בתשובה לאלון עמית, 23/06/05 22:47
בשם הבורים 311327
אתה יכול לתת דוגמא נוספת, חוץ ממסלולים של חלליות (אינני יודעת עליהם מספיק) לחישוב "בחיים הממשיים" ש*מתחיל* ממספרים אי רציונליים?
אתה עדיין סבור ש*אין* הבדל מהותי חישובי ו/או הכרתי בין הרציונליים לאי רציונליים?

"כמו שאמרתי, אולי כן, ואולי לא." או.קיי.: אני אמרתי "אם". למעשה, הרבה קודם, בפתיל, אמרת משהו בסגנון "נניח שכן, אז...". אז בהנחה שכן, אני ממשיכה את המשפט.

כאוס הוא ההיפך מסדר, ולא הייתי אמורה להכניס אותו הנה (כי כדי להסביר למה כוונתי כאן צריך להיכנס לסיפור האונטולוגי, שזה ממש דיון מסוג אחר). "פרמטרים רציונליים" הם, פחות או יותר, קני המידה שלנו לרציונליות.

ו"אנחנו" מדברים פה על דמיון, מקרי או לא מקרי (אינני יודעת) בין:
1. הטענה שיש, וסביר שגם יהיו תמיד, יותר דברים שאינם ידועים לנו מאלה הידועים לנו - כלומר, יותר דברים שטרם "התיישבו" בתוך המערכת הרציונלית שלנו מדברים שעדיין לא מרושתים בה.
ובין:
2. העובדה שיש יותר מספרים אי רציונליים ממספרים רציונליים - כאשר המספרים האי-רציונליים, ברובם המוחלט, סביר שיישארו הרבה פחות נגישים לנו (או כלל לא נגישים לנו) מבחינה הכרתית, מאלה הרציונליים.
בשם הבורים 311333
אני לא מבין משהו. ממה שהבנתי, כל המספרים הניתנים לחישוב הם בני מנייה, ולכן לא נכון לומר שיש יותר אי רציונליים *שאיתם אנחנו מסוגלים לעבוד* מאשר רציונליים (מבחינת עוצמות, יש בדיוק אותו מספר). יש הרבה יותר אי רציונליים מהסוג שאותו אנחנו לא מסוגלים לחשב, אבל אף אחד לא מופתע שאנחנו לא מתחילים חישוב ממנו, נכון?
בשם הבורים 311346
איפה אמרתי (אם אתה טוען שאמרתי) שיש יותר אי-רציונליים שאתם אנחנו מסוגלים לעבוד מאשר רציונליים כאלה?
למיטב הבנתי, אלון טען שאין הבדל חישובי/הכרתי מהותי בין הרציונליים לאי רציונליים. אם הוא מגביל את זה (לא ראיתי את ההגבלה) לאי-רציונליים שניתנים לחישוב, אז או.קיי. יש באמת אותה עוצמה כמו של הרציונליים. ועדיין, משום מה, לא ראיתי בינתיים דוגמא של חישוב ממשי אחד (למעט, אולי, מסלולי חלליות) שמתחילים אותו ממספרים אי רציונליים. למה זה?
בשם הבורים 311352
אני זוכר במעורפל משהו עם ספריה וספרים בסינית ויפנית, ואיכשהו קיבלתי את הרושם שהבעיה הייתה שיש *יותר* אי רציונליים מרציונליים.

אגב, אני, אולי בניגוד לאלון, בכלל לא בטוח שיש חישוב (נומרי) כלשהו בעולם שמשתמש במספרים אי רציונליים, מהסיבה הפשוטה שכל המספרים שהמחשב יכול להכיל הם בעלי מספר סופי של ספרות, ולכן הם בהכרח רציונליים.

אני לא בטוח מה הכוונה ב"חישוב ממשי". אפשר דוגמאות של מה לדעתך צריך "לחשב" (חוץ ממסלולים של חלליות)? בשביל עודף במכולת די ברור שלא צריך אי רציונליים.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311369
סרגל החישוב‏1 שהיה לי פעם היה מתעסק עם אירציונליים בחדוה רבה. למעשה אני יכול להכריז בוודאות גמורה שכל המספרים שהוא עבד איתם היו כאלה, ורק אני הייתי מתרגם אותם למשהו רציונלי בסוף התהליך בגלל מגבלות טכניות.
______________
1- מחשב אנלוגי עממי שהיה נפוץ בתקופת הדינוזאורים
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311373
אחד הסממנים הבולטים של הדינוזאורים היו, אכן, אי-רציונליות מחושבת היטב.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311416
אתה לא זה ששכנע אותי בדיון על זנון שהעולם דיסקרטי? בעולם דיסקרטי, אין מקום למספרים אי רציונליים על סרגלי חישוב, דומני.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311447
חס וחלילה לי מלטעון טענה משונה כזאת. כל מה שתרמתי בדיון ההוא היה לענות על הערה קטנה שלך לאריק, בה אמרת שאתה לא רואה איך בעולם דיסקרטי הבעיה נפתרת. את זה ניסיתי להסביר, בלי לטעון שום דבר לגבי הרישא.

מלבד זאת, גם בעולם דיסקרטי אני לא רואה סיבה שאחת השנתות של הסרגל נופלת בדיוק על פיי או על e. מישהו קבע שאסור ל"אטום חלל" (ואני *לא* אומר שקיים דבר כזה) להיות על גבול אירציונלי?

לסיכום: שוב שופכים את דמי. אין לי שום עמדה בשאלה אם המרחב דיסקרטי או רציף, ואני אפילו מסרב לנחש את התשובה (לא רוצה להסתכסך עם איינשטיין ולא עם וויטן).
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311475
אם אטום חלל נופל בדיוק על e, זה אומר שקיים מספר שלם של אטומי חלל בין e ובין ראשית הצירים. למספר הזה נקרא x. עכשיו, נספור כמה אטומי חלל לוקחים עד שמגיעים ל-‏1 (אני מניח כי אטום חלל נופל בדיוק על e) ולמספר הזה נקרא y. עכשיו, x/y זה בדיוק e, ומצד שני גם x וגם y הם מספרים שלמים. קיבלנו ש-e רציונלי.

(אגב, הניסוח המקורי של הבעייתיות שבמספרים אי רציונליים היה בדיוק זה - היוונים שמו לב לכך שיש שני אורכים שאין להם מידה משותפת, כלומר אורך כלשהו ששני האורכים הם כפולות שלו)
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311556
מנין לך שיש מספר שלם של אטומי חלל בין הראשית ל 1? אם יש כזה, ממילא הוכחת שהקוטר‏1 שלהם רציונלי בלי צורך בכל האריתמטיקה שעשית.

(אזהרה: אם המתמטיקה שלי דפוקה, אני מתכוון לשלוף בסוף את האס מהשרוול: מי אמר בכלל שכל אטומי החלל הם באותו גודל?)
__________
1- או האורך, או מה שלא יהיה שם.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311558
אם אין מספר שלם של אטומי חלל בין הראשית ל-‏1 או אם אטומי החלל לא באותו גודל, ניצחת אותי, אבל תצטרך לספק הסבר איך מצליחים לבנות סרגל מדוייק תחת ההנחות הללו.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311562
לא הבנתי את הבעיה. אני לוקח 300^10 אטומי חלל, נניח כרגע שהם זהים, שם אותם בשורה, ובמקום אליו הגיע האחרון שבהם אני חורץ חריץ קטן, ורושם לידו "1". אני חוזר על זה מאותו חריץ הלאה והלאה ומקבל את הסרגל המבוקש.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311569
זה רק אני או שעשית כרגע בדיוק את מה שאמרתי ש*אי* אפשר לעשות: גם הנחת שכל האטומים זהים בגודלם, וגם הנחת שיש מספר שלם של אטומי חלל בין הראשית ל-‏1?

מילא. נניח שעשית את זה. עכשיו, איך אתה מסמן את e (בדיוק! לא בערך) על הסרגל שלך?
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311575
מוחקים את ה-"1" שסימן השכ"ג וכותבים במקומו e.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311580
נהדר. ועכשיו, איך תסמן "1" על הסרגל הזה?
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311590
לא תסמן עליו "1". יש סרגל של E ויש סרגל של 1.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311592
אז שני הסרגלים הללו איזומורפיים, ושניהם מתעסקים במספרים רציונליים, רק שאחד מעמיד פנים שהוא לא על ידי זה שהוא קורא ל-"1" בשם "e".

אם תרצה לדקדק, הרי שסרגל החישוב (זה שאני מכיר, שכופל ומחלק), במקום שיעבוד עם מספרים רציונליים, יעבוד עם כפולות רציונליות של e. מכיוון שעם סרגל החישוב של e לא יהיה לך מושג מה הערך של e, זה לא ממש משנה.

מה שכן, הבנתי שיש סרגלי חישוב שאפשר לחשב בהם לוגריתמים (לא שאני יודע איך עושים את זה). מכיוון שהלוגריתם הטבעי של e הוא 1, נראה לי שכן צריך להיות מסוגלים לסמן 1 על הסרגל (וממילא שני הסרגלים שהוצעו לא איזומורפיים לפעולת הלוגריתם, כי הלוגריתם של 1 הוא 0).
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311900
השאלה היא אם בסרגל החישובי מחשבים דווקא לוגריתמים ''טבעיים''.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311959
בזכות נוסחת המעבר בין הבסיסים, אני לא בטוח שזה משנה.

(אגב, נראה לי שהמרכאות מיותרות - הלוגריתם ה''טבעי'' הוא באמת טבעי).
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311979
כשנפגוש חייזרים אינטליגנטיים באמת, בטח יתברר שיש להם e אצבעות בכל יד.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311983
e אפשי.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 312003
סליחה, מה זה? (את זה שזאת בדיחה הבנתי, אבל מה הפירוש המילולי המדוייק?)
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 312004
e=אי
אי אפשי (בארמית) = אין רצוני, איני רוצה
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 312013
הה, אם כך למדתי משהו. חשבתי שזה ''אי אפשר'' בארמית.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 312015
תודה. (התבלבלתי דווקא משום שלמדתי את הפירוש הנכון, בניגוד למה שהשוטה חשב)
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311987
חוששתני שאז יתגלעו בינינו e הבנות.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311990
כמה e רציונלי מצידם.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311989
"הלוגריתם ה"טבעי" הוא באמת טבעי"? כלומר?
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 312147
הדוגמה הטובה ביותר שאני מכיר היא זו של הנגזרת: הנגזרת של הלוגריתם על פי הבסיס הטבעי (כלומר של lnx) היא אחד חלקי x. בכל בסיס אחר, הנגזרת הזו תוכפל בקבוע כלשהו. יתר על כן, הקבוע הוא בדיוק אחד חלקי הלוגריתם הטבעי של הבסיס האחר.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 312154
נו כן, ל-e יש כמה וכמה תכונות מופלאות, אבל לא הייתי אומרת שזה הופך את הלוגריתם לפיה לטבעי. (אבל עזוב, זה סמנטיקה...):)
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311724
אני כתבתי 1? למה שאכתוב 1? נשבע לך שכתבתי e ורק השדים האינטרנטיים שינו את זה.

(טוב, יכול להיות שבזמן שכתבתי חשבתי על כך שבטח ישנו את יחידות האורך כך שאורכו של אטום החלל יהיה בדיוק 1 אלכסנדרוביץ' - אל תשאל אותי למה יבחרו דוקא את השם המשונה הזה - ואנחנו חוזרים לסרגל עם מס' רציונליים, כמו שאתה אוהב)
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311738
אז אני אשאל את אותה שאלה ששאלתי כבר בהמשך הפתיל: אם סימנת e על הסרגל הזה, איך אתה מסמן עליו את 1? ואם אתה לא מסמן עליו את 1, מה בעצם עשית?
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311741
אתה מסמן עליו "~1" שפירושו: המספר הכי קרוב ל 1 שאני מסוגל לסמן על הסרגל הזה. מה לעשות? אם יש לי עליו סקלה אי-רציונלית אני לא יכול לסמן עליה 1. מה שלא פחות חמור אפילו את פיי אני לא יכול לסמן שם (יש בטח הוכחה שהיחס בין פיי ואי אינו רציונלי).

אבל אתה צודק, כל העסק לחלוטין לא רציונלי. בעולם דיסקרטי ניאלץ להסתפק בקירובים עבור מס' אי רציונליים אם אנחנו רוצים לסמן אותם במרחב, שכן ההתאמה היפה בין הממשיים לקו ישר אינה ניתנת להעתקה טובה על "קוים" פיזיקליים דיסקרטיים. מעשית זה לא ישנה כלום, כמובן, שכן אנחנו מדברים על גדלים קטנים מאד.
הצעה לפתרון 311644
לא נראה לי שיש ממש בעיה. אנחנו אמנם "צועדים" מספר אטומי חלל שלמים בין ראשית הצירים לבין e, אבל *המיקום* של כל אטום חלל נתון לעקרון אי-הודאות. משום כך, עלינו להגדיר את המיקום שלו בצורה אחרת - כזו שתביא לידי חשבון את ריכוז פונקציית הגל שלו. לדוגמה - מרכז האזור הרציף בו ערך האינטגרל על ריבוע פונקציית הגל (בקיצור - הסיכוי למצוא אותו שם) הוא 20^1-10. בקלות נגלה שקיבלנו מספר אי רציונלי בתור המיקום של אטום החלל, ויש לנו סרגל אי רציונלי (ומציאות דיסקרטית אבל בעלת גדלים אי רציונלים).
בשם הבורים 311372
בספרייה היו, אכן, הרבה יותר אי רציונליים מרציונליים. כפי שאמרתי לך, לא ראיתי בשום מקום שאלון הגביל את ''שוויון ההזדמנויות'' שלו בין הרציונליים לאי-רציונליים רק לאותם אי רציונליים שניתנים לחישוב.
צריך לחשב גדלים של חללים, כמויות של חומרים, אורכים של כבישים... הרבה מאוד דברים, נראה לי.
בשם הבורים 311417
טוב, כל החישובים הללו הם של גדלים שמקורם בנתונים אמפיריים (ממדי החלל, הכמויות הראשוניות של החומרים, אורכים של מקטעים שונים בכביש), ומכיוון שאנחנו לא מודדים גדלים אי רציונליים, מן הסתם לא נתחיל עם מספרים אי רציונליים.

מצד שני, אלון דיבר על חישוב של טרנספורם פורייה וכדומה, שבהחלט משתמש במספרים אי רציונליים בתור נקודת מוצא אנליטית. אני לא מבין גדול בתחום ולא יודע מה השימושים של טרנספורם פורייה, אבל שמעתי שמועה שהוא נפוץ בתחומים זניחים כמו הנדסת חשמל, למשל.
בשם הבורים 311449
וכנראה גם בתחומים זניחים לא פחות של השמיעה, מה שאומר שאפילו החתול שלי יודע לעשות חישובים כאלה!
בשם הבורים 311868
נאה. אבל כיוון שגם חישובי טרספורם פוריה (יהיה אשר יהיה) מחושבים, כפי הנראה לצרכים אמפיריים, הרי שמספרים הרלוונטיים לא יופיעו בו כמספרים אי-רציונליים - אלא כקירובים רציונליים שלהם.
בשם הבורים 311886
בחישוב טרנספורם פורייה, עד כמה שאני למדתי, מופיע לעתים קרובות פאי בתור קבוע נירמול, לא בתור חלק מנתוני הפונקציה שאת הטרנספורם שלה מחשבים. לכן החישוב הבסיסי כבר מסתמך על פאי.
בשם הבורים 311888
מה זה "קבוע נירמול"?
בשם הבורים 311891
זה טיפה טכני ואני לא בקיא לחלוטין בפרטים. הרעיון הבסיסי בטרנספורם פורייה הוא לייצג פונקציה באמצעות פונקציות "בסיסיות" - כאלו שמהוות מה שמכונה בסיס אורתונורמלי. בשביל זה צריך שהנורמה (האורך) של הפונקציות הללו (שהן איברים במרחב וקטורי) תהיה 1. לכן כופלים אותן בקבוע שמבטיח את האורך הזה.

נראה לי שכאן העניין מוסבר יותר טוב משאני יכול להסביר:

בשם הבורים 311382
חישוב *נומרי*? לא, זה לא בניגוד אלי.
בשם הבורים 311349
את עדיין סבורה ש*יש* הבדל מהותי חישובי ו/או הכרתי בין הרציונליים לאי רציונליים? חשבתי הסכמנו כבר שראוי להחליף "רציונליים" ב"ניתנים לחישוב", או "ניתנים להגדרה", או משהו.

אין שום דבר מיוחד בחישוב מסלול של חלליות; כל דבר ב"חיים הממשיים" המצריך שימוש במודלים מתמטיים (ויש כאלה פה ושם, את יודעת), סביר שיהיו בו חישובים ה"מתחילים" ממספר אי-רציונלי. אם הסכמת איתי שאין בשורש שתיים, או בפאי, שום דבר יותר בלתי-נגיש מאשר ב-‏65/536, אז למה זה נשמע לך כל כך לא סביר?

אשר לדמיון שאת מציגה - עשינו את כל הסיבוב הארוך הזה וחזרנו לנקודת-ההתחלה: לא, אני לא רואה כל דמיון בין הטענות, לא לא-מקרי ואפילו לא מקרי. את טענה 1 אני, כאמור, לא ממש מקבל; טענה 2 היא טריוויאלית, ונדמה לי שאת קוראת בה יותר ממה שיש בה באמת.
בשם הבורים 311354
אלון, הרציונליות של מספר תלויה הרי רק בספרות שאחרי המליארד הראשונות, וחישובים (מכל סוג שהוא) מתחילים במספרים שיש להם מליארד ספרות עשרוניות ותו לא. על מה הדיון הזה, בעצם?
בשם הבורים 311362
ברור. אבל אם אני מבקש מ-Maple לעשות עבורי איזה טרנספורם פורייה, יש סיכוי לא קטן שאשים שם ממש ממש בהתחלה איזה פאי - פאי-פאי, לא את הרישא של הפיתוח העשרוני שלו - והתוכנה תמשיך לחשב איתו כפאי, סימבולית. אתה יודע, תחלק אותו בשניים, יצא פאי-חצי, תיקח סינוס, יצא *בול* אחד, כאלה דברים.

על מה הדיון, נדמה לי: יש כאן טענה שבני-אדם מסוגלים "להכיר" רק מספרים רציונליים, ואם הם נגררים להשתמש באי-רציונליים זה רק בגלל שהחישוב הכריח אותם, לא כי הם רצו להתחיל ככה. ואח"כ יש טענה שזה קשור (באופן מקרי או לא מקרי) למוגבלות הידע האנושי.
בשם הבורים 311368
לא, לא הסכמנו. לפי מה חשבת?
"כל דבר ב"חיים הממשיים" המצריך שימוש במודלים מתמטיים (ויש כאלה פה ושם, את יודעת), סביר שיהיו בו חישובים ה"מתחילים" ממספר אי-רציונלי." למשל? איזה?
לא נשמע לי מאוד סביר "להתחיל" משורש 2. לא ידוע לי על בנייה שמתחילים אותה מהאלכסון.
אשר לדמיון - כל אחד רואה דמיון בדברים אחרים. זה לא דבר מאוד מדעי. רק לא ברור לי מה, לדעתך, אני קוראת בטענה 2 מעבר למה שיש בה.
בשם הבורים 311379
כל פעם שמהנדס משתמש בטרנספורם-פורייה - וזה קורה בערך מיליון פעמים ביום, נניח כשבונים רכיב לעיבוד-אותות שיושב לך במערכת הסטריאו - החישוב שלו מתחיל עם פאי. ככה זה.

כשלוקחים לוגריתם טבעי - נניח, כשעושים חישוב כלכלי מקורב עם ריבית-דריבית - יש שם e. על ההתחלה.

כשארכיטקט מתכנן מלבן יפה, הוא לעיתים ישתמש בשורש חמש *ממש* מההתחלה, כצלע במלבן, לא כשהוא יחשב איזה אלכסון.

כשמנתחים מעגל חשמלי שיש בו סליל או קבל, משתמשים ב-i (ההוא שהריבוע שלו מינוס אחת); מספר שהוא לא רק אי-רציונלי, הוא אפילו לא ממשי. זה קורה ממש ב"חיים הממשיים" (אלא אם חיים של מהנדס הם בעיניך לא חיים).

עוד דוגמאות?

אני לא בדיוק יודע מה את קוראת בטענה 2, אבל הקישור שלה לטענה 1 חורג ממידותיה.
בשם הבורים 311418
מה הצרה כאן? שהקבועים שאתה מדבר עליהם כאן הם פחות או יותר יחידת העילית של המספרים האי רציונליים. החוכמה היא שתביא דוגמה לשימוש יומיומי בחבר'ה שלא מככבים בנוסחת אוילר או פיבונאצ'י. למשל: מתי שווה לי להתחיל חישוב עם שורש עשרים ושלוש במקום עם 4.8?
בשם הבורים 311423
למה זו "צרה", ולמה זו "החוכמה"? איפה השופט, אני צריך לדבר איתו.

חוץ מזה, "פאי" זה לא רק פאי, אלא גם כל כפולותיו הרציונליות (כשם שמישהו בוחר את 17/73 במקום את 1, הוא יכול לבחור את פאי כפול 17/73 במקום את פאי). למה חשוב למצוא עוד כאלה? בכל אופן, הרבה חישובים (אפילו כאלה שיצא לי לעשות) מתחילים מסינוס 36, לן 2, איזשהו ערך של פונקציית בסל, והערך של פונקציית האנטרופיה ב-‏1/3. באמת צריך עוד?
בשם הבורים 311424
מהי פונקציית האנטרופיה?
בשם הבורים 311432
-p*log(p)-(1-p)*log(1-p)
log לפי בסיס 2.
בשם הבורים 311434
תודה, אבל לא התכוונתי לפונקצייה אלא למשמעות. האם מדובר בקצב שלה?
בשם הבורים 311519
זו פונקציה בסיסית בתורת-האינפורמציה. יש לה כל מיני משמעויות - למשל, הקצב בו ניתן להעביר מידע בערוץ רועש.
בשם הבורים 311425
סינוס 36? למה דווקא 36? (רדיאנים או מעלות?)

למרבה המזל אין כאן שופט, אבל אולי דווקא בגלל זה כדאי לנסות להימנע מחוקים נוקשים. אני חשבתי שהדיון הזה סובב סביב הטענה שבאופן כללי, מספרים אי רציונליים נפוצים פחות בשימוש אצלנו מאשר מספרים רציונליים, ושהמדד הוא לא מספר הפעמים שבהם משתמשים במספר מסויים, אלא מספר המספרים השונים שמשתמשים בהם. מצד שני, אני פחות או יותר בצד שלך בדיון הזה, ואני לא בטוח שהבנתי בעצמי מה בדיוק רוצים כאן.
בשם הבורים 311511
"נפוצים פחות בשימוש" - נו, על זה לא ממש כדאי להתווכח, לא? הטענה היתה, באיזשהו שלב: "*כל* חישוב של *כל* אחד לגבי *כל* עניין בחיים הממשיים מתחיל, כפי שאמרנו, ממספרים רציונליים - שהם מיעוט זניח מתוך הממשיים? (כלומר, *שום* חישוב כזה אינו מתחיל דווקא מאי-רציונליים)". ניסיתי לשכנע שזה לא ממש המצב. נראה שנכשלתי.

למה 36? לא שיחקת אף-פעם בחצים ועפיפונים? (חוץ מכמה התחלקויות, פנרוז הזה דווקא בחור נבון).
בשם הבורים 311542
האם מהשורה האחרונה אני צריך להסיק שאתה חושב שאני מכיר מתמטיקה (או לחילופין, חצים ועפיפונים, או את פנרוז)? תודה, אני חושב שאני מוחמא.

(אין לי מושג על מה אתה מדבר שם).
בשם הבורים 311548
...וגוגל מת? ויקיפדיה נשרפה? מרטין גרדנר נשכח מלב?

תהיה נחמד, קנה את הספר האחרון וקרא אותו. איפה אתה חושב ללמוד מתמטיקה, באוניברסיטה?
בשם הבורים 311513
"חוץ מזה, "פאי" זה לא רק פאי, אלא גם כל כפולותיו הרציונליות".
העניין הוא שכפולותיו הרציונליות, אם אינני טועה, הן רציונליות, לא?
בשם הבורים 311516
אופס, מחק נא.
בשם הבורים 311383
אה, למה חשבתי שהסכמנו: כי כתבת פעם "חוץ מכמה יוצאי-דופן בודדים אי-רציונליים", או משהו כזה. אז חשבתי לתומי שהסכמנו. ציינתי גם אח"כ שיוצאי-הדופן הללו הם לא כל כך בודדים.

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים