בתשובה להאייל האלמוני, 27/12/13 21:05
כאילו, דה? 626292
ניסוח מחודש של שאלת ההבהרה.

בתגובה 626217 כתבת "כמובן שמתמטיקה עצמה היא שיטה רציונלית, אחרי שנבחרו האקסיומות באופן לא רציונלי, ואחרי שהסכמנו על הסקה לוגית כהסקה לגיטימית יחידה, אז אפשר לדון דיון רציונלי על המסקנות.". אתה יכול לתת דוגמה לבחירת אקסיומות לא רציונלית (כלומר: לתהליך לא רציונלי של בחירת אקסיומות)?
כאילו, דה? 626299
(ז"א שאתה מסכים שהדוגמא שלי לא היתה מטעה?)

מה משנה ה"תהליך"? אני לא נמצא כאן על תקן של פסיכולוג או היסטוריון. אם אין לך ביסוס לוגי לאקסיומות, אז הן לא נבחרו באופן רציונלי. אם יש לך ביסוס לוגי לאקסיומות, אז הן לא אקסיומות. איזה ביסוס לוגי יש לאקסיומה הראשונה של אוקלידס?
כאילו, דה? 626304
אני מניח שיש לך השכלה מתמטית סבירה ואתה מכיר את הביסוס של האקסיומות האוקלידיות על סמך הגאומטריה האנליטית שגם אותה אפשר לפתח ממערכת אקסיומות בסיסית יותר. האם זה אומר שהן לא אקסיומות?

זה נותן להן בסיס רציונלי: הן מתאימות לעולם שלנו והן בדוקות ומוכרות. לדוגמה: הן כלי לימודי לא רע להבנת ההוכחות המובנות, כמו שצוין באחד הדיונים הקודמים.
כאילו, דה? 626306
אם הן מבוססות על אקסיומות אחרות הן לא אקסיומות. נקודה. אמנם אפשר היה לבנות את הגיאומטריה האוקלידית בעזרת אקסיומות אחרות, אבל אז הן האקסיומות, והאקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית הם משפטים (ולא אקסיומות) במערכת הזאת. אין שום דבר ''בסיסי יותר'' באקסיומות של הגיאומטריה האנליטית, הן פשוט מערכת אקסיומתית אחרת (שגם היא נבחרה באופן לא רציונלי), שגם אותה אפשר לבנות בעזרת מערכת שלישית (או בעזרת הגיאומטריה האוקלידית).

לא, זה לא נותן להן ביסוס רציונלי. הן אמנם כלי נהדר, אבל זה לא הופך אותן לרציונליות. אם היה להן ביסוס רציונלי לא היית יכול לבנות מערכת אקסיומתית עם אקסיומות שסותרות אותן.
כאילו, דה? 626309
נראה לי שחוסר ההסכמה בינינו מובן. למיטב הבנתי הפירוש שלך למילה ''אקסיומה'' אינו הפירוש המקובל. גם המובן של ''לא רציונלי'' לא נראה לי ברור. נתתי דוגמה לשיקולים שנראים לי רציונליים ואתה דוחה אותם בטענה שאינם רציונליים. יכול להיות שאתה מבלבל בין ''בניה פורמלי'' לבין ''שיקולים רציונליים''. נראה לי שזה הזמן להסכים שלא מסכימים.
כאילו, דה? 626314
ויקיפדיה אומרת ש"במתמטיקה ובלוגיקה, אקסיומה היא הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, אליה מתייחסים כנכונה. טעות נפוצה היא שאקסיומות הינן "אמת אינטואיטיבית ובסיסית הברורה מאליה", אולם אקסיומות אינן מחייבות ניסוח שכזה, אלא רק סיפוק הנחת יסוד אשר עליה אין מנסים לערער (שכן מדובר בקביעה). " אתה מכיר הגדרה אחרת?! ואתה טוען שהיא מקובלת?!
כאילו, דה? 626319
בתגובה 626306 כתבת שאם אקסיומות הגאומטריה האוקלידית ניתנות להסקה מאקסיומות אחרות הן אינן אקסיומות. כאן אתה כותב שאקסיומה היא הנחה בסיסית במערכת לוגית מסוימת. כלומר: במערכת הלוגית של הגאומטריה האוקלידית, חמש האקסיומות הן אקסיומות. אני עדיין לא מבין מהי אקסיומה לדעתך.
כאילו, דה? 626347
אקסיומה "לדעתי" היא: הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, אליה מתייחסים כנכונה. מכאן יוצא שאם היא ניתנת להוכחה הרי שהיא לא הנחה בסיסית אלא משפט באותה מערכת לוגית. כאילו, דה?
כאילו, דה? 626311
האקסיומות נבחרו בדרך רציונלית מפני שהן חלק ממודל מועיל. הגאומטריה האוקלידית היא מערכת אקסיומטית, יש בה אקסיומות וחוקי גרירה ומשפטים. ביחד כל אלו הם מודל שמיצג את המציאות. התועלת שבמודל היא שהוא מאפשר חישובים ובניות שניתן להשליך מהן על המציאות.
כאילו, דה? 626313
זאת ההגדרה האישית שלך ל''רציונלי''.
כאילו, דה? 626316
למיטב ידיעתי אתה טועה. ההגדרה המקובלת של רציונליות היא התנהגות המקדמת את המטרה.
ראה http://lesswrong.com/lw/31/
ראה סעיף 1 ב-http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%9...
ראה http://en.wikipedia.org/wiki/Rationality
כאילו, דה? 626349
בוודאי לא במתמטיקה.
כאילו, דה? 626354
מהי רציונליות במתמטיקה?
כאילו, דה? 626356
הסקה לוגית מאקסיומות בלי קשר ל''תועלת'' שלהם.
כאילו, דה? 626358
נראה לי שאתה מבלבל בין רציונליות להסקה פורמלית. לטעמי הרציונליות היא של שיקולי המתמטיקאי.
כאילו, דה? 626360
הסבר‏1 פרט‏2 ונמק‏3...

1 למה אתה מתכוון: "שיקולי המתמטיקאי"?
2 לאיזה שיקולים אתה קורא רציונלים ואיזה לא?
3 הבא מקום בו מישהו מתייחס ככה לרציונליות במתמטיקה - ובפרט בהתייחסות לתגובה שפתחה את הפתיל תגובה 626213

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים