בתשובה לירדן ניר, 27/02/03 13:07
אלפיים שנות 132613
טוב יעשה האדם התמים שלך אם יבחין בין אינסוף בן-מניה לאינסוף שאינו בן מניה. במקרה הראשון, לסכום של אינסוף קטעים באורך אפס יש אורך אפס, אבל (לכן) אי אפשר לחלק את קטע לאינסוף קטעים שווים באורכם. במקרה השני, אפשר לחלק את הקטע, אבל אין שום משמעות ל''סכום'' של אינסוף האורכים.
אלפיים שנות 132618
התאפקתי בפעם הקודמת שאמרת את זה, אבל ממילא לא נותר לי הרבה כבוד לאבד, סו וואט דה הל: אתה מוכן להסביר להדיוט כמוני מה המשמעות של "לחלק את הקטע ל ..." אם אי אפשר באותה נשימה (או כמה נשימות אח"כ) להגיד שחיבור כל החלקים האלה נותן את הקטע המקורי ולכן סכום אורכיהם *כן* מוגדר, והוא אורכו של אותו קטע?
אלפיים שנות 132629
אפשר לחלק את הקטע לקטעים (שאורכם אפס).
חיבור כל הקטעים האלה נותן את הקטע המקורי.
אורכו של החיבור הזה שווה לאורך הקטע המקורי.
את אורכי הקטעים אי-אפשר לסכם, כי הם רבים מדי.

נניח שמחלקים את הקטע מ-‏0 עד 1. אם מכפילים כל מספר בשניים, מתקבל הקטע מ-‏0 עד 2 שאורכו כפול. מכיוון שהאורך של כל תת-קטע בחלוקה שלנו הוא אפס, גם לאחר ההכפלה האורך הוא אפס.
אם אפשר היה לסכם את אורכי הקטעים, היינו מצפים לקבל אותו סכום בכל פעם (כי בשני המקרים מסכמים אותו מספר של אפסים), ולכן אי-אפשר להגדיר את הסכום הזה כ"אורך הקטע המקורי".
הדיוט (By nature) עונה לשוטה (By name) 132633
שמונה לחלק לאינסוף זה אפס.
אפס כפול אינסוף, לא נותן לנו בחזרה את השמונה (כי זה לא מוגדר).

לא?
הדיוט (By nature) עונה לשוטה (By name) 132733
טוב, כשלימדו אותי את העניין הזה אמרו לי רק ששמונה חלקי X שואף לאפס כאשר X שואף לאינסוף, אבל הבנתי מאיזו הודעה אחרת כאן שיש דרך להגדיר פעולות מתמטיות על אינסוף עצמו כאילו היה מספר. כנראה המתמטיקה בכל זאת התקדמה במאתיים השנים האחרונות (או שאני הלכתי אחורה באותה תקופה).

ולעוזי: אין שום בעיה להגיד "נכפול את כל אברי הקבוצה בשתיים" כשהקבוצה אינסופית, ובפרט כשהיא בעלת עוצמה גדולה מאלף-אפס? אני יודע ש*אפשר* להגיד את זה, אבל נדמה לי שמישהו יותר חכם ממני היה יכול להקשות כאן: ראשית, אתה צריך לבחור מספר (וכבר השתמשת באכסיומת הבחירה המעצבנת), ושנית אתה צריך לעשות את זה הרבה, ואני מתכוון ממש הרבה, פעמים. מי אמר לך שזה אפשרי?

(הערה: אם הדיון הפסאודו-מתמטי הזה חורג מסבלנותך האינסופית, פשוט תעבור הלאה)
קיבוץ גלויות 132759
1. אפשר "לצרף" את אינסוף למערכת המספרים, ולהגדיר פעולות על המערכת החדשה. הבעיה היא שאפשר לעשות זאת בהרבה דרכים, וכדי לא לבלבל עדיף לא לעשות זאת כשמנתחים "פרדוקסים".

2. כשמכפילים את כל האברים של קבוצה, אין צורך להשתמש באקסיומת הבחירה (כי עוברים על כל האברים).

3. אחת האקסיומות של תורת הקבוצות קובעת שבהנתן פונקציה ("כפל ב- 2") וקבוצה, הפעלת הפונקציה על הקבוצה נותנת קבוצה חדשה.
לאנשים שלא מאמינים באקסיומה הזו קוראים "קונסטרקטיביסטים" ואף אחד לא מזמין אותם למסיבות.
שוטה הכפר הגלובלי 132766
אהה, זה מסביר הרבה דברים.
________________
שכ"ג, שלא מוזמן גם ליומולדת של עצמו.
אלפיים שנות 132707
ביום שהאדם התמים (זנואית) שלי יבחין בין אינסוף בן-מניה ללא-בן-מניה, הוא כבר לא יהיה תמים. למעשה, הוא כבר יהיה רחוק הרבה צעדים‏1 מתמימות.

1 הכנס כאן בדיחה על אכילס והצב‏2.

2 בפרגמנטים שדיברתי עליהם בתגובה 132462 אין זכר לאכילס והצב. הפרדוקס עצמו מוצג מאוד בבירור - להבדיל מטיעונים אחרים המיוחסים לזנון - אבל מדובר סתם על שני רצים באצטדיון.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים