בתשובה להאייל (מתמטיקה!) האלמוני, 15/07/05 18:35
מינוס אחת 317118
לא, הפסוק C שהבאתי שקול לגמרי לעקביות המערכת. אם היא לא עקבית, היא מוכיחה (בקלות) את 0=1, לא צריך אלטרנטיבות.

"פונקציית הגרירה" היא לא יותר מיישום של אחת מבין משהו כמו תשע אלטרנטיבות למניפולציה פורמלית על מחרוזת. אין קושי רב לתרגם את המניפולציות הללו לנוסחאות. אתה רוצה לראות ממש איך זה נעשה?
מינוס אחת 317125
א. אה, נחמד!

ב. כן, אני אשמח מאוד! תודה!
מינוס אחד 317188
חשבתי שהבנתי שעקביות היא עקביות לגבי מקרה מסוים (לא מופיע 0=1)
לא הבנתי?
מינוס אחד 317189
אם מערכת היא לא עקבית לגבי משהו, היא לא עקבית לגבי הכל. כלומר, אם המערכת שלך מוכיחה 1=0 היא לא עקבית, ואם המערכת שלך לא עקבית היא מוכיחה 1=0. זו בדיוק הבעיה במערכת לא עקבית: אפשר להוכיח ממנה כל מה שרק תרצה.
מינוס אחד 317206
אם אני הבנתי נכון, לא מכל מערכת לא-עקבית אפשר להוכיח הכל - מערכת לא-עקבית היא כזו שיש בה משפט שאפשר להוכיח גם אותו וגם את היפוכו, אבל מכך לא נוגע שבמערכת הזאת אפשר להוכיח *כל* משפט והיפוכו.
מינוס אחד 317207
אם הבנתי נכון, מרגע שאפשר להוכיח במערכת דבר ואת היפוכו, אפשר להוכיח בה כל דבר. לרוע המזל, אני לא זוכר איך טכנית עושים את זה בדיוק, אז נצטרך לחכות לאלון או לאחד המתמטיקאים האחרים.
מינוס אחד 317210
זה תלוי במערכת המדויקת בה עובדים. במערכת עם כלל היסק אחד (מודוס פונס) מקובל להניח את האקסיומה

A->(~A->B)
לכל A ו-B.
אם הוכחת את A וגם את ~A שתי גזירות נותנות לך את B (לכל B שהוא).

במערכות עם הרבה כללי גזירה (ובלי אקסיומות) יש בדרך כלל את הכלל

A->B ' A->~B
----------------------
A

בשני המקרים, מדובר בעצם בהנחת המבוקש: מניחים שסתירה משמעה שאחת ההנחות שלך שגויה.
אפשר לא להוסיף את האקסיומה/ כלל גזירה הנ"ל ולקבל תורות לא טריויאליות עם סתירה. אני לא יודע אם זה מענין או למה זה טוב.
מינוס אחד 317229
אני אנסה לשכנע שזו תוצאה טבעית מהדרך בה אנו מבינים את מושג ה"נביעה" או "גרירה". אורי כבר הראה את זה בלשון פורמלית; אני אנסה להדגים את זה בשפה טבעית.

נבחן את הטענות הבאות.

1. אם מיץ-פטל הוא בת, אז (מיץ-פטל הוא בת או שאבוקדו זה טעים, או שניהם).

זו נראית כמו טענה משונה קצת, אבל אם חושבים עליה אין ספק שהיא נכונה: אם *מניחים* שמיץ הוא בת, ודאי שמתקיים שמיץ הוא בת או ש... (לא חשוב מה). את ה"או שניהם" הזה בסוף חשוב להגיד בשפה טבעית, אבל במתמטיקה זו הפרשנות הרגילה של המילה "או", אז מכאן ואילך נכתוב סתם "או".

2. אם (מיץ-פטל הוא בת או שאבוקדו זה טעים), ומיץ-פטל הוא לא בת, אז אבוקדו זה טעים.

זה גם ברור: הנחתי שלפחות אחד משני דברים מתקיים, ואז הנחתי שאחד מהם לא מתקיים, מה שלא מתיר ברירה לשני אלא להיות נכון.

עכשיו ניקח את שני אלה יחדיו. נשים לב שהמסקנה של 1 היא בדיוק ההנחה של 2:

1+2. אם (מיץ-פטל הוא בת וגם מיץ-פטל הוא לא בת), אז אבוקדו זה טעים.

כלומר, אם הגענו איכשהו למסקנה המופרכת שזה גם נכון וגם לא נכון שמיץ הוא בת, אפשר להסיק מסקנות מאוד מופרכות אחרות כמו שאבוקדו זה טעים(!). ובאופן כללי:

אם (A נכון וגם A לא נכון), אז B.

לכן, אם מערכת פורמלית מוכיחה ש-‏1=0 וגם ש=1<>0, אז היא מוכיחה כל משפט בשפה, בין אם נכון ובין אם לא נכון.
פינוס גחן 317700
האם יש "אופי" מסוים לתורה הנפרדת ש"נבנת" על משפט C- המשפט הגדלי לעקביות מערכת מסוימת?

אם אי אפשר להוכיח במערכת מסוימת משהו, אז היא עקבית לא? מש"ל לא?

אם מימד הזמן אריטמטי אז הקאווליה של גדל היא האוזניים של אלוהים לא? -סליחה

ותודה
פינוס גחן 317702
''אם אי אפשר להוכיח במערכת מסוימת משהו, אז היא עקבית'' - הבעיה היא שכל הוכחה לפיה בעיה אינה כריעה, מתבססת על ההנחה שהמערכת עקבית.
להמשיך ללכת -אין פה שום דבר לראות! 317734
כן כן ברור, זה בדיוק המשפט שאי אפשר להוכיח בתוך המערכת.
לרגע חשבתי שאמרתי משהו חכם. שלוש שניות של גאווה. אני אחזור לחור שלי עכשיו.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים