בתשובה לעוזי ו., 19/12/02 4:15
 |
|
 |
||
|
||||
 |
נקבע יחידות מידה כלשהן (למשל ס"מ). נאמר שמלבן הוא "נחמד" אם אחת מהצלעות שלו היא באורך שלם. כלומר: מלבן בגודל 5 על 7.5 ס"מ הוא "נחמד" גם מלבן בגודל 6 על 8 ס"מ הוא "נחמד" לעומת זאת, מלבן בגודל 3.4 על 7.2 ס"מ הוא "לא נחמד". ריצוף של מלבן הוא חלוקה שלו למלבנים קטנים יותר. למשל, אפשר לרצף מלבן בגודל 2 על 3 ע"י 3 מלבנים של 1 על 1 ומלבן אחד של 1 על 3. שאלה: הוכח שאי אפשר לרצף מלבן "לא נחמד" ע"י מלבנים "נחמדים" |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לא חסר כאן איזה תנאי? מה עם מלבן "לא נחמד" שצלעותיו 0.5 על 0.5? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא להוכיח שאי אפשר לרצף *כל* מלבן "לא נחמד". נכון שההוכחה עבור המקרה הספציפי של המלבן הזה (0.5 על 0.5) היא יותר קלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוי סליחה. קראתי בטעות כאילו *ניתן* לרצף *כל* מלבן "לא נחמד" ב"נחמדים". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מבקש הוכחה שסכום של מספרים שלמים הוא שלם? את זה אפילו מר ו. יכול לפתור! ___________________ 1- אני מתייחס לעצמי ולשאלה שאני שואל כאן, לא אליך כמובן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, מאחר ולמלבן נחמד מותר שתהיה צלע אחת שהיא לא שלמה. כמו כן, בריצוף אפשר שבחלק מהמלבנים הקטנים הצלע השלמה תהיה מאוזנת ובחלק אחר מהם היא תהיה מאונכת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגדרות: שבר עשרוני מסוג עשירית - מספר עם ספרה אחת אחרי הנקודה, כגון 4.1, 3.2 וכדומה. שבר עשרוני מסוג מאית - מספר עם שתי ספרות אחרי הנקודה כגון 4.25, 7.89 וכדומה. לצורך הדוגמא ניקח מלבן לא נחמד בעל שתי צלעות של שבר עשרוני מסוג עשירית. 1.שטח המלבן הינו שבר עשרוני מסוג מאית. 2.ניתן למצוא מלבנים נחמדים ששטחם המצרפי יהיה שבר עשרוני מסוג מאית ואולם אחד מהם לפחות יהיה בעל צלע שהינה שבר עשורני מסוג מאית. 3.אם כך הוא שלאור העובדה שצלעות המלבן הלא נחמד הינם שברים עשרונים מסוג עשירית הרי שלעולם לא נוכל למקם את המלבן הנחמד עם צלע שהינה שבר עשרוני מסוג מאית., שכן חיבור הצלע שהינה שבר עשרוני מסוג מאית ליתר צלעות המלבנים הנחמדים תיתן צלע שהינה שבר עשרוני מסוג מאית ואין כזה במלבן הלא נחמד. 4.בהכללה ניתן לומר כי כל הכפלה של שתי צלעות שהינן שברים עשרונים תיתן צלע שהינה שבר עשרוני לפחות מהמעלה הבאה (A בריבוע או בשלישית וכן הלאה, אם ניקח צלע אחת שהינה שבר עשורני מסוג A והשניה שבר עשרוני מסוג A בריבוע וכדומה). 5.על מנת לקבל שטח מלבנים נחמדים ששוה לשטח המלבן הלא נחמד הרי שלפחות מלבן נחמד אחד יהיה בעל צלע שהינה שבר עשרוני מאותה המעלה שנוצרה מההכפלה שהיא גבוהה מהמעלה של כל אחת מהצלעות (שניה או שלישית וכו'). אבל אז לא נוכל להרכיבו כי אורך הצלע של המלבן הלא נחמד תמיד נמוך, בלפחות במעלה, מאורך הצלע שהתקבלה. מ.ש.ל.? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי 3: האם עשרה מלבנים נחמדים מסוג מאית לא יכולים ליצור צלע מסוג עשירית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה שלא חשבתי עליה - הנה ניסיון לפתרון: לצורך הדוגמא ניקח שני מלבנים בלבד וששני הצלעות בעלת המספר השלם שוות. 1.כדי להתאים את הצלע למעלה הבאה המספר צריך להשלים את השני. לדגומא אם מדובר בשתי מאיות על מנת להשלים לעשירית הרי שמספר אחד הינו A והשני אם כן הינו 10 פחות A. 2. מכיון ששניהם מתחברים ונותנים ביחד 10, דהיינו מעבר לעשירית, הרי גם אם נכפיל כל אחד במספר שלם או את התוצאה שלהם במספר שלהם נקבל עשירית. כיוון שכך, חיבור השטחים יניב עשירית ובהרכח תצטרך עוד מלבן אחד שיש לו מאית וחזרת לנקודה שאין לך צלע כזאת במלבן הנחמד. 3.לקחתי שני מלבנים כדי להדגים אבל התוצאה לא תשתנה גם אם העשירית מורכבת ממספר מלבנים - סכום השטחים שלהם תמיד יתן עשירית ולא מאית. 4.גם אם תרכיב מלבן נחמד ליד מלבן נחמד שהצלע שהיא מספר שלם שונה אזי יתרת החלק שלא מתאים ממילא יהפוך למלבן נחמד בעל צלע של מאית ואז אתה חוזר להוכחה שלי שאין לך צלע במלבן הלא נחמד שהיא מתאימה. אם גם לחלק זה תביא מאית שמשלימה לעשירית הרי מה שאמרתי כאן תופס גם לחלק זה. מ.ש.ל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. לא כל מספר הוא שבר עשרוני סופי. ב. בכלל לא ברור איך להכליל את ההוכחה שלך מריצוף בשני מלבנים, לריצוף במספר סופי כלשהו. ג. אחרי שמורידים ממלבן A שני תת-מלבנים x,y שאחד מהם מכסה פינה והשני נוגע בו ובצלע של A (כמו בסעיף 4 שלך), התוצאה אינה מלבן. נכון שיש תת-מלבן מינימלי B שמכיל את שני תת-המלבנים האלו, אבל כאשר מכסים את A, לא בהכרח קיים תת-כיסוי שמכסה את B. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שרטוט למדתי בפעם האחרונה בכיתה ח' 1 אבל ננסה בכל זאת. 1.מהשאלה הבנתי שמדובר במספר עשרוני סופי. טעיתי? 2. לגבי המלבן. בסעיף 4 אין הכרח ששני המלבנים יגעו בפינה או בצלע של המלבן הגדול הלוא נחמד. 3.כוונתי הייתה שחיבור שני מלבנים שהצלע בעלת מספר שלם איננה באותו גודל יוצרת "חתיכה חסרה". אותה חיתכה חסרה צריכה להיות מושלמת ממלבן אחר. החתיכה החסרה תהיה או חתיכה בפני עצמה או חתיכה ממלבן אחר. 4.אם מדובר בחתיכה בפני עצמה, ממילא היא יוצרת עם המלבן שאותו היא משלימה מלבן אחד שעכשיו שהצלע של המספר השלם שווה לצלע במלבן השני. 5. אם זה חלק ממלבן אחר - אזי בניכוי החתיכה תקבל מצולע שניתן לחלקו לשני מלני משנה. אחד מהם יהיה בהכרח בעל שבר עשורני ממעלה גבוה יותר מהצלע של המלבן הלא נחמד שצריך לרצף ואז זה חוזר למה שאמרתי שם. אני ברור או ששוב טעיתי? 1 גם עם מתמטיקה כבר הרבה זמן לא התעסקתי, אבל זה לפחות מעניין. גם אם טועים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. כן - מלבן הוא לא-נחמד אם שתי הצלעות שלו אינן שלמות; הדוגמאות שניתנו שם הן שברים עשרוניים, אבל זה לא המקרה הכללי. 2-5. הריצוף של המלבן הגדול (במלבנים נחמדים) מכסה כמובן גם את "החתיכה החסרה"; אלא שהחיתוך של מלבן נחמד כזה עם החתיכה החסרה אינו בהכרח נחמד, ולכן לא תוכל לשלול את אפשרות הריצוף שלה כשלעצמה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא לחלוטין הבנתי את הפתרון אבל נראה לי שאתה מניח שהריצוף הוא בצורה מיוחדת ושהפתרון לא עובד עבור כל ריצוף. בכל מקרה, האינטואציה שלך נכונה והיא קרובה לפתרון שלי. הדרך שבה אני פתרתי את הבעיה היתה בסגנון דומה, אבל יש לי תחושה שאפשר לפתור אותה בכמה דרכים. אפשר להתחיל מההנחה שכל המספרים שמעורבים הם רציונליים, או הנחה דומה, ואחר כך לנסות להכליל לכל מספר. זאת שאלה שמישהו שאל אותי במילואים ואת הפתרון שלי (עדיין) לא העמדתי ל"ביקורת ציבורית" אז גם ייתכן שאני טועה. הנה רמז: לשאלה יש פתרון פשוט אם מניחים שכל השברים שמעורבים הם 0.5. כלומר: כל צלע שהיא לא שלמה היא מאורך 0.5 או 1.5 או 2.5 וכו'.. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא יעבוד עם מלבנים בעלי צלע באורך לא רציונלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מכיר פתרון מאד מגעיל לחידה הזו. בבקשה, שמישהו יעלה על פתרון יפה יותר. אני מתחנן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שלושה פתרונות, לבחירתך: 1. (ליאור גולגר) תגובה 116044. 2. (בועז) תגובה 115921. 3. תגובה 115710 עם התיקון בתגובה 115876. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, אני חייב לציין שהם נראים אפילו פחות סימפטיים מן הפתרון שאני מכיר, אם כי אולי עלי להתעמק בהם יותר. בכל מקרה, הפתרון שאני מכיר הוא כזה: נניח לצורך העניין, כי יחידת האורך היא 2pi, והמלבנים תמיד מקבילים לצירים. נתבונן בפונקציה sin(x)cos(y). אינטגרל שלה על מלבן יהיה 0 אמ"ם המלבן נחמד. אינטגרל שלה על מלבן מרוצף הוא סכום האינטגרלים על המלבנים המרצפים. לכן, אם אינטגרל שלה על המלבן כולו אינו אפס, כלומר, המלבן כולו אינו נחמד, הרי שהאינטגרל שלה על איזשהו מלבן בריצוף חייב להיות שונה מאפס, ולכן ישנו לפחות מלבן אחד בריצוף שאינו נחמד. מש"ל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק אתמול גיליתי את הפתיל הזה. סליחה על האיחור. נדמה לי שגם הפתרון שלך וגם הפתרון של גולגר + עוזי בתגובה 116044 מתבססים על אותו העקרון. הנה ה"הכללה". תהי f פונקצייה מ- R ל- R עם התכונה שהאינטגרל שלה מ- a ל- b הוא 0 אם ורק אם b-a הוא מספר שלם. תהי g עוד פונקציה כזו (ייתכן כי f = g). נגדיר כעת פונקציה F מ- R^2 ל- R על ידי F(x,y) = f(x)g(y) בגלל הספרביליות הכפלית של F, האינטגרל (הכפול) שלה על מלבן כלשהו יהיה שווה למכפלת האינטגרלים (החד-מימדיים) של f ו- g עם הגבולות המתאימים, ולכן יהיה שווה ל- 0 אם ורק אם לפחות אחת מצלעות המלבן הוא מספר שלם. במילים אחרות, האינטגרל של F על מלבן יהיה 0 אם ורק אם המלבן הוא "נחמד".היות שהאינטגרל של פונקציה על תחום שהוא איחוד זר של תחומים אחרים שווה לסכום האינטגרלים שלה על התחומים הנ"ל, נקבל שאי אפשר לרצף מלבן נחמד ע"י מלבנים לא נחמדים - סכום של אפסים אינו יכול לתת מספר השונה מאפס. (כמובן שהנחתי שצלעות המלבנים מקבילות לצירים.) בפתרון שלך (אחרי שינוי קנה המידה): f(x) = sin(2pi*x), g(y) = cos(2pi*y) בפתרון של גולגר + עוזי: f = g , ו- f של x הוא 1 אם החלק השבור של x הוא בין 0 לחצי, ו- 1- אחרת.בחידה הזו נתקלתי לראשונה ב- http://study.haifa.ac.il/~oshapi03/html/think~1.htm (חידה מספר 3). את הפתרון ב- http://study.haifa.ac.il/~oshapi03/html/answer~1.htm לא הבנתי, ואני מעז לנחש שהסיבה לכך במקרה זה היא שהוא שגוי לחלוטין, החל מההגדרות (אשמח לקבל תיקונים, כמובן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה על הבורות, אבל לא צריך להוכיח קיום של פונקציות f ו g עם התכונה המצויינת הזאת של האינטגרל שלהן? אינטואיטיבית נראה לי שהוכחת הקיום היא בדיוק פתרון החידה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצטער אם לא הייתי מספיק ברור: גם הפונקציות f ו- g של כה"נ וגם הפונקציה f (שהיא גם g) של גולגר + עוזי מקיימות את התנאי הדרוש. בסך הכל ניסיתי להראות את המשותף בין שני הפתרונות (הכמובן נכונים) שלהם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על הצגת התורה המאחדת. אני רק רוצה להבהיר כי הפתרון שהצגתי אינו ''שלי,'' כפי שאתה מציין, אלא עבר דרכי, ושמעתי אותו מגורם אחר. הוא עבר כמעין ''מם'' של עצב וצער, על הצורך להשתמש באנליזה במקום בקומבינטוריקה, שנראית, על פניה, מתבקשת.. די. מאסתי בחידה הזו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז תמצא איך מגיעים בעזרת 1 5 6 7 וחיבור, חיסור, כפל וחילוק ל21. מותר להשתמש בכל מספר רק פעם אחת, בין כל שני מספרים חייבת להיות פעולה, השימוש בסוגריים הוא ללא הגבלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם זו שאלה בבסיס אוקטלי, זה קל... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בלתי אפשרי, אני חושב. לא יודע איך להוכיח. תן לי כמה זמן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להוכיח זה קל, יש !4 אפשרויות לסדר את הספרות, 3^4 אפשרויות לסדר את הפעולות ו!3 אפשרויות לסוגריים. כתוב תוכנית בC או בVB שתעבור על כל האפשרויות. הבעיה, שגלעד ברזילי כבר פתר את זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
*** ספוילר - פתרון *** זה לקח קצת זמן, אבל: (1-5/7)/6=21 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואו. תזכיר לי לא לעשות קריירה בתורת המספרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש בעיה עם הכיוונים בעברית, או שטעית בסדר של החיסור? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק השמטה של סימן (-) מינוס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי השמיט מינוס? במילים: עשרים ואחת הוא שש חלקי שתי שבעיות שהם אחד פחות חמש שבעיות. עליתי על זה כשמתי לב לעובדה המרנינה ששש כפול שבע יוצא פעמיים 21, וכשניסיתי לגרד חצי עליתי על העובדה המרנינה השנייה - אני יכול להוריד למטה את השבע ולסדר משלים לאחד. הסיבה שכליל לא פתר את זה היא שכליל לומד מתמטיקה. אם הוא היה לומד הנדסה, כראוי, גם הוא היה מתידד עם שברים ברמה מספקת כדי לפתור את החידה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז כנראה שיש בעיה עם הכוונים, כי אני קראתי חמש שביעיות פחות אחת, או כמו שאמרו אותם פועלים בבדיחה הידועה ''הפכת גבולות אינטגרציה''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, האמת היא שזה בגלל שכליל לומד מדעי המחשב, שם מדובר רק במספרים שלמים. אילו כליל היה לומד מתמטיקה כמו שצריך, הוא היה זוכר חוגי שברים מאלגברה אבסטרקטית, ופותר את הבעיה בנקל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קח מלבן "נחמד", נניח (n,m), כאשר m,n שלמים. את המלבן הזה אפשר לרצף בעזרת mXn מלבנים "נחמדים" בגודל (1,1). הריצוף הזה הוא יחודי עבור המלבן. קח מלבן "נחמד", נניח (n,m+p), כאשר m,n שלמים ו p בין 0 ל-1. את המלבן הזה אפשר לרצף בעזרת mXn מלבנים "נחמדים" בגודל (1,1), ו n מלבנים "נחמדים" בגודל (p,1)*. הריצוף הזה הוא יחודי עבור המלבן. קח מלבן "נחמד", נניח (n+q,m), כאשר m,n שלמים ו q בין 0 ל-1. את המלבן הזה אפשר לרצף בעזרת mXn מלבנים "נחמדים" בגודל (1,1), ו m מלבנים "נחמדים" בגודל (q,1). הריצוף הזה הוא יחודי עבור המלבן. קח מלבן "לא נחמד", נניח (n+q,m+p), כאשר m,n שלמים ו q,p בין 0 ל-1. את המלבן הזה אפשר לרצף בעזרת mXn מלבנים "נחמדים" בגודל (1,1), ו n מלבנים "נחמדים" בגודל (p,1)* ו m מלבנים "נחמדים" בגודל (q,1) ומלבן "לא נחמד" אחד בגודל (q,p). הריצוף הזה הוא יחודי עבור המלבן. קח מלבן "לא נחמד", נניח (n+q,m+p), כאשר m,n שלמים ו q,p בין 0 ל-1, מרוצף ע"י מלבנים "נחמדים". רצף את המלבנים הנחמדים לפי הריצוף למעלה, הורד את כל המלבנים ה"נחמדים" בגודל (1,1), חבר את כל המלבנים ה"נחמדים" אם הצלע המאוזנת השלמה למלבן אחד ארוך, חסר מהמלבן הארוך את m המלבנים של (1,q), וכל השאר הם מלבנים בגודל של (1,1). חזור על התהליך עבור המלבנים עם הצלע המאונכת השלמה, ו... רגע, מה עם המלבן בגודל (p,q)? לאן הוא נעלם? הגענו לסתירה. מכאן, אין למלבן "לא נחמד" ריצוף ע"י מלבנים "נחמדים". מש"ל. --------------------------- * בעיה, אני לא מצליח לכתוב את ה-p לפני ה-1. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בכיתה ג' יהיו שישה ילדים: יוסי, עמי, טומי, אריק, אלי ואיווט. המורה צריך לבחור איזה 3 ילדים ילמדו ביחד, בקבוצת הלימוד מ': 1. יוסי לא מוכן ללמוד עם אריק ואיווט. 2. עמי לא מוכן ללמוד עם אריק ואיווט. 3. טומי לא מוכן ללמוד עם אלי. 3. טומי מוכן ללמוד רק ביחד עם אריק ועמי. 4. אריק מוכן ללמוד רק עם עמי. 5. אריק לא מוכן ללמוד עם יוסי. 6. אלי לא מוכן ללמוד עם טומי ויוסי. 7. איווט לא מוכן ללמוד עם יוסי ועמי. מה יעשה המורה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ושוב, חזרנו לנושא: איך מנסחים שאלה. יוסי לא מוכן ללמוד עם אריק ואיווט. האם משמעו שיוסי לא מוכן ללמוד עם אריק, ואינו מוכן ללמוד עם איווט, או שמא אינו מוכן ללמוד בכתה שבה לומדים אריק *וגם* איווט? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. יוסי לא מוכן ללמוד עם אריק. 2. יוסי לא מוכן ללמוד עם איווט. 3. עמי לא מוכן ללמוד עם אריק. 4. עמי לא מוכן ללמוד עם איווט. 5. טומי לא מוכן ללמוד עם אלי. 6. טומי מוכן ללמוד רק עם עמי ואריק ביחד. 7. אריק מוכן ללמוד רק עם עמי. 8. אריק לא מוכן ללמוד עם יוסי. 9. אלי לא מוכן ללמוד עם טומי. 10. אלי לא מוכן ללמוד עם יוסי. 11. איווט לא מוכן ללמוד עם יוסי. 12. איווט לא מוכן ללמוד עם עמי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בכתה יש רק ששה תלמידים, ואת ששת שמותיהם נתתי. עזמי אחמד ומוחמד הם שמות יפים, אבל לא מהחידה הזו. גם מנחם, עמיר, מיכאל, האשם, אפרים, דוד ונתן הם שמות יפים, וגם הם מחידה אחרת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או שאתה בן-זימן, או שבנזימן מעתיקן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בנזימן מעתיק ללא בושה, וללא הצלחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בפסקה האחרונה, אתה ''מוכיח'' שבשיטה מסויימת מאד, לא הצלחת לרצף מלבן לא נחמד במלבנים נחמדים. זה לא אומר שבאמת אי-אפשר לעשות זאת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 115834 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה שגם פה אתה מניח שהריצוף המקורי נראה בצורה מסוימת. ע"מ להבהיר ריצוף היא כל דרך להניח את המלבנים הקטנים כאשר אחד צמוד לשני והם מכסים את כל השטח. כפי שצוין, אפשר להניח שכל מלבן קטן מקביל לצירים (כי אחרת אי אפשר יהיה להרכיב מהם מלבן). מה ש*אי אפשר* להניח הוא שהמלבנים מרוצפים בשורות שורות כמו בלטות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הפיסקה האחרונה לא נוסחה כראוי, אני מניח שקיים ריצוף *כלשהו* של מלבן (להלן, "הגדול") בעזרת מלבנים נחמדים, אני יודע שקיים ריצוף *יחיד* למלבנים ה"נחמדים" (שמרצפים את המלבן הלא נחמד) באופן שתיארתי הפיסקאות הקודמות. אני לוקח את כל המלבנים שמרצפים את המלבנים ה"נחמדים", ומנסה לרצף בעזרתם את המלבן ה"גדול", ע"י סידור מחדש (באופן שתיארתי), ונסיון להגיע לריצוף היחודי שלו, ומגיע לכך שגם המלבן ה"גדול" הוא "נחמד" (משום שאין דרך לקבל את המלבן הקטן). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה שאתה מניח שכאשר תיקח את הריצוף של המלבנים הנחמדים תקבל מלבנים משלשה סוגים: (p,1) , (1,q) ו (1,1) אבל למעשה תקבל הרבה מלבנים מהצורה (x,1) ו (1,y) עבור כל מיני ערכים של x ו y |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אני כלל לא מניח את זה. ראה "חבר את כל המלבנים ה"נחמדים" אם הצלע המאוזנת השלמה למלבן אחד ארוך..." בתגובה 115600 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין שום סיבה להניח שהריצופים של המלבנים הקטנים מסתדרים יחד ליצור את התחלת הריצוף שאתה מציע למלבן הגדול. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה "התחלת ריצוף"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצד אחד למלבן הגדול יש ריצוף במלבני 1x1, מלבני 1xp, מלבני qx1 ומלבן (אחד) pxq. מצד שני, אפשר גם לרצף אותו בהרבה מלבני 1x1, מלבני 1xp ומלבני qx1 (שהתקבלו מתת-המלבנים הנחמדים שלו). ה"סתירה" היא בכך שהמלבן בגודל pxq כביכול נעלם, דהיינו הוא מופיע בריצוף אחד, אבל לא בשני. אז מה? לדוגמא, רצף מלבן 5x6 במלבנים בגודל 2x4, 3x2, 3x4 ו- 2x2 (קנה המידה הוא 1:4, כלומר רק מלבנים בעלי צלע המתחלקת בארבע הם נחמדים). זהו ריצוף של מלבן לא-נחמד בשני מלבנים נחמדים, ושניים לא נחמדים1. כעת נפעיל את האלגוריתם שלך: כל המלבנים הקטנים הם קטנים מספיק כדי להוות את הפירוק של עצמם (בפרט אין להם תת-מלבנים 4x4). אבל למלבן הגדול, הפירוק (ה"יחיד") הוא 4x4+1x4+4x1+1x2. קיבלנו 3x4 + 3x2 + 2x4 + 2x2 = 4x4 + 4x1 + 1x4 + 1x2 - לאן נעלם המלבן 1x2 בפירוק של אגף שמאל? סתירה! אלא שהוא לא נעלם לשום מקום; הוא לא צריך להופיע שם מלכתחילה.1 הייתי שמח לתת דוגמא נגדית להוכחה שלך, אלא שאין כזו, בגלל הוכחה אחרת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 115874 ההוכחה שלי מסתמכת על כך שהריצוף הוא יחודי עבור כל מלבן, ומאפיין את המלבן. לכן, אפשר לבנות את המלבן בעזרת הריצוף היחודי שלו, ואם אי אפשר להגיע לריצוף היחודי של מלבן, בעזרת חיבור של הריצופים היחודיים של המלבנים שמרצפים אותו (בצורה שתיארתי), המלבנים הללו לא מרצפים אותו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשפט השני שלך ("לכן, ...") אינו נכון - ראה הדוגמא שנתתי למעלה (תגובה 115883). הריצופים היחודיים של המלבנים המרצפים אינם קרובים בכלל לריצוף ה"יחודי" של המלבן הגדול. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא עברת על השלב של חיבור הריצופים נכון. בכל מקרה, בדוגמא שנתת למעלה, אי אפשר להפעיל את האלגוריתם שהגדרתי, משום שלא הגדרתי אפשרות ל"חבר" מלבנים בעלי צלע קטנה מצלע היחידה. משום שבשאלה *אין אפשרות* שמלבנים כאלה יווצרו, אין גם סיבה שאגדיר אלגוריתם כזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנא הגדר "ריצוף יחודי" של מלבן. ציין תחת אילו תנאים נכונה הטענה שבפירוק של מלבן גדול לתת-מלבנים, איחוד הריצופים היחודיים שלהם צריך להיות זהה לריצוף היחודי של המלבן הגדול. הוכח את הטענה הזו. לבסוף, הוכח שהתנאים לעיל מספיקים כדי להסיק את המשפט האחרון בתגובה 115893. כדי לקצר את התהליך, מומלץ שבסיום כל עידון של ההגדרות תחזור על ההוכחה העדכנית, כדי שאוכל להתייחס אליה ישירות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ריצוף יחודי" טכניקת ריצוף עבור מלבן, כך שבהינתן מלבן הפעלתה יכולה לתת אך ורק דרך תוצאה יחידה (ובהינתן ריצוף, יכול להיווצר אך ורק מלבן יחיד, אבל זה נכון לכל ריצוף). דוגמאות, ריצוף הזהות (לרצף מלבן ע"י עצמו), ריצוף חציה לרוחב (חוצים את המלבן לרוחבו), או, הריצוף המפורט בתגובה 115600. כביכול, מדובר בריצוף לא יחודי, משום שמלבן הלא נחמד (באפשרות האחרונה) יכול להיות בכל פינה, או אפילו במרכז המלבן, אבל המיקומים לא משנים בכלום, ואפשר לקבוע שרירותית את מיקום השלמים מימין למעלה, ואז מדובר בהצמדת המלבן לדף משבצות רגיל, וברור (או שלא?) שמדובר באפשרות יחידה. הטענה ששמת בפי לא נכונה, הטענה שטענתי נכונה. הטענה שלי היא, 1. חיבור הריצופים של מלבנים שמהווים בעצמם ריצוף למלבן יחיד, הוא ריצוף לאותו מלבן. 2. אם חיבור מלבנים נותן את הריצוף היחודי (הנבחר) של המלבן, אז הם מהווים ריצוף שלו. מאחר ובנינו מחיבור המלבנים מלבן נחמד, אזי הם מהווים ריצוף של מלבן נחמד, ולא של מלבן לא נחמד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגדרת אלגוריתם, שלכל מלבן מחזיר ריצוף מסויים שלו. אפשר לקרוא לריצוף הזה "הריצוף היחודי למלבן". טענה 1 נכונה: אם מפרקים מלבן לתת-מלבנים ומפרקים שוב כל אחד מאלה, מתקבל פירוק עדין יותר של המלבן המקורי. הטענה השניה נכונה (זה מקרה פרטי של הטענה הראשונה), אבל נדמה לי שאתה מנסה לרמוז בה למשהו שאינו נכון, דהיינו, שאותם מלבנים שהצליחו להרכיב את המלבן שלנו, מוכרחים לעשות זאת דרך הריצוף שהגדרנו קודם. הנקודה היא שאין שום קשר בין שני הריצופים. ההערה האחרונה חוזרת על מה שצריך להוכיח: מדוע מלבנים נחמדים אינם יכולים לרצף מלבן לא-נחמד? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מפני שאם המלבנים הנחמדים יצרפו אליהם מלבן לא נחמד, הם כבר לא יהיו יותר ''מלבנים נחמדים''. אז הם לא יכולים לצרף אותו. בעצם הם יכולים, אבל הם לא רוצים. תתעלמו, למה לא. אני הלכתי לקרוא את כל הפתיל הזה שוב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לרצף! כתבת לרצף! אני חשבתי לצרף! סליחה, סליחה. ועוד פעם סליחה. אוף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כללי חיבור למלבנים בעלי צלע משותפת: 1. נחמד + נחמד = נחמד 2. נחמד + לא נחמד = לא נחמד 3. לא נחמד + לא נחמד = נחמד או לא נחמד, תלוי. ע"פ הכלל הראשון לא ניתן לקבל מלבנים לא נחמדים מצירוף של מלבנים נחמדים. מש"ל. והנה משו שהוכחתי שלשום: זוג ראשוני הוא זוג של מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2 (למשל: 5 ו-7, 29 ו-31). הוכח כי לא קיים זוג ראשוני המרכיב שלשה פיתגורית, כך שהראשוני הגדול הוא היתר והראשוני הקטן הוא אחד הניצבים. רמז: ההוכחה מאד קלה וגם נותנת בדרך אגב נוסחה ליצירת מספר בלתי מוגבל של שלשות פיתגוריות. (רציתי כמובן להוכיח את ההיפך, כדי להוכיח שיש אין-סוף זוגות ראשוניים, אבל גם הרצל רצה ולא יצא) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההוכחה שלך מתעלמת מכך שבדרך כלל איחוד של שני מלבנים הוא בכלל לא מלבן (ולכן זו לא הוכחה). 9+16=25 - המקרה היחיד שבו ראשוניים תאומים (3 ו- 5) משתתפים באותה שלשה פיתגוראית. נסה להוכיח ש- 1+a^2 הוא ראשוני לאינסוף ערכי a שלמים (זו עדיין בעיה פתוחה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה הזאת לא אוזכרה בספר המשפט האחרון של פרמה או שאני טועה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יתכן; זו בעיה מוכרת בתורת המספרים, אחת מני רבות שעדיין פתוחות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איחוד של שני מלבנים עם צלע משותפת לאורך הצלע המשותפת שלהם נותן מלבן. כן, משולש מצרי הוא היוצא מן הכלל ששכחתי לציין. אבל גם הוא מתקבל מיידית מההוכחה הקלה מאד שעדיין לא הבאת, למרות שפיזרת רמז עבה (גם אם לא התכוונת). היום הייתי קרוב להוכיח את המשפט האחרון של פרמה בשיטות אלגבריות אלמנטריות, אבל עדיין לא הולך לי. ההוכחה היא כמובן בשלילה, מניחים ש C^n = A^n + B^n מעבירים אגף:A^n = (C-B) * (C^n-1 + ... + B^n-1) כלומר נדרש שA^n / (C-B) יהיה שלם, וכנ"ל לגבי הניצב השניB^n / (C-A) ואז מחטטים הרבה באף בניסיון לשכנע את עצמך שהשברים האלה לא יכולים לתת שלמים אם n הוא לא 2, או מרכיבים מהם כל מיני ביטויים חדשים שאמורים להיראות לא שלמים בעליל, או מפרקים אותם לגורמים ראשוניים. כצפוי זה לא עובד, בינתיים.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. נכון שאיחוד לאורך צלע משותפת נותן מלבן, אלא שריצוף לא חייב לכלול זוגות כאלה בכלל. 2. אני לא רוצה לקלקל את השאלה שלך; הנוסחה הכללית לשלשות פיתגוראיות היא 2^(a^2+b^2)^2=(2ab)^2+(a^2-b^2). 3. Kummer ניסה לפתור את הבעיה בגישה דומה, ואפילו הציג (בסביבות 1860) את הפתרון שלו בפני החברה המלכותית הבריטית (אם אינני טועה). הטעות שלו היתה שהוא הניח שחוג השלמים עם שורש p של היחידה מקיים פירוק יחיד לגורמים (כמו בשלמים הרגילים), וזה לא כך; הטעות הזו תרמה רבות להתפתחות של תורת החוגים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אם הבנתי נכון, ריצוף משמעו שאם אני מחלק את המלבן הגדול (הלא נחמד) לשורות קטנות כרצוני, כל שורה צריכה להיות מכוסה ע"י המלבנים הקטנים. המלבן הנחמד הקטן ביותר הוא פס צר כרצוני באורך יחידה (להלן: פס נחמד). בהינתן מלבן לא נחמד, ארצפו לכל רוחבו בפסים נחמדים. אחזור על התהליך מלמטה עד למעלה, עד שכל תחתיתו של המלבן הלא נחמד תכוסה בפסים נחמדים. מכיוון שהמלבן לא נחמד, מובטח לי שניתן להסתכל עליו עתה כמלבן לא נחמד ערום מעל מלבן נחמד מכוסה. עתה אסובב את הפסים ואמלא איתם את חלקו הימני של המלבן הלא נחמד. עתה מובטח לי שחלקו העליון השמאלי של המלבן הלא נחמד הוא: א. לא מכוסה לחלוטין ב. קטן באורכו וברוחבו מגודל יחידה ולכן בלתי ניתן בתכלית לכיסוי באמצעות פסים נחמדים. וזהו. 2. טוב, זה לכל שלשה פיתגוראית. בפרט אם ההפרש בין הניצב ליתר הוא 2 מקבלים נוסחה פשוטה יותר. בכל אופן זה עדיין לא מוכיח שלא תיתכן שלשה פיתגוראית עם זוג מספרים ראשוניים שאחד מהם משמש כיתר. 3. אני יודע שאין לי סיכוי לפתור שום כלום, אך חשבתי ש: א. Kummer היה גרמני (או לפחות פרוסי) ב. הוא הראה לשני צרפתים (אחד מהם קושי) שהתחרו זה בזה על הוכחת משפט פרמה, כי הם הניחו שכל מספר שלם ניתן לפרק באופן יחיד לגורמים ראשוניים, בעוד שפירוק זה הוא יחיד רק לשלמים ממשיים. אני בכלופן מתייחס רק לשלמים ממשיים כך שלי אין בעיה. ג. הוא מעולם לא חשב שהצליח לפתור את המשפט האחרון של פרמה. טענה: אם אחד הניצבים (א) בשלשה פיתגורית (כלשהיא, גם לסדר N, למרות שכולם פה יודעים שאין כאלה לN גדול מ2) הוא ראשוני, אז הניצב האחר (ב) והיתר (ג) הם מספרים עוקבים. הוכחה: לפי הודעתי לעיל נדרש כי א^N יתחלק בהפרש בין ב לג. א ראשוני ולכן מתחלק רק באחד ובעצמו. אם ההפרש בין ב לג הוא א אז הם לא שלשה פיתגורית לN גדול מאחד. למה? כי אם ג=ב+א אז ג^N=(ב+א)^N > ב^N + א^N כמו כן לא יתכן כי ההפרש בין ב לג יהיה חזקה כלשהיא של א כי אז ג^N יהיה עוד יותר גדול מהביטוי הנ"ל (ב+א)^N ולכן עוד יותר גדול מב^N + א^N לכן ההפרש בין ב לג הוא 1, כלומר הם עוקבים. מש"ל. מסקנה: הניצב הגדול בשלשה פיתגורית לא יכול להיות מספר ראשוני. מעניין אם גם הכיוון ההפוך נכון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. מהו המלבן הנחמד "הקטן ביותר"? יתכן שרוחבו הוא 7 יחידות, וקיימים גם אחרים ברוחב שלם (שאינו מתחלק ב- 7). לא ברור למה אפשר לרצף את תחתיתו של המלבן הלא-נחמד בפסים נחמדים. המלבן הנחמד הקטן לא צריך להיות ממוקם 'באופן נחמד' במלבן הגדול. וגם את שאר הטיעון לא הבנתי. 2. אתה מכריח אותי: אם a^2=b^2+c^2 ו- a=c+2 אז b זוגי (נאמר b=2d) ו- (c=d^2-1=(d-1)(d+1. כדי ש- c יהיה ראשוני, נדרש d=2 ואז מתקבלת השלשה המצרית. (לא צריך להניח ש- a ראשוני). 3. אני חושב שסעיף ג' אינו נכון. 4. ההוכחה בסוף ההודעה, נכונה. למה אתה מתכוון ב"כיוון ההפוך"? שכל מספר שאינו ראשוני יכול להופיע כניצב הגדול בשלשה פיתגוראית? קל לראות שכל מספר מופיע כניצב ה*קטן*: (2m^2+2m+1)^2=(2m(m+1))^2+(2m+1)^2,
(m^2+1)^2=(m^2-1)^2+(2m)^2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. חשבתי שלמלבן הנחמד הקטן ביותר חייב להיות מימד אחד באורך שלם, כלומר לפחות באורך יחידה. הטיעון לא כ"כ מעניין ולכן נראה לי שפשוט אחסוך ממך את ההסברים. בסה"כ אמרתי - בהינתן מלבן לא נחמד באורך x.y יחידות וברוחב w.z יחידות, ניתן לכסות אותו באמצעות מלבנים נחמדים באורך כולל x וברוחב w.z, ולאחר מכן את חלקו הנותר בעוד מלבנים נחמדים באורך 0.y (או איך שלא גורמים לאייל להציג את זה נכון) וברוחב w. כך תיוותר לנו חלקה לא מכוסה במלבן הלא נחמד, שאורכה 0.y ורוחבה 0.z, וחלקה זו אינה ניתנת לכיסוי באמצעות פסים נחמדים. 2. הממם, כשחושבים על זה באמת לא הייתי אמור לדרוש *ממך* לרשום את ההוכחה, ובכ"ז כה לחי. 3. נסגר מחוסר עניין לציבור. 4. ההוכחה ההפוכה תהיה: אם הניצב הגדול והיתר הם מספרים עוקבים, אז הניצב הקטן הוא ראשוני. לא הבנתי את הנוסחא בסוף. מי זה m? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הריצוף לא חייב להיות בפסים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. (נכון, ולא פותר את השאלה). 4. דוגמא נגדית: 41*41=40*9+40*9. m אמור להיות מספר כרצונך (הנוסחאות מדגימות שכל מספר הוא המספר הקטן בשלשה פיתגוראית). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. למה לא? 2. התכוונת ודאי לומר ש 9,40 ו41 הם שלשה פיתגורית. שוין, הייתי צריך לנחש שגם מספרים סתם מתחלקים באחד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. כי אתה מוכיח שיש דרך מסויימת מאד, שבה לא ניתן לכסות מלבן לא-נחמד במלבנים נחמדים. איך זה מוכיח שאי-אפשר למצוא כיסוי מוצלח יותר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, בוא נעשה את זה ככה. יהי מלבן לא נחמד. נתחיל לצבוע אותו כמו לוח שחמט שחור-לבן, במשבצות שגודלן חצי על חצי. נאמר שנצבע אותו מן הפינה השמאלית התחתונה ועד הימנית העליונה, כך שהמשבצת השמאלית התחתונה היא שחורה. מן הדין כי יוותרו לנו שוליים מימין ומלעיל, אותן נצבע בלבן. עתה ננסה לכסות אותו במלבנים נחמדים משובצים, כאלה שמשנים את צבעם משחור ללבן כל חצי יחידה. לא משנה באיזו דרך ננסה לכסות את המלבן הלא-נחמד, מובטח שניכשל. זאת מכיוון שבכל מלבן נחמד יש בדיוק אותה כמות של שחור ולבן, ואילו במלבן הלא נחמד יש שיעור לא שווה של שחור ולבן. הטיעון הזה תופס? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ריבוע כזה יאוכלס ע"י חמש משבצות שחורות וארבע משבצות לבנות, ששטח כל אחת מהן הוא 0.25 יחידות רבועות. שטח הריבוע הלא נחמד הזה 2.5 יחידות רבועות, 2.25 מתוכן יכוסו ע"י משבצות שחורות-לבנות ו0.25 היחידות הנותרות יצבעו לבן. לכן יש בריבוע כזה בדיוק אותה כמות של שחור ולבן. אבל זה מקרה יוצא מן הכלל שמעיד על הכלל - אם תירק לתוך בריכה מלאה במלבנים לא נחמדים, מירב הסיכויים שתפגע במלבן שנופל תחת ההוכחה האלוהית דלעיל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עם שיפוץ קל: במקום לצבוע את המלבנים, צבע את המישור במשבצות שח-מט שחורות לבנות, עם צלע 1/2. כעת, המסה של כל מלבן תהיה השטח הלבן שהוא מכסה, פחות השטח השחור שהוא מכסה. קל לראות שהמסה של מלבן נחמד היא תמיד אפס, והמסה של מלבן לא נחמד אינה אפס (המקרה היחיד שצריך בדיקה הוא כאשר החלקים השבורים של הצלעות הם x,y בין 1/2 ל- 1, ואז המסה היא (1-2x)(1-2y), שונה מאפס) - מש"ל. ברור שזו ההוכחה ה"נכונה". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי נדמה לי שהצלחתי... לפרט? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(ההוכחה הראשונה ניתנה על-ידי לז'נדר (Legendre) ב-1823). אנא פרט. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז הנה ההוכחה עבור n=3, וההוכחה לכל n נראית כמעט אותו דבר. נניח שא, ב, ג הם שלמים חיוביים המקיימים (1) א^3 + ב^3 = ג^3 ללא הגבלת הכלליות ניקח ג>ב>א ונגדיר ט = ג - (ב + א) כמשתנה עזר, שערכו כמובן שלילי (זה ג פחות ב וא, לא להיפך, אני פשוט כותב מימין לשמאל כדי לבלבל את האויב). אשתמש בשתי נוסחאות כפל מקוצר: (ז + ח) ^ 3 = ז^3 + ח^3 + 3*ז*ח*(ז+ח) ז^3 - ח^3 = (ז - ח) * (ז^2 + ז*ח + ח^2) נציב את ט לתוך (1) ונפעיל את הזהות הראשונה דלעיל: (2) א^3 + ב^3 = (ט +א)^3 + 3*ב*(א+ט)*[ב+(א+ט)] + ב^3 נצמצם את ב^3 ונעביר את (ט+א)^3 אגף: (3) א^3 - (ט +א)^3 = 3*ב*(א+ט)*(ב+א+ט) עתה נפעיל את הזהות השניה על אגף ימין: (4) [א - (ט+א)] * [א^2 + א*(ט+א) + (ט+א)^2] = 3*ב*(א+ט)*(ב+א+ט) נבודד את ה- 3: (5) [א - (ט+א)] * [א^2 + א*(ט+א) + (ט+א)^2] / ב*(א+ט)*(ב+א+ט) = 3 משיקולי סימטריה המשוואה נכונה גם אם מחליפים כל א' בב' ולהיפך. כמובן שאפשר לקבל זאת פורמלית ע"י חזרה על סדר הפעולות, ואשאיר זאת כתרגיל לקורא: (6) [ב - (ט+ב)] * [ב^2 + ב*(ט+ב) + (ט+ב)^2] / א*(ב+ט)*(א+ב+ט) = 3 נדרוש שוויון בין (5) לבין (6) ונצמצם ב(ט-) / (א+ב+ט): (7) [א^2 + א*(ט+א) + (ט+א)^2] / ב*(א+ט) = [ב^2 + ב*(ט+ב) + (ט+ב)^2] / א*(ב+ט) נכפול ב א*(ב+ט) ונחלק ב [ב^2 + ב*(ט+ב) + (ט+ב)^2] (8) [א^2 + א*(ט+א) + (ט+א)^2] * א*(ב+ט) / {[ב^2 + ב*(ט+ב) + (ט+ב)^2]*ב*(א+ט)} = 1 מ(8) נדרש שהמונה יתחלק במכנה ללא שארית. ובכן, ב גדול מא ולכן: (9) ט+ב = ג-א > ג-ב = ט+א לכן: (10) [א^2 + א*(ט+א) + (ט+א)^2] < [ב^2 + ב*(ט+ב) + (ט+ב)^2] עתה אם אוכיח כי ב*(א+ט) > א*(ב+ט) נמצא שהמונה ב(8) קטן מאחד ובכך נסיים את ההוכחה. למרבה הצער שלב ההוכחה הזה הוא אלגברי, ארוך ומעצבן, לכן לא איעלב אם תתנו רק לעוזי לבדוק בשבילכם שלא טעיתי כאן. ובכן, צ"ל: (11) ב* (ג-ב) > א*(ג-א) נכפול את שני האגפים ב(ג-ב)*(ג-א) ונפתח סוגריים. נתחיל באגף ימין: (12) ב*(ג-א)*(ג-ב)^2 = ב*(ג-א)* (ג^2 + ב^2 - 2*ב*ג) = ב* (ג^3 + ג*ב^2 + 2*א*ב*ג - א*ג^2 - א*ב^2 - 2*ב*ג^2) = ב*ג^3 + ג*ב^3 + 2*א*ב^2*ג - א*ב*ג^2 - א*ב^3 - 2*ב^2*ג^2 מסימטריה, אגף שמאל יתקבל מהחלפת כל ב בא ולהיפך: (13) א*(ג-ב)*(ג-א)^2 = ... = א*ג^3 + ג*א^3 + 2*ב*א^2*ג - ב*א*ג^2 - ב*א^3 - 2*א^2*ג^2 אם נבדוק כל איבר ב(12), נגלה שהוא גדול או שווה לאיבר המתאים לו ב(13), לכן (12) > (13). לכן (11) נכון, ומכיוון שגם (10) נכון, אז (8) לא נכון. מש"ל. עבור n גדול יותר משלוש משוואה (4) תשמין בעוד כמה וכמה איברים ובהם כפולות של חזקות של ב בחזקות של (א+ט). אני מציע לבודד את האיבר(ים) האמצעי(ים) בטור החזקות הזה, זתאומרת אלה שעבורם החזקה של ב ו(א+ט) היא n/2 או (n+1)/2, תלוי בזוגיות של n. בקיצור נקבל משוואה הדומה ל(5) ע"י בידוד המקדם המספרי של האיבר(ים) האמצעי(ים), משהו כמו n! / (n/2)!^2 ואז נדרוש שוויון עבור הפיתוח הסימטרי ל(ב+ט) וא, ובתקווה נצליח לחסום באופן דומה את השבר.טוב, לא יכול להיות שבאמת הוכחתי את משפט פרמה, אפילו לא למקרה הפרטי של לג'נדר. אז איפה טעיתי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההוכחה שלך עובדת גם בלי להניח שהמספרים שלמים; וזה קצת חשוד, כי ברור שלכל a,b אפשר למצוא c ממשי שיפתור את המשוואה. התקלה היא ב-(11): כשעוברים על ההוכחה שלך, נראה שהשווית גם אברים עם סימן שלילי (תוך התעלמות מהסימן). דוגמא נגדית: קח a=1 ו- c=2, עם b=7^{1/3}/2. אז t=1-b, והטענה (b(c-b)>a(c-a מתורגמת ל- 2b(4-2b)>4, אלא שזה לא נכון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב(11) נכתב ב*(ג-ב) > א*(ג-א) שזה בכתיב לועזי מוכר: b * (c-b) > a * (c-a) מה לא פסדר פה? הרי הניצבים חיוביים, והיתר חיובי הגדול מן הניצבים, ולכן אני עוסק רק באיברים חיוביים. לא?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האיבר האחרון ב(13) הוא כמובן קטן בערך מוחלט מן האיבר האחרון ב(12), ולכן גדול ממנו. אני בודק עכשיו אם זה מפיל לי את כל ההוכחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צ"ל: b*(c-b) > a* (c-a) נכפול את שני האגפים בביטוי(c^2+bc+b^2)*(c^2+ac+a^2) ונקבל:b*(c^3-b^3)*(c^2+ac+a^2)>a*(c^3-a^3)*(c^2+bc+b^2) מטעמים קוסמטיים נחלק בba ונקבלa^2 * (c^2+ac+a^2) > b^2 * (c^2+bc+b^2) כל האיברים באגף ימין גדולים מהאיברים באגף שמאל ולכן זהו אי-שוויון שקרי. הוכחתי נופלת בקול ענות חלושה, ונותר רק לומר - ידעתי. תודה לכל המאזינים.__ (ולחשוב שבשביל זה קמתי מהמיטה והדלקתי את המחשב. נחת) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן שבסופ"ד (8)=1, כלומר שוויון מלא בין שתי צורות הפיתוח של (ט+א+ב)^3. בעצם, כפי שהעיר עוזי, זה היה צריך להיות מובן מאליו - בשום מקום לא השתמשתי בשלמות של המספרים, רק דרשתי קונסיסטנטיות. החוכמה הגדולה היא להוכיח שאמנם לא יתכן שהמונה ב(5) מתחלק בדיוק במכנה ועוד נותן 3. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 164429 (פסקה שנייה) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי נמצאה הוכחה לכך שיש אינסוף זוגות ראשוניים: http://science.slashdot.org/article.pl?sid=04/05/28/... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם המאמר נכון, זו תהיה הפתעה רצינית - ההוכחה המוצעת "אלמנטרית" במונחים מודרניים, כזו שהיה אפשר לכתוב גם לפני 100 שנה, ואינה ארוכה או מסובכת. אני עוקב... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מלבן הוא נחמד אם אחת מצלעותיו היא מספר שלם. צריך להוכיח שלא ניתן לרצף מלבן לא-נחמד בעזרת מלבנים נחמדים. לשם כך, נגדיר את ה"מסה" של מלבן כמכפלת החלק השבור של האורך שלו, בחלק השבור של הרוחב (החלק השבור של מספר הוא ה"שארית בחלוקה ל- 1"; מה שנותר אחרי שמורידים את החלק השלם). למשל, למלבן 1.2*1.2 יש מסה 0.04; למלבן 4.2*5.5 יש מסה 0.1. כשמחברים מסות, הכוונה היא לחלק השבור של הסכום. טענה 1. למלבן נחמד יש מסה אפס. (כי החלק השבור של הרוחב, או החלק השבור של האורך, מתאפס). טענה 2. למלבן שאינו נחמד יש מסה שאינה אפס. (כי שני החלקים השבורים אינם מתאפסים). טענה 3. אם חוצים מלבן על-ידי קו מקביל לאחת הצלעות, סכום המסות של המלבנים הקטנים שווה למסת המלבן הגדול. (זהו למעשה החוק הדיסטריבוטיבי a+b)c=ab+ac). האורך שווה בכולם, ורוחב המלבן הגדול שווה לסכום הרוחבים של המלבנים הקטנים; או להיפך). מסקנה 4. אם חוצים מלבן על-ידי מספר קווים שכל אחד מהם מקביל לאחת הצלעות, סכום המסות של המלבנים הקטנים שווה למסת המלבן הגדול. הוכחה: באינדוקציה על מספר הקוים, לפי טענה 3. משפט 5. בריצוף של מלבן A על-ידי מספר סופי של מלבנים, מסת המלבן הגדול שווה לסכום המסות של המלבנים הקטנים. הוכחה: ראשית, ברור שבריצוף כזה כל קוי האורך והרוחב מקבילים זה לזה (כי אחרת תיווצר זוית לא ישרה שלא ניתן לכסות). כל מלבן (מן המלבנים המכסים) מוגבל על-ידי ארבעה קווים ישרים; נמשיך את כולם עד לקצה המלבן A. הקווים האלו חותכים כל אחד מן המלבנים המשתתפים בכיסוי באופן שהוזכר במסקנה 4. מכיוון שהמסה של כל מלבן קטן שווה לסכום המסות של המלבנים שמרכיבים אותו (לפי אותה מסקנה), גם סכום המסות של הריצוף הנתון שווה לסכום המסות של הריצוף העדין יותר שהתקבל. אלא שהריצוף הזה מחלק את A על-ידי קווים מקבילים, ושוב לפי מסקנה 4 סכום המסות שלו שווה למסה של A. מסקנה. אי-אפשר לרצף מלבן לא-נחמד במלבנים נחמדים. (כי המסה שלו אינה אפס, ולפי המשפט מנסים לכתוב אותה כסכום של אפסים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לי בעיה עם טענה 3: קח מלבן שהוא בגודל 1 על 1/2 וחצה אותו לשני מלבנים בגודל 1/2 על 1/2. אזי, המסה של המלבן הגדול היא אפס, אבל המסה של כל מלבן קטן היא 1/4 ולכן סכום המסות הוא 1/2 (ולא אפס). דרג אגב, שים לב שכאשר אתה חוצה את המלבן הגדול ע"י קו מקביל לצלע, בהחלט יתכן שאחד מהחלקים יהפוך להיות מלבן נחמד. כמו כן, ייתכן שתקלקל את הנחמדות של אחד מהמלבנים הקטנים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צודק. צריך להגדיר את המסה קצת אחרת, באופן שתלוי במקומו של המלבן. המלבן שחסום בישרים x=a, x=b, y=c, y=d, כאשר a<b ו- c<d, מקבל מסה ((b)-(a))*((c)-(d)), כאשר (z) הוא החלק השבור של z. אם האורך והרוחב הם A,B, אז במקום המסה הקודמת (A)*(B), אפשר לקבל כל אחת מארבע האפשרויות (A)*(B)-(B), (A)*(B)-(A), (A)*(B) או A)*(B)-(A)-(B)+1), תלוי היכן המלבן מונח. המסה עשויה להיות שלילית, אלא שזה לא מפריע לשאר הטיעון. כעת טענה 3 מתקיימת, והכל בסדר. ההערה האחרונה שלך (שחציית מלבנים עשויה לשנות את הנחמדות שלהם) נכונה אבל לא מפריעה להוכחה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני עוד אצטרך להתעמק קצת בפתרון שלך ע"מ שאהיה משוכנע שאני מבין אותו. בכל מקרה, חשבתי שאציין כאן את הפתרון שלי למי שמעונין. --------- הדרך שלי היא כזאת: טענה 1: המשפט נכון אם כל השברים שמדובר בהם הם 1/2 (כלומר כל צלע היא או שלמה או באורך n+1/2 כאשר n שלם). הוכחה: נניח בדרך השלילה שיש ריצוף למלבן לא נחמד שמורכב ממלבנים נחמדים. נשנה יחידות ונכפיל את כל האורכים ב 2. כלומר, צלע שלמה הופכת להיות צלע באורך זוגי וצלע לא שלמה הופכת להיות באורך אי-זוגי. אנו רואים שהשטח של כל מלבן נחמד הוא זוגי ולעומת זאת השטח של מלבן לא נחמד אינו זוגי. אבל השטח של המלבן הגדול הוא סכום שטחי המלבנים הקטנים. מאחר ושטח כל אחד מהם זוגי אז שטח המלבן הגדול צריך להיות גם זוגי והגענו לסתירה. טענה 2: המשפט נכון אם כל השברים שמדובר בהם הם 1/17 , 2/17 , 3/17 ... 16/17. הוכחה: באותה צורה: נכפיל את כל הצלעות ב 17 ונחליף את המלה "זוגי" במלה "מתחלק ב17". אפשר להכליל באותה צורה לכל ראשוני p. כלומר, המשפט נכון אם כל השברים שמדובר בהם הם מהצורה i/p כאשר p ראשוני ו i בין 1 ל p-1. ---- עכשיו נרצה להשתמש בהכללה הזו כדי להוכיח את המשפט במקרה הכללי. נניח שיש לנו מלבן לא נחמד בגודל n+x על m+y שאפשר לרצף אותו במלבנים נחמדים (n,m שלמים , x , y בין 0 ל 1 ). נבחר ראשוני p שיהיה מספיק גדול (בהמשך נגיד כמה גדול הוא בדיוק צריך להיות). לשם פשטות נניח ש p=17 נשים את המלבן שלנו על דף משבצות שבו כל משבצת היא 1/17 על 1/17 ס"מ. ניישר אותו כך שהפינה השמאלית העליונה שלו תתאים לפינה של משבצת. נצייר על הדף גם את הריצוף. עכשיו "נעגל" את הריצוף בצורה הבאה: נזיז כל פינה של כל מלבן לנקודה הקרובה ביותר אליה שנמצאת על הגריד (כלומר שהיא בפינה של משבצת בדף המשבצות). יש לי 3 טענות לגבי הריצוף הזה: טענה א': אם 2 נקודות היו על קו ישר מאונך (כלומר היתה להן אותה קואורדינטת x ) אז הן עדיין על קו ישר מאונך. כנ"ל לגבי קו מאוזן. (ההוכחה: אם יש להם אותה קואורדינטת x אז לנקודה הקרובה לכל אחת על הגריד גם תהיה אותה קואורדינטת x ) מסקנה: אחרי העיגול כל מלבן הופך למלבן (ולא "מתעוות" למקבילון או משהו כזה). טענה ב': אם 2 נקודות היו על קו ישר מאונך והמרחק בינהן הוא מספר שלם של ס"מ אז הן עדיין על קו ישר מאונך במרחק שלם. כנ"ל לקו מאוזן. (הוכחה: אם יש להן אותה קואורדינטת x והמרחק בינהן שלם אז לקואורדינטת ה y שלהן יש אותו ערך שבור ולכן או ששתיהן יתעגלו ביחד כלפי מעלה או ששתיהן יתעגלו ביחד כלפי מטה) מסקנה: אחרי העיגול מלבן נחמד הופך למלבן נחמד. טענה ג': אחרי העיגול המלבן הגדול (שהיה בגודל n+x על m+y ) נשאר "לא נחמד". זה לא תמיד נכון אבל זה יהיה נכון אם נבחר את p כך שיהיה יהיה גדול מספיק. צריך לבחור את p כך שאחד חלקי p יהיה קטן יותר מאשר x ו y וגם יותר קטן מ1 פחות x ו 1 פחות y. (אין בעיה למצוא ראשוני כזה). לאחר העיגול ברור שכל השברים שמעורבים הם 1/17 , 2/17 , ... או 16/17 ולכן אפשר להפעיל את טענה 2 ולסיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה קורה עבור שני מלבנים בגודל 1/2 על 1/4 ששמים אותם מעל השני כדי לקבל מלבן בגודל 1 על 1/4. המסה של המלבן הגדול היא אפס ונראה שהמסה של כל אחד מהם היא 1/2 * (1/4 -) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התשובה תלויה במיקום של המלבנים; נניח שהמלבן הגדול נוגע בפינה השמאלית-תחתונה שלו בראשית הצירים - אז מסות המלבנים הקטנים הן 1/8 ו- 1/8-, וביחד אפס (כדרוש). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |