בתשובה לעוזי ו., 27/07/05 0:05
בעד הפלטוניזם 320028
על אלה טענות אתה מסכים ש*יש* להן ערך אמת?
ואם ללכת לקבוצות של מספרים וכיו"ב - מדוע לא ללכת למספרים שלמים/רציונליים/ממשיים והלאה?
בעד הפלטוניזם 320042
אפשר לסווג את הטענות לארבעה סוגים.
א. אלו שאפשר להוכיח או להפריך במסגרת המערכת האקסיומטית שבחרנו (סטיקר: "אני בוחר ב- ZFC! מאה אלף מתמטיקאים לא טועים")
ב. אלו שמבחינה פורמלית הן בלתי כריעות (שזה בדיוק אומר שהן לא שייכות לסוג הראשון), אבל מסיבה פסיכולוגית כלשהי אנחנו מעדיפים להמציא להן ערך אמת, ואולי אפילו להוסיף אותן למערכת האקסיומות.
ג. בסוג השלישי אפשר לאסוף טענות לא כריעות שאנחנו לא מדביקים להן ערך אמת, והן נשארות בלתי כריעות גם במערכת האקסיומטית (זה עניין פורמלי), וגם 'מבחינה אונטולוגית' (שזה פסיכולוגיה, כאמור; לא באמת חשוב).
ד. הסוג האחרון - "טענות" שאי אפשר בכלל לנסח בשפה של ZFC ("חצילים הם לא טעימים"), ועבורן אין משמעות למושג 'ערך אמת'.

אגב, התגלית המרשימה של גדל (שאולי הלכה לאיבוד בסבך הדיון) היא שטענות כמו "ZFC היא מערכת אקסיומות עקבית" שייכות לאחד משלושת הסוגים הראשונים, ולא לסוג הרביעי. *אפשר* לנסח את ה"מטא-טענה" על עקביות של מערכת 'אריתמטית' (אפקטיבית) בתוך המערכת. המשפט השני של גדל מספר לנו ש(אם המערכת עקבית), אז הטענה הזו אינה שייכת לסוג הראשון - היא לא כריעה בתוך המערכת.

מבחינתי יש ערך אמת לטענות משני הסוגים הראשונים. זו התחמקות, כי הסוג השני לא מוגדר (לא פרשתי בפניכם את הפסיכולוגיה הפרטית שלי). בכל אופן אני מעדיף גישה אגנוסטית בעניין הזה: טענה שרוצה ערך אמת צריכה להתאמץ לשכנע שהיא באמת זקוקה לו.

הדוגמא היחידה שעולה בדעתי לטענות מהסוג השני: העקביות של ZFC. אני מאמין ש- ZFC מערכת עקבית, למרות שכאמור זו טענה ("על מספרים טבעיים") שאינה כריעה במערכת. למרבה התסכול, זה לא יעזור לזרוק לתוך המערכת את האקסיומה שאומרת "ZFC כריעה", ולקרוא לה ZFC+, בגלל שאז משפט גדל יאמר שהטענה "ZFC+ כריעה" אינה כריעה במסגרת ZFC+, ונצטרך לזרוק פנימה עוד ועוד אקסיומות.

אין בעצם הבדל בין מספרים שלמים או רציונליים לבין מספרים טבעיים. על מספרים ממשיים אפשר לחשוב כאילו הם קבוצות (מאד מיוחדות) של מספרים רציונליים. אפשר להפנות לאלון את השאלה הזו - האם הגישה הפלטונית מחייבת ערך אמת מוגדר היטב גם לטענות על מספרים ממשיים? אם לא, מה בתהליך הבניה שלהם הוא לא 'פלטוני'?

----

(שאלה טכנית ללוגיקאים: אפשר להגדיר ברקורסיה את המערכת {ZFC+^{n+1 בתור ZFC+^n יחד עם האקסיומה "ZFC+^n כריעה", כאשר ZFC+^0=ZFC. נסמן ב- ZFC* את איחוד המערכות הקודמות. האם היא עדיין אפקטיבית?)
בעד הפלטוניזם 320046
לשאלה אלי: אני מסיר מעצמי אחריות לגישה הפלטונית באופן כללי... אין לי מושג. הגישה הפרטית שלי מניחה ערך-אמת לטענות מסדר ראשון על ממשיים (מה שאומר שאני מייחס ערך-אמת גם לטענות על קבוצות של טבעיים), אבל לא לטענות על קבוצות של ממשיים (כמו גם על קבוצות של קבוצות של טבעיים). לא חשבתי על זה הרבה, אבל כך נראה לי. אגב, "תהליך הבנייה" של ממשיים הוא ודאי לא 'פלטוני' במובן הבסיסי: הוא מחייב שימוש במושג הלא-קונסטרוקטיבי "סדרה אינסופית שרירותית", או "חתך-דדקינד שרירותי".

__

אני לא לוגיקאי, אבל אני חושב שאני יכול לענות: כן, ודאי. אתה עדיין יכול לזהות אקסיומה, וכללי ההיסק שלך לא השתנו. למעשה, אפשר להמשיך את הבנייה שלך באינדוקציה טרנספיניטית הלאה (באופן ברור), ויש תוצאות על מה קורה שם. יש לי ספר אחר של טורקל פרנזן, "Inexhaustability", שמדבר בדיוק על הנושא הזה בפרקים האחרונים שלו - שטרם יצא לי להתעמק בהם. מומלץ, בכל אופן, עם אזהרה: הוא פלטוניסט בערך כמוני.
בעד הפלטוניזם 320054
לאור ההערה שלך על ההבדל בין "תת-קבוצות מסויימות" ל"תת-קבוצות שאפשר לבנות", אני ממליץ לך לבחור את התשובה הבאה: אתה מאמין בקיום מודל לממשיים שאפשר לבנות (למשל בהצגה העשרונית) אבל לא בהכרח בקיום מודל שמכיל את כל הממשיים.

____

(בעניין ZFC*: בהתחלה היה נדמה לי שפסוק גדל של ZFC* מיוחד במשהו, אבל עד שהגעתי לסוף כתיבת השאלה הבנתי את הבניה הטרנספיניטית. הבעיה היא שזה כל-כך מייגע להכריח את הסימנים המתמטיים להשאר במקום בזמן שממשיכים לכתוב, עד שהיה לי חבל למחוק את השאלה רק בגלל הסיבה הפרוזאית שאני יודע את התשובה).
בעד הפלטוניזם 320060
לא, דווקא אני נוטה להאמין בקלות ב"כל הממשיים". אלה הקונסטרוקטיביליים נראים לי משעממים מדי. לא ציינתי את ההערה על ההבדל בין קבוצות שאפשר לבנות לשאינן-כאלה כדי לומר שאני מאמין רק בראשונות, אלא רק כדי לענות על שאלתך: איך זה שיש מודל "טבעי" לטבעיים שאינו מכריע בשאלות מסדר שני, כמו השערת הרצף. טעמי האישי הוא שהרבה יותר נוח, סביר ומעניין לדבר על מספרים ממשיים שרירותיים וקבוצות שרירותיות של טבעיים - אלא שאז גם אני נאלץ (כנראה) לוותר על האוטופיה הפלטוניסטית שלי; חבל, אבל לא סוף העולם.
בעד הפלטוניזם 320048
1. איפה אתה מלמד, איזה קורסים, והאם אפשר לשמוע אותך כשומעת חופשית?
2. האם "מערכת כריעה" היא "מערכת עקבית"?
3. אני שמחה לשמוע שאתה מבדיל באופן ברור בין הרציונלים לאי-רציונלים.
4. מה מסמן ^ ואיפה הוא מופיע על לוח המקשים? (כאן העתקתי אותו מתגובתך).
בעד הפלטוניזם 320055
1. תודה (?). אני מלמד בבר-אילן, והתשובה לשאלה "אילו קורסים" היא - לשמחתי - שזה תלוי באיזו שנה. בשנה הבאה, למשל, אני מלמד קורס בתורת החוגים וקורס בתורת המספרים. לאוניברסיטה יש כללים בעניין שמיעה חופשית. השאר - ב email.

2. אין כזה דבר, "מערכת כריעה", אבל המושגים די קשורים.
"מערכת עקבית" היא מערכת שלא ניתן להוכיח בה בו זמנית משפט ושלילתו. הגדרות שקולות: מערכת שלא ניתן להוכיח בה משפט מהצורה "f וגם לא f"; וגם: מערכת שיש משפטים שלא ניתן להוכיח בה.
כשקובעים את המערכת, אפשר לדון בכריעות של *טענה* (מהסוג של "קיים מספר ראשוני גדול מ- 7"). אם אפשר להוכיח במסגרת המערכת (=לתת הוכחה פורמלית) את הטענה או את שלילתה, אז היא כריעה. אם אי אפשר לעשות את שני הדברים, אז הטענה לא כריעה.
העובדה שבמערכת T קיימת הוכחה לטענה f, שקולה לכך שהמערכת הופכת להיות לא עקבית אם זורקים פנימה את הטענה "לא f". מכאן שאם הטענה f אינה כריעה, אז אפשר לזרוק אותה למערכת ולקבל מערכת עקבית, ואפשר לזרוק את השלילה שלה פנימה וגם אז מתקבלת מערכת עקבית.

3. מבדיל זה לא אותו דבר כמו מעדיף.

4. את הסימן ^ תוכלי למצוא בדרך-כלל מעל לספרה 6 (בדיוק כמו ש- ! נמצא מעל לספרה 1). במעבד התמלילים LaTeX ("החטא ועונשו הוא סיפור על מישהו שרצח והתחרט"), הסימן ^ משמש להעלאת טקסט לשכבה העליונה של השורה; למשל x^2 אמור להראות כמו x בריבוע.
בעד הפלטוניזם 320094
1. חן חן. אשקול את תורת החוגים.
2. נו, אין זה חדש שהחוכמה איננה מסימניי.
3. אני מבדילה בין המושגים.:)
4. החטא ועונשו בהחלט הסביר את העניין.:)
בעד הפלטוניזם 320170
מה הקטע עם "החטא ועונשו" היה אמור להביע?
בעד הפלטוניזם 320174
לקרוא ל-LaTeX "מעבד תמלילים" זה בערך כמו לקרוא לחטא ועונשו "סיפור על מישהו שרצח והתחרט".
תשובה טכנית 320053
נראה שכן, אבל אז השאלה המענינת היא למה המערכת הזו לא מוכיחה את עקביותה (בסתירה למשפט גדל).המממ...במופלא ממך אל תחקור. סתם, אני צריך לחשוב על זה.
תשובה טכנית 320056
(הפסוק "ZFC* עקבית" שונה מכל פסוקי העקביות הקודמים. אם אתה מאמין שהמערכת החדשה עקבית, אתה מוזמן לזרוק גם אותו פנימה ולהגדיר את ZFC אומגה-ועוד-אחד. אפשר להמשיך).
תשובה טכנית 320059
כן. מה שהתכוונתי הוא שהמערכת ZFC* מוכיחה את עקביות כל תת קבוצה סופית של אקסיומות שלה ולפיכך גם את עקביותה. כנראה שזה מראה על הבדל מענין בין הפסוק הפורמלי con(T) לבין באמת העובדה ש-T עקבית או זה מראה על הבדל (טריויאלי) בין מה שנכון למה שאני אומר.
תשובה טכנית 320062
שאלה: האם ZFC לא מוכיחה אף-היא את העקביות של כל תת-קבוצה סופית של אקסיומות שלה?
תשובה טכנית 320204
לא חושב. למה שזה יהיה כך?
תשובה טכנית 320214
כי זכרתי שראיתי את זה באיזה מקום... ועכשיו בעזרת דוד גוגל גם מצאתי איפה - אצל טורקל פרנזן החביב:

עכשיו צריך לחשוב, כמובן, למה הוא אומר זאת, והאם הוא צודק. התחושה שלי היא שהאקסיומות ה"קשות" ב-ZFC הן כולן סכמות, ואם מצטמצמים רק לאוסף סופי שלהן, נשארים עם משהו שדי קל לבנות לו מודל - צריך לדאוג רק למספר סופי של תנאים. בקישור הנ"ל פרנזן גם מסביר יפה מדוע אין סתירה בין העובדה הזו לכך ש-ZFC לא מוכיחה את (Con(ZFC.
תשובה טכנית 320231
בעצם, הייתי צריך לדעת את זה כי שיקולים דומים מופיעים כשמתעסקים עם כפיות.
אני חושב שזו גם דוגמא לכך שיש ''מחוץ למודל'' בניגוד למה שעלול להשתמע מדבריך לפעמים, כאילו להסתכל מבחוץ זה שטויות.
תשובה טכנית 320241
אתה צריך לנקד מילה כמו "כְּפִיות", אחרת אפשר לחשוב שאתה מדבר על אוכל או אביזרי-לבוש המקובלים בתרבויות מסויימות.

לגבי "להשתמע" - חלילה וחס, להסתכל מבחוץ זה מאוד יפה. הדבר שאני משתומם עליו הוא שהיה צריך את גדל כדי להשתכנע לעשות זאת, נגיד, בפסיכולוגיה.
עוכר שמחות שכמותך 320253
לא יכולת לחכות עד שמישהו יקפוץ עם:
"מה אתה מבלבולים פו אם כפיות מה כפיות אך זה קשור???!?"
עוכר שמחות שכמותך 320254
אבל בזכות זה גיליתי שיש הבדל בחומרת האזהרה בין שני סימני קריאה/שאלה רצופים לשלושה.
רד לעשרים בכל זאת.
עוכר שמחות שכמותך 320255
יש הבדל????

ואללה, נכון.
עוכר שמחות שכמותך 320257
אפילו את ההגינות לכתוב "ואללה, נכון." בתגובה נפרדת, כמו שאני עשיתי לא היה לך.
תגיד את האמת כתבת "ואללה, נכון." לפני שבדקת או אחרי?
עוכר שמחות שכמותך 320261
לפני, כמובן. לא בסדר?

ניסיון ההתחמקות הפתטי הזה שלך מההבטחות חסרות-השחר של "מחר", "מחרתיים" וכו' הוא שקוף ועלוב עד מאוד, מר מינדרבינדר. כשאגיע לארץ אצוד אותך, ואתה תהיה חייב לי מקופלת. והסבר.
עוכר שמחות שכמותך 320258
הרשה לי להתעלם מקשיחותו של אלון, ולשאול:
"מה אתה מבלבולים פו אם כפיות מה כפיות אך זה קשור???!?"
עוכר שמחות שכמותך 320263
השאלה היתה רצינית? אם כן אשמח להוסיף אותה לרשימת המחר/מחרתיים.
עוכר שמחות שכמותך 320271
רצינית בהחלט, חרף ניסוחה המגומגם משהו. הכפיות, כולל אלו עם ה-כ' השוואית, אינן מוכרות לי כמושג מתמטי.
עוכר שמחות שכמותך 320278
אני רוצה שאורי יתרכז בשאלות הקודמות, אז אני אתנדב: כְּפִיה (forcing) היא שיטה בלוגיקה מתמטית שפותחה, למיטב ידיעתי, בידי פול כהן בשנות הששים, ומאפשר לבנות מודלים עבור טענות מסויימות. השם "כפיה" מתייחס לכך שהשימוש בשיטה מאפשר "לכפות" על המודל לקיים תכונות רצויות מסויימות.

כהן פיתח את השיטה, והשתמש בה, כדי להוכיח שהשערת-הרצף אינה תלויה ב-ZFC. גדל עשה חצי מהעבודה הרבה קודם - הוא הראה שהשערת הרצף אינה *סותרת* את ZFC - וכהן הראה את ההיפך: גם שלילתה של השערת הרצף אינה סותרת את ZFC, ומכאן שהאקסיומות הרגילות של תורת הקבוצות אינן מסוגלות לקבוע אם יש או אין קבוצה של ממשיים שאינה בת-מנייה ואינה בת עצמת הרצף.
עוכר שמחות שכמותך 320326
הם הוכיחו את כל מה שאמרת בהנחה ש-ZFC עקבית, כמובן.
נודניק :-) 320378
עוכר שמחות שכמותך 320366
תודה.

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים