פרויקט ממוחשב פתר את בעיית E-8	2830
	חדשות / המערכת (יום שישי, 23/03/2007 שעה 10:25)
בתחילת השבוע הצליחו 18 מתמטיקאים מארה"ב ואירופה, בעזרת פרויקט ממוחשב, לפתור את בעיית E-8 המעסיקה את עולם המדע מאז המאה ה-‏19. הפתרון, שהושג לאחר 77 שעות של הרצת התוכנה, מכיל 60 ג'יגה־בייט וכמות הנייר הדרושה להדפסתו שווה לשטח מנהטן. המדענים נפגשו מידי קיץ במשך ארבע שנים, במסגרת פרויקט אטלס, במכון האמריקאי למתמטיקה ופיתחו שיטות חישוב המשלבות מתמטיקה תיאורטית וכתיבת תוכנה. מאחר ולא נמצא מחשב חזק מספיק על מנת לבצע את החישוב פוצלה הפעולה הראשונית בין מספר מחשבים ואת החישוב הסופי ביצע במשך 77 שעות מחשב העל SAGE הנמצא באוניברסיטת וושינגטון. חבורת E-8 שייכת ל'חבורות לי' אשר הוגדרו במאה ה-‏19. החבורות ייחודיות בסימטריה שלהן ופענוחן הוא שלב חשוב בהבנת אבני היסוד של היקום. לדברי פיזיקאים, פענוח הבעיה יביא לפריצת דרך בתחומים רבים כגון פיזיקה, מתמטיקה, כימיה ותורת המספרים.   קישורים הארץ הסבר מקיף על הפרויקט ואופן החישוב פרויקט אטלס

עדכוני חדשות קודמים       בשארה: הגבלת הרישום ללימודי רפואה היא אפליה מכוונת כנגד ערבים עדכון חדשות, 16/03/07  תגובות: 298           הכנסת ביטלה דיון בנושא השואה הארמנית עדכון חדשות, 15/03/07  תגובות: 74           שלושה פליטים מסודאן תובעים את מדינת ישראל עדכון חדשות, 07/03/07  תגובות: 219

שתי שאלות 436355 גדי אלכסנדרוביץ' (יום שישי, 23/03/2007 שעה 11:11) 1) מה בעצם הבעיה? 2) כש"הארץ" כותבים "חבורת E-8 היא מבנה מורכב במיוחד, בעל 248 ממדים", למה הכוונה במילה "ממדים" כאן?

_new_

תשובה אחת 436357 האייל הפרנואיד (יום שישי, 23/03/2007 שעה 11:58) בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' 2) נשמע לי כמו משהו מתמטי סנטנדרטי. לעומת זאת אני די בטוח ש"הארץ" לא ממש מבינים מה הם כותבים. להבדיל ממני, כמובן.

_new_

תשובה אחת 436360 גדי אלכסנדרוביץ' (יום שישי, 23/03/2007 שעה 12:28) בתשובה להאייל הפרנואיד כשאומרים בדרך כלל ''מימד'', הקונוטציה שמקבל ההדיוט היא של מימד של מרחב וקטורי. אני לא בטוח שהמימד של חבורת לי הוא אותו הדבר.

_new_

תשובה אחת 436382 עוזי ו. (יום שישי, 23/03/2007 שעה 17:18) בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' זה המימד של המרחב המשיק, שהוא אלגברת לי (ולכן יש לו מימד במובן הרגיל, של אלגברה ליניארית).

_new_

תשובה אחת 436384 גדי אלכסנדרוביץ' (יום שישי, 23/03/2007 שעה 17:23) בתשובה לעוזי ו. תודה. אני מניח שלא יכלו להכניס את זה ל''הארץ'', אבל עדיין רצו להישמע סקסיים ומרובי-ממדים.

_new_

שתי שאלות 436363 אורי גוראל-גורביץ' (יום שישי, 23/03/2007 שעה 12:58) בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' אם אני מבין נכון הם מתכוונים למימדים במובן הרגיל (באותו מובן שלקליפת הכדור בשלושה מימדים יש מימד 2). אפשר להתחיל כאן: http://golem.ph.utexas.edu/category/2007/03/news_abo... ד"ל: אני עדיין לא מבין מה בדיוק הם עשו ולמה.

_new_

מה לא מובן? 436442 פרופ' מומחה (שבת, 24/03/2007 שעה 16:56) בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' המחשב, "הרהור עמוק", התבקש לענות על השאלה בדבר "החיים, היקום וכל השאר". למרבה הצער, אחרי יותר משבעים ושבע שעות חישוב, הוא פולט תשובה סתומה: E-8 מה לא מובן? נשמע כמו הזיה ובדיה חולנית.

_new_

מה לא מובן? 436443 האייל האלמוני (שבת, 24/03/2007 שעה 17:04) בתשובה לפרופ' מומחה כל כך עצוב לשמוע ש-‏42 ירד מגדולתו.

_new_

והרי החדשות 436379 יוסי (יום שישי, 23/03/2007 שעה 16:42) בתחילת השבוע סיימו 18 מתמטיקאים מארה"ב ואירופה פרויקט של ארבע שנים להוכחת בעיית E-8 (מישהו בקהל יודע מה זה?). הם השתמשו במחשב. ואיזשהו יחצ"ן פמפם הודעה פיקנטית לעיתונות. בשבוע הבא במעריב: "לצורך הצגת הנתונים על המסך נזקקו החוקרים למיליוני פיקסלים, ואם היו מציבים את הביטים של התקשורת אחד על השני, היה אפשר להקיף את השמש שבע פעמים"

_new_

והרי החדשות 436380 האייל האלמוני (יום שישי, 23/03/2007 שעה 16:58) בתשובה ליוסי E-8 זה פשוט שיפור של G-8 שהפכו מ-great ל-enormous.

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436381 עוזי ו. (יום שישי, 23/03/2007 שעה 17:16) (בקיצור) "אלגברות לי" הן מבנים מתמטיים חשובים במיוחד, בעלי הקשרים אלגבריים, גאומטריים וטופולוגיים, ויישומים בתחומים שונים בפיזיקה. את האלגברות האלה[1] הצליחו להבין באופן עקרוני כבר במאה התשע-עשרה: אפשר להרכיב אותן משני חלקים: ה"רדיקל", שהוא סימפטי באופן יחסי, והשארית, שהיא "אלגברת לי פשוטה למחצה". בתורה, אפשר לפרק כל אלגברת לי פשוטה למחצה כ"סכום ישר" (זה מין דבר טוב) של "אלגברות לי פשוטות". גם את אלגברות לי הפשוטות הצליחו למיין: יש ארבע משפחות אינסופיות (הקרויות, באופן חסר-השראה משהו, An, Bn, Cn ו- Dn, כאשר n יכול להיות כל מספר טבעי), ועוד חמש "אלגברות לי ספורדיות": G2, F4, E6, E7 ו- E8. האחרונה היא הגדולה ביותר, ממימד 248 [2]. את המשפחות אפשר להסביר בקלות יחסית, אבל האלגברות הספורדיות הן מבנים די משונים (שעצם קיומן הוא נס לא קטן), ולא פשוט לטפל בהן. הצרה העיקרית היא שאלגברות פשוטות קשה מאד לפענח: הן קרויות "פשוטות" לא בגלל שיש בהן משהו פשוט, אלא בגלל שהן אינן "מורכבות" - אי אפשר לפרק אותן לחלקים קטנים יותר. אחת הדרכים להתמודד איתן בכל זאת, היא להכיר את ה"הצגות האוניטריות" שלהן (מין דרך לתאר מבנה מסובך בשפה של מטריצות (גם זה טוב)). המדענים דנן הצליחו, בשעטו"מ, למיין את כל ההצגות האוניטריות של אלגברת לי הפשוטה מטיפוס E8. לא סביר שעכשיו מתמטיקאים יתעניינו בשאלה מה הרכיב השביעי של ההצגה ה- 11486, אבל שאלות על מאפיינים של ההצגות (למשל, כמה הצגות אי-פריקות יש מכל מימד) הן שאלות מעניינות עם פוטנציאל לא מבוטל. [1] ממימד סופי, מעל המרוכבים [2] זה המימד שלה כמרחב וקטורי מעל המרוכבים

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436383 האייל האלמוני (יום שישי, 23/03/2007 שעה 17:22) בתשובה לעוזי ו. אני מקווה שאפשר לשאול אותך שאלות. ההצגה היוניטרית SU(2) היא הצגה של איזו אלגברת לי? (SU(2) היא ההצגה היוניטרית ממנה מתקבלים האופרטורים של הספין ושל התנע הזוויתי הכולל של חלקיקים)

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436385 האייל האלמוני (יום שישי, 23/03/2007 שעה 17:24) בתשובה לעוזי ו. האם האלגברות האלה נוצרו מלכתחילה לצרכים מתמטיים או פיסיקליים? ואם לצרכים פיסיקליים, איך נבנה הדבר הזה? (כמובן, אלה שאלות של הדיוט מוחלט. אשר על כן מתבקשות תשובות כלליות מאוד).

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436456 עוזי ו. (שבת, 24/03/2007 שעה 20:24) בתשובה להאייל האלמוני מי שפיתח את האלגברות והחבורות האלה (סופוס לי, אלי קרטן, ואחרים) היו מתמטיקאים. למיטב ידיעתי השימושים הפיזיקליים הופיעו מאוחר יותר, בראשית מכניקת הקוונטים; היום ברור שאלו מרכיבי היסוד גם בתורות מיתרים מכל הסוגים. את השאלה "איך נבנה הדבר הזה" אני לא כל-כך מבין. כמו כל מבנה מתמטי אחר, על פיסת נייר (או הרבה פיסות נייר); אין צורך במאיצי חלקיקים.

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436465 האייל האלמוני (שבת, 24/03/2007 שעה 20:39) בתשובה לעוזי ו. אכן, לא "בניתי" ניסוח הולם. אני אנסה: אם הענפים האלה התפתחו קודם כל במתמטיקה, אז זה פחות או יותר מובן לי. אבל אם, כפי שנדמה לי, קיימים ענפים במתמטיקה שנוצרו כדי למלא צרכים של הפיסיקה, אז פחות ברור לי איך המתמטיקאים ניגשים לזה. וגם - אם הבנתי נכון, את הפרקטלים המציא/גילה מנדלברוט, שהוא מתמטיקאי: איזה מין תהליך זה? (עליי להתנצל גם על הניסוח כאן, שהוא אידיוטי, אבל אני מקווה שקצת יותר מובן...)

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436475 גילי (שבת, 24/03/2007 שעה 22:37) בתשובה להאייל האלמוני אולי "הגדיר" היא המילה הנכונה?

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436487 האייל האלמוני (שבת, 24/03/2007 שעה 23:20) בתשובה לגילי מבחינה מתמטית - ודאי. מבחינה פיסיקלית עדיין לא שמעתי תיאור כזה, אבל בהחלט אשמח לאמץ אותו.:)

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436494 עוזי ו. (שבת, 24/03/2007 שעה 23:45) בתשובה להאייל האלמוני אפשר כך: נתון אובייקט פיזיקלי מסובך. יש לו כמה תכונות פשוטות (הוא מהווה חבורה עם מבנה אנליטי וכמה תכונות אלגבריות מוצלחות), וכמה תכונות מסובכות (כשמחזיקים אותו כנגד האור ומנערים בתדר מאד מסויים, נוצרת על הקיר דמות של שפן; ועוד כאלה). מסלקים את התכונות המסובכות, וחושבים בכח - לאיזה יצורים אחרים יש אותן תכונות פשוטות? פרקטלים הם, באופן פשטני, יצירים גאומטריים שדומים לעצמם. (כאן - דמיון באותו מובן של "דמיון משולשים"). בדרך כלל יש להם מימד (האוסדורף) לא שלם, ולכן הם "מוזרים" מנקודת מבט גאומטרית-קלאסית. עם זאת, מבחינות מסויימות (וכשמחזיקים את הראש נטוי בזווית מסויימת) הם מתארים את המציאות הפיזיקלית לא פחות טוב מן הגאומטריה הקלאסית.

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436499 האייל האלמוני (יום ראשון, 25/03/2007 שעה 0:14) בתשובה לעוזי ו. תודה. הדברים האלה ידועים לי, ומכאן עליי להסיק ששוב לא הסברתי את עצמי כראוי, ולבקש את סליחתך. אם אצליח למצוא ניסוח בהיר יותר, אנסה שוב, ואם עדיין תהיה לך סבלנות לתהיותיי, אשמח אם תענה.:)

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436386 גדי אלכסנדרוביץ' (יום שישי, 23/03/2007 שעה 17:25) בתשובה לעוזי ו. כלומר, זה בעצם לא משהו בחבורות לי, אלא באלגבראות לי, שאותן אפילו הדיוט כמוני מכיר קצת למרות שאני לא מכיר כלום בחבורות לי?

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436398 יניב גבאי-מילר (שבת, 24/03/2007 שעה 1:21) בתשובה לעוזי ו. בני אדם יכולים לבדוק את התוצאות הסופיות?

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436464 עוזי ו. (שבת, 24/03/2007 שעה 20:38) בתשובה ליניב גבאי-מילר בוודאי - כל מה שהם צריכים זה מחשב גדול... צריך לזכור ש- E8 היא חבורת לי "ספורדית", כלומר, מיוחדת במינה. יש בסביבה עוד כמה כאלה, וגם משפחות אינסופיות, שאותן קל יותר להסביר ולפענח. ומשום שמדובר במשפחות אינסופיות, לא ניתן לסמוך על מחשבים שיעשו עבורנו את העבודה השחורה - זה אף פעם לא יספיק. במקרים כאלה מוכרחים למצוא דרכים מחוכמות לתאר באופן ממצה את ההתנהגות ה"אינסופית" של כל המשפחה. הבעיות האלה נפתרו כבר (לפחות עבור המשפחה An; נדמה לי שעבור כולן), והתאור שלהן חייב פיתוח של תאוריה מקיפה ומורכבת (אחד החוקרים הבולטים בנושא הוא פרופ' דוד קשדן, היום באוניברסיטה העברית). היתרון הוא שכעת, כאשר מתקבלים הפרטים החישוביים של E8, אפשר לשבץ אותם בתאוריה הכוללת, ולראות שהם מתאימים לתחזיות (מה שהיה ידוע מראש, כמובן. זו מתמטיקה.)

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436418 ברקת (שבת, 24/03/2007 שעה 14:49) בתשובה לעוזי ו. איך בנו אלגברות כאלה, אם לא היה עד עכשיו תיאור של המבנה שלהן?

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436430 גדי אלכסנדרוביץ' (שבת, 24/03/2007 שעה 15:14) בתשובה לברקת ידעו את המבנה של רובן... אבל זה לא בהכרח קשור. גם "חבורה", שהיא מבנה יותר פשוט מאלגברה, קל מאוד להגדיר (קבוצה עם פעולה שמקיימת כמה תכונות), ויש הרבה דברים שאנחנו יודעים לבנות ולהגיד שהם חבורות (המספרים השלמים; פרמוטציות; סימטריות של ריבוע; השעות על שעון). זה עדיין לא אומר שאנחנו יודעים את המבנה של *כל* החבורות. מה גם שלפעמים יש לנו רק תיאור בסיסי של חבורה, אבל לא ברור איך נראית "מבפנים": קל להגדיר חבורה בתור "אוסף ההעתקות במישור שמשמרות מרחקים" - יותר קשה לראות מה הצורה המדוייקת שלהן (כל העתקה שאפשר להציג בתור הפעלות של סיבובים, שיקופים והזזות).

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436437 האייל האלמוני (שבת, 24/03/2007 שעה 15:59) בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' השעות על שעון?

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436440 גדי אלכסנדרוביץ' (שבת, 24/03/2007 שעה 16:44) בתשובה להאייל האלמוני המספרים 1 עד 12, עם חיבור מודולו 12 (כלומר, למשל, 5+8=1).

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436441 האייל האלמוני (שבת, 24/03/2007 שעה 16:48) בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' או.קיי. תודה.

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436466 עוזי ו. (שבת, 24/03/2007 שעה 20:45) בתשובה לברקת ל''בניה'' מתמטית יכולות להיות הרבה משמעויות. במובן הצר ביותר, ברגע שאני מאפיין באופן חד משמעי את המבנה (כך שברור שיש כזה, ושהוא יחיד במינו), זה מספיק. אבל תאור כזה בדרך כלל אינו מספיק כדי שאפשר יהיה לענות על שאלות הקשורות למבנה החדש. למשל, במרתף של אביב יש דרקון יחיד, ולכן יש לו צבע מוגדר היטב (וידוע לכל). אבל גם מספר השיניים מוגדר היטב - ואת המספר הזה איננו יודעים (צוות המחקר שיטול על עצמו משימה כזו זקוק לנכונות לא מבוטלת להקרבה עצמית).

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436583 שוטה הכפר הגלובלי (יום ראשון, 25/03/2007 שעה 15:28) בתשובה לעוזי ו. למה הקרבה עצמית? לא שמעת על נוהל שכן?

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436584 האייל האלמוני (יום ראשון, 25/03/2007 שעה 15:36) בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי נוהל שכן הוא כבר מזמן נוהל שלא.

_new_

תיקון 436454 עוזי ו. (שבת, 24/03/2007 שעה 20:19) בתשובה לעוזי ו. *הצגות* של אלגברה *פשוטה*? ממש נפלא. מדובר כמובן בהצגות של *חבורת* לי הפשוטה מטיפוס E8, ולא של האלגברה. שאר הסיפור די דומה (בעקרון). ליתר דיוק, לא מיינו את ההצגות האוניטריות של חבורת לי המרוכבת מטיפוס E8, אלא את אלו של הצורה הממשית המפוצלת שלה. לזו יש מימד 248 מעל הממשיים, ולא מעל המרוכבים. ועוד הבהרה: מתברר שיש 453060 הצגות, שכולן תלויות בפרמטר (מרוכב, אם אפשר לסמוך על האנלוגיה למקרים שאני מכיר).

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436477 גילי (שבת, 24/03/2007 שעה 22:45) בתשובה לעוזי ו. מה הגודל של חבורת E-8?

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436492 עוזי ו. (שבת, 24/03/2007 שעה 23:40) בתשובה לגילי כמה תשובות בדבר: 1. היא אינסופית. 2. עוצמתה שווה לזו של שדה המספרים הממשיים. 3. יש לה מימד (כיריעה אלגברית), שהוא 248. האינסופיות והעוצמה אינן מפחידות במיוחד - גם החבורה של כל המספרים הממשיים (ביחס לחיבור) היא אינסופית. גם המימד לא נורא (החבורה (SL_16(C ממימד גדול יותר, והיא הרבה יותר סימפטית).

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436523 מסוף הכיתה (יום ראשון, 25/03/2007 שעה 4:11) בתשובה לעוזי ו. למה הפיעו שימושים פסיקלים בתורת הקוונטום?

_new_

אז מה בעצם עשו שם 436547 עוזי ו. (יום ראשון, 25/03/2007 שעה 10:11) בתשובה למסוף הכיתה "למה" בשווא או בקמץ? בכל מקרה, זו שאלה לפיזיקאים.

_new_

כל העבודה הזאת 436581 mermit (יום ראשון, 25/03/2007 שעה 15:18) בשביל לצייר מנדלה?

_new_

גם לי יש טרקטור כזה 436698 האייל האלמוני (יום שלישי, 27/03/2007 שעה 13:01) חוואי אמריקאי וקיבוצניק נפגשים. האמריקאי מספר לקיבוצניק - כאשר אני יוצא מהבית בטרקטור שלי אני נוסע יום שלם מבלי להגיע לסוף החווה. ענה הקיבוצניק: "גם לי יש טרקטור כזה" מה המשמעות של 77 שעות בלי ציון מהירות המחשב או מדד משמעותי אחר?

_new_

גם לי יש טרקטור כזה 436701 ראובן (יום שלישי, 27/03/2007 שעה 13:10) בתשובה להאייל האלמוני אני דווקא מתייחס לזה הפוך- 77 שעות זה לא סיפור כזה גדול באף מחשב ( סימולציות רציניות גם אורכות חודשים ושנים), מה שמראה שהבעיה לא היתה לחשב, אלא *להגדיר* את החישוב. אגב, חיפוש באינטרנט מראה שכנראה שהכוונה לזה: http://www.sagemath.org/sage.html

_new_

גם לי יש טרקטור כזה 436713 גדי אלכסנדרוביץ' (יום שלישי, 27/03/2007 שעה 15:36) בתשובה לראובן המרחק בין "77 שעות" ובין "חודשים ושנים" אינו כל כך גדול; ההבדל האמיתי הוא בין "77 שעות" ובין "הזמן שחלף מאז תחילת היקום בחזקת 100" וכאלה. למהירות המחשב דווקא יש רלוונטיות בפרקי זמן שכאלו - מה שהיום לוקח 77 שעות, כנראה שלפני 10 שנים היה דורש חודשים ושנים.

_new_

גם לי יש טרקטור כזה 436715 ראובן (יום שלישי, 27/03/2007 שעה 15:45) בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' עדיין, הבעיה העיקרית היתה לבנות את האלגוריתם ( ועדיין היתה בעיה חמורה של זיכרון, עד שנועם אלקיס העיר שאפשר לעבוד במודולו). פרטים משעשעים נוספים יש כאן http://atlas.math.umd.edu/kle8.narrative.html

_new_

גם לי יש טרקטור כזה 436816 האייל האלמוני (יום רביעי, 28/03/2007 שעה 15:29) בתשובה לראובן תודה, קישור מרתק.

_new_

גם לי יש טרקטור כזה 436819 ראובן (יום רביעי, 28/03/2007 שעה 15:35) בתשובה להאייל האלמוני שכחתי להעיר שיש שם גם טרגדיה, אחד החוקרים נפטר מניוון שרירים מפשר חודשים לפני סיום הפרוייקט.

_new_

חיפוש בתגובות שבדיון זה:     חיפוש מתקדם...

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים.

©כל הזכויות שמורות

כתוב לעורכים | RSS | עזרה | חיפוש | דיונים מתמשכים | חברי המערכת | תנאי שימוש |