בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 14/12/10 20:23
מי? 559108
יפה. גם אני עשיתי מחקר קטן ולא מדעי. נבחן בגרות מלפני שנתיים זוכר במעורפל שסיפרו לו על אקסיומות אבל בדרך כלל התבסס על "רשימת משפטים מותרים" הכוללים חפיפות משולשים וכולי. אינו זוכר בדיוק מניין הגיעו המשפטים הבסיסים הללו ( "כנראה הוכיחו לנו אי פעם, אבל אני לא זוכר בדיוק"). תלמידת כיתה ח יודעת מה זה "אקסיומה" אבל האקסיומה היחידה שהיא זוכרת שהצהירו עליה בשיעור ( בכיתה ז') היא אחת ממשפטי החפיפה וגם זה לא בטוח.

בקיצור, להערכתי כל ההתעסקות הזאת עם איזה מערכת אקסיומות היא הטובה נראית לי כעורבא פרח סכולסטית (הא!) כי הנושא הזה בעצם לא נבחן בשום מקום ונמוג בערפילי תחילת החטיבה. אני דווקא מסכים עם מבקרי התוכנית (אבל גם עם כותביה) בכך שהחשיבות של לימוד גאומטריה היא לימוד (או כמו שאומרים במערכת "הקניה") של מושג ההוכחה הריגורוזית. כלומר - מה נתון, במה השתמשו כדי לעבור מטענה לטענה, וכולי. הדברים הללו הובררו לשני התלמידים שאיתם דיברתי, אבל ההוכחות עצמן בדרך כלל לא התחילו מהאקסיומות אלא משלב אחד יותר גבוה- משפטי חפיפה וכולי.

אני גם לא השתכנעתי בשום אופן שיש בעיה מתמטית עם השימוש ב"אקסיומת המלבן", בוודאי לא "באופן שערוריתי". אקסיומת ההעתקות מתברר שמבוססת על אקסיומות הילברט (אם כי אני מודה שלא ירדתי לעומק ההתבססות) אז אני מניח שגם זה כשר, למרות הטענה שזאת אקסיומה "רשלנית".
הבעיה באקסיומת המלבן ודומיה אינה בעיה מתמטית 559112
אלא טעות דידקטית קשה. עמדתי על כך בתגובה אחרת.
הבעיה באקסיומת המלבן ודומיה אינה בעיה מתמטית 559123
עוד טעות דידקטית, אם כי לא חמורה, היא ההנחה שקוראים כאן את כותרת התגובה לפני שקוראים את התגובה.
מי? 559114
אני לא מבין לעומק את הטענות של מתנגדי התוכנית בעצמי, אבל הניחוש שלי הוא שהבעיה היא כזו - במתמטיקה, ברגע שאיבדת מישהו, הוא אבוד ''לנצח'', במובן זה שיהיה לו הרבה יותר קשה להיכנס לעניינים מאשר, נאמר, מישהו שנמנם כשדיברו על המשבר הכלכלי בארה''ב אבל מתעורר כשמגיעים לאקשן של מלחמת העולם השנייה.

אז אם כבר בתחילת לימודי הגאומטריה מהממים אותם עם אקסיומות לא ברורות שהם לא מצליחים לעשות איתן כלום, גם המשך לימודי הגאומטריה יהיו קשים יותר לתלמידים והעניין יסתיים בקטסטרופה, אפילו אם הם לא באמת צריכים את האקסיומות הללו בהמשך.
מי? 559130
אתה יודע שמשתמשים במספרים ממשיים בחטיבה? בלי לבנות אותם!
מי? 559133
אני מסכים; הנקודה היא שאולי נכון לוותר לגמרי על האקסיומות, אבל לא נכון להחליף אותן במשהו "מפחיד" שיקשה על התלמידים להישאר בתמונה.
מי? 559135
במשהו מפחיד אתה מתכוון לאקסיומות המלבן וההעתקה?
מי? 559137
הן מפחידות? אם כן, אז כן.
מי? 559140
אני שואל.
מי? 559170
ואני לא יודע.
מי? 559174
אם כך, לא הבנתי את תגובה 559133, התוכל לפרט עוד?
מי? 559175
אני אומר ככה - אם אכן האקסיומות החדשות ''מפחידות'' ויקשו על התלמידים, אז קריטי לא לעבור אליהן ואפילו אם בהמשך הלימודים לא באמת ישתמשו בהן.
מי? 559176
הבנתי. אז אתה מנחש שהביקורת היא שהתוכנית החדשה משתמשת במושגים מסובכים המרתיעים את התלמידים?
מי? 559198
למה לנחש? הם לא אומרים את זה במפורש?
מי? 559202
כתבת "אם אכן" מכאן שאינך יודע אם אכן, ולכן אתה מנחש. אם אני שוב טועה, אני פשוט הולך להתעלם מתגובה 559133.

לדעתי האקסיומות המוצעות‏1 לא נראות יותר מפחידות מהאקסיומות של אוקלידס, הנוסחא למשוואה ריבועית, תולדות האמנסיפציה, תקבולת ניגודית חיאסטית או כל נושא טיפה מסובך אחר שלומדים בחטיבה. זאת אומרת- כן, זה מפחיד אבל פחות מהמגיפה השחורה.

1 בקריאה חוזרת של תוכנית הלימוד אני מסכים שיש עמימות עם "אקסיומת ההעתקה" אבל נראה לי שזה פשוט דרך לא סטנדרטית לדבר על חפיפה של צורות.
מי? 559211
ואם לא?

לא ברור לי למה חשוב כל־כך להשתמש דווקא באותו אוסף של חמש אקסיומות. לא ברור לי למה הן פחות מפחידות.
מי? 559217
אפשר לסכם את כל הטענות למילה אחת: שמרנות.
מי? 559238
כאמור, אני לא באמת יודע. בשביל לדעת אני אצטרך לשבת ולקרוא את האקסיומות בעצמי ולקרוא את הטיעונים של שני הצדדים ולחשוב עליהם. המעורבות שלי בדיון התחילה מכך שהתרעמתי על אלו שמנסים לגרור אותו לכיוון האישי-לעגני; זה לא אומר שאני באמת בקיא בפרטים.
מי? 559120
משפטי חפיפה הם אקסיומות לכל דבר (אחד מהם, לפחות). אין שום ''דילוג'' בהתבססות עליהם כנקודת מוצא.
מי? 559124
לא מכיר. איזה משפט חפיפה מופיע בחמשת האקסיומות של אוקלידס?
מי? 559144
אקסיומה III-4 (כמדומני) לפי אמירה דיבשה היא בעצם אקסיומת חפיפה.

מכיוון שאני מתקשה לקרוא מהר את הסימונים שלה אני מניח שמדובר באקסיומה שאומרת בערך את
הדבר הבא:
בהנתן שני משולשים ששווים בהתאמה באורכי שתי צלעות שלהם וכן שווים בגודל
הזווית הכלואה בין אותן צלעות — מובטח ששתי הצלעות השלישיות במשולשים שוות גם כן באורכן.
מתמטיקה: האמנות של להגיד אותו דבר בדרכים שונות 559152
לא יודע מי זה/זאת אמירה דיבשה, אבל אין לי כל ספק שצזצ נגזרת מהאקסיומות של אוקלידס.
מתמטיקה: האמנות של להגיד אותו דבר בדרכים שונות 559273
ההוכחה למשפט החפיפה שאתה מזכיר (2 צלעות וזוית כלואה ביניהן) ---
היא מה שניקרא במתמטיקה "הוכחה על ידי ניפנופי ידיים".

הוכחה על ידי ניפנופי ידיים =
הוכחה כביכול, לא ריגורוזית, שמוסווית על ידי טיעונים נכונים רק למראית עין.

אגב, הסתכלתי היום בספר של לדיז'ינסקי (חשבתי אתמול שהוא טמון אצלי בארגז).
מסתבר שגם הוא "הוכיח" את אקסיומת החפיפה על ידי ניפנופי ידיים. לא אתפלא אם
ניפנוף הידיים התחיל כבר בספרי "יסודות" של אוקלידס. את ספרי "יסודות" של אוקלידס,
מתורגמים לאנגלית ניתן למצוא באינטרנט בעזרת גוגל.

דויד הילברט (גדול המתמטיקאים במאה ה- 19) עשה מחקר ענק על גיאומטריה האוקלידית.
הספר שלו בעניין זה ניקרא GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE (אני מקווה שאיני טועה יותר מדי
בשם הספר ובגרמנית בכלל).

דויד הילברט הציג את התיאוריה של "גיאומטריה אוקלידית" (כולל גיאומטריה של המרחב)
בצורה ריגורוזית באמצעות בערך 23 אקסיומות (לא פחות !!!).

אמירה דיבשה טוענת (וכנראה לא הפריכו את דבריה) שניתן לשכתב את התיאוריה של הילברט
על ידי הצגת מערכת אקסיומות חילופית (למערכת האקסיומות של הילברט)
שמונה 22 אקסיומות. היא פירסמה חוברת סיכום בעברית שיועדה ללימוד על-תיכוני
לתלמידי תיכון מחוננים.

אם אתה ממש רוצה להבין את עניין האקסיומטיקה בגיאומטריה אוקלידית,
תנסה להשיג את החוברת של אמירה דיבשה בחנות לספרי לימוד עתיקים.
אני בטוח גם שתוכל לצלם עותק שלו בספריה של אחת האוניברסיטאות.
מדובר בחוברת של בערך 100 עמודים שתוכננה ללימוד על-תיכוני
(לא מצריך ידע מתמטי מוקדם , מצריך מחוייבות לריגורוזיות).
הגרמנית דווקא בסדר, אבל מה עם העברית? 559274
הגרמנית דווקא בסדר, אבל מה עם העברית? 559350
התואר ''ריגורוזי'' שגור מאוד בפקולטות העבריות למדעים מדויקים, כמחמאה להוכחה קפדנית. בנקודה זו, אין מקום לביקורת על אמ.
הגרמנית דווקא בסדר, אבל מה עם העברית? 559363
למלה ריגורוזי יש משמעות מתמטית טכנית שאינה זהה (בעברית של היום) למַחְמִיר, קָשׁוּחַ, קַפְּדָן.
הגרמנית דווקא בסדר, אבל מה עם העברית? 559364
אוקי. תודה לאא ולאגג על ההבהרה.

אני מכירה את המילה משימושה הנפוץ בגרמנית, שבה המשמעות הינה בדיוק מַחְמִיר, קָשׁוּחַ, וקַפְּדָן (לא תמיד במובן השלילי של המילה).

מהי המשמעות המתמטית הטכנית הנוספת?
האם התכוון אמ בהתשמשו במילה למשהו נוסף מעבר למַחְמִיר, קָשׁוּחַ, או קַפְּדָן?
הגרמנית דווקא בסדר, אבל מה עם העברית? 559370
הכוונה היא פשוט להוכחה מתמטית במלוא מובן המילה (דהיינו, http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_proof ), להבדיל נניח, מהוכחות של פיזיקאים. כמובן, עד שנגיע ליום שבו מאמרים ילווו בקוד של ההוכחה לא נוכל להשתמש במילה כפשוטה, ועל כן כעת משתמשים בה כעת לציין משהו שברור לכל מתמטיקאי בתחום איך לתרגם להוכחה פורמלית.
האם אתה בעצם אומר 559276
?
מתמטיקה: האמנות של להגיד אותו דבר בדרכים שונות 559284
למי שתוהה מהם נפנופי ידיים, הנה משפט החפיפה הראשון מתוך ספר הגיאומריה הישן והטוב של לדיז'ינסקי.
מתמטיקה: האמנות של להגיד אותו דבר בדרכים שונות 559285
זו דווקא נראית לי הוכחה משכנעת ביותר. כל עוד, כמובן, לא משתמשים בכלים ובאקסיומות של הגאומטריה האוקלידית אלא, נאמר, בגאומטריה אנליטית.
מתמטיקה: האמנות של להגיד אותו דבר בדרכים שונות 559346
אני סומך על הילברט ותלמידיו שבדקו היטב את ההוכחה הזו וכנראה מצאו אותה פגומה.

אם יהיה לי זמן אפנה את תשומת ליבך לכמה טיעונים בהוכחה זו
שנראים לי במבט חטוף מפוקפקים מבחינה מתמטית, למרות שהתיאור הציורי משכנע.
מתמטיקה: האמנות של להגיד אותו דבר בדרכים שונות 559357
כל מה שהייתי מצפה מהמורה הוא שיציין את הנקודות הבעיתיות בהוכחה הזאת בלי להכנס לעבי הקורה. אין צורך ללמד את הפרינקיפיה מתמטיקה בתיכון, אבל לא יזיק להפנות את תשומת הלב לתחום העדין בין מה שמוכח בצורה מדויקת לבין מה שרק נראה כזה. אפילו הדגמה של הבעייתיות בהנחות עמומות ובאלמנטים שלא הוגדרו היטב אינה מיותרת בעיני, ועשויה דוקא למשוך את ליבם של בני התשחורת. כמה זמן צריך לקחת להסביר את האנטינומיה של ראסל?

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים