בתשובה להאייל האלמוני, 17/11/05 11:26
התפתחות הלכה למעשה. 346875
"אם יש לך ידע מתמטי ולו האלמנטרי ביותר, ענה על השאלות הפשוטות של האייל הצעיר, אם אינך מסוגל, הודה בכך, אבל אם אתה מסוגל, הוכח לכולנו שטעינו בך שחשבנו שהתאוריה שלך נובעת מבורות וחוסר הבנה ואידך זיל גמור."

אכן אני עוסק ביסודות המכוננים של שפת-המתמטיקה *ורק ביסודות עצמם*, כאשר חקר יסוד אינו עוסק בטכניקה זו או אחרת אלא במהותם של דברים.

אתן דוגמא:

נאמר שאני עוסק בחקר מושג השינוע, ומתחיל ליצור את תוואיה הראשונים של שפה אשר תאפשר לשלוח טילים לחלל.

אתה בא ואומר לי:

"אצמעי התחבורה היחיד והמוכח שקיים הינו עגלה רתומה לסוסים, ואם לא תוכיח לי את בקיאותך בתור עגלון, הריי שניתן להסיק מכך שאין בידך שום אפשרות לפתח שיטת שינוע אשר תהווה שיפור לעגלה וסוסים".

אני משיב לך:

"הבנת עקרונות מושג השינוע ויצירת אמצעי שינוע משופר הנובע מרעיון החורג מעגלות וסוסים, אינם מצריכים ממני להוכיח שאני יודע לנהוג בעגלה וסוס".
התפתחות הלכה למעשה. 346882
לא, לא, אתה טועה לחלוטין בהבנת העניין.

האלמוני אומר: "ע"מ לייצר מכונית, יש לייצר בשבילה בראש ובראשונה מנוע טוב. הוכח שאתה יודע מהו מנוע".

ואתה עונה: "אתם כולכם שוגים! המכוניות הן שגיאה, המנועים הם שגיאה וגם העגלות עם הסוסים, שקדמו למכוניות ולמנועים, הן שגיאה! *אני* גיליתי את האמת האבסולוטית שאין בלתה: במקום עגלות, סוסים ומכוניות - אנחנו צריכים לרכב על *ג'וקים!!*"
התפתחות הלכה למעשה. 346899
"ואתה עונה: "אתם כולכם שוגים! המכוניות הן שגיאה, המנועים הם שגיאה וגם העגלות עם הסוסים, שקדמו למכוניות ולמנועים, הן שגיאה! *אני* גיליתי את האמת האבסולוטית שאין בלתה: במקום עגלות, סוסים ומכוניות - אנחנו צריכים לרכב על *ג'וקים!!*""

אתה מערבב בין המשל לנמשל.

המשל:

אין צריך להפגין בקיאות בתור עגלון כדי לפתח שיטת שינוע, שאין לה דבר עם עגלות וסוסים.

הנמשל:

שיטת השינוע הנוכחית (קרי שפת המתמטיקה הרגילה) מובילה אותנו במהירות להכחדה-עצמית, ויש לשנות אותה מן היסוד בכדי להמנע מכך.
התפתחות הלכה למעשה. 346895
אח, אם דורון שדמי היה צריך לענות על התגובה הזו, הוא היה מפרסם הודעה בסגנון: "מה הפחד המונע ממך לענות לאייל הצעיר? האם אתה מסוגל להבין רק באופן שבני קהילתך מבינים ונגזר עליך לא להבין שום דבר שנדרשת לו נקודת מבט דדוקטיבית?"‏1 וזה עוד ביום טוב. היו ימים.

דורון, זכותך המלאה לסרב לענות לאייל הצעיר. זכותך להמשיך לעשות copy-paste למאמרים במתמטיקה המונדית. זה לא יוכיח שום דבר לגבי היכולות שלך לפתח דבר זה או אחר. זה רק יחזק את התדמית השלילית שלך בתור אדם שלא מקשיב ומתייחס בצורה מזלזלת אל המתדיינים איתו.

לי נראה, שאחרי מאות תגובות שהאייל הצעיר ניסה להבין את דבריך ולענות לך בסבלנות, ראוי שתענה לו. האייל הצעיר לא דרש ממך להשתחוות בפני מזבח השקר של השיטה הדדוקטיבית. הוא רק מבקש ממך להדגים שאתה מסוגל לעשות את אותו סוויץ' מחשבתי שאתה דורש מאנשים אחרים לעשות וטוען שהם לא מסוגלים. ועל זה נאמר: דרך ארץ קדמה לתורה. צעד קטן לקראת האייל הצעיר יהיה צעד גדול עבור המתמטיקה המונדית. וכל זה למרות (ואולי בגלל) כל מה שטענת לרעת האייל הצעיר והבקשה שלו‏2.

כן, חלק מהשאלות שלו הן דיי טכניות ולא מעניינות (למשל חישוב אינטגרלים). אבל חלקן נוגעות בנושאים הגדרתיים שהמתמטיקה המונדית תופסת בצורה שונה לגמרי. למשל: מושג הגבול, מושג הנגזרת, מושג השיוויון. אם תענה רק על השאלות האלו (וזה ממש לא קשה) תצא מרוויח פעמיים:
א. כמו שחיים הכט אומר: יצאת צדיק.
ב. תקדם את הדיון במושגים אלו ותדגים את היתרונות שיש להגדרות של המתמטיקה המונדית על פני ההגדרות הקונבנציונליות.

בברכה.

---
1 לא, אין לי הוכחה שזה מה שהיית אומר. אבל למשל בתגובה 342263 אמרת דברים דומים.
2 תגובה 346863
התפתחות הלכה למעשה. 346898
אח של אייל, תודה על תגובתך הכנה.

אני עוסק במושג הגבול בפתיל אחר: תגובה 346367 .

אשמח אם תגיב לפתיל הנ"ל.

פתיל זה עוסק בהשלכות המתמטיקה על עולמנו.
התפתחות הלכה למעשה. 346900
אני מבטיח להגיב מיד‏1 אחרי שתענה לשאלה של האייל הצעיר על מושג הגבול.

1 טוב, ברגע שיתאפשר לי..
התפתחות הלכה למעשה. 346902
למען ההבהרה, מדובר על השאלה הזו:

"ב. הסבר במילים שלך את מושג הנגזרת במתמטיקה הרגילה. כלול בהסבר את הגדרת הנגזרת באמצעות גבול."
התפתחות הלכה למעשה. 346931
"ב. הסבר במילים שלך את מושג הנגזרת במתמטיקה הרגילה. כלול בהסבר את הגדרת הנגזרת באמצעות גבול."

אוקיי,

נגיד שנתונה הפונקציה:

y=f(x)

נגזרת היא הגבול של היחס בין השינוי של הפונקציה לבין השינוי של המשתנה הלא תלוי, כאשר המשתנה הלא תלויי שואף לאפס.

כדי להדגים את הנ"ל, בוא ומשתמש בפונקציה

y=x^2

אז ככה, x הוא המשתנה הלא תלויי ונגיד שהוא משתנה בין x ל-o (האות "או" באנגלית) .

במילים אחרות, השינוי של x שווה ל-o.

עכשיו אנו רוצים לדעת מהו השינוי המתאים של הפונקציה, של y.

אנחנו מציבים x+o (במקום x) ,מעלים בריבוע כדי לחשב את ערך הפונקציה עבור x+o ומחסירים מהתוצאה x^2 (שהוא ערך הפונקציה עבור x) והתוצאה היא 2xo+o^2 (שהיא השינוי של הפונקציה, שמתאים לשינוי של o של x).

עכשיו, היחס (שים לב הינה מושג הפרופורציה מופיע כאן) בין השינוי של הפונקציה לבין השינוי של המשתנה הלא תלוי הוא:

(2xo+o^2)/o

והתוצאה היא:

2x+o

עכשיו אנחנו מחשבים את הגבול של היחס הזה כש- o שואף לאפס , וגבול זה הוא 2x.

במילים אחרות, הנגזרת של הפונקציה y=x^2 שווה ל- 2x, והיא משמשת למדידת השינוי של הפונקציה, כאשר השינוי של המשתנה הלא תלוי שואף לאפס.
התפתחות הלכה למעשה. 346940
פיספוס בתגובה קודמת.

במקום:

אז ככה, x הוא המשתנה הלא תלויי ונגיד שהוא משתנה בין x ל-o (האות "או" באנגלית) .

צריך להיות:

אז ככה, x הוא המשתנה הלא תלויי ונגיד שהוא משתנה בין x ל-x+o (האות "או" באנגלית) .
התפתחות הלכה למעשה. 346973
תשובה מלאה ומדויקת. מה עם שאר השאלות? אני אשמח לראות תשובות בעיקר לשאלה 5 ולשאלה 3.
התפתחות הלכה למעשה. 346981
עכשיו תקשיב טוב אייל-צעיר.

הנושאים שהעלת בתגובתך, כולל תשובתי לאח של אייל בעניין הנגזרת, אין להם שום קשר למחקר העוסק ביסודות-המתמטיקה, אלא הם אוסף של טכניקות במסגרת מערכת המבוססת על לוגיקת סתירה בין הפכים ועל חשיבה סדרתית בלבד.

מחקר *אמיתי* של יסודות המתמטיקה מתחיל מרמת האינטואיציה העומדת בבסיס שפת המתמטיקה, ומחקרי עוסק (בשלב זה) רק ואך ורק "בקו-תפר" זה שבין אינטואיציה להגדרות המכוננות (אקסיומות) של שפה זו.

ההבדל העקרוני במחקרי הוא, שאני כולל את התודעה ואת תהליך החקירה עצמו כחלק בלתי-נפרד של מרחב-החקירה.

גישה זו איפשרה לי לפתח את עקרונות הלוגיקה המבוססת על סינתיזה בין הפכים, והמאפשרת לכונן גישור בפועל בין כישורינו הלוגיים-טכנולוגיים לכישורינו האתיים.

אשמח מאוד אם מעתה תפנה את יכולותיך על מנת לדון במהותה של שפת המתמטיקה, ובאפשרות להשתמש בה ככלי ראשון במעלה לשם פיתוח "שפת הטכנולוגיה של התודעה".
התפתחות הלכה למעשה. 347000
תשובה מלאה, בהנחה שאתם מסכימים בשאלה מה זה גבול. כדאי לך להתעקש קצת יותר על הגדרת המושג הזה.

(בהרצאה ששמעתי לא מזמן, המרצה ניסח טענה A, ואז "בהנחה שטענה A טריוויאלית, בואו נוכיח אותה").
התפתחות הלכה למעשה. 347014
לא רציתי לומר שום דבר שייתפס כהתחמקות מהעובדה שדורון צדק. אני לא אדרוש ממנו לענות על השאלה מה זה גבול, אבל אני *אשמח מאוד* אם הוא יענה גם עליה.
מושג הגבול במתמטיקה הרגילה 347159
אתייחס למושג הגבול, כגבול של סדרה.

סדרה של מספרים השואפת לערך קבוע מסויים X , ניתן לומר על X כי הוא גבולה של סדרת המספרים הנ"ל, אם עבור כל מספר חיובי נתון מראש (ויהיה קטן ככל שיהיה) אפשר למצוא מקום בסדרה, שממנו והלאה ההפרש בין כל איברי הסדרה לבין X (הגבול) יהיה קטן תמיד מהמספר השרירותי הנתון מראש.

בוא ניתן דוגמא:

אם לוקחים את ההיפוכים של כל המספרים הטבעיים (1 חלקיי מספר-טבעי) אנו אומרים כי 0 הינו הגבול של סדרה זו, מפני שניתן להראות כי ממקום מסוים בסדרה הנ"ל, יהיו כל האיברים קטנים מהמספר הנתון מראש, ויהיה מספר זה קטן ככל שיהיה.
מושג הגבול במתמטיקה הרגילה 347186
זה רק חוסר תשומת לב מצידך או שאתה באמת לא רוצה להוסיף את עניין הערך המוחלט (כלומר אתה מגדיר גבול רק לסדרות מונוטוניות)?
מושג הגבול במתמטיקה הרגילה 347189
אני דווקא לא רואה שום פגם בהגדרה שלו, אם כי הוא באמת יותר מילולי מטכני. כשהוא אומר ''ההפרש'', קרוב לודאי שכוונתו לערך המוחלט של חיסור אחד המספרים מהשני.
מושג הגבול במתמטיקה הרגילה 347202
''קרוב לודאי שכוונתו לערך המוחלט של חיסור אחד המספרים מהשני.''

בדיוק.
מושג הגבול במתמטיקה הרגילה 347228
אוקיי. תודה.
התפתחות הלכה למעשה. 347012
דווקא 3? את 3 גם המתמטיקה המונדית יכולה לפתור בלי בעיה (בשביל הפתרון לא צריך אינסופים ולא גבול ולא כלום, סתם אבחנה מדוייקת, אם כי יפה מאוד).
התפתחות הלכה למעשה. 347022
גם עם דברים סופיים למתמטיקה המונדית יש בעיות, כי גם לאובייקטים סופיים (מספרים טבעיים, למשל) יש אופי קוואנטי, ולכן יש לעסוק בחשיבה מקבילית במצבי אי-הוודאות שלהם...

בכל אופן, התשובה של דורון לשאלה הזאת עשויה לפתוח דיון מעניין על התקפות ועל האובייקטיביות של ההוכחה, שאומרת משהו על המציאות עצמה.

אגב, האם אתה מכיר את המשפט ה"תאום" של החידה הזאת? אם תסיר מלוח שחמט משבצת לבנה אחת ומשבצת שחורה אחת לבחירתך, תמיד תוכל לכסות את מה שנשאר מהלוח באמצעות אבני דומינו. גם ההוכחה של המשפט הזה (שנקרא משפט Gomory, ע"פ וולפרם) קצרה, פשוטה ואלגנטית.
התפתחות הלכה למעשה. 347024
מסקרן. אני אחשוב על זה בעצמי.

אגב, שים לב שבניסוח של המשפט המקורי נותנים רמז עבה לפתרון שלו. אפשר לנסח את המשפט בצורה שונה, בלי להזכיר בכלל לוח שחמט משובץ אלא פשוט דף משבצות שמורדות ממנו שתי פינות נגדיות. מעניין האם זה מסבך את החיים למי שמנסה להוכיח.
ריצופים 347033
ודאי שזה מסבך.

הנה עוד אחת נחמדה ברוח החידה שהזכיר הצעיר: לוח בגודל 8x8, מוציאים משבצת כלשהי, צריך לרצף עם חתיכה שנראית כמו האות "י", בגודל 3 משבצות.

OO
O
ריצופים 347057
הפתרון ללוח ריבועי עם 4 בחזקת n משבצות מתקבל בבניה טריוויאלית מהפתרון ל- 4 בחזקת n-1.
פתרת ל- 2x2, פתרת את כולם.
ריצופים 347065
מה קרה לרמזי zero knowledge הדקים מן הדק? עכשיו תבקש יפה סליחה מגדי.
ריצופים 347070
מה זת'ומרת? *זה* היה הרמז zero knowledge דק מן הדק!

כשאני נתקל בחידה שאני מעוניין לנסות לפתור בכחות עצמי, איני ממשיך בקריאת הפתיל (אם קיים) כל עוד לא הגעתי לכדי הרגשה שהעסק מוצה. אני סומך על גדי שהוא מכיר את הטריק.

(במילים אחרות: אין שום סיכוי שעכשיו אני אבקש יפה סליחה מגדי, אבל אם זה נורא חשוב לו, הוא יכול לקבל בקשת סליחה דחויה לאחת בצהריים).
ריצופים 347087
(וממני).
התפתחות הלכה למעשה. 346901
פתיל זה עוסק בנסיונות של דורון שדמי להסיט את האנשים מלהבין שהסיבה היחידה שהוא לא עונה על השאלון של האייל הצעיר זה מפני שהוא לא יודע מתמטיקה,

בוא נעשה עסק, אתה תענה על השאלון של האייל הצעיר. ואנחנו נדון כמה שתרצה על ההשלכות של "המתמטיקה" על עולמינו.
הולך?
התפתחות הלכה למעשה. 347091
כמובטח, הסתכלתי על הפתיל.

אני מבין שאתה טוען שלקבוצה אינסופית אין חסם. משום מה אתה טוען שזה הופך את ההגדרה הרגילה למופרכת - ולזה אני לא מסכים. ההגדרה הרגילה היא פשוט שונה מההגדרה שלך.

האם קיים ייתרון מתמטי להגדרה שלך? האם, למשל, יותר קל למצוא נגזרת של פונקציה? או אולי יש לך תחליף יותר נוח לאנליזה של פונקציה מאשר נגזרת? האם קיימים חסרונות מתמטיים להגדרה שלך?

ואולי ההגדרה הזו מלמדת אותנו איזשהי תובנה מוסרית לא טריוויאלית על העולם שלנו? למשל, שזה לא מוסרי להציב מחסומים בגדה?
התפתחות הלכה למעשה. 347163
"אני מבין שאתה טוען שלקבוצה אינסופית אין חסם. משום מה אתה טוען שזה הופך את ההגדרה הרגילה למופרכת - ולזה אני לא מסכים. ההגדרה הרגילה היא פשוט שונה מההגדרה שלך."

אני חולק על דעתך, וטוען שמושג היחס הוא המושג המאפשר, לדוגמא מציאת נגזרת:

אם תתבונן בהגדרת הנגזרת שבתגובה 346931 , תמצא שם את הביטוי האריתמטי:
(2xo+o^2)/o
וביטוי זה הינו הפרופוציה (היחס) בין השינוי של הפונקציה (o) לבין 2xo+o^2 (שהוא השינוי של הפונקציה, שמתאים לשינוי של o של x).

איננו יכולים למצוא את הנגזרת אם o שווה אפס ("ההפרש" בגבול עצמו), ולכן ערך שבו o שווה אפס אינו יכול להיות "שותף פעיל" במציאת הנגזרת.
התפתחות הלכה למעשה. 347187
לא הבנתי מה הקשר בין המשפט שצטטת לבין התשובה שלך.
התפתחות הלכה למעשה. 347201
אח של אייל,

הבה ונקיים את המשך הדיון בפתיל הפותח בתגובה 346367

תשובתי לך נמצאת בתגובה 347200 .
התפתחות הלכה למעשה. 346965
"אכן אני עוסק ביסודות המכוננים של שפת-המתמטיקה *ורק ביסודות עצמם*, כאשר חקר יסוד אינו עוסק בטכניקה זו או אחרת אלא במהותם של דברים."

רק בסעיף (א) של שאלה 4 ובשאלה מס' 1 יש צורך בטכניקה (ובמקרה השני זו טכניקה ברמה של כיתה ז'). כל שאר השאלות עוסקות ביסודות המתמטיקה (הוכחה, מערכת אקסיומות...) או בנושאים שאתה התיימרת להבין בהם ולפתח אותם.
בכוונה יצרתי שאלון שעוסק ביסודות המתמטיקה.

אם אתה לא יכול לענות למשל על שאלה 5, אתה מוכיח בכך שאתה לא מבין את מושג ההיקש המתמטי. אם אתה באמת לא מבין את המושג הזה ברמה שמספיקה לענות על השאלה, כדאי שתלמד טוב יותר את הגישה שאותה אתה תוקף.
התפתחות הלכה למעשה. 346984
"אם אתה לא יכול לענות למשל על שאלה 5, אתה מוכיח בכך שאתה לא מבין את מושג ההיקש המתמטי. אם אתה באמת לא מבין את המושג הזה ברמה שמספיקה לענות על השאלה, כדאי שתלמד טוב יותר את הגישה שאותה אתה תוקף."

ההיקש המתמטי הנ"ל (אשר אינו עוסק בחקר יסודות המתמטיקה, אלא מיישם אותם) מבוסס על לוגיקת F XOR T , והוא מקרה פרטי של לוגיקת הסינתיזה בין הפכים, אשר הסבר שלה ניתן למצוא ב:

עמודים 10 (מספר הדף, לא מספר ה-ACROBAT) עד 19
התפתחות הלכה למעשה. 346993
תיקון קטן: הפעם אתה טועה כשאתה מדבר על לוגיקת F XOR T, מאחר שאין פה F. המצב לפיו טענה יכולה להיות *לא נכונה* (או "שקרית"), זו תכונה של *השפה* שבה אנחנו עוסקים ‏1. ע"פ הנתון בשאלה 5, אין שום סיבה לחשוב שלשפה הזאת יש את התכונה הזאת (בניגוד, כמובן, ל-PA, ל-ZF ולשאר מערכות האקסיומות החשובות). בשפה נטולת-שלילה, יש טענות ניתנות להוכחה ויש טענות בלתי-כריעות. אין מצב שלישי.

אם ההיקש הזה הוא מקרה פרטי של ההיקש שלך, אז על אחת כמה וכמה שזה צריך להיות פשוט עבורך להוכיח את הטענות.

1 או ליתר דיוק: בשפות מסוימות בלבד, מוגדרת עבור כל טענה טענה אחרת שהיא ה"שלילה" שלה. טענה נקראת ניתנת להפרכה אם ורק אם השלילה שלה ניתנת להוכחה. רק במערכות בעלות שלילה ניתן לדבר על "עקביות" ועל "שלמות".
התפתחות הלכה למעשה. 347167
"בשפה נטולת-שלילה, יש טענות ניתנות להוכחה ויש טענות בלתי-כריעות. אין מצב שלישי."

אתה מבלבל בין סתירה לשלילה.

שלילה הינה אי-היכנות קיומו של מצב/אלמנט במרחב חקירה נדון, כאשר שלילה זו היא ערך-האמת של ההוכחה.

סתירה הינה האפשרות להוכיח דבר והיפוכו, או במילים אחרות, ערך-האמת הוא בו-זמנית גם אמת וגם שקר.

המתמטיקה המונדית מבוססת על לוגיקה משלימה, שערך-האמת שלה הינו תוצר *הסינתיזה* שבין אמת לשקר (אף לא אחד מהם יוצא "ומלוא תאוותו בידו") ולכן תוצריי סינתיזה זו הם צאצאים *בניי-קיימא* של "אמא-אמת" ו-"אבא-שקר" (או "אמא-שקר" ו-"אבא-אמת"), וצאצאים אלה מתקיימים בין סופרפוזיציה ((0,1),(0,1))
לסימטריה שבורה (0,1).
התפתחות הלכה למעשה. 347174
המתמטיקה הרגילה הינה המקרה הפרטי של סימטריה שבורה (0,1), שבה שניי הפכים סותרים זה את זה (אין שום סינתיזה, אלא רק צד אחד יוצא "וכל תאוותו בידו" או במילים אחרות, ערך-האמת הוא F XOR T , ולא תיתכן שום סינתיזה בין F ל- T).

המקרה הנ"ל של סימטריה-שבורה לחלוטין מתקיים בלוגיקה-המשלימה כמקרה פרטי, ולעומת זאת מצב הסופרפוזיציה וכל השלבים המוליכים לסימטריה שבורה לחלוטין, אינם מתקיימים בלוגיקת הסתירה.
התפתחות הלכה למעשה. 347305
אולי זו שאלה טיפשית, אבל למרות שאני מבין למה יש רשימה ארוכה של רמות אי-ודאות עבור מספרים, במקרה הזה נדמה לי שיש רק שתי רמות של אי-ודאות: הלוגיקה הרגילה (ודאות, (0,1)), ואי-ודאות מוחלטת ((0,1),(0,1)).
התפתחות הלכה למעשה. 347258
''סתירה הינה האפשרות להוכיח דבר והיפוכו''

ולכן ברור מאליו שבמערכת שאין בה שלילה, לא יכולה להתקיים סתירה - שכן אין ''דבר'' שיש לו ''היפוך''.
התפתחות הלכה למעשה. 347291
קרא נא גם את תגובה 347174 ואז תבין באיזה אופן הלוגיקה-המשלימה מאפשרת קיומה של לוגיקת סתירה כמקרה פרטי שלה.

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים