בתשובה לדורון שדמי, 01/11/05 18:25
סינתיזה בין לינאריות למקביליות 342908
אני אנסה שוב: כמו שאמרת, מתמטיקה היא הסכם בין קהילה של אנשים, הקובעים מה זה עיסוק במתמטיקה. למה אתה פונה לאנשים הללו דווקא, שלדעתם מה שאתה הוא לא עיסוק במתמטיקה. יש אנשים שעוסקים בתחומי דעת אחרים שכן מדברים בשפה שלך, ולפחות לא דוחים אותה על הסף. למה בחרת דווקא את המתמטיקאים כבני שיח?

לפי הקריאה בדיון לא מעט מהמתדיינים הבינו את התיאוריה שלך אבל הם אינם מקבלים אותה, או (אם אני מבין נכון), היא נראית להם בלתי משמעותית לחקר המתמטיקה (כפי שהם מגדירים אותה). אבל ייתכן שקיימת קבוצת אנשים אחרים, חוקרים או אנשי דעת בתחום אחר, שעבורם המהלכים המחשבתיים שעשית הם כן משמעותיים או מעניינים.

מה שמחזיר אותי שוב לשאלה: למה חשוב לך שדווקא אנשים שעוסקים במתמטיקה פורמלית יהיו בני השיח שלך?
סינתיזה בין לינאריות למקביליות 342913
ברשותך, אני אנסה לענות על התהיה שלך. תורות דקונסטרוקטיביות שכל התוכן שלהן הוא היומרה לפורר משהו, זקוקות וניזונות מן הקונפרונטציה. זה פחות מהנה (ופחות מעצים עצמית) לדבר על הכשל בן 2500 השנים של המתמטיקה, כשאין מתמטיקאים בקהל. ללא הקונפרונטציה, שדמי יצטרך לעבוד יותר קשה כדי לנסח ולהגיד משהו באמת מעניין (משהו קונסרוקטיבי ר"ל).

הערה נוספת: שים לב לפורמאט הויזואלי של המאמרים שמקשר אליהם שדמי ולנסיון בהם להתחקות אחר סגנון כתיבה שנפוץ במאמרים מאת קהילת המדעים המדויקים (מאמרים במדעי החברה לא נראים כך, למשל). זה נראה כמו פרודיה (אבל של מישהו שלא התכוון להצחיק). שדמי הוא למתמטיקה מש-GM היא לשדמי (לי פשוט יש פחות כוח להמשיך).
סינתיזה בין לינאריות למקביליות 342914
לא שקראתי הרבה מהם, אבל אני מבטיח לך שגם מאמרים במדעים מדוייקים לא נראים כך.
סינתיזה בין לינאריות למקביליות 343012
זאת משום שאתה כנראה מתייחס לתוכן. אם אתה מדבר על אי הבהירות, הבלאגן הכללי וההגדרות הרופפות, ברור שאני מסכים שמאמרים במדעים המדויקים ממש לא נראים ככה, אבל לא על זה אני מדבר.
אני מדבר על הנסיון להתחקות אחר הויזואליה, על הצגת הנושא באמצעות הגדרה פסאודו מדויקת של המושגים לפני השימוש בהם, על הצגת הדברים כהתיחסות אל עבודות קודמות של הכותב ושל אחרים, על היומרה לפורמליסטיקה, על השרטוטים ועל ה-"Abstract" שמתנוסס לו בתחילת המאמר. אם הייתי מנסה לייצר פרודיה על מאמרים שנכתבים באקדמיה, לא הייתי מצליח לייצר תוצאה מוצלחת יותר ממאמריו של שדמי. ממני הוא מקבל מברוק.
סינתיזה בין לינאריות למקביליות 343049
"אם אתה מדבר על אי הבהירות, הבלאגן הכללי וההגדרות הרופפות"

אביב, צריך שניים בשביל טנגו.

האם עלה בדעתך כי אי-הבהירות הבלאגן הכללי וההגדרות הרופפות, הן תוצר ישיר של מגבלותיך, ואינם קשורים לעבודתי?
סינתיזה בין לינאריות למקביליות 343109
אם לאי-בהירות וכיו"ב שמזכיר אביב אחראי רק אביב בעצמו, אז מי השני בטנגו הזה?
סינתיזה בין לינאריות למקביליות 343036
"תורות דקונסטרוקטיביות שכל התוכן שלהן הוא היומרה לפורר משהו, זקוקות וניזונות מן הקונפרונטציה."

אביב, רעיונותי הן *קונסטרוקציה* אשר אינה עולה בקנה אחד עם הקונסטרוקציה של הנחות יסוד במתמטיקה הסטנדרטית.

היות ואין ביכולתך לעקוב ולהבין את הקונסטרוקציה שאני מעלה לדיון, אתה נטפל אל צורת הייצוג ומנסה להסיק ממנה על התוכן.

התוצאה היא פרודיה מעוררת רחמים, שלמזלך רק אני (בשלב זה) מודע לעליבותה.
בקשה אביבית 343086
אביב,

הבה ונבחן את תלותה של מערכת מספרים בהגדרות *הריגורוזיות* של מערכות חישוב שונות.

הדגם נא לי את מערכת החישוב, שבה 1 אינו שווה ל-...999. 0

הריי עושרה של המתמטיקה הקיימת בוודאי יכול להדגים זאת, בדיוק באותה דרך שבה המתמטיקה הקיימת מגדירה 0=1+1 באריממטיקת-שעון בבסיס 2.

נו, אז חלץ מותניך והדגם נא כיצד אינו שווה ל-...999. 0 , ואל נא תאמר "הדבר אינו ניתן" , כי הריי למדנו שמתמטיקה הינה תלויית הקשר.
שלוש דוגמאות 343091
נגדיר את הספרות מחדש, במקום 4 נרשום 7, במקום 7 נרשום 0 ובמקום 0 נרשום 4. לכן, 0.999999999... לא שווה ל1 (אלא ל-‏5).

נעבוד בבסיס 11, כך שבין הספרה 9 למספר 10, קיים מספר נוסף, A, ולכן 0.99999 לא שווה ל1.

נגדיר מחדש את הסיומון של הנקודה העשרונית, כך ש 0.ABCD...
יהיה שווה ל 0+ 1/(A+1/(B+1/...)))
base n > 1 343160
בכל הדוגמאות שלך שינית את הייצוגים כדי שה*סימן* 9 לא ייצג את המשמעות שיש לו בבסיס 10.

המתמטיקה הסטנדרטית טוענת, לדוגמא, ש:

0.222…[base 3] = 0.999…[base 10] = 1

אני מוכיח שטענה זו שגויה ב-http://www.geocities.com/complementarytheory/no1.pdf ולכן:

0.999…[base 10] not= 1 [base 10]

אשמך לתגובתכם.
base n > 1 343165
אין לי שום כוונה להכנס לדיון בשאלה הנצחית של 0.999 (הספיק לי אחד כזה, ארוך למדי, בכתה ז').
בכל אופן, הערה אחת לפני שהעסק מסתבך: אין כאן שום שאלה של "נכון" או "לא נכון". כשאנחנו כותבים שבר עשרוני סופי, ברור למה הכוונה (עשירית אחת, ועוד 4 מאיות, ועוד אלפית אחת). אם יודעים לחבר שני מספרים, אז יודעים לחבר כל מספר סופי של מחוברים באינדוקציה. מכאן לא נובע שום כלל לגבי חיבור של מספר אינסופי של שברים (ולזה הכוונה בשבר אינסופי).

אתה יכול להחליט ש"אין כזה דבר" סכום של אינסוף מספרים (ואז תאבד את כל האנליזה המתמטית, יחד עם המספרים הממשיים עצמם); שיהיה. באותה מידה אפשר להחליט שאין מספרים גדולים מ-‏17 (ולכן הביטוי 8+14 אינו מוגדר, והשוויון 12=8-(5+15) אינו נכון).

הרבה יותר מעניין להסכים שסכום כזה מוגדר בתנאים מסויימים (ושווה לגבול של סדרת הסכומים החלקיים, אם הוא קיים). אם מקבלים את ההנחה הזו, אז הסכום אכן שווה (וזהה, בדיוק ולחלוטין, ללא שום טעות, סטיה או שארית ושאר מרעין בישין) למספר הטבעי 1.
base n > 1 343170
ב"שלוש מהפכות קופרניקיות", זאב בכלר עושה בדיוק את זה: מסרב לקבל את הגדרת הגבול של קושי, אומר שהיא לא מגדירה סכום אלא "סכום", טוען שהיא משחק בסמלים ומביא את כל זה כדוגמה ל"החלקה אל הריקנות" ולחיזוק הטענה שהפרדוקסים של זנון לא נפתרו.

הפסקתי לקרוא את הספר (די בכעס) אחרי שקראתי את זה.
base n > 1 343171
באמת חשוב לציין שההחלטה לאמץ דווקא את ההגדרה שנבחרה עבור הסכום של אינסוף מספרים נובעת מכמה סיבות מצויינות: כך נוח לפיזיקאים לעבוד (כלומר, ההגדרה הזו פותרת את הפרדוקס של זנון); ובנוסף ההגדרה מקיימת כמה תכונות אריתמטיות נוחות ("אופרטור הגבול הוא ליניארי ורציף" במרחב המתאים).

מי שלא רוצה לאמץ את ההגדרה הזו, שיבושם לו.
המתמטיקה עוסקת בהפרדת התוכן, המהותי, מן הצורה החיצונית; טרחנים מזהים בצהלה שאפשר להעמיס על התוכן צורות שונות ומשונות, ולהעמיק-חקור בהבדלים ביניהן. כך יוצא ש- 1 איננו שווה ל- ...0.999 (שתי צורות, תוכן אחד).
base n > 1 343172
אילו הגדרות אחרות (פרט ל"סכום של אינסוף איברים שונים מאפס הוא אינסוף") יש או ניתן להעלות על הדעת? אני מכיר את הסיפור על אוילר שהציב בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית את מינוס 1 והגיע למסקנה שסכום הגבול הוא חצי, אבל זו לא בדיוק הגדרה.
base n > 1 343173
אולי אביב י. ירצה לפתח מתמטיקה הפטומנית, שבה הסכום של כל טור אינסופי הוא חמש. אפשר הרי להגדיר איך שרוצים (אבל הגדרות חסרות תובנה (!) מולידות תאוריה נורא משעממת).

את ההגדרה הרגילה אפשר להכליל (כמו שאוילר עשה) במה שנקרא 'שיטות סיכום' (sumability). הגדרה משמעותית אחרת (שנותנת תוצאות אחרות) אפשר לקבל אם בוחרים השלמות לא-ארכימדיות של המספרים הרציונליים.
base n > 1 343175
פתרון פרדוקס זנון מחייב הבחנה קטגורית בין רצף לאוסף 343244
base n > 1 343215
"אתה יכול להחליט ש"אין כזה דבר" סכום של אינסוף מספרים (ואז תאבד את כל האנליזה המתמטית, יחד עם המספרים הממשיים עצמם); "

טעות בידך עוזי, אתה מעשיר לאין ערוך את האנליזה המתמטית בכך שאתה מבין שיש הבדל קטגורי בין אוסף סדור או לא סדור אינסופי לבין אוסף סדור או לא סדור סופי, כאשר לאוסף אינסופי לא קיים קרדינל מדוייק כי הוא שואף להשיג את האינסוף הרציף לחלוטין ולכן אוסף אינסופי הוא לא-שלם אינהרנטית.

לעומתו אוסף סופי הינו אוסף שאינו שואף להשיג את הרצף המוחלט, ולכן יש לו קרדינל מדוייק.

לכן כל סדרה אינסופית שונה קטגורית ממיקום מדוייק כלשהו לאורך הישר (הרציף לחלוטין) הממשי, וכתוצאה מכך:

Pi not= 3.14… [base 10]

1/3 not= 0.333… [base 10]

2/3 not= 0.666… [base 10]

1 not= 0.999… [base 10]

0.111... [base 2] > 0.222... [base 3] < ... < 0.999... [base 10] < ... < 1

ומושג ההפרש עולה על הבמה במקום מושג הגבול ומעשיר לאין ערוך את אנליזת הישר-הממשי, כפי שמודגם בבהירות רבה ב-http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=39&... .

"הרבה יותר מעניין להסכים שסכום כזה מוגדר בתנאים מסויימים (ושווה לגבול של סדרת הסכומים החלקיים, אם הוא קיים). אם מקבלים את ההנחה הזו, אז הסכום אכן שווה (וזהה, בדיוק ולחלוטין, ללא שום טעות, סטיה או שארית ושאר מרעין בישין) למספר הטבעי 1."

נהפוך הוא, הנחה זו מחסלת, פשוטו כמשמעו, את העושר הטמון באנליזת הישר-הממשי.

הנה קטע מ-http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=45&... המתאר בבהירות רבה מדוע מחקר המבוסס על הבחנה קטיגורית שבין רצף מוחלט אינסופי, אוסף אינסופי ואוסף סופי, מעשירים את המחקר המתמטי הרבה מעבר למחקר המבוסס על הטרנספיניטים של קנטור:

If the Identity map of a non-finite collection does not exist, then its exact cardinality does not exist and the Natural numbers’ cardinality is |N|-Successor, because the Successor is permanently out of our desirable “complete” domain.

Let @ be |N|-Successor

If A = @ and B = @-2^@, then A > B by 2^@, where both A and B are collections of infinitely many elements.

Also 3^@ > 2^@ > @ > @-1 etc.

So as we can see, in my universe I have both non-finite collections and unique arithmetic between non-finite collections, which its result is always a non-finite collection.

My results are richer than the Cantorean transfinite universe, for example:

By Cantor aleph0 = aleph0+1 , by me @+1 > @ .

By Cantor aleph0<2^aleph0 , by me @<2^@ .

By Cantor aleph0-2^aleph0 is undefined, by me @-2^@ < @ .

By Cantor 3^aleph0 = 2^aleph0 > aleph0 and aleph0-1 is problematic.

By me 3^@ > 2^@ > @ > @-1 etc.

|{{1,1,…}+1, 1,1,1}| > |{{1,1,…}+1}| by |{1,1,1}|.

|{{1,1,…}+1,{1,1,…}+1}| = |{{1},{1}}|•@ > |{{1,1,…}+1}| by |{1}|•@ and
|{{{1,1,…}+1, 1,1,…}+1}| = |{{1},1}|•@ > |{{1,1,…}+1}| by |{1}|•@ but they have different internal structures
( {{1},{1}} and {{1},1} ).
base n > 1 343224
תיקון טעות בתגובה קודמת:

במקום:

0.111... [base 2] > 0.222... [base 3] < ... < 0.999... [base 10] < ... < 1

צריך להיות:

0.111... [base 2] < 0.222... [base 3] < ... < 0.999... [base 10] < ... < 1
base n > 1 343278
שאלה לי אליך: מה *משותף* לשלושת הביטויים הבאים: 1+1, 2, 1.999...?
base n > 1 343280
ל- 1+1 ו-‏2 יש גודל מצטבר משותף.
base n > 1 343292
תודה.

המתמטיקה מתעסקת בעיקר ביחסים שבין אובייקטים. אם יש לי שני אובייקטים שונים (לדוגמה, "1+1" ו-"2") שאין שום קשר ביניהם, אין בהם שום דבר מעניין. אם יש להם משהו משותף ("גודל מצטבר") אז אני אתעסק דווקא בו, ולא אקדיש את זמני לחקר ההבדלים ביניהם.

עושה רושם שאתה מייחס יותר מדי חשיבות ל"עושר" של תורה מתמטית, כאשר תורה נחשבת ליותר "עשירה" ככל שהיא מתעסקת ביותר אובייקטים שונים. מצטער, אבל אין שום דבר מעניין באובייקטים שונים שאין ביניהם יחסים כלשהם.
base n > 1 343301
אייל, בוודאי שיש קשר בין 1+1 ו-‏2.

2 מייצג את הצד הרציף של 1,1 ורצף זה משמש כבסיס היציב לחקירת המרחב הפנימי של מובחנות המתקיימת בין {1,1} (MULTISET)
ל-{1,{1}} (SET).

ZF או פיאנו מגבילים עצמם רק ואך ורק למובחנות {1,{1}} (SET), ולכן המספר הטבעי הרגיל הינו מקרה פרטי של המתמטיקה-המונדית.

"אם יש להם משהו משותף ("גודל מצטבר") אז אני אתעסק דווקא בו"

"מצטער, אבל אין שום דבר מעניין באובייקטים שונים שאין ביניהם יחסים כלשהם."

במתמטיקה המונדית אתה יכול לבחור עם להתעסק רק עם סטים, מולטי-סטים, או כל סינתיזה (מערכת היחסים העשירה) שביניהם.
הקשר שבין תובנה, לייצוגה 343279
בהמשך לתגובה 343215 ניתן לטעון כי תרשים אינו הגדרה ריגורוזית במתמטיקה, ולכן הוא אינו אומר דבר וחצי-דבר על האלמנטים המתמטיים עצמם, המוגדרים *ריגורוזית* בהתאם למערכת אקסיומות קונסיסטנטית, כאשר אלמנטים אלה הם תלויי-הקשר וכו'.

כנגד טענות מעין אלה, רוצה אני להדגיש כי בפירוש אין להבין את התרשים כפשוטו ויש להתייחס אליו כייצוג בלבד של רעיון *מופשט בהחלט*, כאשר הרעיון המופשט הינו שילוב סדור בין מצבים לוקליים (המיוצגים בתרשים כאלמנטים אנכיים) למצבים לא-לוקליים (המיוצגים בתרשים כאלמנטים אופקיים).

המצבים הלוקליים מתקיימים רק ואך ורק מחוץ לאוסף .{} xor בתוכו {.}, בעוד שמצבים לא-לוקליים מתקיימים, בין השאר, סימולטנית בתוך ומחץ לאוסף _{_}, ובכך מורחב מושג השייכות לשילוב שבין אלמנטים לוקליים לאלמנטים לא-לוקליים, ואחת התוצאות הינה קיומם של אלמנטים לאורך הישר (הרציף-לחלוטין) הממשי, אשר מיקומם המדוייק אינו בנמצא, כי אלמנטים אלה הם שילוב של לוקליות ואי-לוקליות, כמייוצג ב-http://www.geocities.com/complementarytheory/no1.pdf .

יותר בכך, התובנה המתעוררת בתרשים הנ"ל מתחילה להרהר בכל שיטת הייצוג הלינארית ולשאול את עצמה האם שיטת ייצוג זו למעשה הינה השתקפות של צורת חשיבה המוגבלת לתובנות לינאריות, ובעזרת שאלות מעין אלה מתחילה התודעה לבחון את האפשרות כי שפת המתמטיקה המודרנית הינה היזון-חוזר סגור שבין תובנות לינאריות לשיטות ייצוג לינאריות וחוזר חלילה, אשר מונעות את התפתחות כישורי החשיבה המקביליים של התודעה.
base n > 1 343293
אתה באמת חושב שלא שמנו לב להבדל בין "אוסף סדור או לא סדור אינסופי לבין אוסף סדור או לא סדור סופי"? בוודאי שיש הבדל. החידוש הגדול של האנליזה המתמטית הוא ש*למרות* ההבדל, אפשר לטפל בקבוצות אינסופיות באופן עקבי שיוצר מבנים מעניינים, וגם פותר בעיות מדעיות.

שים לב באיזו עקביות אתה מנסה "להעשיר" את המתמטיקה על-ידי קביעה קטגורית שאי-אפשר לעשות דברים (כמו שיפור מהירות הריצה על-ידי קשירת שתי הרגליים):
- אי-אפשר לחבר שני מספרים טבעיים, כי יש להם "מבנה פנימי".
- אי-אפשר לתאר את הרצף כקבוצה, כי הוא מלא ב"מלאות".
- אי-אפשר לחשב עוצמה של קבוצה אינסופית, כי היא "לא שלמה אינהרנטית"
- אי-אפשר לסכם טורים אינסופיים, בגלל ה"הפרש".

הכיוון צריך להיות הפוך:
- אפשר לחבר מספרים טבעיים, למרות שגודל של קבוצה הוא מושג מופשט
- אפשר לתאר את הרצף באמצעות תורת הקבוצות, למרות שלכאורה הוא אובייקט מסוג אחר
- אפשר להגדיר מושג עקבי של "גודל" אפילו לקבוצות אינסופיות
- אפשר לסכם טורים אינסופיים ולקבל מספר

אפשר להפריד עיקר מטפל.
base n > 1 343308
"שים לב באיזו עקביות אתה מנסה "להעשיר" את המתמטיקה על-ידי קביעה קטגורית שאי-אפשר לעשות דברים (כמו שיפור מהירות הריצה על-ידי קשירת שתי הרגליים):
- אי-אפשר לחבר שני מספרים טבעיים, כי יש להם "מבנה פנימי".
- אי-אפשר לתאר את הרצף כקבוצה, כי הוא מלא ב"מלאות".
- אי-אפשר לחשב עוצמה של קבוצה אינסופית, כי היא "לא שלמה אינהרנטית"
- אי-אפשר לסכם טורים אינסופיים, בגלל ה"הפרש".

1) - אי-אפשר לחבר שני מספרים טבעיים, כי יש להם "מבנה פנימי".

לא נכון, תוצאת החיבור (או כל פעולה אריתמטית אחרת) מאפשרת (אם חפצים בכך) לשמר את המבנה הפנימי של המספרים הטבעיים.

כמו כן, פעולות כמו כפל וחיבור מקיימות יחסים משלימים בתוך המרחב הפנימי של מספר טבעי, או יחסים במרחב חיצוני כמקובל במתמטיקה הרגילה, העוסקים בשינויי גודל בלבד.

המתמטיקה הרגילה מוגבלת רק ליחסים במרחב חיצוני, בעוד שבמתמטיקה-המונדית אנו יכולים לנייד כרצוננו בין המרחבים.

2) אי-אפשר לתאר את הרצף כקבוצה, כי הוא מלא ב"מלאות".

לא נכון, מושג הקבוצה עובר שידרוג, ועתה הוא מרחב חקירה ריק לחלוטין, מלא לחלוטין או מכיל אוספים של אלמנטים לוקליים, אלמנטים לא-לוקליים, או קומבינציות שלהם.

במילים אחרות, המגבלה קבוצה = אוסף או העדרו, אינה קיימות עוד.

3) אי-אפשר לחשב עוצמה של קבוצה אינסופית, כי היא "לא שלמה אינהרנטית".

במקום הדלילות של העולם הטרנספיניטי, אנו מקבלים מרחב חקירה עשיר לאין ערוך, הנובע ישירות מהיותם של אוספים אינסופיים, בלתי-שלמים אינהרנטית (כפי שמודגם בבירור בסוף תגובה 343215).

4) אי-אפשר לסכם טורים אינסופיים, בגלל ה"הפרש".

אין שום בעייה ולהשתמש לצורך זה במושג ההפרש , כי סיכום טורים אינסופיים הינו מעבר מאוסף אינסופי לאוסף סופי כרצונינו.
ההבדל היחיד הוא שעתה אנו מודעים למעבר זה, ובמתמטיקה הרגילה מתעלמים ממנו.
סינתיזה בין לינאריות למקביליות 342975
בחייך. כנופיה של אנשים קצרי ראות ושטופי מוח חושבת שיש לה מונופול על המושג ''מתמטיקה'' ואינה מוכנה לראות מעבר לקצה חוטמה המקונטר. לא איש כדורון יברח מהמערכה לפקוח את עיני העיורים האלה.
סינתיזה בין לינאריות למקביליות 343050
המערכה היא בראשך, אין לי שום רצון או כוונה ''לפקוח עיעני עוורים''.
סינתיזה בין לינאריות למקביליות 343038
''לפי הקריאה בדיון לא מעט מהמתדיינים הבינו את התיאוריה שלך''

הדגם נא לי את ההבנה שמצאת אצל המתדיינים לתיאוריה שלי.

כפי שאמרתי משה, הבנתם או אי-הבנתם של המשתמשים אינה המניע העיקרי שלי בדיונים אלה, אלא התובנות המתפתחות בי כתוצאה מהם.

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים