בתשובה לאורי גוראל גורביץ', 07/05/06 12:37
אכ''אע אבל... 383503
כשאתה אומר "ישר על ההתחלה" כוונתך שלומדים על טופולוגיות לפני שלומדים על מרחבים מטריים, או שלומדים על טופולוגיות לפני שלומדים אינפי 1?
אכ''אע אבל... 383655
לפני אינפי 1.
אכ''אע אבל... 383661
ברררר...

(אולי גם כדאי את תורת הקבוצות האקסיומטית לפני הנאיבית?)
אכ''אע אבל... 383723
להזכירך, אני לא בעד ההצעה הזו.
אכ''אע אבל... 383732
(לא טענתי שאתה בעד).

אני סקרן לשמוע מה הנימוקים (של אלון) בעד שיטת לימוד של ''מהכללי אל הפרטי''. לעתים קרובות קשה לי להבין את הכללי בלי שלמדתי קודם קצת את הפרטי. סגנון הוראה מאוד נפוץ שאני נתקל בו מבוסס על לימוד של מקרה פרטי לעומק, ואז כשמגיעים למקרה הכללי כל מה שצריך לומר הוא ''זה בדיוק כמו המקרה הפרטי, רק עם תוספת של סיבוך אחד או שניים'', ואז כל מה שצריך לבלוע הוא את הסיבוך. לדעתי זה עדיף על לקפוץ ישר למים ואז לטבוע.
אכ''אע אבל... 383827
אנסה לענות כאן ביחד על כמה שאלות (גם של אורי).

"האם היית מלמד טופולוגיה ורציפות באופן כללי, ישר על ההתחלה?" - ככה בדיוק לימדו אותי, ולכן יש סיכוי טוב שהייתי מנסה ללמד כך בעצמי, בהסתייגות אחת משמעותית: לא מחליטים על דברים כאלה בלי להתחשב באופי התלמידים ובצרכיהם. התמזל מזלי ולמדתי אינפי בכיתה קטנה בערך פי 10 מהממוצע של כיתות בשנה א' (באוני' העברית), ואני לא בטוח שהמרצה (הנפלא) שלי, ליאור צפרירי, היה מנסה את הפעלול הזה בכיתה הרגילה. אבל איתנו זה עבד מצויין.

אני רוצה שוב להדגיש: אין כוונתי שעל המרצה לזרוק שש-עשרה הגדרות מופשטות במשך שלושה שיעורים בלי להראות מקרה פרטי אחד. אין שום טעם ללמד את ההגדרה של מרחב טופולוגי בלי לתת לפחות שמונה דוגמאות קונקרטיות שונות, וזה לא נורא משנה אם נותנים קודם את ההגדרה ואז את הדוגמאות או להיפך. הסיבה שאני חושב שמועיל ללמוד טופולוגיה ורציפות לפני או במקביל למשפטים הבסיסיים על פונקציות ממשיות היא פשוטה: זה הרבה יותר קל (לתלמידים, לאו דווקא למרצה).

זה אולי נשמע מוזר, אבל אני באמת חושב שזה כך. כל הטריק בגישה המופשטת במתמטיקה הוא שהיא מסננת את ההיבטים הלא חשובים המסיחים את הדעת ומשאירה רק את המינימום ההכרחי. טופולוגיה בממשיים זו דוגמה מצויינת. הישר הממשי הוא יצור עמוס מבנים ופרטים - גם שדה (ולכן חבורה וחוג), גם מרחב וקטורי, גם בעל נורמה (ולכן מרחב מטרי, ולכן מרחב טופולוגי), גם קבוצה סדורה, ועוד. לכן, כשמנסים להתמודד עם בעייה בממשיים, אפשר בקלות להתבלבל ולהסתבך ולנסות עשר גישות לא רלוונטיות.

משפט כמו "פונקצייה ממשית על קטע סגור מקבלת מקסימום בקטע" אפשר להוכיח בכיתה ולדרוש מהתלמידים לשנן את ההוכחה. האם הם *יבינו* אותה? מה יקרה אם שנה אחרי הקורס תבקש מהם להוכיח את הטענה הזו והם לא יזכרו כבר? הם יכולים לנסות לפתור זאת כחידה, אבל בהקשר של הישר הממשי על כל היבטיו, זו באמת חידה לא קלה. מצד שני, המשפט "פונקציה ממשית על קבוצה קומפקטית מקבלת מקסימום" הוא משפט כללי הרבה יותר, ו*הרבה יותר קל לזכור את ההוכחה שלו*. גם אם שכחת אותה, תוכל לשחזר אותה פשוט כי אין כל כך ברירה: בקבוצה קומפקטית אין לך "ימין" ו"שמאל" או "באמצע בין שתי הנקודות", כל מה שיש זו ההגדרה של קבוצה קומפקטית - אז עובדים איתה, וזה מסתדר. זה חייב להסתדר.

במקרה של תורת המידה (אם לחזור לשאלה שלך), בחיים לא הייתי מלמד *רק* את מידת לבג - זה נראה לי ממש קשה, די משעמם, ובסה"כ טעות פדגוגית רצינית. הרבה יותר מעניין - ולדעתי, הרבה יותר קל - להסביר מה כל הרעיון במושג הכללי "מידה", מה צריך להיות אפשר לעשות עם קבוצות מדידות, איך מתחילים מהטופולוגיה ומגיעים למידה, וכו'. זה נותן הקשר, מוטיווציה, ואפילו (כאמור) מפשט פדגוגית הרבה הוכחות - התלמידים לא יצטרכו לזכור איזה משלל האספקטים של R^n הוא הרלוונטי לכל משפט.

יתרון נוסף הופך למשמעותי מאוד למי שממשיך ללמוד את התחום: כשנתקלים, בהמשך, במקרים באמת כלליים יותר, לא צריך להתחיל לשבור את הראש אילו מהדברים שלמדת עדיין נכונים ואילו לא. אילו הבנת, לכל משפט, ממה הוא באמת נובע - האם מתכונות טופולוגיות כלליות, או דווקא מתופעת המונוטוניות שהיא ייחודית לפונקציות על R? - אז אין בעייה, אבל קשה מאוד להגיע למצב הזה אם מקדישים את כל הזמן רק לפונקציות ממשיות או רק למידת לבג.

ושוב אני מסייג: מול כל הנ"ל אפשר להציב נימוקי-נגד טובים מאוד. תלוי מי התלמידים, מי המרצה ומה המטרה.
אכ''אע אבל... 383828
ניטפוק: פונקציה ממשית *רציפה* ... מקבלת מקסימום.

:)
אכ''אע אבל... 383839
אכ''אע אבל... 383937
אלון עובד בלוגיקה אינטואיציוניסטית.
אכ''אע אבל... 383951
זה ענף של לוגיקה אנטי-ציוניסטית?

(הומור ילדותי, אני יודע)
אכ''אע אבל... 383963
כהומור זה אולי ילדותי, אבל כאפשרות זה... אהמ... לפחות מעניין.
אכ''אע אבל... 383855
שכנעת אותי. בפעם הבאה שאני מרצה בקורס אלגברה לינארית א' אני אלמד מודולים.

(טוב, לא *לגמרי* שכנעת אותי, אבל העמדה שלך נשמעת הגיונית בערך כמו שלי).

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים