ההשערה וההוכחה 2734
המוזיקה של המספרים הראשוניים: החיפוש אחר פתרון התעלומה המתמטית הגדולה ביותר, מאת מרכוס דוּ סוֹטוֹי, הוצאת ידיעות אחרונות, 476 עמ', 2006.

ההוכחה והפרדוקס: משפטי האי־שלמות של קורט גדל, מאת רבקה גולדסטיין, הוצאת אריה ניר, 224 עמ', 2006.

המוזיקה של המספרים הראשוניים / מרכוס דוּ סוֹטוֹי


הערכים הממשיים של פונקציית זטה של רימן מעל חלק מהמישור (איור: גדי אלכסנדרוביץ' ותוכנת Mathematica)




פונקציית זֶטָה של רימן היא פונקציה מתמטית, לא מורכבת מדי, המוגדרת מעל המישור (ראו איור משמאל). יש לפונקציה אפסים – כלומר, נקודות בהן ערך הפונקציה הוא אפס – אותם קל לגלות, המכונים "האפסים הטריוויאליים". הם לא באמת מעניינים מישהו. שאר האפסים, לעומת זאת, התגלו כאחת החידות המתמטיות הגדולות של ימינו; חידה מתמטית אגדית העומדת ללא פתרון מזה כמעט מאה וחמישים שנה. השערת רימן אומרת כי כל האפסים הלא־טריוויאליים של פונקציית הזטה נמצאים על קו אחד במישור, "הקו הקריטי". איש עוד לא מצא אפס לא טריוויאלי שאינו על קו זה, אך איש גם עוד לא הוכיח שאין אפס כזה.

השערת רימן היתה אחת מ-‏23 הבעיות שהציב דויד הילברט בפני הקהילה המתמטית בשנת 1900, כאתגרים למתמטיקאים של המאה העשרים. מתוך ה-‏23, היא אחת הבודדות שטרם נפתרו. כיום היא אחת משבע "בעיות המילניום", שלפותרן ממתין פרס של מיליון דולר. מאמצים רבים מוקדשים לפתרונה, אלא שבניגוד לבעיות מפורסמות אחרות – כמו המשפט האחרון של פרמה, או השערת גולדבאך – העוסקים בה אינם מתמטיקאים חובבים, אלא בעיקר מקצוענים מהשורה הראשונה.

ההבדל הזה, בין השערת רימן לבין המשפט האחרון של פרמה, הוא האתגר הגדול העומד בפני קוראי הספר: אם בספרו הנודע של סיימון סינג קל להבין את הבעיה (למרות שקשה להבין את הפתרון, שעקב מורכבותו אינו מוצג בספר במלואו), הרי שבספרו של דו סוטוי אפילו את הבעיה קשה להבין. ועדיין, הספר מוצג כמסע מרתק בעולמה של המתמטיקה, החל מהמאה השמונה־עשרה (גאוס, ומחקריו בדבר המספרים הראשוניים), עבור דרך רימן, גילוי פונקציית זטה וניסוח ההשערה, ועד לרשימה של פריצות דרך לאורך השנים, תוך הצגה מעוררת עניין של העוסקים בתחום וגישותיהם השונות לבעיה.

אין זה ספר במתמטיקה: זהו ספר על ההיסטוריה של המתמטיקה. ככזה, הוא בדרך־כלל מרתק, אבל לעיתים צפוי ונדוש. הזכרנו את פאול ארדש? צריך לספר לכולם על מספור ארדש. הגענו לעידן המחשב? הנה השרשרת הכה־צפויה על אלן טיורינג, צ'ארלס באבג', עדה לאבלייס, וההוכחה השנויה במחלוקת בדבר צביעת מפות בארבעה צבעים. וכן הלאה.

מה בעצם חשיבותה של השערת רימן, ומה הקשר בינה לבין המספרים הראשוניים המופיעים בכותרת הספר? ובכן, מתברר כי אם ההשערה נכונה, נוכל לדעת מתי מגיע המספר הראשוני הבא – הטיפה הבאה בטפטוף האקראי־לכאורה של אבני־חן בזרם המספרים ה"רגילים". יש לכך השלכות רבות בתחומי מחקר רבים במתמטיקה; למעשה, משפטים מתמטיים רבים הוכחו, תוך שההוכחה מניחה את נכונות השערת רימן; כאילו ההוכחה מתחילה במילים "אם השערת רימן נכונה, אזי...". מכאן ששלילת ההשערה תוביל לפסילת הוכחות־מותנות רבות, ואילו אישושה יוביל למבול של הוכחות חדשות שיוכרו סוף־סוף כנכונות. יש להשערת רימן השפעה גם בתחומים רבים אחרים של המתמטיקה, מעבר לשאלת המספרים הראשוניים, אולם אלה כמעט שאינם נידונים בספר.

ספרו של דו סוטוי ייחודי בכך שלא נכתב בידי סופר מדע־פופולרי, אלא בידי מתמטיקאי העוסק בתחום. ועדיין, אין משמעות הדבר שההסברים המתמטיים בו עמוקים מאלה המופיעים בספרים אחרים בסוגה זו. דו סוטוי נזהר עד מאוד שלא להגזים בתיאורים מתמטיים, ואף מקפיד לספק לכל מונח מעין הקבלה או אלגוריה מהעולם המוכר יותר לקורא. למרבה הצער, לפעמים הדבר מגיע לכדי הגזמה; בשל הימנעות עקרונית מלהשתמש במונחים הטכניים, אנו מוצאים את עצמנו שוב ושוב מול ביטויים מכאיבים כגון "הנקודות בנוף הזֶטָה המצויות בגובה פני הים" במקום פשוט "האפסים של פונקציית זטה" – וזאת למרות שהמונחים הטכניים הוצגו לא אחת. ועדיין, מדובר בספר קריא וקולח, לא רק למתמטיקאים – אולי דווקא להיפך: מי שמצפה ל"בשר" מתמטי עלול להתאכזב, ומי שמצפה לסיפור טוב ודאי ייהנה. העובדה שהפרק האחרון בסיפור טרם נכתב רק מוסיפה לנופך המסתורין שלו.

ההוכחה והפרדוקס / רבקה גולדסטיין



רבים מחשיבים את קורט גדל ללוגיקן הגדול ביותר שקם לעולם מאז אריסטו. משפטי האי־שלמות שלו הם ללא ספק מהחשובים שבמשפטים המתמטיים שהוכחו מעולם, ושמעם נודע למרחוק – הרבה מעבר למעגלי חובבי הלוגיקה, משום שלמשפטי האי־שלמות יש משמעות פילוסופית החורגת מחשיבותם הלוגית. למרבה הצער, רבים רותמים את המשפטים הללו בנסיונות להוכיח טיעונים שונים ומשונים, לעיתים רבות טיעונים הסותרים זה את זה באופן ישיר. נדמה כי רבים פשוט טועים ואינם מבינים את משמעותם האמיתית והעמוקה של המשפטים. זה בסדר, הם בחברה טובה: אי־ההסכמה בדבר המשמעות המטפיזית של משפטי גדל היא כה עמוקה עד שהיו רבים שטענו כי אף גדל עצמו לא הבין את משמעות משפטיו.

זוהי שטות מוחלטת, כמובן, אך בו־בזמן ניתן להבינה. "ההוכחה והפרדוקס", ספרה של רבקה גולדסטיין, שופך אור על הרקע להוכחת משפט האי־שלמות הראשון של גדל, ומסביר את הטרגדיה שלוותה את אותו גאון תמהוני מרגע פרסום ההוכחה ועד יומו האחרון: הוא ניסה להראות דבר אחד, והסובבים אותו הבינו דבר־מה שונה לחלוטין.

קורט גדל היה חבר ב"חוג וינה", קבוצת פילוסופים/לוגיקנים/מתמטיקאים שהושפעו רבות מהוינאי לודוויג ויטגנשטיין. רובם דגלו בתפישה הפוזיטיביסטית, הטוענת כי מה שלא ניתן להוכיח, אין טעם לדון בו, וטענות על קיומו של הלא־מוכח הן חסרות משמעות. אלא שגדל השתקן לא היה פוזיטיביסט כלל: הוא היה פלטוניסט, והאמין בקיומן של אידאות מתמטיות שאינן תלויות ביכולת האדם להוכיח את קיומן. במשפט האי־שלמות האמין גדל שהצליח לגדוע באופן מוחלט את האמונה הפוזיטיביסטית; אלא שלמרבה הטרגדיה, רבים ראו במשפט גדל דווקא משום חיזוק לתפישה זו.

לא אנסה להסביר כאן את ההבדל בין שתי התפישות, ואת התסכול שנגרר אליו גדל, השתקן והמופנם, בעקבות הפרשנויות השגויות. גולדסטיין עושה עבודה מצוינת בהצגת הרקע לחייו הטרגיים של גדל, חוג וינה, התורות הפילוסופיות המתחרות, ועוד. ברור לחלוטין, אגב, באיזה משני הצדדים במאבק מצדדת הכותבת. היא לא מפחדת מעומקם של המים, ולשבחה של גולדסטיין יאמר כי בניגוד לדו סוטוי בספרו הנסקר למעלה, היא לא מנסה לגונן על הקוראים כאילו היו ילדים רכים. בעוד שמרבית הדיון הוא במישור הפילוסופי, המחברת לא נרתעת גם מהמישור המתמטי, והיא מנסה להסביר "על רגל אחת" את הוכחת גדל למשפט האי־שלמות הראשון. זהו מאמץ ראוי לציון, אבל למרבה הצער, היא נכשלת; אני בספק אם מי שלא מכיר את ההוכחה יצליח להבינה מתוך הספר. (משפט האי־שלמות השני, לעומת זאת, טריוויאלי להוכחה בהינתן הראשון).

בעוד שגולדסטיין עושה עבודה מצוינת בהצגת הדילמות הפילוסופיות עימן התמודד גדל – ולמעשה, עימן התמודד העולם הפילוסופי כולו, הרי שהיא עושה עבודה טובה פחות בפיצוח חידת גדל האיש. הגורמים הסובבים אותו (חוג וינה, המכון למחקר מתקדם) מוצגים לעיתים בעומק רב יותר מאשר נשוא הספר. אנו נחשפים לחייו דרך הפריזמה של השאלות הפילוסופיות בלבד, וחייו האישיים, שהיו מוזרים ומרתקים לא פחות, משחקים תפקיד משני בלבד, לעיתים באופן מתסכל ממש. מצד שני, זה אך הוגן, בהתחשב בכך שכבר מכותרת הספר ברור כי הנושא הוא המשפטים – ולא האיש. מי שמתעניין בהיבטים אישיים יותר של גדל האיש יאלץ להמתין לתרגום של אחת הביוגרפיות האחרות; מי שמתעניין בפילוסופיה של המאה העשרים ובתרומתו של גדל למאבקים שהתחוללו בה, יגלה כאן מבוא נהדר לתחום.

כמה מילים על העברית

בקריאת שני הטקסטים לא ניתן שלא להתרשם מההבדל בגישת המתרגמים לשפה העברית. אוריאל גבעון, מתרגם "המוזיקה של המספרים הראשוניים", משתמש בעברית הרזה־יחסית המקובלת בכתיבה כיום. נדמה גם כי גבעון (או שמא עורך הספר?) חושש כי קהל הקוראים שולט בשפה האנגלית דווקא יותר מאשר בעברית, משום שמדי פעם (occasionally) מופיע המונח המקורי (original) בסוגריים, מנהג מעצבן שאינו מוצדק אפילו עבור המונחים הטכניים (technical) ביותר. כך גם לגבי שמות החוקרים השונים המוזכרים בטקסט, אולי מתוך הנחה שהקוראים ייטיבו להבין איך לבטא שם הונגרי מתוך קריאת האותיות הלטיניות יותר מאשר מתוך קריאת עברית מנוקדת. ואם תאמרו, הצגת השמות בלעז נועדה לאפשר לקורא הסקרן למצוא מידע רב יותר עליהם – באינטרנט, למשל – הרי שבדיוק לשם כך קיים האינדקס: גם בתרגום של "ההוכחה והפרדוקס" מופיעים השמות בכתיב הלועזי המקורי, אבל לא באופן הפוגע בנוחות הקריאה, אלא פשוט באינדקס, בסמוך לכל שם בתעתיק עברי.

העברית של "ההוכחה והפרדוקס", בניגוד לזו של "המוזיקה", היא עשירה, משובחת, ומהנה; קשה שלא להבחין בהבדל לאחר קריאת שניים־שלושה עמודים מכל ספר. התחרות, יש להודות, אינה הוגנת, משום שאת המלאכה ביצע רב־המתרגמים עמנואל לוטם. עם זאת, למרבה הצער, בחר לוטם (או שמא עורך הספר?) להחליף את הערות השוליים הרבות בספרה של גולדסטיין לחלק אינטגרלי מהטקסט, והתוצאה היא לעיתים פסקאות שנמשכות ומתפתלות כשהן עוברות לנושאים משניים ולא־חשובים לכאורה, למשל בדבר חייהם של דמויות משנה הנזכרות אך לרגע בטקסט, ושמעבר לעניין נקודתי אין להן כל חשיבות - עד שהטקסט חוזר לנושאו העיקרי כמעט פורחת נשמתו של הקורא.
קישורים
רימן - ויקיפדיה
השערת רימן - ויקיפדיה
ספרו הנודע של סיימון סינג - סקירת הספר "המשפט האחרון של פרמה", טל כהן
נסיונות להוכיח טיעונים שונים ומשונים - "תנו לגדול בשקט", מאמרו של אלון עמית
לודוויג ויטגנשטיין - ויקיפדיה
סקירה של אותו זוג ספרים במדור הספרים של הארץ (קישור עקיף)
פרסום תגובה למאמר

פרסומים אחרונים במדור "ספרים"


הצג את כל התגובות | הסתר את כל התגובות

424790
רק לעניין התרגומים - את ההערות לתרגומו של גבעון עדיף להפנות לעורך. ודאי שמתרגם ראוי לשמו לא היה מציג - באופן שנשמע די שרירותי, לפחות לגבי מלים שאינן שמות - את המקור הלועזי אלא במקרים מיוחדים מאוד. אבל אם המתרגם עושה זאת, תפקידו של העורך הוא לשפר את העניין.
424832
תודה. כתבה יפה.
תודה על הסקירה המעניינת 425015
כנראה שלא אקרא את הספרים בזמן הקרוב.

אגב, מהו ה"פרדוקס" שבשם הספר השני? פרדוקס השקרן?
תודה על הסקירה המעניינת 425017
הפרדוקס שמציגה אישיותו (ומהלך חייו) של גדל; לא פרדוקס מתמטי.
תודה על הסקירה המעניינת 425018
ומהו?
תודה על הסקירה המעניינת 425024
בעיקר (אבל לא רק) הפער בין מה שניסה להראות בעזרת ההוכחה (כלומר, לחזק את הפלטוניזם ולמעשה להפוך אותו לברור מעבר לכל ספק) לבין מה שאנשים, בעיקר חוג וינה, "קראו" בהוכחה בפועל; והשפעת פער זה על מהלך חייו.
תודה על הסקירה המעניינת 549336
מתישהו קראתי קצת את הספר של גולדשטיין ונשברתי. אני חושב שהיא מציגה דברים בצורה מעוותת ושגויה שמתאימה להשקפת העולם הפילוסופית שהיא מנסה לקדם - בפרט, שההצגה שלה את הילברט היא שגויה וקריקטוריסטית ודי מתאימה לאופן שבו ספרים אחרים שקראתי בנושאים הללו אוהבים להציג את הילברט כי הם אוהבים שיש טובים ורעים ואת הסיפור שבו הגאון המתמטי הצעיר והטוב מרסק לגורמים את המתמטיקאי הזקן והרע עם ההבלים שלו על ריקון המתמטיקה מתוכן.

מתישהו יהיה לי כוח לקרוא את הספר שוב ולהתייחס פרטנית לנקודות מחלוקת ספציפיות שלי איתו (כנראה לא כאן אלא בבמה האחרת שלי...) אבל לעת עתה אני מאוד לא ממליץ עליו אלא כספר היסטוריה שיש לקרוא מראש מתוך הבנה שהוא מוטה.
תודה על הסקירה המעניינת 549337
אגב, למאמר עצמו - אני לא חושב שנכון לומר שהמשפט השני ''טריוויאלי'' להוכחה מהמשפט הראשון - נדרשת עוד עבודה כלשהי, אם כי העיקר בו הוא אכן הסתמכות על המשפט הראשון.
שמות בתעתיק לועזי 425035
ראשית תודה על הסקירה הטובה.
בקשר ל"מוסיקה":
לעניין שמות מתמטיקאים ומקומות בתעתיק לטיני בסוגריים - אני מצאתי אותם מועילים מאוד, אינם מפריעים כלל לשטף הקריאה ומייתרים חיפוש באינדקס. הם מאפשרים הגייה נכונה של שמות בקריאה רגילה, כולל שמות הודיים, יפניים, צרפתיים וגרמניים שאיותם בשפת המקור אינו מובן מאליו. למה להתלונן על החלטה נבונה של העורך/מתרגם?
אשר לחלקים ה"צפויים" בספר - מה האלטרנטיבה? לדלג עליהם? ובכל מקרה הספר מיועד לציבור הרחב, כולל אלה שלא קראו מעולם ספר על תולדות במתמטיקה.
שמות בתעתיק לועזי 425038
תודה על המחמאות.

איות בשפת המקור של שמות הודים ויפאניים דווקא לא מוצג בספר, אלא איות בתעתיק לועזי. אני אישית מוצא שעברית מנוקדת עוזרת יותר בקריאת שמות כאלה מאשר אנגלית דווקא (Ramanujan זה ראמאנוג'אן או ראמאנוּיָאן? János יותר קל להגות נכון מאשר הכתיב העברי "יאנוֹש"?). האם לכלול את האיות הלועזי כחלק מהטקסט? עניין של טעם, אני מניח, אבל אני מעדיף את הגישה שהוצגה בספר "ההוכחה והפרדוקס", שם האיות הוצג אבל לא באופן הפוגע ברצף הקריאה, אלא כחלק מהאינדקס.

לגבי החלקים ה"צפויים": ראשית, אפשר בהחלט לדלג עליהם: מרביתם לא קשורים למהות הספר, ל"עלילה" המרכזית שלו, אלא הם נאמרים כבדרך-אגב; הזכרנו את המחשב, בואו נסקור לרגע את ההיסטוריה שלו. שנית, אפשר (גם אם קשה יותר) לגוון ולהראות מקוריות; מאז הצגת ההוכחות הממוחשבות היו הוכחות אחרות, בנוסף לצביעת המפות, שניתן היה לבחור בהן כדוגמא. נכון, הוכחת צביעת המפות היתה הראשונה, אבל מצד שני היו הוכחות אחרות הקשורות יותר לתחום בו עוסק הספר, ואת עצם השאלה לגבי תקפות ההוכחות הללו אפשר להציג גם עם דוגמאות מהסוג השני.

אבל אלה באמת נושאים משניים לעומת דעתי על הספר בכללותו, כפי שהוצגה בסקירה.
שמות בתעתיק לועזי 426868
''הזכרנו את המחשב, בואו נסקור לרגע את ההיסטוריה שלו.'' - תופעה מאוד מעצבנת שקיימת לא רק בספרים טכניים לקהל הרחב, אלא גם בספרי לימוד. אפשר להשתגע.
שמות בתעתיק לועזי 426875
למה, מה הבעיה בזה? זה לא שאתה נבחן על הסקירה ההיסטורית, ויש סטודנטים שזה מעניין אותם.
שמות בתעתיק לועזי 426881
אני אחד מאלה שזה מעניין אותם (חיי הנישואין של גאוס וכו'), אבל אני לא רוצה להתקל שוב ושוב ושוב באותן סקירות היסטוריות, הצגות מחדש של הגדרות בסיסיות וכו'. קשה לי מאוד לקרוא פסקה-כן, פסקה-לא. ההתלבטות מתי לדלג לוקחת יותר זמן מלקרוא הכל וזהו, אבל הקריאה של דברים פעמים נוספת מעצבנת ומוציאה לגמרי את החשק.
שמות בתעתיק לועזי 426882
פעמים נוספות באותו הספר או בכמה ספרים נפרדים? אם באותו ספר, איזה ספר זה?
שמות בתעתיק לועזי 426884
בספרים נפרדים. אבל הסקירות ההיסטוריות החוזרות פחות מפריעות לי מההרגשה של ''כבר הייתי פה'' במהלך התוכן עצמו - כשמסבירים לי בפעם המאה מה זו מחסנית (זה לא הספר הראשון בנושא שאני נתקל בו, כבר שמעתי מאה פעמים על ערימת המגשים בקפיטריה), או רשימה מקושרת, או מכונת טיורינג. כל דבר כזה הוא חלק קטן בספר, אבל יש הרבה כאלו, וכאמור, זה יותר עולה יותר בחשק מאשר בזמן.
שמות בתעתיק לועזי 426893
בסופו של דבר, אין הרבה דרכים יצירתיות לתאר מחסנית, ואין סיבה לדרוש מכל כותב ספר להמציא אחת חדשה כשכבר יש אחת סבירה. השאלה היא למה יוצא לך לקרוא על מה זה מחסנית מאה פעמים - אני משער שאתה לא לומד את אותו החומר ממאה ספרים שונים, ואין שום דבר רע בלקפוץ מעל חומר שאתה כבר מכיר אם אתה קורא ספר מתקדם יותר.
שמות בתעתיק לועזי 426901
לא ביקשתי הסברים חדשים למחסנית, ביקשתי להתקל בהסבר המספק פעם אחת בלבד, או מעט פעמים ככל האפשר. בהסבר על מחסנית נתקלתי כשלמדתי מבוא מורחב למדעי המחשב, מבני נתונים, מבנה מחשבים, אלגוריתמים, מודלים חישוביים, ובטח עוד כמה פעמים. בכל פעם ספרים (בעיקר) ומרצים (לעיתים רחוקות הרבה יותר) טרחו להסביר מחדש את הרעיון הפשוט הזה, ואת הטרמינולוגיה המקובלת עבורו (push ו-pop), למקרה שמישהו פספס. אפשר לקפוץ, אבל, כמו שאמרתי, זה לא פתרון מהיר וגם לא נוח.
שמות בתעתיק לועזי 426915
אתה מתעלם מכך שבדרך כלל ספרי לימוד בסיסיים מעדיפים להיות Self-Contained במידת האפשר, ולכן להסביר שוב מושג שעשוי להיות ברור לחלק מהקוראים. אפילו ספרים שמניחים ידע קודם נוהגים לתת סקירה בסיסית של המושגים שבהם הם משתמשים ואמורים להיות מכורים לקורא.

ספר על אלגוריתמים (למשל זה של קורמן, ריבסט ולייזרסון, שהוא מאוד Self-Contained ובעיני מהווה דוגמה לספר מבוא מעולה) לא בהכרח מניח שלמדת "מבוא למדעי המחשב" - מבחינתו ייתכן שאתה מגיע לנושא ללא שום הכנה מוקדמת שעוסקת במחסנית, ואת הנושא הזה חייבים להסביר, אפילו אם זה ישעמם חלק מהקוראים.

מה שכן, לטעמי לקרוא את אותו הדבר יותר מפעם אחת במקורות אחרים זה דווקא דבר בריא למדי; לפעמים (לא בהכרח במקרה של מחסנית) אתה מקבל זווית חדשה שעליה לא חשבת, וכמעט תמיד אחרי הקריאה החומר יושב אצלך בראש יותר טוב, אפילו אם אתה לא מרגיש בכך מייד.
שמות בתעתיק לועזי 426994
אני מבין שהכוונה כנראה איננה לעמוד במכסת דפים, אבל התוצאה עדיין אותה תוצאה מעצבנת. מי שקורא את (ב-) קורמן קורא בדרך כלל עוד כמה ספרים מהתחום, שמתמקדים בנושאים אחרים מקורמן, אבל נשענים על אותו הבסיס.
שמות בתעתיק לועזי 427016
כלומר, אתה מציע לקורמן לא להגדיר את המושגים שבהם הוא משתמש ולשלוח את הקורא לספרים אחרים? לא נראה לי רעיון טוב במיוחד.
שמות בתעתיק לועזי 427030
קורמן לא טורח להגדיר ''כפל'' וגם לא ''הסתברות'' (בעצם, נדמה לי שיש לו פרק מזורז על הסתברות, אבל בוא נשכח מזה לרגע), ובכל זאת אנשים מסתדרים מצויין.
שמות בתעתיק לועזי 427035
יש פרק מזורז על הסתברות (בלעדיו חייבים קורס שלם בהסתברות, שבו לומדים הרבה יותר ממה שצריך, כמובן). כפל הוא מושג בסיסי יותר ממחסנית - בדרך כלל הוא נלמד בכיתה ב' או ג'.
שמות בתעתיק לועזי 427038
מבוא להסתברות בדרך כלל לומדים בסמסטר א'.
שמות בתעתיק לועזי 427043
תלוי באיזו אוניברסיטה אתה. בטכניון זה לא כך, ומתוך ההיכרות ממקור שני שלי עם מה שלומדים באוניברסיטת תל אביב, כנראה טוב שכך.
שמות בתעתיק לועזי 426961
ואני תוהה: כמה תרגומים לעברית זרקו את "ערימת המגשים בקפיטריה" והחליפו אותה ב... נו... איך קוראים לזה... מחסנית? מהסוג שמחברים לכלי-נשק כדי לירות, פעולת push זה מילוי המחסנית, ופעולת pop זה לחיצה על ההדק? נכון שזה מאוד מיליטנטי, אבל (לצערנו) הישראלי הממוצע יבין את המשמעות הרבה יותר מהר.

הספר העברי הרלוונטי היחיד שיש לי בבית הוא "אלגוריתמיקה" של דוד הראל, והוא נכשל במבחן הפשוט הזה.
שמות בתעתיק לועזי 426977
כלומר, לדעתך בתרגום ספר לעברית צריך לשנות פסקאות ותיאורים, ולא רק לשנות מאנגלית לעברית? ("אלגוריתמיקה" נכתב במקור באנגלית).
שמות בתעתיק לועזי 427041
תלוי איזה ספר. לא מדובר כאן בפרוזה, המטרה היא להסביר טוב יותר לקורא המקומי, ולעיתים יש בהחלט מקום גם לטרנסקולטוריזציה.
שמות בתעתיק לועזי 427119
"אלגוריתמיקה" זה מה שלומות רקדניות המכוונות אל גו?
שמות בתעתיק לועזי 427126
כמעט.

(ה''רית'ם'' שב''אלגוריתם'' מגיע, למיטב ידיעתי, משיבוש שמו של אל חו'אריזמי)
שמות בתעתיק לועזי 427129
חשבתי ש*כל* המלה מגיעה משם, לא?
שמות בתעתיק לועזי 427130
כן, ובפרט החלק הזה, שעליו היה הדיון...
שמות בתעתיק לועזי 426981
הישראלי הממוצע מיד יתחיל לתמוה מה המחשב עושה במקרה של הזנה כפולה.
שמות בתעתיק לועזי 427233
גם לזה יש אלגוריתם. הוא מתחיל ב''נשק שישים מעלות'', ונגמר ב''אש אש אש''.

אכן, אנחנו חברה מיליטריסטית מזעזעת.
שמות בתעתיק לועזי 427000
עכשיו אני סקרנית - מה זה ערימת המגשים בקפיטריה? מה הדוגמא הזו מנסה להסביר? (ניסיתי למצוא משהו שמקביל לפעולה עם מגשים ועם מחסנית, לא הצלחתי לחשוב על כזו)
שמות בתעתיק לועזי 427008
fifo - first in first out. את המגשים מכניסים לערימה מלמעלה, וגם מוציאים אותם מלמעלה, אז את המגש שהכנסת אחרון תשלפי ראשון. ככה גם עם כדורים במחסנית של רובה, ועם מידע במחסנית.
שמות בתעתיק לועזי 427018
אתה רואה? טוב שחוזרים ומסבירים את המושג בספרים שאתה קורא. אתה עדיין מתבלבל.

FIFO - first in first out זה תור.

מחסנית זה LIFO - LAST IN FIRST OUT. הכדור האחרון שהוכנס למחסנית הוא הראשון שיוצא.
שמות בתעתיק לועזי 427021
אז הדוגמא של דורפל עם המגשים מקבילה לדוגמא עם כדורי המחסנית, שהם בעצם LIFO ולא FIFO?
שמות בתעתיק לועזי 427022
כן. יש מקומות בעולם (אולי גם בישראל?) שבהם מחזיקי המגשים הם עם קפיץ למטה, כך שתמיד המגש העליון יהיה באותו הגובה, וכדי להכניס מגש דוחפים אותו מלמעלה.
427025
אוקי, את הדוגמא הבנתי.
עכשיו נשאר רק להסביר לי מה היא אמורה להסביר (:
427034
אחד מהדברים הבסיסיים בתכנות הוא שימוש ב"מבני נתונים" - אוספים של מידע שמסודרים בצורה כזו שהגישה אל פרטי המידע שבהם תהיה נוחה ומהירה ככל האפשר. אחד ממבני הנתונים הבסיסיים ביותר הוא המחסנית המדוברת. הרעיון בה הוא שהגישה היא תמיד רק אל ה"ראש" שלה: אפשר לדחוף איבר חדש לראש המחסנית (ואז הוא יהיה "מעל" האיברים שכבר דחפנו קודם) או להוציא איבר מראש המחסנית (ואז האיבר שהוכנס ממש לפניו הופך להיות האיבר שבראש המחסנית).

הפואנטה היא שביצוע שתי הפעולות הללו (אם יש למחסנית מימוש טוב) הוא מאוד מהיר - בפרט, לא תלוי בשאלה כמה איברים כבר הכנסנו למחסנית עד עכשיו. לכן המחסנית היא יעילה מאוד אם אנחנו לא צריכים גישה לכל המידע שבתוכה בבת אחת, אלא רק בסדר הפוך לסדר ההכנסה.

(אפשר תמיד "לרמות" ולגשת גם לאיברים שבאמצע המחסנית - זה פשוט לוקח רב גדול יותר, ויש מבני נתונים יותר יעילים כדי לעשות זאת)
427036
כלומר (בתרגום לשפה שאני מבינה) כמו שאם אתה מסדר ארון בגדים אתה בד"כ תקח את החולצה שבראש הערימה כי אם תקח את החולצה שבאמצע זה יבלגן את המדף? ואז אתה משתמש בה, ומכבס, ואחרי הכביסה באופן טבעי שם אותה בראש ערימת החולצות מסוגה* ולכן בפעם הבאה שוב תלבש אותה כי הגישה קלה יותר?
ואם אתה רוצה את החולצה הספיציפית מאמצע הערימה (כי היא מתאימה נהדר עם הג'ינס החדשים) אז אתה צריך להתאמץ בשבילה, אבל עדיין יש לך גישה אליה, נכון?
ככה שבעצם יוצא שהפער בין החולצות שאתה משתמש בהן לבין החולצות שאתה פחות משתמש בהן רק הולך וגדל, לא?

*אלא אם אתה מסדר אותן לפי צבעים, גוונים ותתי גוונים. אבל זו כבר נוירוטיות אחרת וזה לא מסתדר לי עם הדוגמא.
427040
בדיוק. אבל בדרך כלל כשמשתמשים במחסנית, לוקחים את כל החולצות מהערימה בסופו של דבר.

דוגמה בסיסית: כשתוכנה רצה, היא עוברת באופן סדרתי (בערך) על שורות הפקודה שלה עד שהיא מגיעה להפעלה של פונקציה - כש"פונקציה" היא פשוט סדרת פקודות אחרת שכתובה במקום אחר. לכן נהוג לומר ש"קופצים" אל הפונקציה הזו. אחרי שסדרת הפקודות נגמרת צריך לדעת לחזור למקום ("כתובת") שממנו נקראה הפונקציה - לכן דוחפים את הכתובת למחסנית לפני הקפיצה, וכשמגיעים לסוף הפונקציה מוציאים אותה מהמחסנית, ואז יודעים לאן לחזור.

אז בשביל מה צריך מחסנית? כי גם מתוך הפונקציה אפשר לקפוץ לפונקציה אחרת. נניח שאנחנו בפונקציה A וקפצנו ממנה לפונקציה B וקפצנו ממנה לפונקציה C - אז אחרי ש-C נגמרת קודם כל נחזור ל-B ורק אחר כך נחזור ל-A. זה בדיוק LIFO.
427049
הבנתי עד לכאן"צריך לדעת לחזור לכתובת ממנו נקראה הפונקציה".
את "לכן דוחפים את הכתובת למחסנית לפני הקפיצה, וכשמגיעים לסוף הפונקציה מוציאים אותה מהמחסנית, ואז יודעים לאן לחזור". כבר לא הבנתי. למה דוחפים ולמה מוציאים? (אם נמאס לך להסביר למפגרת זה בסדר. אבל אם ממש בא לך, אני אשמח אם תוכל להסביר את המשפט הזה עם בגדים*)

*אתה רואה טל? גם קוסמופוליטי וגם לא מילטנטי!
427055
''...אחרי חצי שעה, הסר את הסיר מהאש. עבור להכין את הרוטב.'' - הרוטב משותף לכמה מתכונים, והוא מפורט במקום אחר בספר. משאירים סימניה, עוברים לעמוד עם הרוטב, וכשמסיימים איתו, חוזרים לשורה שמיד אחרי ''עבור להכין את הרוטב.'' בעמוד של הרוטב, כמובן, יכלו לשלוח את הקורא לעמוד שמסביר איך לקצוץ בצל.
427057
כן, את זה הבנתי כבר בהסבר הראשון. אבל לא הבנתי למה צריך לדחוף את הכתובת למחסנית לפני הקפיצה, ואז להוציא אותה.

הכתובת היא הסימניה או הרוטב?
427059
הכתובת היא הסימניה. מה שחשוב הוא שנדע לאיזה מקום בספר לחזור.
427062
הסימניה מסמנת את הדף והשורה שממנה קפצת לדף של הרוטב. אחרי שאת מסיימת עם הרוטב, את חוזרת לסימניה. אם בדף של הרוטב הייתה עוד קפיצה, את צריכה עוד סימניה - את צריכה לחזור מקיצוץ הבצל לרוטב, ורק אחרי שתסיימי את הרוטב כולו לחזור לשורה שאחרי "הכן את הרוטב". כל פעם שאת קופצת, את מוסיפה לרשימת הדפים שאת צריכה לחזור אליהם כתובת/סימניה. כל פעם שאת מסיימת איפשהו, את חוזרת למקום האחרון שממנו קפצת. מחסנית.
427068
אז כל הסימניות יחד הן "מחסנית"? שזה מתורגם בשפת מחשבים ל"כל הכתובות ששולחות אל הפונקציה"?
אם כן, אז למה זה רלוונטי שמגדירים את זה כליפו או פיפו?
427072
הסימניות (הכתובות) נכנסות למחסנית / מסודרות במחסנית.
רלוונטיות: יש שלושה דפים בדוגמה שלנו - דף המתכון הראשי, דף הרוטב, ודף הבצל. בשורה חמש בדף הראשי היה כתוב "הכן את הרוטב", אז את רוצה להכין את הרוטב, ואחרי שאת מסיימת אותו, לעבור לשורה שש בדף הראשי. את משאירה סימניה, ואחריה את קופצת לדף של הרוטב. את עוברת על ההוראות שם אחת-אחת, עד שאת מגיעה לעשירית (שאיננה בהכרח האחרונה), שבה כתוב "קצוץ את הבצל". את משאירה סימניה חדשה, ועוברת לדף של הבצל. כשאת מסיימת עם הדף של הבצל, את צריכה לחזור לסימניה של הרוטב, לא זאת שבדף הראשי. אבל גם אסור לך להפטר מהאחת של הדף הראשי עדיין - עוד מעט תצטרכי אותה. אז לאיזו סימניה את חוזרת עכשיו? לאחרונה שיצרת. ואחריה? לזו שיצרת אחרונה באותו רגע (אולי יצרת מאז עוד, אולי לא).
427074
כאן הדוגמה של דורפל קצת "נתקעת", כי מחסניות באמת לא מהוות מחסנית. מצד שני, אולי אפשר להראות למה מחסנית כ"כ יעילה כאן.

בואי נניח שאת מכינה ספגטי, ואז שמה סימניה ועוברת לקרוא על הרוטב, ואז שמה עוד סימניה ועוברת לקרוא על איך קוצצים בצל. גמרת לקרוא על הבצל ואת רוצה לחזור אל הרוטב. יש כרגע שתי סימניות בספר: על אחת כתוב "ספגטי" ועל השניה כתוב "רוטב". את צריכה לבחור לאיזו מהן לחזור - מן הסתם תקראי את שתיהן ותבחרי את זו שכתוב עליה "רוטב".

עכשיו בואי נניח שאת צריכה הרבה יותר הסברים (בשביל לדעת איך קוצצים בצל צריך לדעת איך משייפים סכין, ובשביל זה צריך לדעת איך בודקים שסכין הוא חד, ובשביל זה צריך לדעת מה זה סכין, וכו') ויש לך מאה סימניות בספר. מכיוון שהן לא מסודרות באף דרך ברורה, כדי למצוא את הסימניה שמעניינת אותך צריך לעבור על כולן (עם קצת מזל תגלי את הסימניה הנכונה על ההתחלה - בלי מזל, היא תהיה האחרונה שתקראי). לכן מאוד נוח אם הסימניות יהיו מסודרות ב"ערימה" (כי בכל פעם מעניינת אותך רק סימניה אחת - האחרונה ששמת).
427078
אני חושב שההסבר שלי עדיין טוב, עם השינוי הבא - אמרנו שצריך לדעת מי הייתה הסימנית האחרונה, מי לפניה, וכו'. הפתרון, כמובן, הוא לא להשתמש בסימניות של ממש, אלא בפתקים שעליהם רושמים את מספר העמוד והשורה שאותן אמורות הסימניות לסמן, ולהניח את הפתקיות בערימה על השולחן, כשלוקחים ומוסיפים לערימה מלמעלה.
427058
דורפל הסביר יפה עם אוכל וסימניות, ואני מציע פרס למי שיצליח למצוא הסבר עם בגדים (לא הצלחתי).
427061
בסדר, גם עם אוכל אני מבינה* (:
תודה.

*למרות שאני יכולה לחשוב על הסבר אלטרנטיבי עם חצאיות ומכנסיים, אבל מעמדי כבחורה-השטחית גם ככה הולך ומתחזק - וחבל.
427066
דווקא מסקרן.
427073
חזרתי לדוגמא הבסיסית שלך, ואני מתרגמת אותה לשפת-פקאצות:
כשאתה מתעורר ורוצה לצאת מהבית, אתה עובד באופן סדרתי - פוקח עיניים, מקלל, יוצא מהמיטה, מצחצח שינים וניגש לארון הבגדים.
אתה לוקח את החולצה הראשונה בערימה, ואז צריך להחליט מה יתאים איתה, אז אתה משאיר את דלת הארון פתוחה (זו הסימניה) ופותח את הארון השני - שם אתה צריך להחליט אם חצאית תתאים (כמובן שלא - אתה לא סקוטי ולא כליל נאורי, לא סידרת רגליים ואין לך חשק לגרביונים ובכלל - קור שועלות בחוץ) או שעדיף לבחור מהערימה השמאלית במדף שם שוכנים זוגות המכנסיים. בחרת את הג'ינס הרלוונטי (זה תמיד ג'ינס בסוף) וחוזר אל מדף החולצות כדי לבחור ג'קט מתאים. משם אתה ממשיך להסתרק, להתאפר, לשתות משהו ולגלות שאתה שוב מאחר לשיעור.

בעצם זו דוגמא לא כל כך טובה כי היא פחות מובהקת מהדוגמא עם הרוטב והפסטה וגם יש בה יותר מדי סוגריים.

לפי הדוגמא הזו אתה צריך מחסנית הפוכה - אם לבשת היום את הסוודר השחור ואתה מחזיר אותו לראש הערימה, אתה צריך להקפיד בפעם הבאה לקחת את הסוודר מתחתית הערימה. הרי לא יעלה על הדעת שתלבש יום אחרי יום את אותו הבגד, הלא כך?
427075
כרגע המצאת מבנה נתונים בסיסי נוסף: תור. זה ה-FIFO שהוזכר קודם (First in first out - הסוודר הראשון שהכנסת לערימה יהיה גם הראשון שתוציאי, וכל אלו שהוספת לערימה מאז יחכו בסבלנות לתורם).
427084
(משום מה, הם בחרו לתת דווקא את אחד השימושים היותר מסובכים של מחסנית, ועוד להסביר אותו במונחים טכנוקרטיים-משהו...)

יש לך ספר בישול כמו בהודעה של דורפל, ומתקן כזה לפתקי נייר (זאת המחסנית). בהתחלה המחסנית ריקה, ואת פותחת את הספר בעמוד שמסביר איך להכין סלט. את עוקבת אחר ההוראות, ואז מגיעה למקום שבו אומרים לך לחתוך את העגבניות כמו שמוסבר בעמוד 11. כדי שתוכלי לעבור לעמוד 11 בלי לשכוח שאת בעמוד 94 בצעד מספר 3, את כותבת על פתק "עמוד 94 צעד מספר 3", מכניסה אותו למחסנית ועוברת לעמוד 11. אחרי שגמרת לחתוך ואת צריכה לדעת מאיפה להמשיך את הסלט את שולפת את הפתק מהמחסנית ועוברת לאן שכתוב בו.

כשמדובר בהפניה אחת זה די פשוט, ובאמת לא רלוונטי אם זה FIFO או LIFO או סתם כתבת לעצמך על היד לאן לחזור. הבעייה מתחילה כשבעמוד 11 מפנים אותך באותו האופן לעמוד נוסף, שמפנה בתורו לעמוד אחר, וככה הלאה... איך תדעי לאן לחזור עם כל כך הרבה הפניות...?
פשוט: בכל פעם שאת עוברת לעמוד אחר את כותבת על פתק את המקום שבו את נמצאת כרגע, ומניחה את הפתק מעל שאר הפתקים. שימי לב: כך בכל שלב, הפתק העליון תמיד יכיל את המיקום שאליו את צריכה לחזור אחרי שנגמרו ההוראות בעמוד שאת נמצאת בו. כשזה קורה, את שולפת את הפתק העליון, חוזרת לאן שצריך וזורקת אותו משם, כשהפתק הבא אחריו הוא זה שהכנסת בהפניה הקודמת. לכן משתמשים במחסנית, ולא ב"תור", כי בתור היתה לך גישה בכל פעם רק לפתק הראשון שהכנסת, במקום לאחרון.

(כל זה, כאמור, די מסובך לדעתי למי שלא תיכנת אף פעם...)
427064
נניח שאת מסמלץ מכונת אוגרים בעזרת הקולקציה האחרונה של פוקס...
427044
אם אתה רוצה את החולצה שבאמצע, אתה מסיר את החולצות שלפניה אחת-אחת, לפני שאתה בכלל מגלה שהיא באמת שם. אז אתה מוציא אותה, ומחזיר את החולצות האחרות בחזרה, בסדר המתאים.
הסתבכתם, חבר'ה 427088
תסלחי לחבריה כאן שהחליטו לבחור דוגמא טכנית לחלוטין לרעיון טבעי ולא-טכני ביסודו. הנה דוגמא פשוטה יותר (לא שלי במקור) להסבר רעיון המחסנית: סיפור בתוך סיפור בתוך סיפור. את קוראת ספר של נבוקוב, וגיבורת הספר - נאמר, עדה - קוראת את "אלף לילה ולילה", ושם, שחרזדה מספרת את "המלט" לסולטאן, ובתוך המלט יש הצגה.

ההצגה הפנימית מסתיימת. לאן חוזרים? לשחרזדה שמספרת סיפור לסולטאן? לעדה? לא, ל"המלט"; יש כאן מסגרות בתוך מסגרות, וכל פעם שיוצאים ממסגרת, לא "מדלגים" שכבות לאחור אלא מגיעים למסגרת הקודמת. המוח שלנו זוכר את סדר המסגרות, עד גבול מסוים; הזכרון הזה עובד בשיטת "נכנס אחרון יוצא ראשון" (LIFO), או במחשבית "מחסנית". במהלך הקריאה שתארתי לעיל, סדר המחסנית הוא: הספר של נבוקוב, אלף לילה ולילה, המלט, הצגה. אם ההצגה מסתיימת, והמלט מסתיים, הוצאנו שתי רשומות מהמחסנית; ואם כעת שחרזדה (שבראש המחסנית) תתחיל לספר את "מסעות סינבאד", אנו בעצם מוסיפים רשומה חדשה בקצה המחסנית. ההוספה היא תמיד בקצה, ממש כמו שההסרה היא תמיד מהקצה.

אגב, יש גבול למחסניות שהזכרון האנושי מסוגל לנהל באופן אינטואיטיבי; דוגמא אפשר למצוא בתגובה 37497.
הסתבכתם, חבר'ה 427090
אגב, ב''גדל, אשר, באך'' יש ''דיאלוג'' אחד בין הצב ואכילס שהוא המחשה נהדרת לרעיון הזה.
שמות בתעתיק לועזי 427026
אכן כן.
שמות בתעתיק לועזי 427114
נכון. LIFO זה גם כמו ברשימת פיטורים של מפעל הסתדרותי.
FIFO לעומתו הוא כמו המתקן הזה של גלילי נייר טואלט (או של קופסאות סיגריות בקיוסקים) שמכניסים מלמעלה ומוציאים מלמטה.
שמות בתעתיק לועזי 427032
התבלבלתי במינוח, לא ברעיון. אפשר לחזור עוד שמונים פעמים, ולא תצמח מזה שום תועלת. (ותודה-סליחה על התיקון. איזו פאדיחה...)
שמות בתעתיק לועזי 427065
זה היה בצחוק. ברור לי שאתה יודע על מה אתה מדבר.
שמות בתעתיק לועזי 427121
ה-LIFO הזה זה גם שיטת פיטורי-הקיצוצים בימינו...
LIFO, כמוב... כמתוקן 427033
אופס

חזרה לעמוד הראשי פרסום תגובה למאמר

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים