בתשובה לאלון עמית, 19/07/04 12:27
עוד דוגמא 234419
אם אני זוכר נכון, בספר ''משפטי גדל ובעיות היסוד של המתמטיקה'' של האוניברסיטה המשודרת הכותב מתאר את חידת השורש שתיים בתור דוגמא למשהו עם פתרון לא קונסטרקטיבי, ומוסיף בסוף הערה שלפיה ניתן להוכיח קונסטרקטיבית ששורש שתיים בחזקת שורש שתיים אי רציונלי. משום מה הוא לא מצרף את ההוכחה.
עוד דוגמא 234421
מעניין. לא חשבתי על זה, אני אנסה עכשיו יותר ברצינות.
עוד דוגמא 234440
גדי זוכר נכון. אולי כדאי שתדע, לפני שאתה מנסה יותר ברצינות, שבספר המדובר כתוב "ידוע כי שורש שתיים בחזקת שורש שתיים אינו מספר רציונלי, ההוכחה לכך קשה לאין שיעור."

בהצלחה, בכל מקרה :)
עוד דוגמא 234475
אז כמו שראית, "לנסות ברצינות" יכול פשוט להיגמר בזה שאתה נזכר בתותח הנכון :-) אגב, משפט גלפונד-שניידר רחוק מלהיות טריוויאלי, אבל לא הייתי אומר שהוכחתו קשה "לאין שיעור". יש לי מועמדים אחרים לתואר הזה.
עוד דוגמא 234745
הספר שגדי ציטט ממנו הוא מ''האוניברסיטה המשודרת'', כלומר הוא אוסף הרצאות (ועוד לקהל הרחב, ובלי לוח). ''קשה לאין שיעור'' הוא קיצור ל''קשה מספיק כדי שלא אוכל לבזבז עליו שיעור''.

(כשהייתי בתיכון גיליתי יום אחד את קסמי המשפט ''לשמחתי לא היה שיעור'').
עוד דוגמא 234790
משפט מקסים!
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234441
ליצן שכמוני. משום מה היה נדמה לי שמשפט גלפונד-שניידר לא עוזר פה, והוא כן. אם a אלגברי שאיננו 0 או 1 (למשל, שורש שתיים), ואם b הוא אלגברי ואי-רציונלי (למשל, שורש שתיים), אז a^b טרנסצנדנטי (ובפרט, אי רציונלי). זה משפט חשוב ומסובך למדי; אם אינני טועה, יש הוכחה שלמה שלו בנספח של הספר Algebra של Lang.
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234448
סקר בלתי מחייב - מתי בפעם הראשונה נתקלת במשפט גלפונד-שניידר?
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234450
פעם עברתי לידו ברחוב, אבל הוא לא זיהה אותי. זה נחשב?

______
סתם כדי לאושש את טענותיו של השכ"ג.
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234473
אתה רציני? מה אתה סוקר? נדמה לי שנתקלתי בו בשנה א' של התואר השני.
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234492
אני מנסה לראות מתי בפעם הראשונה אני עלול להיתקל במשפט הזה שלא בצורה מכוונת. סקרנות של מי שתוהה מה בדיוק מצפה לו בהמשך.
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234494
הגלפונד ההוא זה אותו האחד של "ניימן", זה עם המפה על שמו?
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234570
אני לא מצליח לזהות את המושג או המשפט שאתה שואל לגביו. תוכל לפרט?
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234656
כרגיל אני מבלבל דברים, השם של החבר שלו הוא ניימרק, לא ניימן. המשפט הוא גלפ(ו)נד-ניימרק, שמספר לנו ש C-כוכב אלגברה קומוטטיבית הינה איזומטרית ואיזומורפית אלגברית למרחב הפונקציות הרציפות על אוסף האידיאלים המקסימליים של האלגברה.
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234667
חשדתי שכך הוא... :-) לא, שותפו של ניימרק הוא ישראל גלפנד (Gelfand), שהיה למיטב ידיעתי מתמטיקאי פורה הרבה יותר מ-Gelfond.
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234744
אני חושב שהמילה "אוסף" קצת מקלקלת את השלמות הפואטית של הדבר הזה, שהמשפט מספר לנו (ולמרות זאת, מדובר ביצירת מופת). יש מצב להחליף ב"חבורה"?
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234817
שיפור נוסף היה מתקבל מהחלפת "אידיאלים מקסימליים" ב"אידיאלים מקסימים‏1". ואנשים עוד מעיזים להתלונן שאין כאן רומנטיקה.
___________
1- שהם אידיאלים מקסימליים בלי האקסיומה של לי.
חוגים סגורים ואידאלים שמאליים 234820
או משהו כזה. בטח אלון מכיר את הסיפור על המרצה שהתפלא לראות טיפוסים מוזרים מגיעים לסמינר שלו.
חוגים סגורים ואידאלים שמאליים 234826
לא, אבל לא קשה לנחש... :-)
פריקים וראשונים 430461
נשלחתי לקנות ספר לימוד לאחד מילדי. במבט ראשון על הפתק הייתי בטוח שמדובר בספר על פער הדורות בחברה הקיבוצית.
פריקים וראשונים 430584
במבט שני היה שם "ראשוניים", או שזה באמת כתוב עם י' אחת?
מבט שני עם יעקב אחימאיר. 430734
במבט שני היה דגש בפ'.
מספרים מראשל''צ 430739
כן, את זה הבנתי... סתם תהיתי אם כתבו ''ראשונים'', כי זו טעות שכבר נתקלתי בה.
מספרים מראשל''צ 430740
בינתיים כבר איבדתי את הפתק. מכיון שאישתי כתבה אותו אני מניח שהיה כתוב ראשוניים.
מספרים מראשל''צ 430746
אה. חשבתי שזה שם הספר.
מספרים מראשל''צ 430751
הספר אזל ההוצאה ( טיפוסי למשרד החינוך לקבוע ספרי לימוד ואז לא לדאוג לכך שידפיסו אותם), אני רק נשלחתי לקנות אותו.
פריקים וראשונים 431294
למה פער דורות? פשוט ספר על אנשי העלייה השנייה, ברוח הבחנתו של יהונתן גפן ("סבא שלי היה ביטניק", או משהו בסגנון).
חוגים סגורים ואידאלים שמאליים 234865
ספר, ספר.
חוגים סגורים ואידאלים שמאליים 234867
נו, זהו, שהם ראו את הנושא של הסמינר, וחשבו שמדובר על הרצאה פוליטית-מהפכנית-אנרכיסטית.
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234476
"באייל הקורא" זאת תשובה מכובדת מספיק, או שאני צריך להמציא משהו?
אגב משפט, זה גלפונד-שניידר, או גלפונד נגד שניידר?
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234510
חס וחלילה, זה ירחיק לעד את מעט הבנות שעוד מגיבות באייל.
ולמי שמחפש עוד חידות, ישנה רשימה מסווגת לפי קושי באתר של אונ' פרינסטון: http://www.princeton.edu/~mathclub/puzzles.html
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234522
לפני 10 שניות, בהודעה של אלון עמית, מעליך.
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234564
הוכחה קונסטרקטיבית?
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234579
אני מנסה לפענח אם אתה מתבדח או לא. נכשלתי. בכל אופן, לא ברור לי שיש משמעות לשאלה אם הוכחה מסוג זה היא קונסטרוקטיבית.
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234582
אם כך אני כנראה לא מבין על מה מדובר בכלל. קורה‏1.
__________
1- לעתים קרובות מדי
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234585
הוכחה של משפט מהסוג מהסוג "קיים X" יכולה להיות קונסטרוקטיבית (הנה X) או לא (עושים שמיניות ומראים שיש כזה, אבל לא מראים מיהו).

משפט גלפונד-שניידר איננו מהסוג הזה, בדיוק; הוא אומר "לכל x, y עם תכונות מסויימות, ל-x^y יש תכונה אחרת". הוא לא "בונה" כלום; אתה מביא לו x ו-y כנדרש, והוא יבטיח לך שמשהו קורה. יתרה מזו, ה"משהו" שקורה גם הוא לא מהסוג של "קיים", אלא דווקא מהסוג של "לא קיים": x^y *לא* מקיים פולינום עם מקדמים רציונליים. אם המשפט היה אומר, נניח, "...אז x^y אלגברי", היית יכול לשאול אם הוא קונסטרוקטיבי במובן זה שהוא מספק מפורשות פולינום כזה.

כל זה הוא קצת סמנטי, כמו שציינו אחרים. אם אני זוכר נכון, אפשר להוכיח את המשפט גם ע"י "אם x^y אלגברי ו(עוד כל מיני תנאים), אז y רציונלי". פה כאילו אפשר שוב לשאול אם מראים "קונסטרוקטיבית" ש-y רציונלי; אני מניח שלא, אבל אני לא חושב שזה אומר הרבה על המשפט.
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234598
אם כך מה כל העניין הזה קשור לאותה הוכחה קונסטרקטיבית שמחפשים בפתיל הזה (ההיא שהיא אולי קשה ביותר כדברי יובל ואולי קשה אך לא ביותר כדבריך)? חשבתי שאולי הסיבה להבדל בקושי נעוצה בעניין הקונסטרקטיבי.

אבל עזוב, חבל על זמנך.
אכן אי רציונלי, ואף טרנסצנדנטי 234600
(למה חבל?) לא לא, הנקודה שיובל העלה היתה שאפשר להראות ש*יש* זוג מספרים מוזר שכזה‏1 מבלי להצביע עליו, ואני רק ציינתי שבעזרת משפט ג"ש אפשר *להצביע* על הזוג המוזר (שורש שתיים בחזקת שורש שתיים, שורש שתיים). לצורך כך, אופייה שלה ההוכחה של ג"ש לא רלוונטי: המשפט אומר, מפורשות, ששורש-שתיים בחזקת שורש-שתיים הוא אי-רציונלי.

1 שני אי-רציונליים כך שאחד בחזקת השני הוא רציונלי.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים