מתמטיקה מונדית 325523
המושג המרכזי ברוב ענפי המתמטיקה מבוסס על מושג האוסף.

עפ"י תורת הקבוצות של צרמלו-פרנקל (הנחשבת לתורת הקבוצות הקלאסית של המתמטיקה המודרנית) קבוצה לא ריקה מכילה תמיד איברים השונים זה מזה, לדוגמא: {a,a,b}={a,b} וכו'

כמו כן לא קיימת קבוצה משלימה לקבוצה-הריקה ( המסומנת כ-{} )
והיא הקבוצה-המלאה ( המסומנת כ-{__} ) כאשר תוכנה של הקבוצה המלאה אינו מוגדר כאוסף אלא כאלמנט בלתי-פריק ורציף לחלוטין הגדול מ-‏0.

אלמנט זה אינו מכיל בתוכו שום תתי-אלמנטים ולכן הוא אלמנט יסוד בדיוק כמו נקודה (אשר הינה אלמנט בלתי-פריק שגודלו=0).

יש לציין כי אין מדובר פה על הישויות הגיאומטריות המתוארות כ-קו ונקודה, אלא מדובר פה על תבניות יסוד של מידע הכלולות ביסוד מושג הקבוצה.

לפי תפיסה זו מוגבלת תורת הקבוצות הקלאסית (קרי צרמלו-פרנקל}
לשתיי תבניות מידע והן: הקבוצה-הריקה והקבוצה הלא-ריקה, כאשר תוכנה של הקבוצה הלא-ריקה מכיל אוספים המבוססים ביסודם על תבנית המידע של הנקודה (אשר הינה אלמנט בלתי-פריק שגודלו=0).

הכנסתה של הקבוצה-המלאה לעולם המתמטיקה, יוצרת שינוי עמוק בכל הענפים המבוססים על מושג הקבוצה, לדוגמא:

היות ומושג הרצף משוייך עתה לקבוצה המלאה, נובע מכך שכל אוסף אין-סופי של איברים מובחנים אינו יכול להשיג את מצב הרצף של הקבוצה המלאה, ולכן הוא בלתי שלם בעליל (מתוך ההשוואה בין האוסף האין-סופי למצב הרצף של הקבוצה המלאה).

המשמעות המיידית היא, שלא ניתן להפעיל כמת אוניברסלי (הכמת "לכל") על קבוצה אין-סופית, וכמו-כן לא ניתן להגדיר את הקרדינל המדוייק של קבוצה אין-סופית (כי היא בלתי שלמה בעליל), דבר המונע את קיומו של העולם הטרנספיניטי (אליבא דקנטור).

דוגמא נוספת קשורה לטרחנים כפיתיים הטוענים, לדוגמא כי ...0.999 < 1 .

ובכן, כאשר קיים שימוש במושג הקבוצה-המלאה במסגרת שפת המתמטיקה, ניתן להוכיח כי:

1 > ,..., > [בסיס 10]...0.999 > [בסיס 3]...0.222 > [בסיס 2]...0.111

אם משתמשים במושגי כמו יופי ואסתטיקה, הרי שתורת-קבוצות ללא מושג הקבוצה המלאה, הינה פחות אסתטית מתורת-קבוצות המכילה את הקבוצה המלאה, כאשר היופי נובע משיקולים של סימטריה (עם {} אז {__} ולהיפך).

במשך ה-‏20 שנים האחרונות פיתחתי את מה שאני מכנה "מתמטיקה מונדית" שבה יש שימוש בקבוצה-המלאה.

האתר העוסק בפיתוח תורה זו נמצא ב:

מתמטיקה מונדית 325542
איבדת אותי ב"אלמנט בלתי פריק ורציף לחלוטין הגדול מ-‏0".

אנא הגדר יותר במדוייק את שלושת המושגים הבאים:

1) אי פריקות של איבר כללי בקבוצה (אני מכיר אי פריקות, למשל, בהקשרים של מספרים טבעיים ופולינומים, ובשני המקרים נדרש מבנה של חוג לצורך ההגדרה).

2) רציפות לחלוטין של איבר כללי בקבוצה (אני מכיר רציפות רק בתור התכונה הגבולית של פונקציות).

3) גודל של איבר כללי בקבוצה (אני מכיר מושגים כמו נורמה, אבל כנראה שלא לזה כוונתך).

(אני חושש שהאתר שלך מסורבל מדי לטעמי, וממילא אני מעדיף למידה בדרך של דיאלוג).

אגב, מה הבעיה עם הטענה ש-‏0.999...=1? ההוכחה שלה היא מיידית אם מניחים הנחה סבירה למדי ש-‏0.999... קטן או שווה ל-‏1 אבל גדול מכל מספר רציונלי מהצורה 0.99999 (מספר שרירותי של 9 אחרי הנקודה).
אתה יכול, בבקשה, להסביר את ההוכחה 325547
אתה יכול, בבקשה, להסביר את ההוכחה 325553
יש שתי הוכחות נחמדות שאני יכול לחשוב עליהן:

אם נסמן x=0.999... אז 10x=9.999... (אם אתה לא מסכים איתי כאן נעבור להוכחה השנייה). לכן 10x-9=0.999... כלומר 10x-9=x, ואחרי העברת אגפים וצמצום תקבל x=1.

אם לא הסכמת איתי אפשר משהו בסגנון של אינפי (אם אתה מקבל את ההנחות שציינתי בהודעה הקודמת): נראה שלכל e חיובי מתקיים שאחד פחות x קטן מ-e. בשביל זה פשוט קח y=0.9999 רציונלי גדול מספיק כך שאחד פחות y קטן מ-e, ואז ברור שאחד פחות x קטן מ-e כי x גדול מ-y. צרף לזה את העובדה ש-x קטן או שווה ל-‏1 ותקבל שבהכרח x=1.
אתה יכול, בבקשה, להסביר את ההוכחה 325556
ההוכחה הראשונה יפה באמת.

ההוכחה השניה נחמדה, אבל מסורבלת מידי (אפשר לקצר אותה, יש לך יותר מידי משתנים).

אבל אני רציתי הסבר להוכחה שבתגובה 325542.
אתה יכול, בבקשה, להסביר את ההוכחה 325569
לדעתי ההוכחה השנייה (למרות שהיא די מסורבלת כאן באמת, קשה לכתוב מתמטיקה) עדיפה על הראשונה, כי בראשונה אנחנו עושים מניפולציות אלגבריות למספר (מי אומר שמותר לכפול אותו ב-‏10? מי אומר שמקבלים את התוצאה שאני קיבלתי? זה די הנחת המבוקש, לא?) ובשנייה מניחים רק את התכונות האלמנטריות של גדול מ- וקטן מ- (ושאפשר לבצע חיסור). בניסוח אחר: בהוכחה הראשונה מתבססים על כך שהמספר "נראה כמו" 0.999... ואילו בשנייה לא משנה אם היו קוראים למספר x וזהו מלכתחילה, היא עדיין הייתה עובדת.

אני לא רואה הוכחה בתגובה שאליה קישרת. בכל התגובה חוץ מהשורה האחרונה אני שואל שאלות, ובשורה האחרונה מדבר על ההנחות שדרושות להוכחה השנייה שהצגתי בהודעה הקודמת שלי.
אתה יכול, בבקשה, להסביר את ההוכחה 325582
(הוכחה יותר פשוטה, אני חושב, תהיה להניח שהם שונים, ולכן קיים מספר כלשהו ביניהם ששונה משניהם, ואז פשוט לכתוב אותו...)

חשבתי שאם אתה מדבר על הוכחה ''מיידית'' אתה מתכוון למשהו יותר, איך נקרא לזה, מיידי. עזוב, תתעלם, טעות שלי.
אתה יכול, בבקשה, להסביר את ההוכחה 325588
(נראה יותר פשוט באמת)

סטודנטים במתמטיקה שמים לב לפעמים לכך שכשאומרים "מיידי" יש שלוש משמעויות אפשריות:

1) ההוכחה הולכת כך: "על פי הגדרה".
2) ההוכחה לוקחת כמה וכמה שורות אבל היי, את משפט פרמה הוכיחו על גבי מאות דפים.
3) ההוכחה ממש מסובכת אבל למרצה אין כוח להיכנס אליה עכשיו (לרוב הוא יאמר "אשאיר זאת כתרגיל לא רשמי").
אתה יכול, בבקשה, להסביר את ההוכחה 325623
אני דווקא חשבתי ש"מיידי" זה "קל לראות", ופירושו - תוך 20-30 עמודים גג אתה מגיע למ.ש.ל.
אתה יכול, בבקשה, להסביר את ההוכחה 401284
נתקלתי בעוד הוכחה נחמדה: אם אנחנו מסכימים ש-‏0.9999... הוא בעצם הגבול של הטור 0.9+0.09+0.009+... ניתן להשתמש בנוסחה של טור הנדסי מתכנס - האיבר הראשון הוא 0.9, והמנה היא 0.1, ולכן הסכום הוא 0.9 כפול אחד חלקי (אחד פחות 0.1), שזה בדיוק 1.

כמובן שכאן צריך להסכים לכל התיאוריה של טורים מתכנסים (או לפחות טורים הנדסיים מתכנסים), אבל אני מקווה שכולנו מסכימים.
מתמטיקה מונדית 325695
האתר אכן מסורבל, אבל כדי לקבל מושג כללי אני ממליץ על המסמך הראשי המתאר את הפרוייקט:

המסמך נפתח כך:

The Galactic Examination Project

The idea behind the Galactic Examination is to simulate a situation that can help us to use a self reference constructive criticism, in order to find out if we can be considered as legitimate members of the union of the intelligent civilizations of our Galaxy.

...

The possibility of making a fundamental change in this language, as a natural continuation of the simultaneous discovery of Non-Euclidean Geometry in 1823, can help us to pass the minimal criterion of the Galactic Examination.
In our opinion, this simulation is one of the most important actions that any intelligent species has to initiate as a natural part of his own development.
מתמטיקה מונדית 325709
יכלתי לנחש שזה המושג הכללי כבר מההודעה שפורסמה כאן (מה מניע אדם לפרסם הודעה שכזו בדיון הזה - לאלוהים פתרונים).

אולי אתה יכול להביא לי דוגמה של מתמטיקאי בעל רעיונות מתמטיים מבריקים שהמניעים שלו היו פסיכיים בתכלית? בטח יש לפחות אחד.
מתמטיקה מונדית 325727
בטח יש? אין לי מושג. יש כמה מתמטיקאים מפורסמים שיצאו מדעתם באיזשהו שלב, אבל לרוב זה גם היה הקץ של היצירה המתמטית שלהם.
מתמטיקה מונדית 325734
המממ, מה עם פיתגורס? (למרות שבמקרה שלו לא כל כך ברור שהתגליות שמיוחסות לו היו שלו ולא של תלמידיו, שמצד שני היו אמורים להיות פסיכיים בערך כמוהו).
מתמטיקה מונדית 325738
קצת רחוק מכדי לשפוט. חוץ מזה, רעיונות קוסמיים-נומרולוגיים היו הרבה פחות פסיכיים אז משהם נראים היום.
מתמטיקה מונדית 325733
עם דורון הסליחה. אני רואה שהוא הוזכר בדיון, וזה מספק תשובה אפשרית אחת לשאלה שהעליתי בסוגריים.
מתמטיקה מונדית 325902
אני לא יודע אם לכך אתה מתכוון, אך המתמטיקאי ההודי רמנוג'ן טען כי את הרעיונות שלו הוא מקבל בחלום מן האלה נאמאקאל.
מתמטיקה מונדית 435324
טים גאורס מנהל דיאלוג (מדומה) עם פדנט:
מתמטיקה מונדית 435335
לדעתי כבר עדיף לחסוך את כל הדיון הזה וללמוד אחת מהבניות הפורמליות המקובלות של המספרים הממשיים. הן לא כל כך נוראיות (כלומר, סטודנט למתמטיקה מסוגל להבין אותן עוד לפני סוף הסמסטר הראשון).
מתמטיקה מונדית 435336
נדמה לי שהנקודה של גאוורס היתה *להצדיק* את הצורך בלימוד ההוא.
מתמטיקה מונדית 435337
אז השתכנעתי, אם כי לא ברור לי למה כתבת את ההודעה הזו דווקא כאן.
מתמטיקה מונדית 435338
בגלל שחיפוש על 0.9999 העלה את התגובה הזאת.
המתמטיקה המונדית נודדת דרומה 340784
(וברכות לאייל הצעיר ולי, ששאלות שלנו היו כנראה כה טובות שעכשיו הן חלק מהאינטרודוקציה)

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים