בתשובה לדורון יערי, 28/08/00 9:28
 |
|
 |
||
|
||||
 |
קצת באיחור, אבל לא נורא. :-) אחד ועוד אחד זה לא שתיים? מאז ששפתותי התנתקו מדדי אימי אמרו לי שאחד ועוד אחד זה שתיים. פה טענת, שזה בעצם שורש שתיים, שזה בערך 1.4. איך זה ייתכן? אם תוכל להסביר זת במילים פשוטות, שגם תיכוניסט כמוני יבין זאת, אני יודה לך מאוד. או שזה בלתי אפשרי. לוינסון |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
זה אפשרי במובן הסמלי לא המהותי. תחשוב על מה שחשבת עד היום כ"מספר", כעל מבנה בעל שני נתונים x וy (וקטור במישור) כאשר ערכו (||) מוגדר כ sqrt(x^2 + y^2) הגדרה זו תואמת את הגדרת האורך של ווקטור במרחב ככה שהיא אפילו די שימושית.עכשיו נגדיר את פעולת החיבור כך: A + B = sqrt((A.x + B.x)^2 + (A.y + B.y)^2) גם הגדרה זו לא שרירותית כפי שאתה יכול לשים לב.עכשיו תחשוב על A = (1,0) הערך || של כל אחד מהם הוא 1 אולם הערך של חיבורם הוא הפלא ופלא שורש 2.
B = (0,1) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על-פי מה שאני למדתי, וקטור איננו מספר, אלא שילוב בין מספר וכיוון - וע''כ תוצאת חיבור שני מספרים אינה כתוצאת חיבור שני וקטורים (אשר היא בעצמה וקטור). כך שגם במובן הסמלי זה לא ממש מדויק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא חיברנו שני ווקטורים חיברנו שני נקודות (האחת היסט והאחרת כיוון, אם תרצה) והתוצאה שנתקבלה היא האורך של הווקטור לו היה מיוצג באמצעות שני הנקודות. אכן לא התעסקנו עם אותם מספרים שאנו רגילים לדבר עליהם, התעסקנו עם מספרים מסוג שונה המוגדרים מעל שדה הממשיים, כלומר לצורך ייצוג הפעולות עליהם השתמשנו בפעולות המוכרות על מספרים ממשיים (טוב נניח להגדרות עבר זמן מאז שזפה אותם עיני, אני בטח לא מדייק) ולענינינו בחרנו לייצג את אותו מבנה באמצעות סימול מסויים של מספרים, כלומר המספר 1 מייצג בכלל פיל ולא פסנתר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שתי הנקודות האלו מייצגות שני וקטורים. אורכם של הוקטורים האלו הוא 1, כיוון הראשון הוא 0 מעלות וכיוון השני הוא 270 מעלות. התוצאה של חיבור שני וקטורי היחידה האלו הינה וקטור אף היא. אני מודע לכך שהמדובר פה במספרים מרוכבים, אך המספר אחד עדיין מייצג רק 1 - כלומר יחידה אחת על גבי כל אחת מהסקלות שממנה מורכב המספר המרוכב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי כלום :-)) אבל תודה בכל מקרה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(1,0)=1+i*0=1 כלומר:(0,1)=0+i*1=/=1 (0,1)=/=1. ההוכחה שלך לא נכונה: הערך המוחלט של כל אחד מהם הוא אומנם 1, אבל הערך המוחלט של חיבורם _אינו_ שווה לחיבור ערכיהם המוחלטים, ואף אחד מהם אינו שווה לחיבורם. חוץ מזה ש (0,1) לא שווה ל1. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית כל אני מתנצל על הבלבול בהודעתי הראשונה (יום שישי קצר) צ"ל: נגדיר את פעולת החיבור A+B = (A.x+B.x,A.y+B.y) עכשיו אם תבדוק את הערך (||) של שני מספרים שערכם (||) 1 תגלה כי הסכום.....ההמרה שלך מספרים מורכבים היא הצגה אפשרית שמתייחסת למרכיב של כל מספר אולם הצגה כזו לא מעניינת אותנו בדוגמא. מה שמעניין אותנו הוא ה*ערך* של כל מספר הערך זה איננו מספר מורכב אלא מספר מוחלט על פי ההגדרה שנתנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אלה אינם מספרים - אלה הם ווקטורים. ווקטורים הם לא סתם הערך המוחלט שלהם - גם הכיוון חשוב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית, אני בכלל לא מסכים למה שדורון כתב וממנו התפתח כל הדיון, פשוט הדגמתי את כוונתו. ולעניין: ברור שהערך עליו דיברנו הוא ייצוג חלקי של תוכן אותו "מספר" (שהוא למעשה איבר במרחב מסויים אולם הבקשה המקורית ביקשה הפשטה, אז זה הוסבר בצורה פשטנית) אולם אותו חלק הוא מספיק עבור פיתוח מתמטי מושלם (נדמה לי שהם מכנים זאת מבנה אלגברי או משהו בסגנון) המכיל מספר מסויים של פעולות עבורם הוא "סגור". אם תרצה יותר פירוט חפש את הכרך העוסק במבנים אלגבריים מתוך הקורס 'מתמתיקה דיסקרטית' בהוצאת האו"פ, משם אני עכ"פ שאבתי את מעט הידע שלי בנושא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני רוצה לפתוח בהתנצלות. באלגברה הוקטורית וקטור חייב לבוא עם כיוון. ולכן 1+1 באלגברה וקטורית הוא חסר משמעות (כשמדובר בוקטורים, מכיוון שאין להם כיוון) או 2 (כשמדובר בסקלרים, גודל חסר כיוון). מה שהתכוונתי לומר זה משהו דומה (מה שמשה דורון הבין מדברי). ההגדרה של מרחב מתמטי נובעת ממספר הגדרות בסיסיות. תחום, הגדרת פעולת ה + ופעולת ה * (שחייבות לקיים מספר תנאים כמו קיום איבר 0 ש * בו נותן תוצאה שווה לו ו + אתו לא משנה את התוצאה, קיום איבר 1 ש * בו אינו משפיע על התוצאה, קיום חוק החילוף והפילוג ואני אודה למי שיוסיף תנאים ששכחתי אם שכחתי). מרחב שבו נגדיר את פעולת ה + (A+B) שתיתן כתוצאה את אורך אלכסון המלבן שצלעותיו הם A ו B ופעולת * (A*B) שתיתן את שיטחו של אותו מלבן הוא מרחב לגיטימי שבו 1+1 שווה לשורש 2 פשוט מכיוון ש +קיבל משמעות שונה מה "ועוד" המוכר ניתן גם למצוא מודל מעשי (לך מטר בכיוון צפון ועוד מטר בכיוון מזרח המרחק שלך מנקודת המוצא הוא ...) המרחב הזה אינו אינטואיטיבי, ועד כמה שידוע לי, לא משתמשים בו ולכן הוא לא ממש מתאים כדוגמא. כפיצוי אני אתן דוגמא אחרת למצב שבו הסמלים 1+1 נותנים תוצא אחרת מזו המוכרת לנו ממחברות כיתה א'. בבסיס הבינארי (זה שבו כל המספרים מיוצגים ע"י צירופים של הסמלים 0 ו 1) 1+1=10. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |