מתמטיקת שוליים 276
המשפט האחרון של פרמה - החידה ששיגעה את המוחות הטובים בעולם במשך 358 שנים. מאת סיימון סינג. הוצאת ידיעות אחרונות. 403 עמ'.
למשוואה שלמעלה אין אף פתרון שלם שאינו אפס עבור n גדול מ-‏2. כיום, אפשר להצהיר זאת בבטחון; אין מדובר עוד בשאלה נתונה לדיון. אבל גם אם המסך בו אתם מביטים כעת גדול במיוחד, שולי המאמר הזה לא יספיקו כדי להכיל את ההוכחה, שהתגלתה לאחרונה.

המשפט האחרון של פרמה הוא כנראה השאלה המוכרת ביותר בתורת המספרים. לכל אורך ההיסטוריה, חידות מתמטיות רבות העסיקו את מוחותיהם של מתמטיקאים חובבנים ומקצועיים כאחד. חלק מאותן חידות טרם נפתרו גם בימינו, ומחכות לפתרונן כבר זמן רב (השערת גולדבך, למשל). אבל למשפט האחרון של פרמה היה יחוד חשוב: היה זה אתגר שאדם אחד, מתמטיקאי מוכשר ומוערך, הכריז כי מצא את פתרונו. וכאילו לא די בכך - פרמה טען כי הייתה בידיו "הוכחה נפלאה באמת של משפט זה". רק שהשוליים, עליהם שורבטה האבחנה, פשוט לא היו רחבים דיים כדי להכיל את ההוכחה כולה.

פרמה לא הספיק לספר לעולם מה הייתה אותה הוכחה מופלאה.

מתמטיקאים ידועים לשמצה בקפדנותם. הצעה שאין לה הוכחה תקרא "סברה" עד אשר תמצא ההוכחה ותתקבל על ידי הכלל. רק בזכות שמו הטוב של פרמה, זכתה הצעתו להקרא "משפט" - אף על פי שלא הייתה לה הוכחה מוכרת.

וכך, למעלה משלוש־מאות שנים, מתמטיקאים במקצועם וחובבנים גם יחד המשיכו במצוד אחר ההוכחה החמקמקה. לבסוף, באוקטובר 1994, פרופסור אנדרו ווילס מאוניברסיטת פרינסטון פרסם הוכחה ששרדה תחת עיניהם הבוחנות של עמיתיו למקצוע והפכה להוכחה המקובלת לחידה הידועה. המוניטין של פרמה נוקו מספק - טענתו אכן נכונה.

בהוכחתו, ניצל ווילס טכניקות מתמטיות חדשניות, שרבות מהן התגלו שנים רבות אחרי מותו של פרמה בשנת 1665. סיפורה של החידה ופתרונה נמתח על פני 358 שנים, וכולל כמעט כל מתמטיקאי בכיר בתקופה הזו. התוצאה, אם כן, היא סאגה היסטורית אמיתית. ספרו של סינג פורש בפני הקורא סיפור מרתק ומסקרן, במהלכו משולבות לא מעט דמויות צבעוניות ואנקדוטות מקסימות.

ברם, למרות העלילה הנפלאה, "המשפט האחרון של פרמה" לוקה במספר נקודות מאכזבות. ראש וראשון לליקויים הוא אופן עיסוקו של הספר במתמטיקה. ישנן שתי דרכים לספר סיפור שכזה: האחת היא לזנוח את המתמטיקה לחלוטין, תוך התרכזות בדמויות הפועלות ובסאגה בלבד; והשניה היא לתת מספיק פרטים כדי לספק את הקורא הסקרן לידע מתמטי. ברור כי לאור טבעו ה"בלשי" של הסיפור, האפשרות השניה היא המועדפת. סינג בחר בפשרה מאכזבת, המתקרבת, לצערי, דווקא לאפשרות הראשונה. מובן שלא ציפיתי לתיאור מלא ומפורט של ההוכחה - נטען כי רק חלק קטן ממתמטיקאי העולם מסוגלים להבינה - אך דומני כי מרבית הקוראים יראו את הנחותיו של סינג לגבי היקף הבנתם המתמטית כעלבון. בכותבך ספר שכזה, ניתן להניח בבטחה כי רוב רובם של הקוראים יהיו לפחות בעלי נטיות מתמטיות כלשהן. די מגוחך לחזור על הגדרת המושג "מספר ראשוני" יותר מפעם אחת, למשל.



דוגמא קיצונית להתעקשותו של סינג להגן על הקורא מפני מושגים מתמטיים היא טיפולו ברעיון האינדוקציה. ניתנת מטאפורה נאה של קוביות דומינו נופלות, אך מנקודה זו והלאה, סינג מתעקש לדבר במונחים של קוביות דומינו בלבד, ובורח מהמילה "אינדוקציה" כמו מאש.

עשרה נספחים מכפרים במידה מסויימת על גישה זו כלפי מתמטיקה בסיסית, והם כוללים הוכחות מפורטות של כמה מושגים פשוטים (כמו, למשל, מדוע השורש המרובע של 2 הינו מספר אי־ראציונאלי). ובכל זאת, קוראים רבים ימצאו נספחים אלו שטחיים להחריד.

מגרעת נוספת של הספר היא כי בלהיטותו לספק לקורא פרטים משלימים, סינג נסחף לעיתים לתחומים בלתי־רלוונטיים בעליל. מחשבים, למשל, שיחקו תפקיד מאוד מצומצם בהוכחתו של ווילס למשפט האחרון של פרמה. והנה - בכל זאת מקדיש הספר כעשרה עמודים למבוא להיסטוריה של המחשבים, כולל ביוגרפיה קצרה של חלוץ המחשבים אלן טורינג. קריאה מרתקת, אכן, אך אין לה קשר של ממש לנושא המרכזי. לעומת זאת, פרטים רלוונטיים יותר נותרו בחוץ לעיתים קרובות מידי. בולט בחסרונו הוא מידע על חייו של אנדרו ווילס עצמו - אותו אדם שגילה את ההוכחה המהוללת.

עם פתרונו של המשפט האחרון של פרמה, ווילס הביא לסיומו עידן שלם בהיסטוריה של המתמטיקה. ובכל זאת - ברור לכל כי הוכחתו של פרמה כלל לא הייתה דומה לזו של ווילס. כאמור, ווילס השתמש בטכניקות המתמטיות החדשות ביותר. תרומתו העיקרית הייתה הוכחתו של משפט הידוע כסברת טאניאמה־שימורה (או, כעת משהוכחה הסברה - משפט טאניאמה־שימורה). משפט זה הוצע לראשונה בשלהי המאה העשרים.

אם כן, למעשה, ישנן שתי אפשרויות: או שפרמה מעולם לא פתר את הבעיה באמת - הוא רק חשב שהוא פתר אותה; או שהוכחתו הייתה כה מדהימה עד כי אף אדם במהלך למעלה משלוש־מאות וחמישים שנה, לא הצליח לשחזרה. מתמטיקאים כיום עדיין חלוקים בשאלה זו. אם אתם מאמינים כי הוכחתו של פרמה עדיין נמצאת אי שם במרחבי עולם המתמטיקה, עדיין יש לכם סיכוי לזכות בתהילת עולם: מצאו אותה! בתור התחלה, פרסמו אותה כתגובה לסיפור זה.

עוד סיכוי לתהילה מצוי במספר שאלות אחרות שעדיין מטרידות את מיטב המוחות המתמטיים של ימינו. בפרק האחרון של המשפט האחרון של פרמה, סינג מספק רשימה של המפורסמות שבחידות אלה. חלקן, הוא רומז, יכולות, אולי, להפתר באמצעות אלגוריתמים מתוחכמים. מהנדסי התוכנה, שימו לב: הרי לכם סיכוי לזכות ולהכנס לספרי ההיסטוריה - ולספרי המתמטיקה.



הערה: ביקורת זו נכתבה לאחר קריאת הספר בשפת המקור. לא קראתי את התרגום העברי שפורסם לאחרונה; אם אתם כן קראתם אותו, אשמח לשמוע את דעתכם על איכות התרגום.
קישורים
המשפט האחרון של פרמה - קנו את הספר במיתוס
פרסום תגובה למאמר

פרסומים אחרונים במדור "ספרים"


הצג את כל התגובות | הסתר את כל התגובות

7299
זכורה לי תוכנית יפה בנושא מסדרת HORIZON של BBC, ששודרה בערוץ 8 לפני כשנה. לקורא העצלן מומלץ לרבוץ בספה ולהמתין למיחזור התורן של משדר זה בכבלים.
לא מפתיע 7301
הספר אכן מבוסס על תחקיר שערך סינג עבור פרק בסדרת טלוויזיה בריטית (הספר פורסם במקור בבריטניה). HORIZION של BBC אמרת? יתכן בהחלט שמדובר בפרק זה ממש.
לא מפתיע 7305
אכן. סיימון סינג וג'ון לינץ' יצרו יחדיו את הפרק המדובר. פרטים נוספים, כולל התסריט המלא, ניתן למצוא ב- http://www.bbc.co.uk/horizon/fermat.shtml
אתר בנושא 7302
האתר הבא מכיל מידע על הנושא בעיברית.
אתר בנושא 7313
אתר ממש מעולה - תודה על הקישור!

(שרפתי עכשיו כמעט שעה על האתר הזה, במקום לבדוק מבחנים. תראה למה שאתה גורם).
העכבר משך בחבל, הופ יצא הגזר 7309
אנדרו וויילס יירשם בספרי ההיסטוריה של המתמטיקה כמתמטיקאי שהוכיח את משפט פרמה. אבל האם הוא באמת ראוי לתואר הזה? כפי שנכתב במאמר, וויילס הוכיח משפט שאינו קשור כלל לתורת המספרים (לא לגמרי ברור מהספר לאיזה תחום הוא כן קשור, אבל אין ספק שלא לתורת המספרים). מתמטיקאי אחר, שלמרבה הסמליות אינני זוכר את שמו, הראה באמצעות אקרובטיקה מתמטית מרשימה שמשפט פרמה נובע מאותו משפט שוויילס הוכיח. אולי דווקא למתמטיקאי הזה מגיע הכבוד?

אמנם, הוכחה מתמטית היא כמו מגדל שמתבסס על יסודות עתיקים, ואף אחד לא יעלה על דעתו לתת לארכימדס, נניח, קרדיט על משפט פרמה, אף על פי שהוא פיתח את היסודות לתורת המספרים. בכל זאת, נדמה לי שיש לתת את הקרדיט לאנשים שהניחו את האבנים הגדולות והמרכזיות בדרך לפסגת המגדל.
העכבר משך בחבל, הופ יצא הגזר 7311
השאלה, כמובן, היא איזו אבן גדולה יותר: הוכחת השערת טניאמה-שימורה, או הוכחת הקשר בין השערה זו לבין משפט פרמה. כמובן שאין לי מושג. ואולי בכלל החלק המשמעותי ביותר הוא עצם העלאת ההשערה, כלומר הקרדיט הגדול ביותר מגיע לטניאמה ושימורה?

אין מה לעשות: את ההלל מקבל בדרך-כלל זה שמנחית את המכה האחרונה.

מה שמזכיר את הארדי, אותו מתמטיקאי בריטי מפורסם בזכות עצמו שבכל פעם שהיה מפליג לארה"ב (בטרם ימי הקונקורד) לתת הרצאות, היה מודיע מראש שההרצאה הראשונה תהיה על הוכחה שמצא למשפט פרמה. כך הבטיח לעצמו תהילת נצח אם הספינה תטבע...
פרמה לא הוכיח את המשפט 7344
דרך אגב, הדעה המקובלת כיום היא כי פרמה לא הוכיח את המשפט, וזאת מהסיבה שמאוחר יותר בקריירה שלו הוא ציין הוכחות למקרים 3, 4 – מה שלא הגיוני לו הייתה לו הוכחה למקרה הכללי.

מן הסתם, פרמה לא יחס חשיבות להערת שוליים קטנה...
פרמה לא הוכיח את המשפט 7701
על זה נאמר במוסדות להשכלה גבוהה, "קל לראות"... ההמשך לא נאמר אף פעם ("...אבל קשה מאוד להוכיח").
מה שמזכיר לי, שבמבחן סמסטר חורף תש"ס בקורס אלגברה מודרנית ח' בטכניון, אחת השאלות היתה להוכיח כי טרנספורמציה מסויימת היא איזומורפיזם.
אנוכי ראה כי ההוכחה עלולה להתפרס על מספר דפים, וזמן רב לא היה לכבודו, לכן כתבתי "קל לראות שזה הומומורפיזם", והוכחתי רק את התנאים לאיזומורפיזם.
יחי פרמה. (-;
פרמה לא הוכיח את המשפט 8498
...וקיבלת את כל הנקודות?
פרמה לא הוכיח את המשפט 8500
זה היה לפני כשנה, אבל עד כמה שזכור לי, קיבלתי קצת יותר מחצי מהניקוד על הסעיף של הוכחת האיזומורפיזם...
כיסתו"ח לא נורמלי (-;
סיפור מדב משעשע שמבוסס על 20231
כל העניין שרץ סביב המשפט האחרון של פרמה תוכלו
למצוא כאן:
חביב!
סיפור מדב משעשע שמבוסס על 20238
לא ממש חביב. צפוי בערך מאמצע הטקסט, והטקסט עצמו מייגע.
צפוי 20245
אבל עדיין נהניתי לקרוא אותו
גם אני קראתי את הספר ונהנתי 31804
וכחובב מתימטיקה כבר הרבה שנים, גם לי יצא לנסות לפתור את הבעייה וכמו כולם לא הצלחתי במשימה שנראית קלה, אבל היא ממש לא.

אגב, מישהו שמע על הספר החדש: "המשפט האחרון של דרעי ? לינק מצורף... :-)

33502
אני מצאתי את הספר "המשפט האחרון של פרמה" אחד המרתקים שקראתי אי פעם.

אינני מסכים עם הביקורת של טל. המתמטיקה היתה בדיוק במינון הנחוץ לי. זוהי גדולתו של מי שכותב מדע פופולרי לקהל הרחב. אני מניח שלטל רקע מתמטי הרבה יותר נרחב משלי. לא חשתי כל עלבון ברקע שהכותב מייחס לי. השאלה העיקרית היא רק אם הקורא האופייני, קהל המטרה של הספר, דומה לי יותר מאשר לטל.

נקודה שהספר נגע בה: רוב המתמטיקאים מגיעים להישגיהם הגדולים ביותר בסביבות גיל 20. אנדרו ווילס, שהוכיח את משפט פרמה, היה הרבה יותר מבוגר (41, אם אינני טועה), אך הוא נתקל לראשונה בבעיה, ואף החל לעבוד עליה, כשהיה בן 9(!). מה שמזכיר לי שהוכחתי את משפט המפה בת ארבעת הצבעים בגיל 16, ולא עשיתי עם זה דבר.
אמנם יש בטענה זו מעט אמת, אך.. 58713
.. היא איננה מדוייקת, כפי שמאמר זה מציין:

הדוד פטרוס והשערת גולדבך 53831
מספר מומלץ באותו נושא!
(של איזה מתמטיקאי יווני, והפעם על השערה שעדיין פתוחה)

כתיבה קולחת, מתח, רוחב יריעה, היסטוריה מתמטית בהתהוותה, תובנות מתמטיות חשובות וכלליות.
(אני לא מקבל אחוזים, אני פשוט מתלהב)
הדוד פטרוס והשערת גולדבך 53946
בשביל כל מי שמתענין, למתמטיקאי היווני קוראים אפוסטולוס דוקסיאדיס (נשמע כמו סוג של אנטיביוטיקה, אולי השם היווני של דידידוקסין) והספר בהחלט מומלץ למרות, שבניגוד למשפט של פרמה, מדובר בסיפור בדוי לחלוטין.
מי רוצה להיות תחקירן? 59061
ראיתם את המודעה המתפרסמת היום בתחתית עמ' 2 של "הארץ", מתחת ל"יבי"?
אני אני אני 59094
האם תוכן של מודעה בתשלום מוגן על ידי זכויות יוצרים? סביר שכותב המודעה דווקא ישמח לציטוט, אז הנה הוא:

המשפט הגדול של פרמה
----------------------------------
מורה למתמטיקה, גרשון רבינוביץ', הוכיח המשפט הגדול של פרמה באופן כללי, בשיטות פשוטות של מתמטיקה אלמנטרית של בית ספר תיכון.
הוכחה זו הוכחה בשפה הרוסית.
----------------------------------
טלפון: 02-6480258

דיסקליימר: שבט רבינוביץ הוא גדול ותמהוני.
אגב, במסגרת המאבקים של "בזק" באתר http://www.441.co.il/ , האתר מושבת היום (עבד שלשום), ולא הצלחתי לברר למי שייך מספר הטלפון.
זה תחקיר זה? 59095
ראשית, תודה. חסכת לי לסרוק את המודעה ולפרסם קישור. שנית, בשביל ללכת ל- 441 לא צריך להיות תחקירן. התכוונתי שאתה (או מי שירים את הכפפה) יתקשר למספר וינסה לברר במה העניין.
נייט פינימיי פארוסקי 59096
איך הרוסית שלך?
פארוסקי זה לא מילה‏1 59098
המודעה בעברית, אז בלי תירוצים. גם לא כתוב "בס"ד" בפינה, ולא כתוב "לא בשבת". הערב עוד צעיר...

1 אלה שתי מלים: פא רוסקי (לפי התעתיק שלך).
פארוסקי זה לא מילה 59102
כאמור: "הוכחה זו הוכחה בשפה הרוסית."
ולפי הכותרת, הרוסית שלך טובה משלי.
אני אני אני 59100
בהתחשב בדרך העבודה שקיימת בדר''כ בעולם המתמטיקה, העסק נראה לי חשוד מאד.
אני אני אני 59103
במקום ''חשוד'' הייתי מניח ''תמהוני'', אבל לך תדע.
אני אני אני 59106
אבל מדוע אתה לא מתקשר כדי לברר?!
אני אני אני 59107
יא ניה פנימיו רוסקי יאזיק.
תן לאצבעות ללכת 59108
אוף איתכם! המודעה התפרסמה בעברית, בעיתון עברי. ה"הוכחה ברוסית" הרי איננה הסיפור כאן. אז מה הסיפור? התקשרו ובררו.

למען הסר ספק: אין לי כל קשר למודעה.
תן לאצבעות ללכת 59111
עכשיו כשאני חושב על זה, זו בטח הודעה סודית להפעלת סוכן של המוסד (במקרה הטוב) או של סוכנות ביון זרה (במקרה הרע.) או, דרז'ינסקי, היכן אתה כשצריך אותך?
תן לאצבעות ללכת 59190
ניסיתי לדבר עם מר גרשון רבינוביץ.

העברית שלו טובה בערך כמו הרוסית שלי, מה שאומר שראיון עיתונאי דגול אין לי.

הוא אמר שניתן להשיג את המאמר בחנות ספרים בירושליים, ברחוב אגריפס 900 (חנות ספרים ועיתונים ברוסית).
:-) 59204
חן, כל הכבוד! אילו הייתי GeG הייתי מעניק לך צל"ש או משהו. האם היית מסכמת ואומרת שהמניע העיקרי לפרסום המודעה היה הרווח הצפוי ממכירת המאמר?
:-) 59205
אין איזו ועדה בינלאומית למתמטיקה שיכולה להתנגד לזה? הרי אסור בעקרון להרוויח כסף על הוכחה של משפט מתמטי, לא?
:-) 59227
קלוש.
הרווח לא יכול להיות רציני. אוכלוסיית המתעניינים בהוכחות חדשות למשפט עתיק היא בערך אותה אוכלוסיה שלא תאמין שהוא מצא הוכחה...
סביר להניח שהמודעה עלתה לו יותר.

מצד שני, אין לי מושג מה יכול להניע אותו לפרסם את קיום המאמר ב"הארץ".

אולי אין לו גישה לעיתונות מתמטית בשפה הרוסית?

בכל אופן, אם יש ירושלמי שיכול למצוא את המאמר ולשלוח לי, אני מבטיחה לכסות את ההוצאות ואולי גם לפרסם תרגום.
:-) 59277
תעודת הצטיינות מוענקת בזאת.
גם אתה זוכה בסיכת הוקרה, על ההתחכמות.

דיסקליימר לדובי: אני לא באמת מחלק פרסים.
אכן ספר מדהים! 502571
אני בעיצומו של הספר ואני אכן מתרשם ממנו מאוד

חזרה לעמוד הראשי פרסום תגובה למאמר

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים