 |
|
 |
||
|
||||
 |
ציטוט מהמאמר של אלון: "המשפט הראשון: אם T תורה אריתמטית, אפקטיבית ועקבית, אז יש נוסחה G כך ש-T אינה מוכיחה את G וגם אינה מוכיחה את שלילתה של G. מכאן ש-T איננה שלמה." בשאלתי אני משתמש במספרי גדל באופן הבא (אשר אינו משתמש ברקורסיה כפי שנעשה במשפט הנ"ל, מסיבה שתצוין בהמשך): מבחינה תחבירית (ללא הענקת משמעות (ללא סמנטיקה)) קיים קובץ אינסופי A כך ש-{} שייכת ל-A, ולכל x השייך ל-A, האיחוד בין x ל-{x} שייך גם הוא ל-A (זהו למעשה תיאור מילולי של אקסיומת האינסוף). מבחינה תחבירית x --> xU{x} הינה פונקצית שייכות חח"ע של A. הבה ונגדיר 2 מודלים (נעניק משמעות) לפונקציה הנ"ל, כדלקמן: מודל 1: יהי כל x אקסיומה (נוסחה מוגדרת היטב שאינה זקוקה להוכחה) ב-A. יהי כל xU{x} משפט (נוסחה מוגדרת היטב הזקוקה להוכחה) ב-A. תהי A קבוצה אינסופית, כאשר מושג האינסוף מוגדר במובן האקטואלי (A הינה קבוצה אינסופית ושלמה (אף לא אחד מאיבריה נפקד) ולכן אין שימוש ברקורסיה, כפי שנעשה במשפטי אי-השלמות של גדל). כל משפט ב-A מקודד ע"י מספר גדל, כאשר אחד מהמשפטים המסומן כ-G מצהיר: "לא קיים מספר m, כך ש-m הינו מספר גדל של הוכחת G ב-A". היות וכל אינסוף הנוסחאות המוגדרות היטב כבר נמצאות ב-A) A הינה קבוצה אינסופית ושלמה) קיים מספר גדל m ב-A המוכיח את G ב-A, ובאנו לידי סתירה וזאת, מפני ש-A מוגדרת עפ"י מושג האינסוף האקטואלי. מודל 2: יהיו כל x וכל xU{x} אקסיומות (נוסחאות מוגדרת היטב שאינן זקוקות להוכחה) ב-A. אקסיומה G ב-A מצהירה: "לא קיים מספר m, כך ש-m הינו מספר גדל של הוכחת G ב-A". על אף ש-A מוגדרת עפ"י מושג האינסוף האקטואלי, איננו באים לידי סתירה, היות ו-G הינה אקסיומה (נוסחה מוגדרת היטב שאינה זקוקה להוכחה) ב-A. אך מודל 2 אינו מעניין, כי הוא מייתר את עצם הצורך בהוכחות (שזהו עיקר עיסוקם של מתמטיקאים). ----------- האם (עפ"י המודלים לעיל) ניתן להסיק כי מושג האינסוף האקטואלי במסגרת תורת קבוצות למעשה מונע מתמטיקה מעניינת? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אציין כי בשאלתי הנ"ל ניתן להחליף את x --> xU{x} ב-x --> {x},כדלקמן: מבחינה תחבירית (ללא הענקת משמעות (ללא סמנטיקה)) קיים קובץ אינסופי A כך ש-{} שייכת ל-A, ולכל x השייך ל-A, האיבר {x} שייך גם הוא ל-A (זהו למעשה תיאור מילולי קבוצה אינדטקדיבית עפ"י גרסתו של צרמלו). מבחינה תחבירית x --> {x} הינה פונקצית שייכות חח"ע של A. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |