכת מתמטית נתונה."

אף בר-דעת, כולל מתמטיקאי, אינו יכול להתעלם מיחסי-תלות/אי-תלות במתמטיקה, לדוגמא:

הראה נא לי מערכת מתמטית עיקבית, שבה לא קיימת היררכיית תלות בין אקסיומות למשפטים הנגזרים מהן.

"למשל, בין האקסיומות של תורת הקבוצות ישנה אקסיומה שמאפשרת לבנות את קבוצת החזקה: היא אומרת שלכל קבוצה x, *קיימת* קבוצה y שאיבריה הם בדיוק הקבוצות שמוכלות ב- x. לא מדובר כאן על כוכב רחוק שמקיים את התכונות האלה, או גלים אלקטרומגנטיים עם איברים מוגדרים, אלא על קיום *במערכת*."

לפי אקסיומה זו ברור כשמש כי יש תלות של היררכיית קיום של קבוצה y בקבוצה x , ואני משתמש בתלות קיום זו כדי להוכיח כי קנטור לא הוכיח כי
"הגישה הזו לא נולדה במוחו של איזה איש מערות. לקח לה המון זמן להתפתח, והיא התגבשה רק מתוך מאות שנים של נסיון, ותובנה מצטברת אחת: אי אפשר להגיד משהו משמעותי על מושגי היסוד בשום דרך אחרת."

הריי אתה סותר את עצמך בעצם השימוש במילים "מושגי-יסוד", כי לשיטתך, אין כל היררכיית תלות קיום במתמטיקה כי לפי דבריך "*קיימת* קבוצה y שאיבריה הם בדיוק הקבוצות שמוכלות ב- x.", כאשר לשיטתך (שהיא גם שיטתו של קנטור) לא קיימת שום היררכיית תלות-קיום של y ב-x .

הסתירה של שימוש בהיררכית-קיום כהנחה-סמויה, הופכת את המתמטיקה המודרנית למערכת לא-עיקבית, פשוטו כמשמעו, והתעלמותך מתלות-קיום ברורה לחלוטין של {{}} ב- {}, כפי שמוכח חד-משמעית בתגובה 333287 , חושפת את חולשתה של השיטה הפורמלית מכוננת ההגדרות ונעדרת התובנות.

עוזי, אני מכוון בדברי רק ואך ורק לשיטת החשיבה שהעלת כאן, ואין להבין את תגובתי כמשהו המכוון לגופו של אדם.
רגע 333802
"הגט בין מה שאתה קורא לו פילוסופיה לבין מה שאתה קורא לו מתמטיקה, ניתן ע"י מתמטיקאים אחרי משפטי אי-הכריעות של גדל."

תוכל לפרט?

אגב, מישהו יודע מה קרה ל"אינציקלופדיה המקוונת של סדרות מספרים שלמים" של NJA Sloane?
רגע 333840
''''הגט בין מה שאתה קורא לו פילוסופיה לבין מה שאתה קורא לו מתמטיקה, ניתן ע''י מתמטיקאים אחרי משפטי אי-הכריעות של גדל.''

עד לגדל, ניתן היה לעסוק בשאלת מהות המתמטיקה מבלי ''לחטוא'' בפילוסופיה.
רגע 333844
א. *לפני* גדל, מי דן במהות המתמטיקה במונחים מתמטיים?
ב. איך גדל שינה את המצב?
רגע 333875
"א. *לפני* גדל, מי דן במהות המתמטיקה במונחים מתמטיים?

לפני גדל הייתה למתמטיקאים, ובראשם הילברט, תקווה כי יוכלו להוכיח את העיקביות של השיטה האקסיומטית במסגרת השיטה האקסיומטית, אך אז הראה גדל כי מערכת אקסיומטית לא-טריוויאלית (שיש לה לפחות את היכולת של אריתמטיקה עם מספרים-טבעיים) מכילה במיסגרתה משפטים בלתי-כריעים, אשר כדי לנסות להכריע אותם, יש להוסיף אקסיומות נוספות למערכת, וחוזר חלילה לאינסוף.

מצבי אי-כריעות כחלק בלתי-נפרד של מערכת השואפת לכריעות כל משפט במסגרתה, משנה מן היסוד את עצם מושג המערכת האקסיומטית, ממערכת סגורה למערכת פתוחה, כאשר אי-הכריעות שקולה לחץ הרומז לנו, כי לא ניתן לחסום לחלוטין (להגדיר, משורש ג.ד.ר) מערכות אקסיומטיות מעניינות.

למעשה יש השלכה ישירה על הבנת מושג האוסף אינסופי עצמו, אשר לא ניתן להגדיר לו קרדינל מדוייק, בדיוק כמו שלא ניתן להגדיר סופית, מערכת אקסיומתית שיש בכוחה להגדיר אריתמטיקה השקולה לאריתמטיקה של מספרים טבעיים.

על אף התובנות הנ"ל, משקיעה קהילת המתמטיקאים המקצועיים רבות בשיטות התעלמות פסיבית או אקטיבית, כדי להמנע משינוי-הפרדיגמה הנובע ישירות מעבודתו של גדל, הן על מושג המערכת האקסיומתית, והן על מושג האוסף האינסופי.
רגע 334050
בוא ואנסה להסיח את דעתך עם סיפור שאולי מוסר-השכל בצידו: דווקא היעדרותה הזמנית של האמס"ש הסבה לי קורת-רוח שכנראה היתה נמנעת ממני אחרת. עלה בדעתי להביט בסדרה

1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, ...

שאינה כוללת אף סדרה חשבונית באורך שלוש, ובה מוסיפים בכל שלב את המספר הטבעי הקטן ביותר שאינו מקלקל תכונה זו. עם קצת מזל וקצת סבלנות אפשר למצוא לסדרה הזו פרשנות אחרת לגמרי, נחמדה מאוד. האמס"ש, כמובן, מאכילה אותך בכפית, וזה הרבה פחות כיף.

זה קצת קשור לדיון (אליו הפנית בתגובה 327219) על התקדמות המתמטיקה. זה נחמד שדברים נהיים יותר קלים, אבל כשהם נעשים קלים מדי אנחנו עלולים לאבד את המוטיווציה לחקור אותם "באצבעות", לפתח אינטואיציה לגביהם ואולי לגלות דברים שהיום, בדור הכפית, לא נגלה.
מה זה האמס"ש? 334311
מה זה האמס"ש? 334322
''אינציקלופדיה המקוונת של סדרות מספרים שלמים''
תודה (לא הבנתי, אבל בכל זאת, תודה) 334327
תודה (לא הבנתי, אבל בכל זאת, תודה) 334331
תגובה 333802.
תודה (לא הבנתי, אבל בכל זאת, תודה) 334340
כן, ראיתי. פשוט לא הבנתי איך הראשי תיבות האלא מסתדרים (למה אכלת את המ' של המספרים?).

(מצד שני, אולי כדאי שתתעלם מהערות מטופשות שאני מעיר?)
רגע 334355
ברור שאילו שאריות ריבועיות מודולו 78 פלוס 1.
רגע 334427
יותר מדי יין שתית שם, באיטליה.
רגע 334430
מסתבר שאפילו כלום זה יותר מדי. אתה רוצה לומר לי שכל אלו אינן שאריות ריבועיות מודולו 78 פלוס 1?

דרך אגב, שים לב להבדל התמוה בין התיאור של הסדרה (הטבעית יותר):
0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13,..
לתיאור של:
1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14,..
באמס"ש.
עוד שאלה‏1 334432
האם זו הסדרה הצפופה ביותר האפשרית שאינה מכילה סדרה חשבונית באורך 3?

1 עלולה להיות טיפשית, לא חשבתי.
עוד שאלה‏1 334510
הרבה יותר מדי יין שתית שם, באיטליה.

(קרא שוב את התגובה שלי. זו ההגדרה המקורית. החידה היא למצוא לזה תיאור אחר, המאפשר יותר בקלות למצוא את האיבר המיליארד בסדרה).
עוד שאלה‏1 334513
זה לא אותו דבר. ההגדרה היא שתמיד מוסיפים את האיבר הקטן ביותר שלא מקלקל את התכונה, אבל אולי בקצת תכנון מוקדם אפשר לקלקל את האיבר הקרוב, ולשפר את הצפיפות?
עוד שאלה‏1 334665
בוודאי, אלא שלא כך פירשתי את השאלה של אורי (אולי בטעות). השאלה שלי היא על דרך אחרת לגמרי לתאר את הסדרה הספציפית הזו, החמדנית.
עוד שאלה‏1 334577
אתם המתמטיקאים, אין לכם שום חוש הומור. זו היתה סתם בדיחה על קלות וריבוי הפתרונות באמס"ש.
מה עם השאלה שלי (עדיין לא חשבתי עליה)?
עוד שאלה‏1 334670
היה לי פעם חוש הומור, אבל הוא טבע בין התגובות בדיון הזה.

אתה שואל מה הקבוצה הצפופה ביותר שאינה מכילה סדרות חשבוניות? אני לא חושב שזה ידוע במדוייק. יש משפטים מפורסמים המראים שקבוצות בעלות צפיפות חיובית חייבות להכיל סדרות חשבוניות; למשל, יש קבוע כלשהו c כך שאם תיקח יותר מ-cN מספרים בין 1 ל-N, לא תוכל להימלט מסדרה חשבונית באורך 3 (אותו דבר נכון גם לאורכים גדולים יותר, רק שהקבוע משתנה). אני לא יודע אם יודעים להוכיח שסדרה-הנמנעת-מס"ח-באורך-‏3 חייבת להיות בגודל לוגריתמי.
עוד שאלה‏1 334818
אני חושב שפשוט להראות שאפשר להגיע לצפיפות n^1/3 (שורש שלישי של n).

עבור סדרה סופית עולה ממש של מספרים טבעיים, נכנה את ערך האיבר המקסימלי (האחרון) שלה בשם "אורך" הסדרה. נסמן f_k האורך המינימלי של סדרה המכילה k מספרים ואינה מכילה סדרה חשבונית באורך 3. נבנה נוסחת נסיגה עבור f_k+1: נתבונן בסדרה בעלת האורך המינימלי בעלת k מספרים. כל זוג מספרים בסדרה מגדיר מיקום "אסור" שלא יכול להופיע בסדרה המכילה מספרים אלה ואינה כוללת סדרה חשבונית באורך 3, כלומר בסך הכל יש k(k-1)/2 מקומות אסורים. נתבונן ב- k(k-1)/2+1 המספרים העוקבים ל- f_k, בהכרח אחד מהם לא אסור. לכן קיימת סדרה שאינה מכילה סדרה חשבונית באורך 3 ואורכה לכל היותר f_k+k(k-1)/2+1. מכאן: f_k+1 <= f_k + k(k-1)/2+1. פתרון משוואת הנסיגה נותן f_k = O(k^3), כלומר צפיפות שורש שלישי.

קל להרחיב את התוצאה לסדרה חשבונית באורך m.
עוד שאלה‏1 334836
כן, אבל לא ברור שזו הצפיפות המקסימלית שניתן להשיג.
עוד שאלה‏1 334863
הסדרה של אלון נותנת לנו משהו הרבה יותר טוב:
n^(log_3(2))=n^0.631

קצת יותר משורש שלישי. כנראה שגם אותך בלבלה תגובה 334670 ממנה משתמע כאילו צפיפות הסדרה המדוברת היא לוגריתמית.
עוד שאלה‏1 334899
מהיכן החסם בנוגע לסדרה של אלון? התגובה לא בלבלה אותי אלא דווקא דרבנה אותי להוכיח את ההיפך ממה שהיא רמזה (כלומר להראות חסם תחתון סופר-לוגריתמי). עכשיו אני מנסה למצוא חסם עליון טוב.
עוד שאלה‏1 334900
הצפיפות האסימפטוטית של הסדרה של אלון היא כפי שכתבתי. זה נובע מההגדרה השקולה שלה (שאותה איני כותב כדי לא להרוס לקורא פוטנציאלי).
עוד שאלה‏1 335138
אני מתכוון לחסם עליון על צפיפות סדרה שאינה מכילה סדרה חשבונית באורך 3. אלא אם כן אתה יודע להוכיח שהסדרה של אלון היא הצפופה ביותר.
עוד שאלה‏1 335145
שאלת:
"מהיכן החסם בנוגע לסדרה של אלון?"
עניתי:
"הצפיפות האסימפטוטית של הסדרה של אלון היא כפי שכתבתי."
"n^(log_3(2))=n^0.631"
כלומר זה לא חסם אלא הצפיפות המדויקת.

עכשיו אתה שואל משהו אחר, מה הסדרה הצפופה ביותר שאינה מכילה סדרה חשבונית באורך 3. את זה, כפי שניתן להבין מהדיון, אני לא יודע. למעשה, אני אתפלא אם זה ידוע. אני אחשוב על זה עוד קצת ואז אתענין אצל אילנות גבוהים ממני.
עוד שאלה‏1 335220
הכוונה שלי היתה שהסדרה של אלון מהווה חסם תחתון (על ידי בניה מפורשת) לצפיפות סדרה שאינה מכילה חשבונית באורך 3 (על כך דובר בתגובה 334670). לא משנה. אתה מצליח לראות איזשהו חסם עליון יותר טוב מ- n/2 לסדרה הצפופה ביותר?
עוד שאלה‏1 335252
מסתבר שכל מספר חיובי מהווה חסם עליון: ל*כל* קבוע חיובי c יש N כך שכל קבוצה בגודל cN של מספרים בין 1 ל-N מכילה סדרה חשבונית באורך 3. מה שכתבתי קודם לא היה מספיק חזק.

במלים אחרות, לסדרה הנמנעת מסדרות חשבוניות יש צפיפות 0. אפשר למצוא הרבה פרטים במאמרים של טים גאוורס, כאן:

עוד שאלה‏1 335308
זה נשמע סביר אינטואיטיבית. אנחנו שואלים כמה חזק הצפיפות שואפת ל- 0. כלומר אנחנו מבטאים את הצפיפות של סדרה שהאיבר הגדול ביותר שלה הוא n במונחי n (אולי השימוש במושג צפיפות לא מתאים, אנחנו מתבוננים ב- np כאשר p היא הצפיפות לפי הגדרתך).

הראית שקיימת סדרה כזו שהאיבר הגדול ביותר שלה הוא n ומכילה n^0.62 (בערך) איברים, כלומר צפיפות של n^-0.38 - שואפת ל- 0. השאלה היא האם יש סדרה כזו שהצפיפות שלה דועכת למשל לפי 1/logn (לפי הטרמינולוגיה שלנו זו "צפיפות" n/logn). אני מניח שהבנת את זה כבר לפני פסקה וחצי אבל אני משתדל להיות כמה שיותר חד כדי לא ליפול שוב לבעית הגדרות.

התכונה שציטטת אומרת שה"צפיפות" (כפי שהתייחסנו אליה עד כה, בניגוד לצפיפות סתם) אינה ליניארית, זה כבר מעניין, יש הוכחה פשוטה?
עוד שאלה‏1 335318
שוב, אינני יודע מה הצפיפות המקסימלית הניתנת להשגה. אין הוכחה פשוטה לכך שכל קבוצה בעלת צפיפות חיובית (במובן המקובל...) מכילה סדרות חשבוניות מכל אורך - יש לזה כמה הוכחות שונות. זו של Szemeredi היא קומבינטורית באופייה ומאוד קשה; ניסיתי ללמוד אותה פעם ואני לא יכול לומר שהצלחתי. יש הוכחה חשובה של פירסטנברג הנחשבת קלה יותר מבחינה קונספטואלית למי שיודע תורה ארגודית, אבל היא גם דורשת הרבה עבודה. ויש ההוכחה של גאוורס עצמו, המשתמשת בכלים של תורת-המספרים האנליטית; לי אישית היא הכי ברורה, אבל אי-אפשר לקרוא לה פשוטה. אם מסתפקים בסדרות מאורך 3, אפשר לחזור אחורה להוכחה של Roth שהיא אנליטית כמו זו של גאוורס, וגם לא קלה.

(כמו שאתה רואה, זו תוצאה חשובה שלא מעט אנשים הקדישו לה מחשבה. הסיכוי שיש נימוק קצר הוא נמוך מאוד).
רגע 460892
אז מה בסוף הקשר הפשוט? את התאור באתר של a(n)-1 in ternary = n-1 in binary לא הבנתי.
רגע 460984
רשום, לפי הסדר, את כל המספרים הטבעיים שהפיתוח שלהם בבסיס 3 לא מכיל את הספרה 2.
רגע 461031
ולמה לי לעשות את זה?

(סתאאאם. למה לא תתרום את חלקך לאספקט ה"גדל"י של הויכוח על רוג'ר פנרוז? רק בגלל שאתה עסוק מעל הראש?)
רגע 461063
(גם בגלל זה, וגם בגלל שקצת עייפתי מהויכוח הזה אחרי המרתון עם ד.ק. והמאמר.)
רגע 461082
תודה רבה. עכשיו כשהבנתי איך לחשב את האיבר הnי, איך מוכיחים שהוא באמת לא יוצר סדרה חשבונית עם אף איבר אחר במערך באופן כללי?
  רגע • אלון עמית
  רגע • easy
  רגע • גלעד ברזילי
  רגע • אורי גוראל-גורביץ'
  רגע • גלעד ברזילי
  רגע • אורי גוראל-גורביץ'
  רגע • גלעד ברזילי
  רגע • האייל האלמוני
  רגע • D
  רגע • האייל האלמוני
  רגע • גדי אלכסנדרוביץ'
  רגע • עוזי ו.
  רגע • דורון שדמי
  רגע • עוזי ו.
  רגע • דורון שדמי
  רגע • דורון שדמי
  אלפיים שנות אי-הוכחה • רון בן-יעקב
  אלפיים שנות אי-הוכחה • עוזי ו.
  אלפיים שנות אי-הוכחה • רון בן-יעקב
  אלפיים שנות אי-הוכחה • דורון שדמי
  אלפיים שנות אי-הוכחה • האייל האלמוני
  רגע • דורון שדמי

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים