בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 18/11/05 20:55
תשובה לאח של אייל 347306
יש הוכחה פשוטה למשפט על השורש המרובה של פולינום?
תשובה לאח של אייל 347308
כן.
תשובה לאח של אייל 347310
אה, טוב לדעת. באופן טבעי, אני גם אשמח אם אתה או גדי תכתבו את ההוכחה.

אגב, יופי של כותרת יש לפתיל הזה.
תשובה לאח של אייל 347313
לא מסובכת כל כך אבל טכנית, אני אנסה לאלתר כי אין לי את זה לידי. קודם כל, מדובר בפולינומים מעל שדה (אני לא יודע מה קורה מעל חוג) ואנחנו מדברים על מה שקורה מעל שדה שבו הם מתפצלים (כלומר, יש להם את כל השורשים) ועל פולינומים *מתוקנים* (עם מקדם מוביל 1) מעל השדה הזה (בגלל שאנחנו מעל שדה תמיד אפשר לחלק במקדם המוביל ולקבל פולינום מתוקן).

עכשיו בוא ניקח את הפולינום שלנו, ויהא a שורש שלו. אז אפשר לכתוב את הפולינום בצורה הבאה:

f(x)=(x-a)^n*g(x)

כאשר g(x) לא מתאפס על ידי a. (כלומר, n הוא הריבוי של a).

נגזור את זה על פי כללי הגזירה הרגילים (אפשר להוכיח שהם תקפים גם עבור נגזרת פורמלית):

f'(x)=n(x-a)^(n-1)*g(x)+(x-a)^n*g'(x)=(x-a)^(n-1)(n*g(x)+(x-a)g'(x))

אבל שים לב שהביטוי הימני מבין השניים לא מתאפס על ידי a. לכן a הוא שורש משותף של f והנגזרת שלו אם ורק אם הוא שורש מרובה של f (כלומר, אם n גדול מ-‏1 ולכן n-1 הוא לא אפס).

עכשיו, אם יש ל-f ולנגזרת שלו שורש מרובה ברור שהמחלק המשותף המקסימלי גדול מ-‏1 (כי x-a כש-a הוא השורש מחלק את שניהם). אם המחלק המשותף המקסימלי של שניהם גדול מ-‏1 הוא מדרגה 1 ומעלה (הוכח!) ולכן יש לו שורש (אנחנו הרי בשדה שבו יש ל-f את כל השורשים) - והשורש הזה יהיה שורש משותף ל-f ולנגזרת שלו...

(עכשיו יבואו אלון ועוזי ויתקנו את כל המקומות שבהם טעיתי).
תשובה לאח של אייל 347318
תודה רבה.
תשובה לאח של אייל 347531
רק שתי הערות:

1. הצגת את הוכחת המשפט כאשר השדה סגור אלגברית. אבל המקרה המעניין הוא כאשר צריך לחפש את השורשים בשדה גדול יותר (אחרת אפשר לטפל בשורש ישירות ולבדוק אם הוא מופיע פעם אחת או יותר).

כדי לקבל את המקרה הכללי מספיק לשים לב שחוג הפולינומים מעל שדה הוא תחום ראשי. לכן, אם שני פולינומים מעל השדה הנתון זרים זה לזה, הם ישארו זרים לעולמי עד (ולא משנה כמה נגדיל את השדה).

2. המשפט נשאר נכון גם מעל תחומי שלמות שהם integrally closed, כמו למשל חוג השלמים, לפי הלמה של גאוס.
תשובה לאח של אייל 347541
1. צודק. תודה - אף פעם לא חשבתי על הנקודה הזו בתור ה"עוקץ" של המשפט...

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים