בתשובה לליאור גולגר, 07/11/02 13:46
עדכון לנהגים 105672
אם מציבים:
psi=A*exp[i*2*pi*S/h]

במשוואת שרודינגר, מבצעים את הגזירות ומעלימים את האקספוננט (גורם משותף), מתקבלת בגבול בו h שואף לאפס משוואת Hamilton-Jacobi (השונה ממשוואות האמילטון).

עד כדי קבוע, S היא אינטגרל של הלגראנז'יאן לפי הזמן, ונבדלת מהפעולה הקלאסית רק בגבולות האינטגרציה. פיינמן השתמש בידע זה כשפיתח את אינטגרלי המסלול.
פירוש ללא פיסיקאים 105720
S is the Action
ומגדירים אותו כאינטגרל לפי זמן של הלגרנג'יאן:
S=int(L)dt (1)
כלומר מבחינת מימדים פעולה היא אנרגיה כפול זמן, או תנע כפול מרחק. למשל עבור חלקיק חופשי (U=0) במימד אחד:

S = E * t - p * x
ולכן:
dS/st = E
שזה בדיוק ערך הלגרנג'יאן, שהרי בהעדר אנרגיה פוטנציאלית החלקיק יוסיף לנוע במהירות קצובה וישמור על האנרגיה הקינטית ההתחלתית שלו. מאידך:

dS/dp = -x ; dS/dx = -p
כלומר מתקבל קשר שמזכיר מאד את משוואת המילטון

במציאות הקלאסית עוקב הטבע אחר עיקרון הפעולה המינימלית. בשפה פשוטה זה אומר שבטבע ערך האינטגרל (1) הוא תמיד המינימלי האפשרי. כידוע, ליד נקודות קיצון השינוי בערך הפונקציה הולך לאפס (הנגזרת מתאפסת בנקודות קיצון), לכן אנו מחפשים את הנקודות בהן:
dS = 0
בחשבון וריאציות לא אסתטי במיוחד מוכיחים שמדרישה זו מתקבלות משוואות אוילר-לגרנג' במערכות קלאסיות.

פונק' הגל שהציג ד. פר היא המתארת חלקיק חופשי במכניקת הקוונטים עבור הפעולה שהצגתי לעיל. עכשיו תראו משהו יפה:

האנרגיה של פוטון בתדר w:
E = h * w / 2pi

התנע של פוטון במספר גל k:
P = h * k / 2pi

כלומר

E * t - P * r = (h/2pi) * (wt - kr)
כלומר
psi = A * exp [i(wt-kr)]
וזה בדיוק גל מישורי המתקדם בכיוון r בתדר w...
גודל הפונק' נשמר במקום ובזמן:
<psi|psi> = |A|^2

משוואות המילטון-יעקבי הן מן התיאורמות האלגנטיות ביותר שהכרתי בפיסיקה. במקום לטפל בלגרנג'יאן מנסים לתקוף ישירות את הפעולה. ליתר דיוק, מחפשים טרנספורמציה קנונית (מונח מפוצץ שמשמעו החלפת משתנים קנוניים ללא שינוי ערך ההמילטוניאן) שתפשט לנו את הפעולה ככל הניתן. הפעולה הפשוטה ביותר היא זו השווה זהותית לאפס, או לפחות לקבוע, וברגע שעוברים אליה הפתרון הוא טריביאלי. אח"כ חוזרים מן הפיתרון הטריביאלי במשתנים החדשים, לפתרון החבוי במשתנים הישנים. אפילו על בעיות פשוטות כמו אוסצילטור הרמוני זה נראה טוב, גם אם התותחים האנליטיים האלה נוצקו כדי לפצח בעיות מעט מורכבות יותר.
בכל אופן, נקודת החיבור בין המכניקה הקוונטית לקלאסית היא בהשאפת קבוע פלאנק לאפס. לשמחתנו אמנם מקבלים את כל המכניקה הקלאסית כמקרה פרטי של משוואות המכניקה הקוונטית עבור h-->0
המכניקה הקוונטית עצמה היא מקרה פרטי של תורת השדות הקוונטית עבור מהירויות נמוכות (לא יחסותיות), כך שבסה"כ אפשר לומר שקיימת בדיוק תורה אחת שלמה, וכל השאר (מניוטון עד שרדינגר) הם קירובים נוחים שלה.
תורה זו אינה סגורה עדיין - מנגנון ההיגס לא הוכח נסיונית, עוד לא גילינו גרביטונים וקיימות חלופות לכמה מן המודלים הקיימים בפיסיקה של אנרגיות גבוהות. אין עדיין הסבר לערכים השרירותיים שנמצאו (תיאורטית ונסיונית) לשורה ארוכה של חלקיקים אלמנטריים קיקיוניים, ולכן הרבה מוחות מגודלים מתפרנסים יפה מפיתוח כל מיני תיאוריות פנטסטיות כמו סופר-סימטריה ותורת המיתרים.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים