בתשובה לגיל לדרמן, 19/09/05 15:53
מחשבות טרחניות על המוחלט והיחסי בשפת המתמטיקה 330811
לא הבנתי.
מחשבות טרחניות על המוחלט והיחסי בשפת המתמטיקה 330860
אני חושב שאין כאן יותר מדי מסתורין, זהו פרדוקס ראסל בתחפושת אחרת.
אם מגדירים אקסיומה שאומרת "קיים X כך שכל Y שייך ל X" אז אפשר לפי אקסיומת ההפרדה להגדיר תת-קבוצה של הקבוצה הזו המורכבת מכל האיברים בה המקיימים נוסחא. בפרט, הנוסחא היא "Z לא שווה לקבוצה הריקה". כך קיבלנו קבוצה שכל הקבוצות שייכות אליה חוץ מהקבוצה הריקה, נאמר U. אקסיומת היסוד ב ZFC טוענת שלכל קבוצה X לא ריקה יש איבר Y כך שהחיתוך של X ו Y ריק. אבל כל איבר בקבוצה U שלנו איננו הקבוצה הריקה ולכן כל איבר בו שייך גם לקבוצה U, ולכן U איננה מקיימת את אקסיומת היסוד, סתירה.

אני מניח שאתה צודק ויש ל"קבוצה המלאה" שמוגדרת כך גם בעיות מבחינת המחשבות של דורון, אבל אני לא מבין מדוע צריך להרחיק כל כך - ממילא לא ניתן להוסיף אקסיומה כזו ל ZFC. בכלל, אני בספק אם דורון (או כל אחד אחר בלי הכשרה) יוכל "להוסיף" משהו ל ZFC, מעניין או לא. המשהו הזה או לא עקבי עם ZFC, או מוכח מ ZFC, או בלתי תלוי. אתה יכול לזרוק ככה מהשרוול טענות בלתי תלויות שאף אחד לא מכיר? אני לא.
מחשבות טרחניות על המוחלט והיחסי בשפת המתמטיקה 330873
"אני חושב שאין כאן יותר מדי מסתורין, זהו פרדוקס ראסל בתחפושת אחרת."

בפירוש לא.

עיין נא בתגובה 330859

תודה.
מחשבות טרחניות על המוחלט והיחסי בשפת המתמטיקה 330887
מה שלא הבנתי הוא מתי דיברתי על אקסיומה שאומרת "קיים X כך שכל Y שייך ל-X".
מחשבות טרחניות על המוחלט והיחסי בשפת המתמטיקה 331047
זה לא בדיוק פרדוקס ראסל, ולו רק מפני שהפרדוקס שהדגמת עןמד בסתירה לAxiom of Foundation, שהמתמטיקה תסתדר די טוב גם בלעדיה, ואילו פרדוקס ראסל סותר את הAxiom of comperhension ישירות.
מחשבות טרחניות על המוחלט והיחסי בשפת המתמטיקה 331211
אכן, יש בזה משהו. אפילו זכור לי במעורפל בניות של מודלים בעלי תכונת ''רגולריות'' וכל מני שקילויות לגבי מתי התכונה הזו קיימת..
מחשבות טרחניות על המוחלט והיחסי בשפת המתמטיקה 331216
איכפת לך לומר רק מהן שתי האקסיומות שהזכרת?
מחשבות טרחניות על המוחלט והיחסי בשפת המתמטיקה 331454
אין בעיה.
Axiom of Comperhension:
לכל קבוצה A ולכל תכונה P קיימת קבוצה B שמכילה בדיוק את כל איברי A המקיימים את התכונה P.

Axiom of Foundation:
לכל קבוצה A קיים איבר B (ששייך ל-A) כך ש-A ו-B קבוצות זרות.

הראשונה היא החלשה של האקסיומה הטבעית הבאה: לכל תכונה P יש קבוצה A שמכילה בדיוק את כל האיברים שמקיימים את P. האקסיומה הזו מובילה לפרדוקס ראסל.

השניה היא אקסיומה שמונעת מקבוצות להכיל את עצמן בתור איבר ודברים דומים. היא פחות חשובה כי ביטולה יגרום רק ל"הגדלת" העולם שלנו וכל המתמטיקה הרגילה (וגם תורת הקבוצות הרגילה) עדיין יהיו שם בפנים.
מחשבות טרחניות על המוחלט והיחסי בשפת המתמטיקה 331465
תודה.:) אגב, אתה יודע ממתי האקסיומות האלה?
מחשבות טרחניות על המוחלט והיחסי בשפת המתמטיקה 331469
שתי האקסיומות האלה הן חלק מ-ZFC, שתחילתה, כרונולוגית, ב-‏1908. לעוד מידע, גש לדודה ויקי:

מחשבות טרחניות על המוחלט והיחסי בשפת המתמטיקה 331497
תהייה: איך מגדירים "תכונה" (באקסיומת הקומפרהנסיה)? או שמא לא מגדירים?
הכשדמי היינו, למונדית דמינו? 331524
מצאת לך איפה "לא מגדירים". תכונה, במקרה הזה, היא פסוק בשפה-מסדר-ראשון של תורת הקבוצות. (השפה קיימת לפני האקסיומות!)
הכשדמי היינו, למונדית דמינו? 331560
אז אקסיומת הקומפרהנסיה מנוסחת בשפה מסדר שני? או שזוהי סכמת-אקסיומות שממנה גוזרים אקסיומה מתאימה עבור כל טענה בשפה?
סכמת-אקסיומות. 331561

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים