בתשובה לעוזי ו., 14/05/03 22:20
דוגמא 146482
האם באומרך ש"מתמטיקאים הוכיחו בשנים האחרונות ... את השערת פואנקרה" אתה מתכוון לומר שיש הוכחה מתמטית לכך שאם זה עושה גע גע זה ברווז?
פחות או יותר 146859
אני מדבר כמובן על ההשערה המקורית של פואנקרה (המיון השלם של עושי-גע-גע נשאר בלתי פתור, לעת עתה).
פואנקרה שיער שכל יריעה תלת-ממדית‏1 פשוטת-קשר‏2 היא הומיאומורפית‏3 לכדור‏4.

1 מרחב טופולוגי‏5 שבסביבה קרובה של כל נקודה בו הוא נראה כמו המרחב התלת-ממדי שלנו.
2 כל מעגל סגור אפשר לכווץ בהדרגה לנקודה, בלי לצאת מהמרחב.
3 דומה מבחינה טופולוגית; אפשר לעבור מהצורה הראשונה לשניה על-ידי עיוות, בלי "לקרוע" כלום.
4 מהמימד הנכון: השפה של כדור היחידה במרחב הארבעה-ממדי.
5 מרחב שבו אפשר להגדיר התכנסות של סדרה (כלומר: לקבוע מתי סדרת נקודות מתקרבת עד-מאד לנקודה נתונה).
פחות או יותר 146863
2 ובנוסף, אפשר לכווץ בלונים‏6 לנקודה בלי לצאת מהמרחב.
6 לא באמת בלונים; שפות דו-ממדיות של כדורים.
עיקר שכחתי 147049
היריעה - קומפקטית.
בקשר ל- ‏1 ו- ‏5 147785
אני כנראה מתפלפל, אבל אולי תוכל לעשות לי סדר במושגים.

אם זכרונותי המעומעמים מהקורס בטופולוגיה הם נכונים, אזי במרחב טופולוגי לא תמיד קיים מושג ההתכנסות - צריך מטריקה בשביל זה (כל מרחב מטרי הוא גם מרחב טופולוגי, אבל לא ההיפך).

אז האם בהגדרה של יריעה (manifold?) ב- ‏1 התכוונת לומר "מרחב מטרי", או שב- ‏5 יש הגדרה לא כל כך מדוייקת של מרחב טופולוגי?
בקשר ל- ‏1 ו- ‏5 147789
בהיותי מודע (באופן חלקי בלבד, כפי שאפשר לראות) למגבלות המדיום, לא ניסיתי לתת הגדרה מלאה של מרחב טופולוגי, אלא לרמוז לתכונה המשמעותית ביותר שלו.

אפשר להגדיר התכנסות בכל מרחב טופולוגי (סדרה x_n מתכנסת לנקודה x אם כל סביבה פתוחה סביב x מכילה כמעט את כל אברי הסדרה). נכון שלא תמיד הגבול (אפילו אם קיים) הוא יחיד, אבל גם לזה יש עצה: לדרוש מהמרחב שיקיים תכונות הפרדה (כגון תכונת האוסדורף).

יריעה (סתם) היא מרחב טופולוגי (ללא מטריקה), ובאלה עוסקת השערת פואנקרה. אפשר לעבור ליריעות-רימן מטריות, אבל זו כבר אופרה אחרת.
בקשר ל- ‏1 ו- ‏5 147796
תודה!

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים