בתשובה להאייל הצעיר, 20/10/05 22:13
קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים 339573
P היא תכונה המבוססת על יחס מסויים בין איבר A לתכולה של איבר PA איתו הוא ממופה.

יחס זה הינו הימצאותו או אי-הימצאותו של העתק של איבר A באיבר של PA איתו הוא ממופה.

S הינה איבר של PA, המכיל את *כל* אברי A שלא נמצא להם העתק באיבר של PA איתו הם ממופים.

אם התנאי *כל* מושמט מההגדרה הנ"ל, הריי שאנו יכולים לדלג באין מפריע על בדיקת המיפוי של S עם איבר כלשהו של A, אך אז אין בידינו להשיג את הסתירה המאפשרת לקנטור להוכיח כי PA>A .

מצד שני אם אנו משאירים את התנאי *כל* אין S יכולה להכיל העתק של איבר A הממופה איתה מעצם הגדרתה, ולכן התנאי *כל* (שהוא חלק בלתי נפרד מהגדרת-הקיום של S) אינו מתקיים ולכן S אינה ברת קיום, וקנטור אינו יכול להוכיח כי כי PA>A.

" מכאן מוכחת טענתו של אח של סמיילי: אתה לא מקבל את אקסיומת ההפרדה ."

בוא ונשווה בין אקסיומת ההפרדה, לשימוש שעושה בה קנטור.

"אקסיומת ההפרדה אומרת שלכל תכונה P, וקבוצה A, קיימת קבוצה כל האיברים ב-A המקיימים את P."

השימוש של קנטור בנ"ל:

לכל תכונה P, וקבוצה A, קיימת קבוצה *לא כל* האיברים ב-A המקיימים את P."

מצא את ההבדלים.
קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים 339656
טוב, בדיון הזה אתה משתמש באותו טיעון שבו השתמשת בפתיל שמתחיל בתגובה 328412. דווקא טיעון מעניין. כדאי שנתרכז בטיעון עצמו, ולא בהשלכות ספציפיות שלו (שגיאה בהגדרת הקבוצה הריקה, שגיאה בהוכחת משפט קנטור...).

ובכן, הטענה שלך היא שאין משמעות לטענה מהצורה "קיים x כך שלכל y (כולל x עצמו) יש קשר <כזה וכזה> עם x."

ברשותך, הייתי רוצה להעביר את הדיון מהתחום המופשט אל העולם הממשי. שמתי לב שאתה מדבר על כך שבקבוצה יש "עותק" של איבר כלשהו ‏1. לכן חשבתי שיהיה נוח יותר לדבר על מושג ששנינו מבינים הרבה יותר בקלות מאשר את מושג הקבוצה: קבצי ZIP (מעכשיו נקרא להם "כיווצים").

אני אציג לך עכשיו טענה, ואתה תגיד לי האם יש לה משמעות: "אצלי במחשב קיים כיווץ x כך שלכל כיווץ y אצלי במחשב, x לא כולל עותק של y."

1 אגב, בתחום הקבוצות זה לא נכון לומר ככה. בקבוצה אין "עותק" של איבר, אלא את האיבר עצמו.
קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים 339677
מה שלא הולך בבבושקות, הולך בכיווצים.
קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים 339689
זה באופן כללי המוטו של הדיון הזה: "נו, ניתן לו עוד צ'אנס".
קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים 339695
לשמחתי, זה גם היה המוטו של אישתי.
קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים 339700
היה?
קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים 339701
היא עדיין נותנת לי את אותו צ'אנס. המוטו פעיל רק בין הצ'אנסים.
קנטור והנחת המבוקש - S לא קיימת 339742
"‏1 אגב, בתחום הקבוצות זה לא נכון לומר ככה. בקבוצה אין "עותק" של איבר, אלא את האיבר עצמו."

אייל צעיר אנחנו עוסקים בדיון זה *רק ואך ורק* בהוכחתו של קנטור הטוענת כי PA>A.

לדיון נפרד, פתח פתיל משלך ואשמח להשתתף בו.

כקשר ל-‏1, אתה טועה, לדוגמא:

P היא תכונה המבוססת על יחס מסויים בין איבר A לתכולה של איבר PA איתו הוא ממופה.

יחס זה הינו הימצאותו או אי-הימצאותו של העתק של איבר A באיבר של PA איתו הוא ממופה.

S הינה איבר של PA, המכיל את *כל* אברי A שלא נמצא להם העתק באיבר של PA איתו הם ממופים, לדוגמא:

0 <--> {0,1} , 1 <--> {10,11,12} , 2 <--> {5,6} , 3 <--> {3,4,5} , 4 <--> {8,9}, …

In this example S ={1,2,4,…}.

היות והגדרת S (כאשר S הינה איבר של PA) מונעת את האפשרות של הכלת ההעתק של איבר A הממופה איתה , הריי שהיא לא מקיימת את התכונה (תנאי) *כל* שלה עצמה, ולכן S לא קיימת מעצם הגדרתה.
קנטור והנחת המבוקש 339900
אם הטענה שלך על הבעיה בכמת "כל" נכונה, אז ההוכחה של קנטור שגויה.
אם הטענה שלך שגויה - ההוכחה של קנטור נכונה.
לכן זה אותו דיון.

"אצלי במחשב קיים כיווץ x כך שלכל כיווץ y אצלי במחשב, x לא כולל עותק של y."
האם יש משמעות לטענה הנ"ל?
קנטור והנחת המבוקש 339993
שים לב כי y יכול להיות קיים במצב לא מכווץ (מחוץ ל-x) ובמצב מכווץ (בתוך x).

אם { } הינו תחום הכיווץ x, הריי ש-{y} הינו *ההעתק* המכווץ של y הלא-מכווץ.

הבדל זה קיים בין איבר A, להעתק שלו הקיים בתוך איבר PA ,

לדוגמא: איבר 1 של N אינו איבר {1} של PN, וכו'.
תגובה ארוכה וממש לא הכרחית 340002
אני מבקש ממך לענות לתגובה שלי לגופו של עניין, במקום על הערת שוליים טרמינולוגית מתגובה קודמת:

"אצלי במחשב קיים כיווץ x כך שלכל כיווץ y אצלי במחשב, x לא כולל עותק של y."
האם יש משמעות לטענה הנ"ל?
תגובה ארוכה וממש לא הכרחית 340008
"אני מבקש ממך לענות לתגובה שלי לגופו של עניין"

עניתי לך בדיוק נמרץ!
תגובה ארוכה וממש לא הכרחית 340009
הגדרתך:

"אצלי במחשב קיים כיווץ x כך שלכל כיווץ y אצלי במחשב, x לא כולל עותק של y."
האם יש משמעות לטענה הנ"ל?

היות ו"כיווץ y" הינו "עותק של y" , אז ענה נא על שאלתך בעצמך.
תגובה ארוכה וממש לא הכרחית 340028
כבר כתבתי לך בתגובה 339656, שלאורך הדיון, אני אקרא מסיבות טכניות לקבצי ה-ZIP "כיווצים" (אחרת השילוב של העברית והאנגלית משבש את סדר מילים במשפט). כדי להימנע מאי-הבנות כאלה, אני אפסיק להשתמש במושג הזה. הנה ניסוח מחדש של השאלה:

"אצלי במחשב קיים קובץ זיפ x כך שלכל קובץ זיפ y אצלי במחשב, x לא כולל עותק של y."
האם יש משמעות לטענה הנ"ל?
תגובה ארוכה וממש לא הכרחית 340046
"אצלי במחשב קיים קובץ זיפ x כך שלכל קובץ זיפ y אצלי במחשב, x לא כולל עותק של y."

לפי הנ"ל y אינו ב-x.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 339999
אייל צעיר,

בתגובה 327731 אתה טוען כי:

"במתמטיקה לא ניתקל בחוסר היכולת לדעת."

אי-ידיעה הינה, בין השאר, התעלמות מפרטים שאינם עולים בקנה אחד עם שאיפותנו, והיות ומתמטיקה מנוסחת על ידינו, הריי שבהחלט יכולה להתנסח מתמטיקה תלויית-שאיפות "מעגלי-פינות".

בקיצור לא מדובר פה בחוסר היכולת לדעת, אלא באי-ידיעה הנובעת מהנחת המבוקש.

בפתיל זה אני מוכיח בבירור כשל זה בהוכחתו של קנטור בעניין PA>A .

הדרך היחידה להגיב לטענתי, הינה לגופה של טענה ולא לגופו של אדם.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340001
תיקון לתגובה קודמת:

במקום:

"בקיצור לא מדובר פה בחוסר היכולת לדעת, אלא באי-ידיעה הנובעת מהנחת המבוקש."

צריך להיות:

בקיצור לא מדובר פה בחוסר היכולת לדעת, אלא באי-ידיעה הנובעת משאיפה להשגת מטרה ידועה מראש, הגורמת להנחת המבוקש.

למעשה טענתך כי: "במתמטיקה לא ניתקל בחוסר היכולת לדעת."

הינה שאיפה אידאלית (אתה מביע במשפט זה את הרצוי ולא את המצוי) אשר אינה ניתנת להשגה ללא תנאי ע"י יצורים כמונו, שמטרותיהם ידועות להם מראש.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340006
קטע מתגובה שלי לאלון עמית, הקשור לשתיי תגובותי הקודמות:

"אני מדבר גלויות על הקשר ההדוק שבין תודעת המתמטיקאי לשיטות והמושגים שהוא מפתח.

יותר מכך, איני משאיר את הקשר הזה להכרעה עפ"י אמונה כפי שאתה עושה, אלא חוקר את תכונות התודעה המינימליות ההכרחיות המאשפרות לנו להמציא/לגלות את שפת המתמטיקה ולפתח אותה על בסיס תכונות מינימליות והכרחיות אלה (כאשר תכונות אלא אינן קשורות לנטיות הפסיכולוגיות/מיסטיות/אמונתיות שלנו אלא לאפשרותה המובנית של התודעה להשתמש בכישורים כמו חשיבה מקבילית/סידרתית ויכולתה להפעיל בגלויי ובמודע את מושג הסימטריה, ככלי מכונן המאפשר לחקור בגלוי את כישוריה לגשר בינה לבין מושאיה המופשטים/פיזיים באופן הפתוח לביקורת תמידית).

מושג הפונקציה לפי גישה ריגורוזית זו הינו בדיוק פעולתה של התודעה על מושאיה, ואין אני משחק במשחק "ההרחקה המדומה" המתייחסת אל מושג הפונקציה כסוכן מכאני שאינו קשור כלל ועיקר לתודעתנו.

משחק "ההרחקה המדומה" דומה לאדם המזהה את בבואתו בראי כמושג הנפרד ממנו, וזה בדיוק מה שעושה קהילת המתמטיקאים עם מושג הפונקציה, בהעניקם לה קיום עצמאי שאינו קשור כלל לתכונות המינימליות ההכרחיות של תודעתם."
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340034
לא טענתי ש"במתמטיקה לא ניתקל בחוסר היכולת לדעת". זה היה ציטוט של הילברט שעסק בשלמות המתמטיקה. כולנו יודעים שהוא טעה. הלאה.

"מתמטיקה תלויית-שאיפות 'מעגלי-פינות"' - האם למתמטיקאי שעובד היום במסגרת תורת הקבוצות יש הנחות סמויות? אם הייתי נותן לך תיאור מפורט, מדויק ו*מלא* של כל הנחות היסוד ודרכי ההיקש שלו, זו הייתה הוכחה לכך שהתשובה היא "לא". כל ההנחות גלויות. למזלנו, אנחנו יודעים שיש תיאור כזה. מאחר שתורת הקבוצות היא תורה אפקטיבית, ניתן לכתוב תוכנת מחשב מסוימת, ולהגדיר את הנחות היסוד וצעדי ההיקש המותרים כ"כל הנחת יסוד / צעד היקש שהתוכנה מחזירה עבורו 'כן'."
היותו של המחשב "סוכן" / "בבואה" של האדם לא קשורה לעניין. העניין הוא שכל ההנחות שלנו גלויות.

איפה הגבתי לטענתך לגופו של אדם?
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340041
"היותו של המחשב "סוכן" / "בבואה" של האדם לא קשורה לעניין"

אייל צעיר, הסבר נא *בפירוט* כיצד "היותו של המחשב "סוכן" / "בבואה" של האדם לא קשורה לעניין"?
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340044
נראה לי שכובד ההוכחה מונח על מי שטוען שיש קשר.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340048
''נראה לי שכובד ההוכחה מונח על מי שטוען שיש קשר.''

טעות בידך, כל טענה (כולל טענה לאי-קשר) דורשת הוכחה.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340050
אנא הוכח שאין קשר בין האלכסון של קנטור לבין אבירי השולחן העגול.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340063
מה זאת אומרת אין קשר? למה אתה חושב שהשולחן היה עגול?
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340064
השולחן *לא* היה עגול. "אבירי-השולחן-העגול" הוא ביטוי יחיד, המגשר בין תודעת המלכות לבין מושגי הגיאומטרייה. לא ניתן לחתוך אותו לחתיכות, בדיוק כפי שלא ניתן לומר ש"פרפר" הוא שני פרים, או ש"גרזן" הוא מישהו שגר במקדש זן. הגיע הזמןו שתלמד קצת לשון (וגם פליאונטולוגיה ונגרות).
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340293
אם ניתן לתאר את כל ההנחות שלנו ולכתוב את התיאור על דף נייר (תיאור כזה: קוד של התוכנה הרלוונטית) אז אף אחת מההנחות שלנו איננה סמויה.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340739
"אם ניתן לתאר את כל ההנחות שלנו ולכתוב את התיאור על דף נייר "

*אם* זאת מילת מפתח, והנחת המבוקש מתקיימת תמיד ב"כתם העיוור" של הנושא הנחקר, ואין שום דרך לבטל בביטחון מוחלט קיומה של הנחת המבוקש כי איננו יודעי כל.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340821
או.קיי. אותו משפט, בלי המילה "אם":

א. ניתן לתאר את כל ההנחות שלנו ולכתוב את התיאור על דף נייר.
ב. אין לנו הנחות סמויות ‏1.

1 אם הן מופיעות על אותו דף נייר, הן לא סמויות יותר. נכון?
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340846
". ניתן לתאר את כל ההנחות שלנו ולכתוב את התיאור על דף נייר."

הוכח את הטענה *כל*.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340879
"כל" היא לא טענה. אבל, מאחר ששנינו יודעים למה אתה מתכוון, אני בכל זאת אתן לך קישור מצוין: http://us.metamath.org/mpegif/mmset.html#axioms
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 340885
""כל" היא לא טענה."

חביבי, הסר או הוסף את *כל* למשפט מתמטי כלשהו, ואתה מקבל משפט שונה בתכלית.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 341024
"כל 1+1=2"?
"כל אין מספר זוגי גדול מ-‏2 שאיננו סכום של שני ראשוניים"?
"כל עבור כל חבורה G, הסדר של כל תת-חבורה של G מחלק את הסדר של G"?

(אנחנו נטפלים לקטנות)
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 341054
"(אנחנו נטפלים לקטנות)"

אוקיי בוא נדייק.

הסר או הוסף *כל* ממשפט מתמטי המופנה בעקיפין או במישרין לעצמו, (כמו במקרה של S) , וקיבלת מצבים שונים בתכלית.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 341085
"לכל x, המשפט הזה הוא שקר"?

"לכל x, יש במשפט הזה שבע מילים"?

"לכל x, המשפט הזה ניתן להוכחה"?
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 341249
משפט מתמטי אינו נגמר בסימן שאלה.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 341251
סימן השאלה נמצא אחרי הגרשיים.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343681
"לכל x, המשפט הזה הוא שקר"?

עיין נא ב-http://www.geocities.com/complementarytheory/Russell...
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343687
עיינתי כבר בעבר. בכל אופן, למרות שהזכרתי את פרדוקס השקרן, אין לי רצון לדון בפתיל הזה בפרדוקס של ראסל. מה שרציתי להגיד הוא שבהינתן פסוק, ולא חשוב האם הוא מתייחס לעצמו או לא, אם נוסיף בתחילתו את המילים "לכל x", נקבל אחד מן השניים:

א. נוסחה חסרת פשר, למשל: "לכל x קיים x, כך של-x אין עוקב."
ב. פסוק שקול לפסוק המקורי.

זאת בניגוד למה שטענת בתגובה 341054.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343689
מה גורם לך לחשוב שהנוסחה ב-א. חסרת פשר?
מקובל לראות משתנה ככבול לכמת האחרון בו הוא מופיע.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343743
אה, באמת? לא ידעתי.

בכל אופן, דורון עדיין טעה: אם נוסיף בתחילת פסוק את הביטוי "לכל x", נקבל פסוק שקול.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343693
הגדרה הפונה לעצמה (כתוצאה מהתנאי כל) ואינה מקיימת את תנאי עצמה, אינה קיימת מלכתחילה, וזהו בדיוק גורל "קיומו" של S .
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343746
(כל הכבוד. התעלמות אלגנטית מהעובדה שהפתיל הוא לא על הפרדוקס.)

אם S היא הקבוצה
S={x|x not in x}
אז אתה צודק, והקבוצה הזאת לא קיימת. הצרה היא שע"פ האקסיומות של פרגה ניתן להוכיח גם שהיא כן קיימת. מכאן, שהאקסיומות של פרגה לא עקביות. לכן, היה צריך להחליף אותן. זה כל הסיפור.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343750
"(כל הכבוד. התעלמות אלגנטית מהעובדה שהפתיל הוא לא על הפרדוקס.)"

אי-קיומה של S מעצם הגדרתה שלה, מונע קיומו של פרדוקס.

מה שהדגמתי בסיפורה האומלל של S , הוא את ההתנהלות הלא-תבונית של תודעה, אשר לא טורחת לבחון את היתכנות קיומם של הגדרותיה וחושבת שכל היוצא מפיה הינו תנאי מספיק לקיומו.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343754
שוב, זו בדיוק הבעיה באקסיומות של פרגה. הפרדוקס נובע מההנחה שכל תנאי אכן מגדיר קבוצה, והעובדה שהתייחסו אליו כפרדוקס פירושה שה"תודעה" התנהלה בצורה כן תבונית וטרחה לבדוק את היתכנות קיומם של הגדרותיה.

האם אתה טורח לבדוק את פשר הדברים שאתה אומר? שמת לב כבר כמה פעמים בדיון הזה התייחסת לכל המתמטיקאים עד אלייך כאילו היו אידיוטים גמורים?
בקורת עניינית 343769
גדי,

דבריי פשוטים ביותר.

אני טוען שפיתוח שפת המתמטיקה תוך התייחסות לתכונות מנימליות ולא-אישיות של התודעה, כבסיס לפיתוח שפה זו, מעשיר ומעמיק לאין ערוך את אפשרויות המחקר המתמטי ובאותה עת טורם להעשרתה ולעידונה של התודעה העוסקת בו.

הדגמתי בפשטות כיצד מתקיים המספר הטבעי, אם הוא נובע מחקר התודעה כבסיס מכונן שלו (http://www.geocities.com/complementarytheory/gishoor... עמודים 2-5).

הסברתי בקצרה כמיטב יכולתי את תהליך התפתחות רעיונותי ב-http://forum.bgu.co.il/index.php?showtopic=46751 .

תקיפה לגופו של אדם לא משנה את הצורך להבין את הרעיונות *לפני* שמביעים את דעתם עליהם, ואני טוען כי היות ואף מתמטיקאי ב-‏500 שנה האחרונות לא מבסס את מחקרו על התודעה כגורם מכונן *גלוי* של המחקר המתמטי, יוצאות הן התודעה (או יותר נכון, חקר התודעה) והן חקר המתמטיקה נפסדות.

בעניין פרגה, אני מוכיח ב-http://www.geocities.com/complementarytheory/Russell... כי הפרדוקסים של ראסל לא היו ולא נבראו.

עוד בעניין פרגה אני מראה ב-http://www.geocities.com/complementarytheory/ONN3.pd... (עמ' 21-23) כי קהילת המתמטיקאים לא חקרה עמוקות (עד כה) את פועלו של פרגה.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343760
נניח שמערכת אקסיומות מסוימת מוכיחה שיש תפוח כחול, אבל גם מוכיחה שאין תפוח כחול ‏1. מה תגיד על מערכת האקסיומות?

א. לא יכול להיות תפוח כחול (ניתן להוכיח במערכת האקסיומות שלנו, שההגדרה הזאת מובילה לסתירה, ולכן התפוח לא יכול להתקיים). זה מונע את הפרדוקס.
ב. מערכת האקסיומות אינה עקבית, ויש להחליף אותה.
ג. אין שום בעיה עם קיומה של סתירה כי <הכנס כאן הסבר כרצונך עם XOR ו-AND (אין צורך לפרט)>.
ד. אחר (פרט).

1 ונוסיף עוד הנחה קטנה: ניתן להוכיח במערכת, שאם ניתן להוכיח בה טענה כלשהי וגם את שלילתה, ניתן להוכיח בה כל טענה.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343776
מרחב הקיום המבוסס על סינתיזה בין הפכים, אינו מגיע לידי סתירת האלמנטים הקיימים בו, כי הסינתיזה הינה *תמיד* תוצר של פתרון קונסטרוקטיבי בין הפכים.

בקיצור אייל צעיר, עדיין לא הזזת את עצמך מעולם המושגים הנובע מלוגיקת הסתירה בין הפכים, ואין שום סיכוי שתבין את מושג הסינתיזה ע"י בחינתה מדקונסטרוקציה (סתירה) בין הפכים.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343803
אתה חושב שיש שתי טענות שלא ניתן או שלא צריך ליצור סינתזה ביניהן?
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343806
"אתה חושב שיש שתי טענות שלא ניתן או שלא צריך ליצור סינתזה ביניהן?"

מצטער לא הבנתי אותך.
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343815
אני אנסה לשאול זאת אחרת: *למה* צריך בכלל ליצור סינתזה בין הטענה "קיימת קבוצת ראסל" לטענה "לא קיימת קבוצת ראסל"? איך זה מסתדר עם העובדה שאתה (כמוני, וכמו כל אחד אחר) לא מקבל את הטענה הראשונה?
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343822
אם לא-קיים הוא ריקנות מוחלטת וקיים הוא מלאות מוחלטת, אז הסינתיזה שבין מצבי קיצון אלה הינה אלנמטים המשלבים מלאות (רצף) וריקנות (בדידים).
קנטור ואי-הידיעה, כגורם להנחת המבוקש 343831
א. "לא קיימת קבוצת ראסל" זו טענה שאומרת שאולי קיימות המון-המון קבוצות אחרות, אבל לא חשוב כמה תחפש, לא תמצא ביניהם את קבוצת ראסל. אין קשר לריקנות מוחלטת.
כנ"ל לגבי הטענה הנגדית.

ב. זה לא עונה על השאלה *למה* צריך סינתזה בין ריקנות למלאות. קל וחומר שזה לא עונה על השאלה למה צריך סינתזה בין הטענות "יש קבוצת ראסל" ו"אין קבוצת ראסל".

ג. מה הקישור שיצרת בין ריקנות ובדידיות? חשבתי שאלה שני דברים נפרדים לחלוטין. {} ו-{.} הם שני אטומים נפרדים לחלוטין, לא?!

ד. האם יש עוד אלמנטים מלבד התודעה, שמשלבים רציפות ובדידיות?
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340066
אייל צעיר, הנה ציטוט מתגובה 327731 שלך:
"בעולם המתמטי של היום, לא זו בלבד שהכל מבוסס על אקסיומות יציבות, אלא שגם דרך ההיקש שלנו פורמלית לחלוטין."

איזה אקסיומות יציבות ואיזה נעליים?

אקסיומת-הקיום של הקבוצה-הריקה מניחה כי הקבוצה הריקה קיימת ללא תלות באקסיומת-הקיום (הכמת "לכל" פועל על הקבוצה-הריקה במנותק מאקסיומת-הקיום שלה) או במילים אחרות, הנחת המבוקש היא הבסיס המכונן של אקסיומה זו, כפי שהראיתי בבירור בדיון זה.

בו ונבחן "הנחת המבוקש" נוספת הקיימת בבסיס אקסיומת ZF נוספת:

The axiom of extensionality:

Given any set A and any set B, A is equal to B if and only if, given any set C, C is a member of A if and only if C is a member of B.

what the axiom is really saying is that two sets are equal iff they have precisely the same members. The essence of this is:

A set is determined uniquely by its members.

מכיוון שאקסיומה זו קובעת את הייחודיות של קבוצה ע"י איבריה, ניתן לנסח אותה גם בדרך הבאה:

A ו- B הן קבוצות שונות אם ורק אם קיימת קבוצה C ב-A ולא ב-B , או ב-B ולא ב-A .

אך כדי לזהות את C בתוך A או את C בתוך B , אנחנו מניחים כי שאר אברי B או A (אם B או A קבוצות לא ריקות) שונים זה מזה ושונים מ-C .

אך הריי ייחודיות זו אמורה להיות מוגדרת ע"י The axiom of extensionality , ועתה אנו מגלים כי אקסיומה זו מבוססת על "הנחת המבוקש" של הגדרת יחודיות של קבוצה ע"י קיום מראש של יחודיות בין איבריה, כאשר איבריה הן קבוצות.

במילים אחרות יש לנו כאן הגדרת יחודיות ע"י שימוש ביחודיות, או בקיצור: הנחת המבוקש.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340302
"אך כדי לזהות את C בתוך A או את C בתוך B , אנחנו מניחים כי שאר אברי B או A (אם B או A קבוצות לא ריקות) שונים זה מזה ושונים מ-C."

לא נכון. וחובת ההוכחה מוטלת עליך.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340738
"לא נכון. "

נכון ועוד איך !
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340753
האייל האלמוני מתגובה קודמת הוא אני.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340822
אני לא יודע למה צריך "לזהות את C בתוך A". אני לא מכיר פעולה כזאת, "לזהות" איבר בקבוצה.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340842
איך תדע עם C איננה ב-A אם אינך מסוגל להבדיל בינה לבין איברים נוספים הכלולים בה?

The axiom of extensionality אמורה לאפשר הבחנה זו, אך היא משתמשת ביכולת הבחנה כדי להגדיר יכולת הבחנה, וזוהי כמובן טענה מעגלית והנחת המבוקש.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340849
אם תרשה לי להתערב, אני מאמין שדורון חושב שהאקסיומה הנ"ל מגדירה את יחס השוויון. מה שהוא לא מבין הוא שהשוויון תמיד מוגדר כזהות (כלומר A=B אםם A ו B הם אותו איבר). האקסיומה הזו רק אומרת משהו על היחס בין שוויון לבין שייכות.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340853
"אני מאמין שדורון חושב שהאקסיומה הנ"ל מגדירה את יחס השוויון"

אמונתך לא תעזור לך במקרה זה, כי אני טוען להגדרה מעגלית באקסיומה המגדירה הבחנה, ע"י השימוש בהבחנה.

אני מציע שתקרא בזהירות את תגובה 340066 ואז תבין כי איני מדבר על מושג השיוויון, אלא על הנחת המבוקש הנובעת מהגדרת הבחנה ע"י שימוש ביכולת ההבחנה.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340870
כן, אבל אתה טועה. אם אני מבין אותך נכון, כשאתה אומר "להבחין", אתה מתכוון: לדעת אם X שונה מ Y. ולכן אתה כן מדבר על מושג השוויון (כי "שונה" = "לא שווה"). לכן האקסיומה הזו לא מגדירה את ההבחנה, שכן היא כבר מוגדרת. היא פשוט אומרת משהו על אותה הבחנה.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340883
"כן, אבל אתה טועה. אם אני מבין אותך נכון,"

אינך מבין כי אקסיומה זו אינה עוסקת בשיוויון או באי-שיוויון בין קבוצות, אלא ביחודיות של איברי קבוצות, כפי שנאמר בבירור ב-http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_extensionality :

A set is determined uniquely by its members

ולכן אומר זאת שוב:

מכיוון שאקסיומה זו קובעת את *הייחודיות* של קבוצה ע"י איבריה (ואיננה מוגבלת לשיוויון או לאי-שיוויון בין קבוצות) ניתן לנסח אותה גם בדרך הבאה:

A ו- B הן קבוצות *שונות* אם ורק אם קיימת קבוצה C ב-A ולא ב-B , או ב-B ולא ב-A .

אך כדי לזהות את C בתוך A או את C בתוך B , אנחנו מניחים כי שאר אברי B או A (אם B או A קבוצות לא ריקות) שונים זה מזה ושונים מ-C .

אך הריי ייחודיות זו אמורה להיות מוגדרת ע"י The axiom of extensionality , ועתה אנו מגלים כי אקסיומה זו מבוססת על "הנחת המבוקש" של הגדרת ייחודיות של קבוצה ע"י קיום מראש של ייחודיות בין איבריה, כאשר איבריה הן *קבוצות*.

במילים אחרות יש לנו כאן הגדרת יחודיות ע"י שימוש ביחודיות, או בקיצור: *הנחת המבוקש*.
אנחת המבוקש 340884
הנח או אל תנח? אתנחתה קומית
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340912
דורון:
A ו- B הן קבוצות *שונות* אם ורק אם קיימת קבוצה C ב-A ולא ב-B , או ב-B ולא ב-A .

אני:
נכון, ולכן זו אקסיומה שעוסקת בשוויון בין קבוצות. הנה, אתה השתמשת במפורש במילה "שונות", ואפילו הדגשת אותה.

דורון:
אקסיומה זו אינה עוסקת בשיוויון או באי-שיוויון בין קבוצות, אלא ביחודיות של איברי קבוצות.

אני:
מה זה יחודיות של אברי קבוצות?

דורון:
אך כדי לזהות את C בתוך A או את C בתוך B , אנחנו מניחים כי שאר אברי B או A (אם B או A קבוצות לא ריקות) שונים זה מזה ושונים מ-C.

אני:
אבל זה לא קשור לאקסיומה, כבר כשאמרת את המילה "שאר" ברור שהאיברים הנ"ל שונים מ C (למשל במשפט "יוסי ילד נחמד, שאר הילדים לא כל כך" הכוונה במילה שאר היא הילדים השונים מיוסי). וכשאתה אומר איברים, ברור שאתה מתכוון שהם שונים זה מזה, אלא אם הם שווים. (למשל, במשפט הקודם, ברור שהילדים שונים זה מזה).

דורון:
אך הריי ייחודיות זו אמורה להיות מוגדרת ע"י The axiom of extensionality , ועתה אנו מגלים כי אקסיומה זו מבוססת על "הנחת המבוקש" של הגדרת ייחודיות של קבוצה ע"י קיום מראש של ייחודיות בין איבריה, כאשר איבריה הן *קבוצות*.

אני:
לא נכון, שוויון ושוני מוגדרים בכל המודלים בדיוק באותו אופן - כזהות וחוסר זהות בהתאמה.

דורון:
?
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340926
לא הבנת את תגובתי הקודמת, שבה נאמר בפירוש כי ה-axiom of extensionality מגדירה את הייחודיות של קבוצות עפ"י איבריהן, כאשר ייחודיות היא שילוב של זהות ושונות, אך אנו מבחינים בין איברי הקבוצות ללא כל קשר לקיומה או אי-קיומה של האקסיומה הנ"ל, ולכן אקסיומה זו מבוססת על הנחת המבוקש, כאשר ההנחה היא קיום ייחודיות בין איברי קבוצות על ידי שילוב בין זהות לשונות.

"שילוב בין זהות לשונות" הינו למעשה "ייחודיות", ולכן הנחת קיום הייחודיות של אבריי קבוצה מבוססת על המושג המבוקש, ולכן ה-axiom of extensionality מבוססת על *הנחת המבוקש*.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340928
ועוד אוסיף ואומר כי "שווה" ו-"זהה" אינם אותו הדבר, לדוגמא:

a =|{1,2,3}|
b =|{4,5,6}|

|a|=|b|

אך a אינו זהה ל-b
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340932
תיקון לתגובה קודמת:

a ={1,2,3}
b ={4,5,6}

|a|=|b|

אך a אינו זהה ל-b .
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340961
אין ספק שבתגובה הזו הוכחת מבחינתי סופית שאו שאין לך שום הבנה במתמטיקה או שיש לך ואתה דמגוג סוג ד'. כתוצאה מכך אני מפסיק להכנס לדיון הזה.
(מה שכתוב שם זה שהגודל של a זהה לגודל של b. זה כמו שתכתוב מקום=place אבל ק לא שווה ל-l).
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340989
"זה כמו שתכתוב מקום=place אבל ק לא שווה ל-l)."

בשום אופן לא.

הסימון לשיוויון הוא:

___
___

הסימן לזהות הוא:

___
___
___

האח של סמיילי כתב:
"שוויון ושוני מוגדרים בכל המודלים בדיוק באותו אופן - כזהות וחוסר זהות בהתאמה."

מתוך דבריו אלה נובע כי אין הוא מבחין בין *זהות* *לשיווין*, ולכן הדגמתי את ההבדל על הקבוצות a ו-b , כאשר הקרדינל של a והקרדינל של b *שווים*, אך a ו-b *אינם זהים*, כך שלדבר על זהות ושיוויון כאילו זה אותו מושג הינו חוסר הבנה בסיסי במתמטיקה.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340993
תהיה רציני. אם הקרדינל של a והקרדינל של b שווים, וזהות ושיוויון הם מושגים זהים, אז המסקנה היא שהקרדינל של a והקרדינל של b זהים, לא שa וb זהים.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341025
a אינו זהה ל-b, כי a אינו שווה ל-b.
|a| זהה ל-|b|, כי |a| שווה ל-|b|.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341058
"a אינו זהה ל-b, כי a אינו שווה ל-b.
|a| זהה ל-|b|, כי |a| שווה ל-|b|."

בקיצור, אתה אומר כי לזהה ושווה יש אותו מובן בשפת המתמטיקה המודרנית.

היות ושפתי עשירה יותר, אני אומר שזהות קיימת רק בין אלמנט לעצמו, בעוד ששיוויון מבוסס על תכונה משותפת (כמו קרדינל למשל) בין אלמנטים שונים.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341086
אין שיוויון בין אלמנטים שונים. |a| ו-|b| הם אותו אלמנט, שהוא המספר 3.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341089
|a|, |b| ו-‏3 הם לא אותו האלמנט, אלא שלושה אלמנטים שונים בעלי תכונה (כמותית) משותפת. באופן דומה לכך ש-‏1+1 לא זהה ל-‏2, אבל כן שווה ל-‏2.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341136
קיוויתי שאף אחד לא יזכיר את 1+1. אז קיוויתי.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341280
מוהאהאהאהאהא.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341263
זהות היא חפיפה מוחלטת בין מספר אלמנטים המובילה אותנו *בהכרח* למסקנה כי אנו עוסקים באלמנט אחד ויחיד.

שיוויון הוא חפיפה חלקית בין אלמנטים *שונים* המקיימים תכונה או מספר תכונות משותפות.

אביב נתן דוגמאות מצוינות לכך, ואני אוסיף משלי.

פיז'ו אדומה ומיץ פטל חולקים תכונה משותפת שניתן לכנותה "אדומיות", אך אין להסיק מכך כי יש זהות בין פיז'ו למיץ פטל.

במצב זה אנו אומרים כי יש שיוויון בין פיז'ו למיץ פטל אך אין זהות ביניהם.

התעלמות מהשייכות של ה"אדומיות" לפיז'ו ולמיץ פטל שקולה לאמירה "אדומיות" זהה ל-"אדומיות", אך אז אין אנו עוסקים בתכונה משותפת בין אלמנטים שונים (מה שאני מכנה כ-"שיוויון")
אלא בזהות של "אדומיות" לעצמה, במנותק מכל שייכות לאלמנט כלשהו.

לסיכום, זהות היא התייחסות של אלמנט לעצמו ולעצמו בלבד, ושיוויון הינה חפיפה חלקית בין אלמנטים *שונים*.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341408
לא, אין בשום אופן שיוויון בין פיז'ו למיץ פטל. יש שיוויון בין ה*צבע* של פיז'ו ל*תבע* של מיץ הפטל. הצבע של הפיז'ו *זהה* לצבע של מיץ הפטל.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 342181
ברגע שאתה מתייחס לצבע ואך ורק לצבע, אז ורק אז אתה יכול להגיד ש-"אדומיות זהה ל-"אדומיות" ולכן אין כל משמעות למשפט "הצבע של ...".

ברגע שהאדומיות מובנת כ"צבע של ..." הרי שהיא תכונה משותפת *חלקית* של שני אלמנטים *שונים* ולכן ניתן לומר אליה כי היא תכונה שווה לשניי אלנמטים *שונים*.

האם ההבדל בין זהות לשיוויון מובן על-ידך?
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 342198
האייל האלמוני בתגובה קודמת הוא אני.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 342237
אם שני אלמנטים לא זהים, הם גם לא שווים. יכולים להיות שני אלמנטים שונים, שתכונה מסוימת שלהם זהה.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 342242
''אם שני אלמנטים לא זהים, הם גם לא שווים''

''תודה'' שאתה מתעלם ממה שאני כותב.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 342251
אני "מודה", אבל לא מודה. (גם) בתגובה 342181 אתה מראה שאתה חושב שאם לשני אובייקטים יש תכונה משותפת כלשהי, אז הם שווים. הם לא.

עד עכשיו לא הראית שום דוגמה למצב שבו שני אובייקטים ‏1 זהים אבל לא שווים או להיפך.

1 האובייקטים *עצמם*, לא תכונות חלקיות שלהם.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 342254
"אתה מראה שאתה חושב שאם לשני אובייקטים יש תכונה משותפת כלשהי, אז הם שווים."

אם כך אתה כותב, אז עדיין לא הבנת את שאני כותב בנדון, ומה שאני כותב הוא זה:

שים לב שאינני מדבר על שניי האלמנטים אלא על תכונת "האדומיות"
ומתי אנו משתמשים ביחס אליה במושגים זהה ושווה, הנה דברי והפעם קרא נא אותם לפני שאתה מגיב:

ברגע שאתה מתייחס לצבע ואך ורק לצבע, אז ורק אז אתה יכול להגיד ש-"אדומיות זהה ל-"אדומיות" ולכן אין כל משמעות למשפט "הצבע של ...".

ברגע שהאדומיות מובנת כ"צבע של ..." הרי שהיא תכונה משותפת *חלקית* של שני אלמנטים *שונים* ולכן ניתן לומר אליה כי היא תכונה שווה לשניי אלנמטים *שונים*.

בדיוק באותה מידה אם a={1,2,3} ו-b={4,5,6} (ונסלח לממשק המשתמש שח האייל-הקורא) , אז הקרדינל השייך להם הוא תכונה חלקית של שתיי קבוצות שונות ולכן הקרדינל של a *שווה* לקרדינל של b , ואילו 3 *זהה* ל-‏3 ללא כל קשר להיותו משמש כקרדינל לשתיי קבוצות שונות.

האם ההבדל בין זהות לשיוויון מובן לך?
המסקנה הסופית בקשר לדורון שדמי 342262
>אם כך אתה כותב, אז עדיין לא הבנת את שאני כותב בנדון

או שאתה לא יודע להסביר ואז כל מה שאתה צריך לעשות זה לשכור שרותי יחצנות טובים

או שאין מה להסביר ואז אתה צריך אמרגן טוב למופע סטנד-אפ
המסקנה הסופית בקשר לדורון שדמי 342266
אוי טעית.

בקשר לטרחנים כפייתיים כמוני יש רק מסקנות אינסופיות.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 342286
לשאלתך האחרונה: לא. כל שני אובייקטים שווים הם זהים, וכל שני אובייקטים זהים הם שווים. אם כך, שני המושגים זהים.
זהים, אבל לא שווים! 342289
גם וגם! 342313
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340974
דורון:
לא הבנת את תגובתי הקודמת

אני:
כן הבנתי.

דורון:
ייחודיות היא שילוב של זהות ושונות.

אני:
מה?

דורון:
אקסיומה זו מבוססת על הנחת המבוקש, כאשר ההנחה היא קיום ייחודיות בין איברי קבוצות על ידי שילוב בין זהות לשונות.

אני:
לא נכון, אין כזאת הנחה. מה שאתה קורא "הבחנה בין איברי קבוצות" הוא פשוט התנאי X שונה מ Y. שונה משמעותו לא זהה.

דורון:
ועוד אוסיף ואומר כי "שווה" ו-"זהה" אינם אותו הדבר, לדוגמא:

a ={1,2,3}
b ={4,5,6}

|a|=|b|

אך a אינו זהה ל-b

אני:
אתה רציני? כל מה שהראית זה שהגודל אינו קובע את התוכן של קבוצה.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340997
"אתה רציני? כל מה שהראית זה שהגודל אינו קובע את התוכן של קבוצה."

קרא נא את תגובה 340989 .

מה שהראתי הוא ששיוויון וזהות הם שני מושגים שונים במתמטיקה, והדגמתי זאת על ידי אי-הנרדפות של מושגים אלה, כאשר הם מיוחסים לשתיי קבוצות.

בקיצור, שיוויון אינו מחייב זהות אך זהות מחייבת שיוויון, ולכן שיוויון הינו תנאי חלקי לזהות.

ה-axiom of extensionality אינה עוסקת בזהות או שונות כמושגים נפרדים, כי רק שילובם מאפשר קביעת ייחודה של קבוצה עפ"י אבריה.

נסה נא *לזהות שונות* (לקבוע ייחודיות) ללא שילוב המושגים *זהה* ו-*שונה*.

שילוב זה הינו *הכרחי* לקביעת תוכנה היחודי של קבוצה, והוא אינו תלויי כלל ועיקר באקסיומה שכביכול "מגדירה" אותו.

אי-תלות זו הופכת את ה-axiom of extensionality למיותרת בתכלית (האקסיומה הזו "מגלה את אמריקה").
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 340998
דורון:
מה שהראתי הוא ששיוויון וזהות הם שני מושגים שונים במתמטיקה, והדגמתי זאת על ידי אי-הנרדפות של מושגים אלה, כאשר הם מיוחסים לשתיי קבוצות.

אני:
אולי הראית את זה, אבל מה לעשות שזה פשוט לא נכון.

דורון:
קרא נא את תגובה 340989 .

אני:
קראתי. ועכשיו למה שהמתמתיקה המודרנית חושבת: הסימן "=" מסמל זהות. תמיד. הסימן של שלושה קוים מסמל יחס שקילות כלשהו, בהתאם להקשר. למשל 3 שווה 5 מודולו 2. כאן השוויון יסומן בשלושה קווים, אבל זה לא באמת שוויון, כי הם לא זהים. לעומת זאת, בשדה Z מודולו 2Z אפשר לכתוב 3=5, כי הם אותו איבר - 1.

דורון:
אי-תלות זו הופכת את ה-axiom of extensionality למיותרת בתכלית (האקסיומה הזו "מגלה את אמריקה").

אני:
אבל בלי האקסיומה הזו קשה להבין את הקשר בין יחס השוויון לבין יחס השייכות. חוץ מזה, קל למצוא קבוצות שלא חושבות שאקסיומה זו מתקיימת בהן. למשל
A={{1},{2}}
ברור ש {1} שונה מ {2} אבל אין איבר ב A שמבדיל ביניהם.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341020
"אני:
אבל בלי האקסיומה הזו קשה להבין את הקשר בין יחס השוויון לבין יחס השייכות. חוץ מזה, קל למצוא קבוצות שלא חושבות שאקסיומה זו מתקיימת בהן. למשל

A={{1},{2}}

ברור ש {1} שונה מ {2} אבל אין איבר ב A שמבדיל ביניהם."

ב-http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_extensionality נאמר בפירוש כי האקסיומה הנ"ל משמשת לקביעת ייחודה של קבוצה עפ"י איבריה, אך מכיוון שה-axiom of extensionality מבוססת על יכולתנו המובנית להבחין בייחודיות של קבוצה עפ"י איבריה תוך שילוב *הכרחי* של זהות ושונות, אין שום צורך להגדיר יכולת זו ע"י אקסיומה, כי אם עושים זאת הריי שאנו מסתמכים על התכונה המובנית הקיימת בנו, כדי להגדיר אקסיומה המשתמשת בתכונה זו כבסיס להגדרה שלה, ולמצב זה קוראים *הנחת המבוקש*.

כמו כן לא צריך איבר שלישי כדי להבחין בין שניי אברי A ,ומצב זה נכון לכל תכולה (או אי-תכולה, במקרה של הקבוצה-הריקה) של קבוצה כלשהי.

לגבי זהות ושיוויון, זהו ויכוח משני שאינו מעלה ואינו מוריד מאי-נחיצותה של ה-axiom of extensionality ואם שיוויון וזהות הם מילים נרדפות למושג אחד במתמטיקה-המודרנית, אז ניתן להבין מיד עת כמה שפה זו אינה מדוייקת, כי ברור לחלוטין שזהות חלה גם על ההרכב וגם על הקרדינל של קבוצה, בעוד ששיווין חל רק ואך ורק על הקרדינל.

הבחנה זו היא קריטית לקיומה של שפה מדוייקת.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341039
דורון:
לגבי זהות ושיוויון, זהו ויכוח משני שאינו מעלה ואינו מוריד מאי-נחיצותה של ה-axiom of extensionality ואם שיוויון וזהות הם מילים נרדפות למושג אחד במתמטיקה-המודרנית, אז ניתן להבין מיד עת כמה שפה זו אינה מדוייקת, כי ברור לחלוטין שזהות חלה גם על ההרכב וגם על הקרדינל של קבוצה, בעוד ששיווין חל רק ואך ורק על הקרדינל.

אני:
חושב אני שהבנתי סוף סוף את מה שאתה לא מבין. במתמתיקה מותר לשים סימן שוויון גם בין אוביקטים שאינם מספרים, כגון קבוצות (למעשה כל האובייקטים הם קבוצות).

דורון:
.... ולמצב זה קוראים *הנחת המבוקש*.

אני:
נכון שהאקסיומה הזו מאוד טבעית, וברור שבאופן טבעי אתה חושב שקבוצה אמורה להקבע על ידי התכולה שלה. עם זאת זה לא אומר שלא צריך להוסיף אותה לאקסיומות, או שהיא "מניחה את המבוקש" (את זה אני פשוט לא מבין - זו אקסיומה, לא טענה, היא לא "מבקשת" דבר). עכשיו כשאתה מבין מה זה שוויון תוכל להבין שבדוגמא שנתתי אקסיומה זו אינה מתקיימת.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341053
"חושב אני שהבנתי סוף סוף את מה שאתה לא מבין. במתמתיקה מותר לשים סימן שוויון גם בין אוביקטים שאינם מספרים, כגון קבוצות (למעשה כל האובייקטים הם קבוצות)."

כפי שאני טוען, יש להבחין קטגורית בין זהות שבה אנו עוסקים באותו אלמנט עצמו, לבין שיוויון, שבו אנו עוסקים בשניי אלמנטים שונים.

אם a הוא {1,2,3} ו-b הוא {4,5,6} אז אין ביניהם זהות אך יש ביניהם שיוויון בערכו של הקרדינל שלהם, שזוהי תכונה חלקית של a ו-b .

שתיי קבוצות הן זהות (הן למעשה אותו אלמנט) אם ורק אם יש התאמה מוחלטת בין תכונותיהן.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341060
האייל הלמוני מתגובה קודמת הוא אני.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341081
דורון:
שתיי קבוצות הן זהות (הן למעשה אותו אלמנט) אם ורק אם יש התאמה מוחלטת בין תכונותיהן.

אני:
שתי קבוצות הן שוות (הן למעשה אותו אלמנט) אם ורק אם יש התאמה מוחלטת בין תכונותיהן.

דורון:
אם a הוא {1,2,3} ו-b הוא {4,5,6} אז אין ביניהם זהות אך יש ביניהם שיוויון בערכו של הקרדינל שלהם, שזוהי תכונה חלקית של a ו-b .

אני:
ולכן הם לא שווים!
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341168
"ולכן הם לא שווים!"

הבדל בין זהות לשיוויון באריתמטיקה:

2 זהה ל-‏2

2 שווה (אך אינו זהה) ל- 1+1
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341064
"עכשיו כשאתה מבין מה זה שוויון תוכל להבין שבדוגמא שנתתי אקסיומה זו אינה מתקיימת."

שוב:

The axiom of extensionality:

Given any set A and any set B, A is equal to B if and only if, given any set C, C is a member of A if and only if C is a member of B.

what the axiom is really saying is that two sets are equal iff they have precisely the same members. The essence of this is:

A set is determined uniquely by its members.

בשורה תחתונה, האקסיומה הנ"ל קובעת שייחודה של קבוצה נקבעת עפ"י איבריה, אבל איבריה של קבוצה (לפי ZF) תמיד מובחנים זה מזה ללא תלות בקיומה של האקסיומה, ולכן יכולת ההבחנה המוגדרת ע"י האקסיומה, נובעת מיחודיות איבריה ולא מקיומה של האקסיומה, ולכן אקסיומה זו מגדירה ייחודיות על ידי שימוש בייחודיות.
The axiom of extensionality שאלה פשוטה 341066
על מה אני מסתמכים (ב-ZF) כאשר אנו טוענים כי {a,a,b}={a,b} ?
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • גדי אלכסנדרוביץ'
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • גדי אלכסנדרוביץ'
  חשיבה מקבילית/סדרתית • דורון שדמי
  חשיבה מקבילית/סדרתית ועוד ... • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • האייל הצעיר
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality שאלה פשוטה • דורון שדמי
  The axiom of extensionality שאלת תם • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality שאלת תם • האייל הצעיר
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • שוטה הכפר הגלובלי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • האייל הצעיר
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • האייל הצעיר
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • האייל הצעיר
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • גדי אלכסנדרוביץ'
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • האייל הצעיר
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • האייל הצעיר
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • האייל הצעיר
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • האייל הצעיר
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • האייל הצעיר
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • האייל הצעיר
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • דורון שדמי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • האייל האלמוני
  The axiom of extensionality והנחת המבוקש • אח של סמיילי
  ניבוי עתידות 101 • אורי גוראל גורביץ'
  ניבוי עתידות 101 • אח של סמיילי
  ניבוי עתידות 101 • אורי גוראל גורביץ'
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלוקלי והלא-לוקלי • אביב י.
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלוקלי והלא-לוקלי • אביב י.
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלוקלי והלא-לוקלי • אביב י.
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלוקלי והלא-לוקלי • אביב י.
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלוקלי והלא-לוקלי • האייל האלמוני
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלוקלי והלא-לוקלי • האייל האלמוני
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלוקלי והלא-לוקלי • אביב י.
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלוקלי והלא-לוקלי • אביב י.
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלוקלי והלא-לוקלי • אביב י.
  הלוקלי והלא-לוקלי • האייל האלמוני
  הלוקלי והלא-לוקלי • אביב י.
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלוקלי והלא-לוקלי • האייל האלמוני
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורפל
  הלוקלי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלא קל לי והלא-לוקלי • אביב י.
  הלא קל לי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלא קל לי והלא-לוקלי • האייל הצעיר
  הלא קל לי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלא קל לי והלא-לוקלי • האייל הצעיר
  הלא קל לי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלא קל לי והלא-לוקלי • האייל הצעיר
  הלא קל לי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלא קל לי והלא-לוקלי • האייל הצעיר
  הלא קל לי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלא קל לי והלא-לוקלי • אביב י.
  הלא קל לי והלא-לוקלי • דורון שדמי
  הלא קל לי והלא-לוקלי • האייל האלמוני
  הלא קל לי והלא-לוקלי • אביב י. <דיקטטור מתלמד>
  הלא קל לי והלא-לוקלי • האייל האלמוני
  הלא קל לי והלא-לוקלי • אביב י.
  קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים • אח של סמיילי
  קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים • דורון שדמי
  קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים • אח של סמיילי
  קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים • דורון שדמי
  קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים • אח של סמיילי
  קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים • דורון שדמי
  קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים • דורון שדמי
  קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים • אח של אייל
  קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים • דורון שדמי
  קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים • האייל הצעיר
  קנטור והנחת המבוקש - מצא את ההבדלים • דורון שדמי

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים