בתשובה להאייל האלמוני, 26/12/13 19:46
כאילו, דה? 626278
הנקודה היא שכאשר מדברים על "משולש" ועל "שטח" מדובר על קיצור נוח למושגים של "משולש לפי הגאומטריה האיאוקלידית"‏1 ו"שטח לפי הגאומטריה האיאוקלידית" ובהקשר אחר על "משולש לפי הגאומטריה ההיפרבולית"‏1 ו"שטח לפי הגאומטריה ההיפרבולית"‏1. כאשר פועלים לפי כללי הדיון המתמטי המושגים צריכים להיות מוגדרים היטב ולכן אין סכנה של בלבול בין זוגות המושגים. כלומר: הדיון בשאלה "במהם המושגים שבהם נשתמש" גם הוא דיון רציונלי. הוא לא בהכרח דיון מתמטי פורמלי, אבל הוא רציונלי. אין משהו דומה ל"חוג חובבי אאוקלידס" ו"פרוייקט הפרוייקטיביות" שיעשו נפשות לשימוש בגאומטריה דווקא לגרסתם.

(כן, אני יודע. זה הפך את הדוגמה לפשוטה יותר)

1 או ליתר דיוק: של מושג יותר מסובך. אבל הכוונה ברורה.
כאילו, דה? 626279
נפתח בשלוש עובדות:
1. דיברתי על הגיאומטריה הפרויקטיבית (ולא ההיפרבולית).
2. בגיאומטריה פרויקטיבית אין למשולשים שטח.
3. כשכתבתי את תגובה 626217 התכוונתי ל-‏1 וידעתי את 2.

עכשיו, תחת הנחת הענווה שהעלה ירדן למטה, ותוך כדאי ידיעת שלושת העובדות שלמעלה, אני מציע לך לקרוא את התגובה שלי שנית ולחשוב מחדש מה רציתי להגיד, ולמה הדוגמא שנתתי לא רק לא "מטעה", אלא מדוייקת (ורק ענווה מונעת ממני מלומר "מבריקה"). אם זה עדיין לא יהיה ברור, אשמח להסביר את עצמי, אבל לא מנקודת הנחה שאני אדיוט.
כאילו, דה? 626280
קראתי בעיון את אותה התגובה. התייחסתי בעיקר למשפט "אחרי שנבחרו האקסיומות באופן לא רציונלי, ואחרי שהסכמנו על הסקה לוגית כהסקה לגיטימית יחידה". אתה מוזמן להסביר.

כמוכן בדוגמה שלך "שטח" אמור להיות מושג לא מוגדר באחד מ"עולמות המושגים". אתה גם יכול לנסות לנהל דיון על משמעותו של נפח המשולש. גם זה יהיה דיון עקר למדי למרות ש"נפח המשולש" נשמע מושג תקין לפי כללי השפה העברית ושיש משולשים (לדוגמה: הכלי המוזיקלי) שיש להם נפח. המשפט האחרון היה סתם בלבול מוח שנובע משימוש במושגים לא נכונים.
כאילו, דה? 626288
קראתי שוב את הפסקה השניה שלי, ואת התגובות שלך ושל עומר ואני חייב להודות שאני ממש לא מבין. מדובר בפסקה מאד קצרה, מאד חד משמעית, שבמפורש לא אומרת את מה שאתם חושבים שהיא אומרת, וממש אומרת את מה שרציתי שתאמר. ובכל זאת, אתם מתעקשים להבין אותה בדרך אחרת, דרך שלגמרי לא ברורה לי. אולי יעזור לי אם תגידו לי מה אתם חושבים שכתוב שם. לצורך העניין, בו נגיד שאנחנו לא מדברים על השאלה אם האקסיומות של המתמטיקה נבחרות באופן רציונלי, אלא על השאלה האם צריך לאפות לחם לפני האכילה שלו. אם אני לוקח את הפסקה השניה שלי כמו שהיא, בדיוק את אותו מבנה לוגי ולשוני, ורק מחליף את הנושא, יוצא לי משהו כזה:

"כמובן שצריך לאפות לחם לפני האכילה, אחרי שהתפחנו את הבצק, ואחרי שאפינו את הלחם, אז אפשר לאכול את הלחם. ברור שאכילת בצק שלא נאפה היא לא אכילת לחם. אכילת לחם יכולה להתקיים רק לאחר האפיה."

עכשיו, תסבירו לי איך עומר רואה בזה שאני טוען שאנשים נוהגים לאכול בצק לא אפוי?! ואיפה אתה רואים כאן דוגמא מטעה?!
כאילו, דה? 626290
אני לא רוצה לכתוב בשם עומר. מה שאני רואה כאן הוא הנחה מובלעת שלך שהבצק נאפה. אני חולק על ההנחה הזו. אני חוזר להגד "אחרי שנבחרו האקסיומות באופן לא רציונלי, ואחרי שהסכמנו על הסקה לוגית כהסקה לגיטימית יחידה". אתה יכול להסביר למה אתה טוען שהאקסיומות לא נבחרות בצורה רציונלית? לטעמי הדיון על בחירת האקסיומות וכללי ההיסק במתמטיקה הוא דיון רציונלי.
כאילו, דה? 626291
לא, אין לי שום הנחה מובלעת‏1 (מלבד להנחות המובלעות הרגילות שקיימות בכל תגובה‏2) בדיוק כמו שלא היתה לי דוגמא מטעה. אם משפטים כל כך פשוטים וחדי משמעות עוברים אצליך איזה פרשנות לא מובנית (לי) איזה סיכוי יש לי להביא נימוק למשהו בצורה שתבין אותו, ולך נימוק שישכנע אותי שאני טועה בצורה שאני אבין אותך? הייתי רוצה שלפני שנמשיך בדיון תסביר לי בדיוק מה מטעה בדוגמא שלי (שכאמור, מביעה בדיוק את מה שרציתי לומר) ואיך יש לי הנחנה מובלעת (שהיא הרי תנאי מפורש), או שתסכים איתי שלא היו דברים מעולם.

(מצד שני, בהתחשב בפער ההבנה ההדדי ביננו, יכול להיות שאנחנו בכלל מסכימים... לי ברור שאתה לא מבין את מה שאני כותב, שאתה מוצא דוגמאות מטעות והנחות מובלעות במקום בו הן לא קיימות, אז אין לי סיבה להניח שאני מבין את מה שאתה כותב)

1 ובפרט, לא ההנחה שהבצק נאפה, או, אגב, בכלל שקיים בצק.
2 שימוש בשפה עברית, קבלה של הסקה לוגית, אי אמירה של המובן מאליו וכו'‏3
3 ועל פניו, אלה היו הנחות מוטעות.
כאילו, דה? 626292
ניסוח מחודש של שאלת ההבהרה.

בתגובה 626217 כתבת "כמובן שמתמטיקה עצמה היא שיטה רציונלית, אחרי שנבחרו האקסיומות באופן לא רציונלי, ואחרי שהסכמנו על הסקה לוגית כהסקה לגיטימית יחידה, אז אפשר לדון דיון רציונלי על המסקנות.". אתה יכול לתת דוגמה לבחירת אקסיומות לא רציונלית (כלומר: לתהליך לא רציונלי של בחירת אקסיומות)?
כאילו, דה? 626299
(ז"א שאתה מסכים שהדוגמא שלי לא היתה מטעה?)

מה משנה ה"תהליך"? אני לא נמצא כאן על תקן של פסיכולוג או היסטוריון. אם אין לך ביסוס לוגי לאקסיומות, אז הן לא נבחרו באופן רציונלי. אם יש לך ביסוס לוגי לאקסיומות, אז הן לא אקסיומות. איזה ביסוס לוגי יש לאקסיומה הראשונה של אוקלידס?
כאילו, דה? 626304
אני מניח שיש לך השכלה מתמטית סבירה ואתה מכיר את הביסוס של האקסיומות האוקלידיות על סמך הגאומטריה האנליטית שגם אותה אפשר לפתח ממערכת אקסיומות בסיסית יותר. האם זה אומר שהן לא אקסיומות?

זה נותן להן בסיס רציונלי: הן מתאימות לעולם שלנו והן בדוקות ומוכרות. לדוגמה: הן כלי לימודי לא רע להבנת ההוכחות המובנות, כמו שצוין באחד הדיונים הקודמים.
כאילו, דה? 626306
אם הן מבוססות על אקסיומות אחרות הן לא אקסיומות. נקודה. אמנם אפשר היה לבנות את הגיאומטריה האוקלידית בעזרת אקסיומות אחרות, אבל אז הן האקסיומות, והאקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית הם משפטים (ולא אקסיומות) במערכת הזאת. אין שום דבר ''בסיסי יותר'' באקסיומות של הגיאומטריה האנליטית, הן פשוט מערכת אקסיומתית אחרת (שגם היא נבחרה באופן לא רציונלי), שגם אותה אפשר לבנות בעזרת מערכת שלישית (או בעזרת הגיאומטריה האוקלידית).

לא, זה לא נותן להן ביסוס רציונלי. הן אמנם כלי נהדר, אבל זה לא הופך אותן לרציונליות. אם היה להן ביסוס רציונלי לא היית יכול לבנות מערכת אקסיומתית עם אקסיומות שסותרות אותן.
כאילו, דה? 626309
נראה לי שחוסר ההסכמה בינינו מובן. למיטב הבנתי הפירוש שלך למילה ''אקסיומה'' אינו הפירוש המקובל. גם המובן של ''לא רציונלי'' לא נראה לי ברור. נתתי דוגמה לשיקולים שנראים לי רציונליים ואתה דוחה אותם בטענה שאינם רציונליים. יכול להיות שאתה מבלבל בין ''בניה פורמלי'' לבין ''שיקולים רציונליים''. נראה לי שזה הזמן להסכים שלא מסכימים.
כאילו, דה? 626314
ויקיפדיה אומרת ש"במתמטיקה ובלוגיקה, אקסיומה היא הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, אליה מתייחסים כנכונה. טעות נפוצה היא שאקסיומות הינן "אמת אינטואיטיבית ובסיסית הברורה מאליה", אולם אקסיומות אינן מחייבות ניסוח שכזה, אלא רק סיפוק הנחת יסוד אשר עליה אין מנסים לערער (שכן מדובר בקביעה). " אתה מכיר הגדרה אחרת?! ואתה טוען שהיא מקובלת?!
כאילו, דה? 626319
בתגובה 626306 כתבת שאם אקסיומות הגאומטריה האוקלידית ניתנות להסקה מאקסיומות אחרות הן אינן אקסיומות. כאן אתה כותב שאקסיומה היא הנחה בסיסית במערכת לוגית מסוימת. כלומר: במערכת הלוגית של הגאומטריה האוקלידית, חמש האקסיומות הן אקסיומות. אני עדיין לא מבין מהי אקסיומה לדעתך.
כאילו, דה? 626347
אקסיומה "לדעתי" היא: הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, אליה מתייחסים כנכונה. מכאן יוצא שאם היא ניתנת להוכחה הרי שהיא לא הנחה בסיסית אלא משפט באותה מערכת לוגית. כאילו, דה?
כאילו, דה? 626311
האקסיומות נבחרו בדרך רציונלית מפני שהן חלק ממודל מועיל. הגאומטריה האוקלידית היא מערכת אקסיומטית, יש בה אקסיומות וחוקי גרירה ומשפטים. ביחד כל אלו הם מודל שמיצג את המציאות. התועלת שבמודל היא שהוא מאפשר חישובים ובניות שניתן להשליך מהן על המציאות.
כאילו, דה? 626313
זאת ההגדרה האישית שלך ל''רציונלי''.
כאילו, דה? 626316
למיטב ידיעתי אתה טועה. ההגדרה המקובלת של רציונליות היא התנהגות המקדמת את המטרה.
ראה http://lesswrong.com/lw/31/
ראה סעיף 1 ב-http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%9...
ראה http://en.wikipedia.org/wiki/Rationality
כאילו, דה? 626349
בוודאי לא במתמטיקה.
כאילו, דה? 626354
מהי רציונליות במתמטיקה?
כאילו, דה? 626356
הסקה לוגית מאקסיומות בלי קשר ל''תועלת'' שלהם.
כאילו, דה? 626358
נראה לי שאתה מבלבל בין רציונליות להסקה פורמלית. לטעמי הרציונליות היא של שיקולי המתמטיקאי.
כאילו, דה? 626360
הסבר‏1 פרט‏2 ונמק‏3...

1 למה אתה מתכוון: "שיקולי המתמטיקאי"?
2 לאיזה שיקולים אתה קורא רציונלים ואיזה לא?
3 הבא מקום בו מישהו מתייחס ככה לרציונליות במתמטיקה - ובפרט בהתייחסות לתגובה שפתחה את הפתיל תגובה 626213

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים