בתשובה לעוזי ו., 25/12/02 12:29
שאלה עם חומר סגור 115875
איזה "התחלת ריצוף"?
שאלה עם חומר סגור 115883
מצד אחד למלבן הגדול יש ריצוף במלבני 1x1, מלבני 1xp, מלבני qx1 ומלבן (אחד) pxq. מצד שני, אפשר גם לרצף אותו בהרבה מלבני 1x1, מלבני 1xp ומלבני qx1 (שהתקבלו מתת-המלבנים הנחמדים שלו).
ה"סתירה" היא בכך שהמלבן בגודל pxq כביכול נעלם, דהיינו הוא מופיע בריצוף אחד, אבל לא בשני. אז מה?

לדוגמא, רצף מלבן 5x6 במלבנים בגודל 2x4, 3x2, 3x4 ו- 2x2 (קנה המידה הוא 1:4, כלומר רק מלבנים בעלי צלע המתחלקת בארבע הם נחמדים).
זהו ריצוף של מלבן לא-נחמד בשני מלבנים נחמדים, ושניים לא נחמדים‏1. כעת נפעיל את האלגוריתם שלך: כל המלבנים הקטנים הם קטנים מספיק כדי להוות את הפירוק של עצמם (בפרט אין להם תת-מלבנים 4x4). אבל למלבן הגדול, הפירוק (ה"יחיד") הוא 4x4+1x4+4x1+1x2. קיבלנו
3x4 + 3x2 + 2x4 + 2x2 = 4x4 + 4x1 + 1x4 + 1x2
- לאן נעלם המלבן 1x2 בפירוק של אגף שמאל? סתירה! אלא שהוא לא נעלם לשום מקום; הוא לא צריך להופיע שם מלכתחילה.

1 הייתי שמח לתת דוגמא נגדית להוכחה שלך, אלא שאין כזו, בגלל הוכחה אחרת.
אתה מתואם עם בועז? 115893
תגובה 115874 ההוכחה שלי מסתמכת על כך שהריצוף הוא יחודי עבור כל מלבן, ומאפיין את המלבן. לכן, אפשר לבנות את המלבן בעזרת הריצוף היחודי שלו, ואם אי אפשר להגיע לריצוף היחודי של מלבן, בעזרת חיבור של הריצופים היחודיים של המלבנים שמרצפים אותו (בצורה שתיארתי), המלבנים הללו לא מרצפים אותו.
דווקא לא 116030
המשפט השני שלך ("לכן, ...") אינו נכון - ראה הדוגמא שנתתי למעלה (תגובה 115883). הריצופים היחודיים של המלבנים המרצפים אינם קרובים בכלל לריצוף ה"יחודי" של המלבן הגדול.
דווקא לא 123949
לא עברת על השלב של חיבור הריצופים נכון. בכל מקרה, בדוגמא שנתת למעלה, אי אפשר להפעיל את האלגוריתם שהגדרתי, משום שלא הגדרתי אפשרות ל"חבר" מלבנים בעלי צלע קטנה מצלע היחידה. משום שבשאלה *אין אפשרות* שמלבנים כאלה יווצרו, אין גם סיבה שאגדיר אלגוריתם כזה.
The hard way 124285
אנא הגדר "ריצוף יחודי" של מלבן.
ציין תחת אילו תנאים נכונה הטענה שבפירוק של מלבן גדול לתת-מלבנים, איחוד הריצופים היחודיים שלהם צריך להיות זהה לריצוף היחודי של המלבן הגדול.
הוכח את הטענה הזו.
לבסוף, הוכח שהתנאים לעיל מספיקים כדי להסיק את המשפט האחרון בתגובה 115893.

כדי לקצר את התהליך, מומלץ שבסיום כל עידון של ההגדרות תחזור על ההוכחה העדכנית, כדי שאוכל להתייחס אליה ישירות.
למה אתה מתעלם מהשם שלי. 124345
"ריצוף יחודי" טכניקת ריצוף עבור מלבן, כך שבהינתן מלבן הפעלתה יכולה לתת אך ורק דרך תוצאה יחידה (ובהינתן ריצוף, יכול להיווצר אך ורק מלבן יחיד, אבל זה נכון לכל ריצוף). דוגמאות, ריצוף הזהות (לרצף מלבן ע"י עצמו), ריצוף חציה לרוחב (חוצים את המלבן לרוחבו), או, הריצוף המפורט בתגובה 115600. כביכול, מדובר בריצוף לא יחודי, משום שמלבן הלא נחמד (באפשרות האחרונה) יכול להיות בכל פינה, או אפילו במרכז המלבן, אבל המיקומים לא משנים בכלום, ואפשר לקבוע שרירותית את מיקום השלמים מימין למעלה, ואז מדובר בהצמדת המלבן לדף משבצות רגיל, וברור (או שלא?) שמדובר באפשרות יחידה.

הטענה ששמת בפי לא נכונה, הטענה שטענתי נכונה. הטענה שלי היא,
1. חיבור הריצופים של מלבנים שמהווים בעצמם ריצוף למלבן יחיד, הוא ריצוף לאותו מלבן.
2. אם חיבור מלבנים נותן את הריצוף היחודי (הנבחר) של המלבן, אז הם מהווים ריצוף שלו.

מאחר ובנינו מחיבור המלבנים מלבן נחמד, אזי הם מהווים ריצוף של מלבן נחמד, ולא של מלבן לא נחמד.
לאט יותר 126883
הגדרת אלגוריתם, שלכל מלבן מחזיר ריצוף מסויים שלו. אפשר לקרוא לריצוף הזה "הריצוף היחודי למלבן".

טענה 1 נכונה: אם מפרקים מלבן לתת-מלבנים ומפרקים שוב כל אחד מאלה, מתקבל פירוק עדין יותר של המלבן המקורי.
הטענה השניה נכונה (זה מקרה פרטי של הטענה הראשונה), אבל נדמה לי שאתה מנסה לרמוז בה למשהו שאינו נכון, דהיינו, שאותם מלבנים שהצליחו להרכיב את המלבן שלנו, מוכרחים לעשות זאת דרך הריצוף שהגדרנו קודם. הנקודה היא שאין שום קשר בין שני הריצופים.

ההערה האחרונה חוזרת על מה שצריך להוכיח: מדוע מלבנים נחמדים אינם יכולים לרצף מלבן לא-נחמד?
לאט יותר 126978
מפני שאם המלבנים הנחמדים יצרפו אליהם מלבן לא נחמד, הם כבר לא יהיו יותר ''מלבנים נחמדים''. אז הם לא יכולים לצרף אותו. בעצם הם יכולים, אבל הם לא רוצים.

תתעלמו, למה לא. אני הלכתי לקרוא את כל הפתיל הזה שוב.
מ''ש 126980
לרצף! כתבת לרצף! אני חשבתי לצרף! סליחה, סליחה. ועוד פעם סליחה.

אוף.
what a nice girl like you... 127084

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים