בתשובה לאלון עמית, 18/07/05 21:47
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317972
מה זה "חבורה חופשית"?
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317974
(הערך בויקי העברית מזעזע, לתשומת לב אלו שמבינים משהו).
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317979
תודה.:)
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317982
אני אנסה להציל את כבודי האבוד כמרצה-ברוחו שאוהב לתת תשובות עם תוכן.

"חבורה" - אוסף של דברים (לא חשוב מה; לרוב נקראים "איברים") שאפשר לכפול אותם ("כפל" זו מכונה שלוקחת שני איברים ומחזירה איבר); אחד האיברים מתנהג כמו "1" (כלומר, כשכופלים בו X כלשהו, יוצא X); ולכל אחד מהאיברים יש הופכי (כלומר לכל X יש איזשהו Y כך ש-XY הוא ה-"1" הזה).

חבורה חופשית היא חבורה שבנויה באופן הבא (בהגבלה קלה של הכלליות): לוקחים כמה אותיות, נניח שתיים (A ו-B); מוסיפים שתי אותיות שתהווינה הופכיות לשתי אלה (נניח a ו-b); ומגדירים חבורה שהאיברים שלה הן "מילים" באותיות האלה, כשאסור לאות להופיע ליד ההופכית שלה. ABabAA זה בסדר, BaA זה לא. הכפל מוגדר ע"י זה שרושמים את שתי המילים בזו אחר זו, ואז מצמצמים אם אפשר לצמצם: בכל פעם שרואים Aa או aA או Bb או bB, מעיפים את צמד האותיות הללו והמילה מתקצרת. למשל:

ABa * AbA = ABaAbA = ABbA = AA

(שתי המילים באמצע החישוב הזה הן רק תוצאות ביניים; הן לא מקיימות את האיסור על הופכיות צמודות כי עוד לא גמרנו לצמצם). אפשר לראות שמתקבלת חבורה: "1" זו המילה הריקה שאין בה בכלל אותיות, וההופכית של מילה מתקבלת ע"י זה שהופכים את סדר האותיות ומחליפים כל אות בהופכית שלה.

החבורה הזו נקראת "חופשית" כי האיברים שלה לא מקיימים שום "יחס" חוץ ממה שמתחייב מחוקי החבורה. 0=2+3-2-3, למשל, זה יחס לא טריוויאלי בחבורה של המספרים השלמים עם חיבור.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317988
תודה. הבנתי כבר את הרוב מהוויקיפדיה, רק לא מדוע החבורה נקראת ''חופשית''.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318021
היא חופשית מיחסים. בחבורות שאינן חופשיות יש יחסים שאומרים משהו על היוצרים של החבורה (למשל, ש- ababab=1).
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 318039
כן, תודה. התכוונתי שזה החלק שאלון השלים לי אחרי הוויקיפדיה...
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317993
אולי כדאי לציין שה''מכונה'' הזאת אינה בהכרח מכונת טיורינג.
איך לא הבנתי את זה בעצמי? 317995
חשבתי (באיחור) ש''מכונה'' היא אכן ביטוי לא מוצלח כאן.

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים