 |
|
 |
||
|
||||
 |
1) האם כל משפט לגבי המספרים הטבעיים הוא נכון או לא נכון? והאם כל משפט בכלל הוא נכון או לא נכון? במובן הלא פורמלי אני מניח שלא ("משפט זה הוא שקר"), אבל במובן הפורמלי? הרי משפט גדל אומר שלכל מערכת אקסיומות עקבית אפקטיבית במספרים הטבעיים, יש משפט שהיא אינה מוכיחה אותו או את שלילתו. אבל האם לכל משפט, בהכרח הוא או שלילתו נכונים? ואיך אפשר לדעת (בוודאות) אם הוא נכון? 2) פורמלית, ברור שאסור להחליף את הכמתים, כי אם נגדיר משפט כלשהו כאקסיומה אז נוכל כך להוכיח אותו. אבל אנו רוצים לדעת לגבי כל משפט אם הוא נכון או לא. אם אכן, כמו שאתה משער (ואם הבנתי נכון אין לך בעצם הוכחה), אין הבדל מהותי בין היכולת של בני אדם לזו של מחשבים להוכיח דברים, או לדעת דברים בוודאות, האם מסופיות המוח האנושי (ובהזנחת השינוי כתוצאה מאבולוציה) לא נובעת העובדה שיש משפט במספרים הטבעיים שאנשים לא ידעו לעולם אם הוא נכון או לא? (אם כי הם וודאי ינסחו אותו, כי מספר המשפטים הנ"ל בן מניה, לא?) |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יכול לענות על השאלות, אבל אני רק תוהה על משהו אחד: מה הקטע עם "סופיות המוח האנושי" שחוזר על עצמו בכמה מקומות? אם משהו הוא סופי זה לא אומר שהוא לא מסוגל "לתפוס" מספר אינסופי של דברים. אוטומט סופי דטרמיניסטי (שבניגוד למכונת טיורינג, אין לו סרט אינסופי משום צורה) מסוגל לזהות שפות שיש בהן מספר אינסופי של מילים, למשל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צריך לעזור לאנשים להבחין בהבדל בין ''הוא מסוגל לתפוס אינסוף דברים (בבת-אחת)'' לבין ''יש אינסוף דברים שהוא מסוגל לתפוס''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אבל האם לכל משפט, בהכרח הוא או שלילתו נכונים?" יש דעות לכאן ולכאן. השאלה נדונה כבר לעיל - למשל בתגובה 317241. "ואיך אפשר לדעת (בוודאות) אם הוא נכון?" זה כבר תלוי במהי ידיעה ודאית לדעתך. אם ידיעה ודאית בנויה מסדרה של הנחות יסוד וצעדי היסק לוגיים, וכיוון שניתן "לדעת" את הטבעיים, משפט גדל מוכיח שלא נוכל. יש מגיבים לעיל שמאמינים שידיעה האנושית כוללת גם "משהו אחר". בהנחה של עולם מטריאליסטי נצחי וחסר גבולות, ללא רוחות ושדים, לאנושות כולה לדורותיה - יש כוח חישובי של מכונת טורינג, על כל הכרוך בכך. אם נגביל את גיל האנושות ל־10 מיליארד שנים, נקבל יצור עם כוח חישובי מוגבל הרבה יותר - אוטומט סופי. "(אם כי הם וודאי ינסחו אותו, כי מספר המשפטים הנ"ל בן מניה, לא?)" הם יוכלו לנסח כל היגד, בהנחה שיהיו ברשותם מספיק אטומים לרשום אותו. הם לאו דווקא יטרחו, כי יש היגדים כנ"ל שהם קצרים וקומפקטים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"האם כל משפט לגבי המספרים הטבעיים הוא נכון או לא נכון?" כפי שציינו אחרים, אנשים שונים עונים על השאלה הזו באופנים שונים. דעתי האישית היא שבהחלט כן, לפחות כאשר "משפט לגבי המספרים הטבעיים" הוא טענה מסדר ראשון (דהיינו טענה שעניינה הוא המספרים עצמם, לא קבוצות של מספרים). "והאם כל משפט בכלל הוא נכון או לא נכון... במובן הפורמלי?" אני לא בטוח שאני מבין את השאלה: אם אתה מתייחס למערכות מורכבות יותר מהטבעיים, אז התשובה היא עדיין "ייתכן שכן" אם כי פה כבר יש יותר סיבות טובות להניח שיש משפטים שהם באמת, מהותית, חסרי ערך-אמת. אבל בהמשך הפסקה אתה חוזר למשפט-גדל על הטבעיים, ואז לא ברור לי ההבדל בין השאלה הזו לשאלה הראשונה. "האם לכל משפט, בהכרח הוא או שלילתו נכונים?" - שוב, דעתי האישית היא שכן (עבור משפטים מסדר ראשון על הטבעיים). יש זרמים בפילוסופיה של המתמטיקה ("אינטואיציוניזם" לסוגיו, בגדול) שאינם מקבלים את ההנחה הזו. "איך אפשר לדעת (בוודאות) אם הוא נכון?" - לא תמיד אפשר. לגבי "ידיעה וודאית" צריך גם לזכור (כאמור במאמר) שלהטיל ספק זה קל: האם אנו "יודעים בוודאות" שהאקסיומות של תורת המספרים הן נכונות? האם אנו "יודעים בוודאות" את מודוס-פוננס? "אתה משער (ואם הבנתי נכון אין לך בעצם הוכחה), אין הבדל מהותי בין היכולת של בני אדם לזו של מחשבים להוכיח דברים" דווקא לזה יש, כמובן, הוכחה. היכולת של בני-אדם "להוכיח דברים" היא בדיוק יכולתם לגזור מסקנות במערכות אקסיומטיות - זה הפשר היחיד של "להוכיח" המוכר לי, בהקשר הזה. את זה בוודאי יכולים לעשות גם מחשבים. מדי פעם צצות טענות (מוזרות בעיני) שבני-אדם יכולים "לדעת" או "לראות" דברים שלא ניתן להוכיח, כך שאם היית מנסח את הטענה כ"אין הבדל מהותי בין היכולת של בני-אדם לזו של מחשבים לדעת דברים", לזה באמת אין לי (ולא תהיה לי) הוכחה. אם תבוא מישהי ותטען שהיא "רואה" שיש אינסוף מספרים משוכללים, אוכל רק לפקפק בדבריה, לא להוכיח שהיא משקרת. לצערי, אני משוכנע לגמרי שלי אישית אין כל "ראייה" מופלאה כזו. "האם מסופיות המוח האנושי לא נובעת העובדה שיש משפט במספרים הטבעיים שאנשים לא ידעו לעולם אם הוא נכון או לא?" לא. כלומר, הסיפא של המשפט היא מאוד מאוד סבירה, אבל היא לא נובעת מהרישא. סופיות המוח האנושי אינה מגבילה את יכולתנו לדעת לגבי כל משפט בגיאומטריה של המישור - עולם אינסופי ועשיר בהחלט - אם הוא נכון או לא נכון. עם זאת, כאמור, ההנחה שיש משפטים על הטבעיים שלא נדע לעולם אם הם נכונים או לא היא סבירה למדי - גם בעקבות משפט-גדל, כמובן, וגם מסיבות פרקטיות של זמן ומקום. למשל, אני מוכן להמר שלא נדע לעולם מהו הפירוק לגורמים ראשוניים של 100+3^10^10 (חידה: להראות שזה אינו מספר ראשוני). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצאתי את הפתרון לחידה. אני אפרסם אותו אם לא יהיו תגובות תוך זמן סביר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תן הוכחת ZK לטענתך! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוכחת אפס ידע שתשכנע גם את מי שלא יודע את הפתרון קשה לי למצוא, אבל הוכחה שתשכנע את מי שיודע את הפתרון דווקא יש: יהא n המחלק הטבעי (גדול מ-2) המינימלי של המספר. n^n-n מתחלק ב-9. כמובן שזה לא ממש ZK, ושאפשר למצוא את הפתרון על הסמך הרמז הזה, אבל עבור "עיוורים מרצון" זה מספיק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שכנעת אותי. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |