 |
|
 |
||
|
||||
 |
הדבר היחיד שאני אוהב יותר ממתמטיקה זה כנראה לישון, אבל אין לי שמץ של כישרון מתמטי. זה מצטרף לרשימת החיזוקים לטענה שאני Comic relief של בורא העולם. בכל מקרה, המספרים הראשוניים הם: 17, 67, 11399. מכאן מן הסתם ברור שהשארית היא אכן 3. רק אחרי שהבהרתי לעצמי את זה, השכנעתי שאולי ההודעה שלך שווה קריאה נוספת (נו, אני איטי). דעתי אומנם לא שווה כלום, אבל בכל זאת אולי תרצה לשמוע שהיא "יופי של פיתרון" בצירוף תחושת הבטן "אבל בטח של עוזי יותר קצר". |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
למצוא את הגורמים הראשוניים זה כמובן מספיק, אבל דורש מאמץ הרבה יותר גדול מאשר לענות על השאלה. התשובה הקצרה מבוססת על העובדה שלמדנו להגיד "שקולים מודולו 4" במקום "בעלי אותה שארית בחלוקה לארבע" (אבל היא דומה לזו של האייל שלא יודע): מכיוון ש-n אינו זוגי, הגורמים שלו שקולים ל- 1 או 1-. מכפלתם שקולה ל- (n=61=1(mod 4, ולכן אחד מהם שקול ל- 1 ושני האחרים שקולים זה לזה (וסכומם 2, בכל מקרה). לכן הסכום שקול ל- 3=1+2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה. גם לה תפקיד לא פחות חשוב. התשובה של גרב בר ממחישה כיצד תשובה נכונה אינה בהכרח התשובה שעל פיה ניתן לבחון האם התלמיד מבין את החומר. ראה והשווה לקטע הבא. יתכן שכבר נתקלת בו ויתכן שלא, על כל פנים בחרתי להביאו כיוון שהוא מיטיב להמחיש את החשיבות שבניסוח השאלות. הקטע נמצא בספר "הקוואקר והיגואר' של מארי גל-מן 1 בפרק העוסק בניסוח שאלות. לפני זמן מה, קיבלתי פניה של חבר, בה בקשני להיות בורר ופוסק בקשר לציון שניתן לשאלה במבחן. אותו מורה היה סבור שעליו לתת אפס לתשובה שניתנה ע"י התלמיד במבחן בפיסיקה, ואילו התלמיד טען כי מגיע לו מלוא הציון שנקבע לשאלה. יתר על כן, התלמיד טען שלבטח היה מקבל את הציון המלא, לו מערכת המבחנים לא הייתה מכוונת רק נגד התלמיד, כפי שהיא כיום. המורה לפיסיקה והתלמיד הסכימו להגיש את המקרה להכרעתו של בורר נייטראלי, ואני נבחרתי בהסכמה להיות הבורר. נכנסתי איפה למשרדו של חברי, וקראתי את השאלה שעליה נסבה המחלוקת. השאלה הייתה: כיצד אפשר לקבוע את גובהו של בניין גבוה מאוד בעזרת ברומטר? תשובתו של התלמיד הייתה: קח את הברומטר, עלה על גג הבניין, קשור את הברומטר אל קצה חבל ארוך, והורד אותו עד גובה פני הרחוב. אחר כך משוך את החבל חזרה לגג הבניין, מדוד את אורך החבל – ותוצאת המדידה תיתן לך את גובה הבניין. זו ודאי תשובה מעניינת, אך האם באמת יש לזכות עליה את התלמיד בציון חיובי כלשהו? יתר על כן, אם אמנם מגיע לו בכלל ציון, אזי רק הציון המלא בא בחשבון, ואז יושפע מכך ציונו הסופי בפיסיקה, מבלי שציון זה יעיד על בקיאותו בחומר הנלמד, ודאי לא בנושא לחצים אטמוספיריים והשימוש בברומטר. לכן הצעתי לחברי שנתיר לתלמיד לענות שנית על השאלה. חברי הסכים, אך להפתעתי גם התלמיד הסכים להצעה. הוסכם כי התלמיד יקבל שש דקות למחשבה, ואח"כ הוא חייב לתת תשובה שתגלה בקיאות בפיסיקה! בתום חמש דקות התלמיד עדיין לא רשום שום תשובה או רישום כלשהו על הדף. שאלתי אותו האם הוא מוכן לוותר, כי עלי ללכת ללמד בכיתה אחרת. על כך ענה לי התלמיד שאין הוא מוותר כלל. למעשה, אמר, הוא מתלבט בין מספר תשובות אפשריות, וכרגע הוא חוכך בדעתו איזו היא התשובה הטובה ביותר. התנצלתי וביקשתי ממנו להמשיך. התלמיד לקח את העט בידו ורשם את התשובה הבאה: קח את הברומטר אל גג הבניין, התכופף מעבר למעקה והפל את הברומטר למטה בנפילה חופשית. ברגע ששמטת את הברומטר הפעל שעון עצר ועצור אותו ברגע שהברומטר יתנפץ על המדרכה. אחר-כך, תוך שימוש בנוסחה s=1/2at2, חשב את גובה הבניין. בנקודה זו שאלתי את חברי האם הוא מוכן לוותר, שכן לדעתי עמד התלמיד בתנאי ועליו לקבל את מלוא הציון. חברי הסכים, וציון המבחן תוקן בהתאם לכך. עמדתי לעזוב את המשרד, ואז נזכרתי שהתלמיד אמר כי למעשה יש לו כמה תשובות, ושאלתי את התלמיד מה היו שאר התשובות ששקל לתת אותן. אה, כן, אמר התלמיד. אתה יכול למשל לצאת עם הברומטר החוצה ביום שמש, להציב אותו על הקרקע ולמדוד את אורך הצל שהוא מטיל, ואח"כ למדוד את אורך הצל שמטיל הבניין, ועל ידי תרגיל השוואת יחסים למצוא את גובה הבניין. מצוין, אמרתי, ומה היו שאר התשובות? שאלתי מסוקרן. כן, אמר התלמיד. אפשר להשתמש בברומטר בשיטת המדידה הבסיסית, כאשר תעלה במדרגות ותציין על הקיר את גובה הברומטר בכל מדרגה, ואז תקבל את גובה הבניין ביחידות מידה של הברומטר. שיטה ישירה לכל הדעות. אפשר כמובן, הוסיף התלמיד, להשתמש בשיטה מורכבת יותר כאשר קושרים את הברומטר לקצה חוט ומשתמשים בו כמטוטלת הנעה בגובה הרחוב, ומחשבים את ערך g בגובה פני הרחוב, ואח"כ את גובה g בגובה גג הבניין, ומחשבים את גובה הבניין על-פי ההפרש שבין שני הערכים. לבסוף, אמר, אם אינך מגביל אותי לפתרון פיסיקאלי, אפשר לקחת את הברומטר, לדפוק באמצעותו על דלת שוער הבניין, וכאשר יפתח את הדלת לומר לו כך: "אדוני השוער, יש לי ברומטר מצוין. אם תואיל ותאמר לי מה גובה הבניין שאתה השוער שלו, אתן לך את הברומטר". בנקודה זו הפסקתי את התלמיד ושאלתי אותו האם ידע איזו תשובה רצה המרצה לקבל ממנו. "ודאי שידעתי", השיב התלמיד, "אך נמאסה עלי הציפייה של המורים שנקיא את מה שלימדו אותנו. לכן, כל עוד נוסח השאלה מאפשר זאת, אני מרשה לעצמי להשתעשע ולהעמיד פנים". איחרתי מעט לשיעור שלי, אך מה שלמדתי באותו בוקר הצדיק זאת. 1 כמצוין על ידי המחבר, הקטע במקור סופר ע"י א' קלנדרה, Science and math-weekly 1964. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התשובה של גרג בר כן מראה שהוא מבין את החומר (הוא יודע כיצד לפרק מספרים לגורמים ראשוניים; במבחן, אחד התלמידים עשה בדיוק את זה, תוך שימוש באחת השיטות שלמדנו. זו לא התשובה שאליה התכוונתי, אבל כמובן שהוא קיבל את מלוא הנקודות). האתגר שעומד בפני הבוחן הוא לבנות שאלות שפתרונן מוכיח שליטה בחומר. בדוגמא שלי, יכולתי לתת מספר שאי-אפשר לפרק בזמן מבחן; אלא שציפיתי שהתלמידים יזהו שאין בעצם צורך לפרק. מי שלא זיהה את הנקודה הזו, "נענש" בפתרון ארוך ומסובך לשאלה קלה. זה לא תמיד פשוט, ובוודאי שקשה למצוא שאלות "טבעיות", שעשויות להתקיים גם במנותק מחומר הקורס, ושהרעיונות שנלמדו מסייעים לפתרון שלהן. אבל כל הקשיים בבנית מבחן סביר והוגן אינם מצדיקים שאלות שהמוקד שלהן הוא "קרא את מחשבתו של הבוחן". מרגע שהשאלון נסגר, הנבחנים אינם צריכים "להוכיח ידע בחומר הנלמד" - הם צריכים לענות על השאלות. אם הם מצליחים "לרמות" ולעשות זאת בדרך לא צפויה (ואולי קלה יותר), כל הכבוד - אין שום סיבה למנוע מתלמיד כזה את מלוא הנקודות. בדיוק כמו שאלות הבגרות "הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת" - ההוכחה "בדרך אחרת" היא בדרך כלל קלה יותר, גם אם דורשת הבנה מעמיקה יותר. לא הייתי מוכן לקבל שאלות "הוכח דווקא באינדוקציה". בדוגמא המפורסמת של הברומטר והבנין, השאלה נוסחה באופן אומלל, ומרצה הוגן צריך לקבל כל אחת מן התשובות האפשריות (כל עוד היא מנוסחת באופן שלם ומדויק). אפשר היה לשאול "הדגם כיצד מדידת לחץ אטמוספרי יכולה לסייע בהערכת גובהו של בנין" (ואז רק התשובה ה"נכונה" היא באמת נכונה), אלא שזו בעיקר דוגמא של אזלת יד של בוחן, שכדי להראות אפליקציות של מה שלימד הוא צריך לקשור לסטודנטים יד אחת מאחורי הגב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גרג בר = סופר מד"ב מצוין ("מוזיקת דם") גרב בר = ניק ומעניין אם זו מחווה :-) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה אם גרב בר מבין את ''החומר'' תלויה כמובן בהגדרת ''חומר''. אם החומר כולל ידע בפירוק מספרים לגורמים ראשונים אזי גרב בר מבין את החומר. יתכן, שהידע הזה אינו נכלל ''בחומר'' במובן זה שפירוק מספרים לגורמים ראשונים הינו ידע הנדרש לצורך השאלה אך לא עליו נבחנים. במילים אחרות הבוחן יוצא מנקודת הנחה כי הנבחן יודע חומר זה והוא רוצה לבוחנו בנושאים נוספים. העובדה שנתת לאותו תלמיד את מלוא הנקודות מעידה כי הינך מרצה הגון. היא אינה מעידה אם השאלה נוסחה כראוי או לא. אני מסכים איתך כי משעה שיצא המבחן לאויר העולם נדרשת ההגינות לקבל כל תשובה הנמצאת בטווח התשובות האפשרי לשאלה. אני אף מסכים איתך כי אין מקום בבניית מבחן סביר והוגן להכין שאלות בנוסח ''קרא את מחשבתו של הבוחן''. אני אינני מסכים כי המבחן אינו צריך להוכיח ידע בחומר הנלמד כי אם מתן מענה לשאלה, תהא הדרך אשר תהיה. לשיטתי - ואינני מרצה או מחבר שאלות - מבחן צריך להוות כלי למדידת ידע ויכולות של נבחנים, אלא אם כן מגדירים את היכולות והידע כמקיף הכל ואז באמת, העיקר שניתן מענה. לפיכך אני סבור, כנראה בניגוד אליך, כי היה מקום באותה הדוגמא של הברומטר להגביל את קשת התשובות, על מנת לבחון את הידע בלחצים, הגם שיתכן שיש בכך קשירת ידו של התלמיד. גם הדוגמא שהבאת בעניין בחינת הבגרות הינה מבחינת ''אין הנדון דומה לראיה''. הנחת המוצא, גם שלך, הינה כי קיים פיתרון קל יותר, אם כי מצדיק ידע נרחב יותר במתמטיקה. מכיוון שבחינת הבגרות בוחנת ידע במתמטיקה ברמה הנקבעת על ידי הגורמים הממונים אין כל בעיה כי תלמיד יפתור שאלה בידע מעל הנדרש. אינני בטוח כלל, למרות שמעולם לא עסקתי בניסוח שאלות לבגרות, כי מנסחי הבגרות מתעלמים בניסוח השאלה מאפשרויות אשר יתנו תשובות נכונות אולם לא יעידו על רמת הידע הנדרש. אני מניח, כי מידי פעם צורת הניסוח מאפשרת גמישות מסויימת ואכן הייתי מצפה כי במקרה כזה יפגין הבודק יושרה אינטלקטואלית, כפי שאתה נהגת. אכן, כפי שהמאמר מציג זאת ישנם כשלים במסגרת שיטות המדידה באמצעות מבחנים. אינני סבור כי יש מקום לשיטה בלעדית של מבחנים או של הערכות. לטעמי, ''האמת'' נמצאת היכן שהוא באמצע. שילוב של מספר שיטות, אשר נכללות בה גם הערכה מילולית כזאת או אחרת, וגם מבחנים. לטעמי, יתכן מאד כי האשמה בהפיכת שיטת המדידה באמצעות מבחנים לרבת כשלים מצויה במנסחי השאלות אשר מתעצלים להכין שאלות אשר מצד אחד ישקפו רמת ידע נדרשת ומצד שני ידרשו מהתלמיד יישום החומר והבנתו ולא רק הקאתו אל דף המבחן. נכון. אף אחד לא אמר שלהיות מורה או מרצה זה קל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדוגמא שלי, הקורס כלל גם שיטות של פירוק לגורמים, ולכן סטודנט שפירק את 12983461 (תוך שימוש בשיטה לא טריוויאלית), הוכיח ידע. אם הוא היה מוצא את הגורמים הקטנים (17 ו- 67) על-ידי נסיונות חלוקה חוזרים ונשנים לא היה בכך הוכחת ידע, אבל הייתי נאלץ לקבל את התשובה בכל-זאת. אולי באמת עדיף היה לשאול את אותה שאלה על n=45000246343669 (שיותר קשה לפרק). 1. אנחנו מסכימים שבזמן בדיקת התשובות, יש לקבל כל תשובה שעונה על השאלה באופן מלא (גם אם לא בדרך שהמרצה התכוון אליה, או בזו שלמדו בקורס, וכדומה). כל הקושי הוא בבחירת שאלות מתאימות. 2. אני לא טוען שמבחן אינו צריך להוכיח ידע - להיפך. שאלה שאפשר לענות עליה בלי להדגים שום הבנה של החומר הנלמד (כמו שאלת הברומטר) אינה שאלה מוצלחת. אני חושב שהגבלת קשת התשובות באופן מלאכותי, היתה הופכת שאלה גרועה (מסיבה אחת) לשאלה גרועה (מסיבה אחרת). 3. נדיר שאפשר לפתור שאלות בבגרות במתמטיקה בלי להפגין את "רמת הידע הנדרש" (יוצא מן הכלל: שאלות בקומבינטוריקה, שם לא ברור מה ההבדל בין הידע הנדרש לבין הגיון בריא). 4. לפעמים "קשירת הידיים" לנבחנים, מוצדקת. למשל, בקורס ראשון בחשבון דיפרנציאלי מלמדים לגזור פונקציות. "גזור את f(x)=tan(x)^2 לפי ההגדרה" דורש חישוב גבול של פונקציות טריגונומטריות. בהמשך הקורס לומדים משפטים שמאפשרים לגזור פונקציות כאלה בקלות רבה, ובלי חישוב גבולות בכלל; אבל מבחינה לוגית, חישוב הנגזרת של f מחייב חישוב של גבולות (שאפשר להסתיר אותו היטב בתוך המשפטים). מכיוון שחישוב גבולות הוא שאלה לגיטימית, אפשר לדעתי לדרוש לחשב כאן את הנגזרת ישירות. יבחר הסטודנט להוכיח את כל המשפטים שהופכים את השאלה מחישוב גבול למניפולציה של סמלים ואז יפתור אותה - יקבל את מלוא הנקודות; אלא שהפתרון הזה כנראה ארוך יותר מחישוב ישיר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
3. עכשיו אני מבין, מדוע אף פעם לא הסתדרתי עם קומבינטוריקה. אני וההגיון החולה שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומכאן רעיון: שאלות בקומבינטוריקה במבחן לרשיון הורות... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הרבה אנשים ייכשלו בהורות רק בגלל הבלבול בין צירופים, תמורות וכו'... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היתכן, כי אתה רומז לכך שיש למנוע ממני להיות הורה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו כמובן לא היתה הכוונה. מה אכפת לי שיוולד עוד ילד יהודי טוב... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או, חביבי, אם יהיה לי ילד, לא סביר שהוא יהיה יהודי טוב (או יהודי בכלל, לפחות לפי ההלכה היבשה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. האם לא צריך לתת נקודות נוספות עבור פיתרון "יפה" (כמו תגובה 114363, מעט עבודה, מעט ידע, הסבר שכל ילד בכתה ו' יכול להבין, חישוב שילד בכתה ב' יכול לחשב), ולהוריד נקודות עבור פיתרון "מכוער" (כמו תגובה 114462, הרבה עבודה קשה, קשה לביצוע ללא מחשבון או רשימות באורך הגלות) ולתת ציון סטנדרטי עבור פיתרון סטנדרטי (כמו תגובה 114474, דורש ידע מיוחד שלא הוכח או הוסבר בפיתרון, מובן רק למי שלמד את החומר הספציפי)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר לתת ניקוד מלא לכל הפתרונות האלה, שכולם נכונים. לא הייתי מוריד נקודות על פתרון מכוער (אלא, לכל היותר, מחפש דרכים למנוע אותו בפעם הבאה). הפתרונות בתגובה 114363 ותגובה 114474 הם למעשה אותו פתרון (השני מעט דחוס יותר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני באמת מצטער אם הראיתי בטעות שאני מבין את החומר. את הפיתרון אני כמובן מבין, אחרי שקראתי אותו... בכל מקרה, על חוסר הכישרון הבולט (ולראיה: השאלה שהעלית ולא פתרתי) אני מקווה לפצות בידע. תורת המספרים זה סמסטר הבא, אחריו אני מקווה שאזכור מספיק פתרונות כלליים בשביל לפתור את רוב השאלות שלא דורשות מחשבה יצירתית מידי. עד אז מוטב שאשתוק. תודה, ולהתראות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה מזכיר לי את המחזה ההוא, על ההוא שבא בגיל מבוגר לבית הספר כדי לתבוע את שכר הלימוד שלו בטענה שלא למד כלום, ולראייה: כיום הוא עובד כמטאטא רחובות. המורים מסכימים לבחון אותו מחדש, ומבטיחים לו שאם ייכשל — יקבל את שכר הלימוד במלואו. המורים לספרות, גיאוגרפיה וכו' מוצאים כמובן דרך לאשר כל שטות שהוא אומר, רק המורה למתמטיקה מכשיל אותו, ואומר שעליו לקבל את שכר הלימוד, ושואלים אותו כמה בדיוק הוא דורש כשכר לימוד. בתגובה הוא עושה להם חישוב מפורט, ואז המורה למתמטיקה אומר: "זו היתה השאלה האחרונה, והיא הוכיחה שלמדת בהצלחה ואינך זכאי לשכר הלימוד". |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |