בתשובה לבועז, 24/12/02 11:17
שאלה עם חומר סגור 115600
האייל שלא יודע מתמטיקה • בתשובה לבועז יום ג', 24/12/2002, 14:56
קח מלבן "נחמד", נניח (n,m), כאשר m,n שלמים. את המלבן הזה אפשר לרצף בעזרת mXn מלבנים "נחמדים" בגודל (1,1). הריצוף הזה הוא יחודי עבור המלבן.

קח מלבן "נחמד", נניח (n,m+p), כאשר m,n שלמים ו p בין 0 ל-‏1. את המלבן הזה אפשר לרצף בעזרת mXn מלבנים "נחמדים" בגודל (1,1), ו n מלבנים "נחמדים" בגודל (p,1)*. הריצוף הזה הוא יחודי עבור המלבן.

קח מלבן "נחמד", נניח (n+q,m), כאשר m,n שלמים ו q בין 0 ל-‏1. את המלבן הזה אפשר לרצף בעזרת mXn מלבנים "נחמדים" בגודל (1,1), ו m מלבנים "נחמדים" בגודל (q,1). הריצוף הזה הוא יחודי עבור המלבן.

קח מלבן "לא נחמד", נניח (n+q,m+p), כאשר m,n שלמים ו q,p בין 0 ל-‏1. את המלבן הזה אפשר לרצף בעזרת mXn מלבנים "נחמדים" בגודל (1,1), ו n מלבנים "נחמדים" בגודל (p,1)* ו m מלבנים "נחמדים" בגודל (q,1) ומלבן "לא נחמד" אחד בגודל (q,p). הריצוף הזה הוא יחודי עבור המלבן.

קח מלבן "לא נחמד", נניח (n+q,m+p), כאשר m,n שלמים ו q,p בין 0 ל-‏1, מרוצף ע"י מלבנים "נחמדים". רצף את המלבנים הנחמדים לפי הריצוף למעלה, הורד את כל המלבנים ה"נחמדים" בגודל (1,1), חבר את כל המלבנים ה"נחמדים" אם הצלע המאוזנת השלמה למלבן אחד ארוך, חסר מהמלבן הארוך את m המלבנים של (1,q), וכל השאר הם מלבנים בגודל של (1,1). חזור על התהליך עבור המלבנים עם הצלע המאונכת השלמה, ו... רגע, מה עם המלבן בגודל (p,q)? לאן הוא נעלם? הגענו לסתירה. מכאן, אין למלבן "לא נחמד" ריצוף ע"י מלבנים "נחמדים". מש"ל.
---------------------------
* בעיה, אני לא מצליח לכתוב את ה-p לפני ה-‏1.
ושאלה נוספת 115602
האייל שלא יודע מתמטיקה • בתשובה להאייל שלא יודע מתמטיקה יום ג', 24/12/2002, 15:07
בכיתה ג' יהיו שישה ילדים: יוסי, עמי, טומי, אריק, אלי ואיווט. המורה צריך לבחור איזה 3 ילדים ילמדו ביחד, בקבוצת הלימוד מ':
1. יוסי לא מוכן ללמוד עם אריק ואיווט.
2. עמי לא מוכן ללמוד עם אריק ואיווט.
3. טומי לא מוכן ללמוד עם אלי.
3. טומי מוכן ללמוד רק ביחד עם אריק ועמי.
4. אריק מוכן ללמוד רק עם עמי.
5. אריק לא מוכן ללמוד עם יוסי.
6. אלי לא מוכן ללמוד עם טומי ויוסי.
7. איווט לא מוכן ללמוד עם יוסי ועמי.

מה יעשה המורה?
ושאלה נוספת 115604
דורון הגלילי • בתשובה להאייל שלא יודע מתמטיקה יום ג', 24/12/2002, 15:18
ושוב, חזרנו לנושא: איך מנסחים שאלה.
יוסי לא מוכן ללמוד עם אריק ואיווט. האם משמעו שיוסי לא מוכן ללמוד עם אריק, ואינו מוכן ללמוד עם איווט, או שמא אינו מוכן ללמוד בכתה שבה לומדים אריק *וגם* איווט?
ושאלה נוספת 115607
האייל האלמוני • בתשובה לדורון הגלילי יום ג', 24/12/2002, 15:24
1. יוסי לא מוכן ללמוד עם אריק.
2. יוסי לא מוכן ללמוד עם איווט.
3. עמי לא מוכן ללמוד עם אריק.
4. עמי לא מוכן ללמוד עם איווט.
5. טומי לא מוכן ללמוד עם אלי.
6. טומי מוכן ללמוד רק עם עמי ואריק ביחד.
7. אריק מוכן ללמוד רק עם עמי.
8. אריק לא מוכן ללמוד עם יוסי.
9. אלי לא מוכן ללמוד עם טומי.
10. אלי לא מוכן ללמוד עם יוסי.
11. איווט לא מוכן ללמוד עם יוסי.
12. איווט לא מוכן ללמוד עם עמי.
ושכחתם שיש בכיתה גם את: עזמי, אחמד, מוחמד 115651
א.ה. (30) • בתשובה להאייל שלא יודע מתמטיקה יום ג', 24/12/2002, 18:51
לא שכחתי אף אחד 115858
האייל שלא יודע מתמטיקה • בתשובה לא.ה. (30) יום ד', 25/12/2002, 12:23
בכתה יש רק ששה תלמידים, ואת ששת שמותיהם נתתי. עזמי אחמד ומוחמד הם שמות יפים, אבל לא מהחידה הזו. גם מנחם, עמיר, מיכאל, האשם, אפרים, דוד ונתן הם שמות יפים, וגם הם מחידה אחרת.
ושאלה נוספת 123933
האייל האלמוני • בתשובה להאייל שלא יודע מתמטיקה יום א', 26/1/2003, 9:07
או שאתה בן-זימן, או שבנזימן מעתיקן.
ושאלה נוספת 123944
האייל שלא יודע מתמטיקה • בתשובה להאייל האלמוני יום א', 26/1/2003, 10:04
בנזימן מעתיק ללא בושה, וללא הצלחה.
שאלה עם חומר סגור 115666
עוזי ו. • בתשובה להאייל שלא יודע מתמטיקה יום ג', 24/12/2002, 19:44
בפסקה האחרונה, אתה ''מוכיח'' שבשיטה מסויימת מאד, לא הצלחת לרצף מלבן לא נחמד במלבנים נחמדים. זה לא אומר שבאמת אי-אפשר לעשות זאת.
שאלה עם חומר סגור 115836
האייל שלא יודע מתמטיקה • בתשובה לעוזי ו. יום ד', 25/12/2002, 11:01
תגובה 115834
שאלה עם חומר סגור 115825
בועז • בתשובה להאייל שלא יודע מתמטיקה יום ד', 25/12/2002, 10:29
נראה שגם פה אתה מניח שהריצוף המקורי נראה בצורה מסוימת. ע"מ להבהיר ריצוף היא כל דרך להניח את המלבנים הקטנים כאשר אחד צמוד לשני והם מכסים את כל השטח.

כפי שצוין, אפשר להניח שכל מלבן קטן מקביל לצירים (כי אחרת אי אפשר יהיה להרכיב מהם מלבן). מה ש*אי אפשר* להניח הוא שהמלבנים מרוצפים בשורות שורות כמו בלטות.
שאלה עם חומר סגור 115834
האייל שלא יודע מתמטיקה • בתשובה לבועז יום ד', 25/12/2002, 10:59
הפיסקה האחרונה לא נוסחה כראוי, אני מניח שקיים ריצוף *כלשהו* של מלבן (להלן, "הגדול") בעזרת מלבנים נחמדים, אני יודע שקיים ריצוף *יחיד* למלבנים ה"נחמדים" (שמרצפים את המלבן הלא נחמד) באופן שתיארתי הפיסקאות הקודמות. אני לוקח את כל המלבנים שמרצפים את המלבנים ה"נחמדים", ומנסה לרצף בעזרתם את המלבן ה"גדול", ע"י סידור מחדש (באופן שתיארתי), ונסיון להגיע לריצוף היחודי שלו, ומגיע לכך שגם המלבן ה"גדול" הוא "נחמד" (משום שאין דרך לקבל את המלבן הקטן).
שאלה עם חומר סגור 115860
בועז • בתשובה להאייל שלא יודע מתמטיקה יום ד', 25/12/2002, 12:25
נראה שאתה מניח שכאשר תיקח את הריצוף של המלבנים הנחמדים תקבל מלבנים משלשה סוגים: (p,1) , (1,q) ו (1,1)
אבל למעשה תקבל הרבה מלבנים מהצורה (x,1) ו (1,y) עבור כל מיני ערכים של x ו y
שאלה עם חומר סגור 115874
האייל שלא יודע מתמטיקה • בתשובה לבועז יום ד', 25/12/2002, 12:49
לא, אני כלל לא מניח את זה. ראה "חבר את כל המלבנים ה"נחמדים" אם הצלע המאוזנת השלמה למלבן אחד ארוך..." בתגובה 115600
שאלה עם חומר סגור 115863
עוזי ו. • בתשובה להאייל שלא יודע מתמטיקה יום ד', 25/12/2002, 12:29
אין שום סיבה להניח שהריצופים של המלבנים הקטנים מסתדרים יחד ליצור את התחלת הריצוף שאתה מציע למלבן הגדול.
שאלה עם חומר סגור 115875
האייל שלא יודע מתמטיקה • בתשובה לעוזי ו. יום ד', 25/12/2002, 12:51
איזה "התחלת ריצוף"?
שאלה עם חומר סגור 115883
עוזי ו. • בתשובה להאייל שלא יודע מתמטיקה יום ד', 25/12/2002, 13:11
מצד אחד למלבן הגדול יש ריצוף במלבני 1x1, מלבני 1xp, מלבני qx1 ומלבן (אחד) pxq. מצד שני, אפשר גם לרצף אותו בהרבה מלבני 1x1, מלבני 1xp ומלבני qx1 (שהתקבלו מתת-המלבנים הנחמדים שלו).
ה"סתירה" היא בכך שהמלבן בגודל pxq כביכול נעלם, דהיינו הוא מופיע בריצוף אחד, אבל לא בשני. אז מה?

לדוגמא, רצף מלבן 5x6 במלבנים בגודל 2x4, 3x2, 3x4 ו- 2x2 (קנה המידה הוא 1:4, כלומר רק מלבנים בעלי צלע המתחלקת בארבע הם נחמדים).
זהו ריצוף של מלבן לא-נחמד בשני מלבנים נחמדים, ושניים לא נחמדים‏1. כעת נפעיל את האלגוריתם שלך: כל המלבנים הקטנים הם קטנים מספיק כדי להוות את הפירוק של עצמם (בפרט אין להם תת-מלבנים 4x4). אבל למלבן הגדול, הפירוק (ה"יחיד") הוא 4x4+1x4+4x1+1x2. קיבלנו
3x4 + 3x2 + 2x4 + 2x2 = 4x4 + 4x1 + 1x4 + 1x2
- לאן נעלם המלבן 1x2 בפירוק של אגף שמאל? סתירה! אלא שהוא לא נעלם לשום מקום; הוא לא צריך להופיע שם מלכתחילה.

‏1 הייתי שמח לתת דוגמא נגדית להוכחה שלך, אלא שאין כזו, בגלל הוכחה אחרת.
אתה מתואם עם בועז? 115893
האייל שלא יודע מתמטיקה • בתשובה לעוזי ו. יום ד', 25/12/2002, 13:41
תגובה 115874 ההוכחה שלי מסתמכת על כך שהריצוף הוא יחודי עבור כל מלבן, ומאפיין את המלבן. לכן, אפשר לבנות את המלבן בעזרת הריצוף היחודי שלו, ואם אי אפשר להגיע לריצוף היחודי של מלבן, בעזרת חיבור של הריצופים היחודיים של המלבנים שמרצפים אותו (בצורה שתיארתי), המלבנים הללו לא מרצפים אותו.
דווקא לא 116030
עוזי ו. • בתשובה להאייל שלא יודע מתמטיקה יום ד', 25/12/2002, 20:52
המשפט השני שלך ("לכן, ...") אינו נכון - ראה הדוגמא שנתתי למעלה (תגובה 115883). הריצופים היחודיים של המלבנים המרצפים אינם קרובים בכלל לריצוף ה"יחודי" של המלבן הגדול.
דווקא לא 123949
האייל שלא יודע מתמטיקה • בתשובה לעוזי ו. יום א', 26/1/2003, 10:33
לא עברת על השלב של חיבור הריצופים נכון. בכל מקרה, בדוגמא שנתת למעלה, אי אפשר להפעיל את האלגוריתם שהגדרתי, משום שלא הגדרתי אפשרות ל"חבר" מלבנים בעלי צלע קטנה מצלע היחידה. משום שבשאלה *אין אפשרות* שמלבנים כאלה יווצרו, אין גם סיבה שאגדיר אלגוריתם כזה.
The hard way 124285
עוזי ו. • בתשובה להאייל שלא יודע מתמטיקה יום ב', 27/1/2003, 7:32
אנא הגדר "ריצוף יחודי" של מלבן.
ציין תחת אילו תנאים נכונה הטענה שבפירוק של מלבן גדול לתת-מלבנים, איחוד הריצופים היחודיים שלהם צריך להיות זהה לריצוף היחודי של המלבן הגדול.
הוכח את הטענה הזו.
לבסוף, הוכח שהתנאים לעיל מספיקים כדי להסיק את המשפט האחרון בתגובה 115893.

כדי לקצר את התהליך, מומלץ שבסיום כל עידון של ההגדרות תחזור על ההוכחה העדכנית, כדי שאוכל להתייחס אליה ישירות.
למה אתה מתעלם מהשם שלי. 124345
האייל שלא יודע מתמטיקה • בתשובה לעוזי ו. יום ב', 27/1/2003, 11:37
"ריצוף יחודי" טכניקת ריצוף עבור מלבן, כך שבהינתן מלבן הפעלתה יכולה לתת אך ורק דרך תוצאה יחידה (ובהינתן ריצוף, יכול להיווצר אך ורק מלבן יחיד, אבל זה נכון לכל ריצוף). דוגמאות, ריצוף הזהות (לרצף מלבן ע"י עצמו), ריצוף חציה לרוחב (חוצים את המלבן לרוחבו), או, הריצוף המפורט בתגובה 115600. כביכול, מדובר בריצוף לא יחודי, משום שמלבן הלא נחמד (באפשרות האחרונה) יכול להיות בכל פינה, או אפילו במרכז המלבן, אבל המיקומים לא משנים בכלום, ואפשר לקבוע שרירותית את מיקום השלמים מימין למעלה, ואז מדובר בהצמדת המלבן לדף משבצות רגיל, וברור (או שלא?) שמדובר באפשרות יחידה.

הטענה ששמת בפי לא נכונה, הטענה שטענתי נכונה. הטענה שלי היא,
1. חיבור הריצופים של מלבנים שמהווים בעצמם ריצוף למלבן יחיד, הוא ריצוף לאותו מלבן.
2. אם חיבור מלבנים נותן את הריצוף היחודי (הנבחר) של המלבן, אז הם מהווים ריצוף שלו.

מאחר ובנינו מחיבור המלבנים מלבן נחמד, אזי הם מהווים ריצוף של מלבן נחמד, ולא של מלבן לא נחמד.
לאט יותר 126883
עוזי ו. • בתשובה להאייל שלא יודע מתמטיקה יום ג', 4/2/2003, 9:31
הגדרת אלגוריתם, שלכל מלבן מחזיר ריצוף מסויים שלו. אפשר לקרוא לריצוף הזה "הריצוף היחודי למלבן".

טענה 1 נכונה: אם מפרקים מלבן לתת-מלבנים ומפרקים שוב כל אחד מאלה, מתקבל פירוק עדין יותר של המלבן המקורי.
הטענה השניה נכונה (זה מקרה פרטי של הטענה הראשונה), אבל נדמה לי שאתה מנסה לרמוז בה למשהו שאינו נכון, דהיינו, שאותם מלבנים שהצליחו להרכיב את המלבן שלנו, מוכרחים לעשות זאת דרך הריצוף שהגדרנו קודם. הנקודה היא שאין שום קשר בין שני הריצופים.

ההערה האחרונה חוזרת על מה שצריך להוכיח: מדוע מלבנים נחמדים אינם יכולים לרצף מלבן לא-נחמד?
לאט יותר 126978
עדי • בתשובה לעוזי ו. יום ג', 4/2/2003, 15:46
מפני שאם המלבנים הנחמדים יצרפו אליהם מלבן לא נחמד, הם כבר לא יהיו יותר ''מלבנים נחמדים''. אז הם לא יכולים לצרף אותו. בעצם הם יכולים, אבל הם לא רוצים.

תתעלמו, למה לא. אני הלכתי לקרוא את כל הפתיל הזה שוב.
מ''ש 126980
עדי • בתשובה לעדי יום ג', 4/2/2003, 15:48
לרצף! כתבת לרצף! אני חשבתי לצרף! סליחה, סליחה. ועוד פעם סליחה.

אוף.
what a nice girl like you... 127084
האייל האלמוני • בתשובה לעדי יום ד', 5/2/2003, 0:11
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות