בתשובה לpilpilon, 03/06/03 10:26
6.28 מטר? 149895
6.28 מטר? 149897
זכית בכרטיס טיסה.
(או במילים אחרות, השאלה לא דרשה תשובה, אלא באה להדגים את הפער בין התוצאה האינטואיטיבית למחושבת. איש איש לעצמו).
צר לי צר 150013
אוף, פעם שניה השבוע שאני הורס שאלת טריוויה מבלי משים. הנה כפרה:
נניח שהירח הוא כדור והיקפו 7000 ק"מ. ביל גייטס מחליט להיכנס לספר השיאים של גינס בתור האדם הראשון שהקיף את הירח על גבי חד-אופן (כמו אופניים, רק עם גלגל אחד) במשך 7 ימים בלבד. לצורך כך הוא בונה חד-אופן שהיקף גלגלו 7000 ק"מ (בהשקעה של 7 מיליארד דולר, כמובן).
ביל יוצא לדרך שמח וטוב-לב, אך שוד ושבר - לאחר שהשלים גלגל החד-אופן סיבוב אחד בלבד סביב עצמו, קורס החד-אופן ומתפרק לחתיכות. נשאלת השאלה - היכן נמצא ביל היקר? האם הספיק להשלים את הקפת הירח? האם נתקע בצדו השני? ואולי הוא ברבע הדרך?

בין הפותרים נכונה יוגרל כרטיס טיסה מתנת 'דורון נסיעות'.

רמז: אפשר לבדוק זאת בבית באמצעות שני גלגלים זהים. מצמידים אחד לשולחן, מגלגלים את השני על פניו, ובודקים מתי ישלים הגלגל השני הקפה סביב עצמו. קוראינו בתפוצות יכולים להיעזר במטבעות, בארץ המטבעות חלקים בשפתם ולכן קשה יותר לגלגל אותם זה על זה ללא החלקה.
צר לי צר 150019
מטבעות של עשר אגורות הינם מחוספסים בצדדים, ולכן מאפשרים ניסוי כזה.
צר לי צר 150020
עשרה שקלים, כלומר.
צר לי צר 150128
מחמת עצלנות לא חיפשתי מטבע.

זה נראה לי כל כך פשוט, שאני כנראה מחמיץ משהו בסיסי:
אם הגלגל השלים סיבוב מלא, הרי שהנקודה על האופן שנגעה בקרקע בהתחלה, נוגעת בה גם בסיום.

בהנחה שההקפה היא על קו המשווה או לאורך קו אורך כלשהו, היות שהיקף הגלגל והיקף הירח הם זהים, הגיע מיליארדרנו לנקודת ההתחלה, כלומר - השלים הקפה מלאה.

אגב - הרוכב עצמו עבר מרחק גדול בהרבה מאשר היקף הירח, משום שמפאת גודל הגלגל הוא מרחף למעל מ-‏1,000 קילומטר מעל פני הירח. עם השלמת הנפילה ניתן יהיה לומר שביל היקר נמצא בכל מיני מקומות.

המממ... במרחק כה גדול ממרכז הירח, האם כוח המשיכה של הירח יוכל בכלל למשוך את ביל, שהיה בתנועה בזמן הקריסה בגובה של 1,000 קילומטר מעל פני השטח? האם הוא יפול, ישאר להקיף את הירח או יעוף לחלל? אני מניח שזה תלוי במהירות שאליה הגיע לפני הקריסה.
מטבעות היכון רוץ 150173
"אם הגלגל השלים סיבוב מלא, הרי שהנקודה על האופן שנגעה בקרקע בהתחלה, נוגעת בה גם בסיום."

עד כאן הכל נכון.

"הרוכב עצמו עבר מרחק גדול בהרבה מאשר היקף הירח, משום שמפאת גודל הגלגל הוא מרחף למעל מ-‏1,000 קילומטר מעל פני הירח."

האם זה הגיוני שביל יעבור מרחק גדול יותר מן הגלגל עליו הוא רוכב? הנח כי הקבינה של ביל לא מסתובבת עם הגלגל, ממש כשם שמושב האופניים לא מסתובב עם גלגלי האופניים.

בתור התחלה, בוא נתעלם מאפקטים בליסטיים העשויים להכניס את ביל היקר למסלול סביב הירח.
מטבעות היכון רוץ 150184
זה הגיוני לחלוטין שביל יעבור מרחק גדול יותר מן הגלגל. שווה בנפשך אבן הקשורה בחוט לאצבעך. אתה יכול לסובב מעט את האצבע ולהשיג סיבוב גדול של האבן. החוט מחובר לאצבעך בלולאה קטנה, שהיא שוות ערך לגלגל שבחידה. האבן היא, כמובן, ביל.
מטבעות היכון רוץ 150205
אם הבנתי נכון את הדוגמא שלך, האצבע היא שוות-ערך ל*מרכז* הירח בחידה. אם כן, מהו אורך החוט?

נסו לדמיין את ביל בכמה מצבים:
א. כשהוא רכוב על חד-אופן כזה, ממש כמו שכל אדם רכוב על אופניים.
ב. בתוך תא-טייס הממוקם במרכז הגלגל
ג. בתוך תא-טייס המשתלשל בכבל ממרכז הגלגל כמעט עד פני הירח. במצב זה ביל נמצא כל הזמן בגובה מטר מעל פני הירח, גם כשהגלגל מסתובב.

האם התשובה לחידה תהיה שונה עבור המצבים השונים?
מטבעות היכון רוץ 150208
בכל אחד משלושת המצבים הוא יעבור מרחק שונה. אבל זה *לא* משנה את התשובה לחידה, שהיתה, כזכור:

>>"נשאלת השאלה - היכן נמצא ביל היקר? האם הספיק להשלים את הקפת הירח? האם נתקע בצדו השני? ואולי הוא ברבע הדרך?"

ביל השלים את הקפת הירח וכשהגלגל קרס הוא היה מעל נקודת ההתחלה. כמה מעליה? על פי המצבים שהגדרת.
מטבעות היכון רוץ 150210
יפה, אנחנו מתקדמים. עתה נשאלות השאלות:
א. כאשר הגלגל משלים הקפה אחת סביב עצמו, מה המרחק שעוברת כל נקודה על פני הגלגל?
ב. כאשר הגלגל משלים הקפה אחת סביב גלגל אחר השווה לו בהיקפו (או מקיף את הירח על פני קו המשווה), מה המרחק שעובר מרכז הגלגל?
מטבעות היכון רוץ 150219
כאשר הגלגל משלים הקפה סביב עצמו, כל נקודה על היקפו עוברת את מרחק ההיקף.
מרכז הגלגל עובר מרחק של 4*r*pi (במקרה המסויים הזה שבו קטרי הגלגלים שווים זה לזה), שהוא פי 2 מהמרחק שעוברת כל נקודה על היקפו.
שאלות אחרונות לסיום 150253
כשנוסעים 10 ק"מ במכונית (לאט לאט כדי לא להחליק), מהו המרחק שעוברת נקודה על פני הגלגל הקדמי הימני? ומהו המרחק שעוברת נקודה במרכז אותו גלגל?

נחזור לחד-אופן של ביל. נניח שבתחילת הנסיעה נגעה הנקודה A בקרקע. כדבריך, כאשר החד-אופן מקיף את הירח, מרכז הגלגל עובר מרחק של 4*r*pi. מכאן שבחצי הקפה, מרכז הגלגל עובר מרחק של 2*r*pi (שהם 7000 ק"מ). היכן תימצא הנקודה A לאחר שעובר מרכז הגלגל מרחק של 2*r*pi?
____________
לשאלת הקורא האלמוני - ביקשתי מליאור שיוסיף את שם משפחתו, אך הוא לא התייחס. כולי תקווה שבימים הקרובים נוכל לחזור שנינו לשמותינו המלאים, ובא לציון גואל.
שאלות אחרונות לסיום 150302
כשנוסעים 10 ק"מ במכונית, אם קוטר הגלגל הוא 60 ס"מ, נקודה על היקפו עוברת 10 ק"מ, ונקודה במרכזו עוברת בערך חצי מילימטר יותר מזה (ליתר דיוק 10.00000047 ק"מ). פירוט החישוב מתחת לקו האופקי שבסיום הודעה זו.

ולחידה המקורית: כשמרכז הגלגל עבר 2*r*pi עוברת נקודה על היקפו r*pi ונמצאת בדיוק בנקודה על הירח הנמצאת בצידו המרוחק ביחס לנקודת ההתחלה. ביל נמצא בדיוק מעל נקודה זו, אך הגלגל עדיין לא השלים את הסיבוב השלם, הנתון בשאלה. לכשישלים את הסיבוב, תושלם גם הקפת הירח.
__________________

לעניין המכונית:
היקף כדור הארץ הוא 40,000 ק"מ. המכונית עברה קשת של 1/4,000 מההיקף. הנקודה שבמרכז הגלגל עברה 1/4,000 מהיקף כדור שרדיוסו גדול ב-‏30 ס"מ מכדור הארץ, כלומר:

(r+30)*2*pi/4000
(r*2*pi+60*pi)/4000
r*2*pi/4000+(1.5*pi/100)cm

היות שהדרך שעשתה נקודה בהיקף הגלגל היא r*2*pi/4000, ההפרש בין הדרך הזו לדרך שעושה נקודה בהיקף הגלגל הוא pi*0.015 ס"מ, שהוא, בקירוב, חצי מילימטר.
שאלות אחרונות לסיום 150320
האם נקודה על היקף הגלגל עושה מסלול שצורתו מעגל (או קשת) סביב מרכז הכדור עליו נוסעים? לא, היא עושה מסלול לולייני, ולכן ארוך יותר מהקשת שבין נקודת המוצא לנקודת היעד. אני חושב שלכך מתכוון השואל.
מילות סיום 150839
החידה שהצגתי מעובדת מתוך אחד מספריו של מרטין גרדנר, קרקס מתימטי ‏1. שם הוא מציג אותה בהמשך לשאלה - האם הירח סב על צירו? אסטרונומים ישיבו על כך בחיוב - הירח משלים סיבוב אחד סביב עצמו עם כל הקפה סביב כדור הארץ ‏2. אף-על-פי-כן, אנשים נבונים רבים טענו כי הירח לא מסתובב סביב עצמו בכלל. כשם שכשמניפים תרנגול כפרות מעל הראש הוא לא "סב על צירו", כך המשילו את הירח לכדור הקשור בחוט ומסתובב סביב כדור הארץ. מכאן ממשיך גרדנר:

"The problem of the moon's rotation is basically the same as a penny paradox described in Chapter 2 of my 'Mathematical Carnival'. If you roll one penny around a fixed penny, keeping the rims together to prevent sliding, the rolling penny rotates twice during one round trip.

Or does it? Joseph Wisnovsky, an editor of Scientific American, has called my attention to a furious controversy over this question that raged in the letters department of this magazine for almost three years. In 1866 a reader asked: "How many revolutions on its own axis will a wheel make in rolling once around a fixed wheel of the same size?"
"One," the editors replied. A torrent of correspondence followed from readers who disagreed.
In volume 18 (1868), pages 105-06, Scientific American printed a selection from "half a bushel" of letters supporting the double-rotation view. For the next three months the magazine published correspondence from both "oneists" and "dualists". including engravings of elaborate mechanical devices they had made and had sent to establish their case.
(...)
The volume of mail reached such proportions that in April 1868 the editors announced they were dropping the topic but would continue it in a new monthly magazine, The Wheel, devoted to the "great question." "
1

את תשובתו של גרדנר לחידה אביא מיד במלבן נפרד, כך שמי ירצה יוכל לא לקרוא.

1 Martin Gardner, Mathematical Circus, Mathematical Association of America, 1992, p.205-206

2 פסדר, הירח בעצם מקיף את מרכז הכובד המשותף לעצמו ולכדור הארץ.
you say you want a revolution 150841
סתם בשביל השעשוע של עצמי, כי אני בטוח שכולם כבר הבינו.

מה זה "צירו" ומה זה "סב"?

בלי קשר למיקומו במרחב, המטבע הנייד משלים שני סיבובים סביב עצמו. עושה 720 מעלות, בקיצור. יענו, אחת מהפינות של המטבע משקיפה פעמיים על המזלות האסטרולוגים.

את ציר הסיבוב הנייח שלו (יש לו שניים, אחד באמצע המטבע הנייח ואחד באמצעו) הוא מקיף פעם אחת.
סתם בשביל השעשוע של עצמי, כי אני בטוח שכולם כבר הבינו. 150850
נקודה x על שפת המטבע הנייד מסתובבת פעם אחת סביב מרכז המטבע הנייח, ופעמיים סביב המרכז של המטבע הנייד עצמו.

כדי להשתכנע, אפשר לחשב את האינטגרל של אחד חלקי ההפרש (כמספר מרוכב) בין x לבין מרכז המדובר, ולחלק ב- 2pi*i.
אם הבנתי אותך נכון זה אומר שיובל טעה. האמנם? 150852
תלוי מה הוא אמר. 150861
כל הדיון הזה סובב (אם אפשר להתבטא כך) סביב ההגדרה ה"נכונה" של המונח "סיבוב סביב עצמו" כאשר ציר הסיבוב נע. יש הבדל בין הסיבוב כפי שהוא נראה למהנדסים שיושבים במרכז הגלגל, לבין הסיבוב כפי שהוא נמדד על-ידי תושבי הירח, לבין הסיבוב בעיני הצופים מכדור הארץ.
לי נראה שההגדרה המוצלחת ביותר מגיעה מן האינטגרל שהזכרתי.

בנוסף, כאשר מטבע אחד (שמרכזו A) מסתובב סביב מטבע אחר (שמרכזו B, באותו רדיוס), ו- X היא נקודה על המטבע הראשון, אז הזוית בין XA ל- AB משתנה במהירות כפולה מן הזוית שבין AB לבין קו קבוע שעובר דרך B.
יובל צודק, וגם אתה צודק. (איפה שלום?) 150868
בעיני צופה חיצוני:
נקודה x על שפת המטבע הנייד מסתובבת m פעמים סביב מרכז המטבע הנייח, ו-n פעמים סביב המרכז של המטבע הנייד עצמו. מצאת m=1, n=2 עבור שני מטבעות זהים.

בעיני צופה הרוכב על החד-אופן, ולכן מסתובב m פעמים סביב מרכז הירח (המטבע הנייח):
נקודה x על שפת המטבע הנייד מסתובבת m-m=0 פעמים סביב מרכז המטבע הנייח, ו- n-m פעמים סביב המרכז של המטבע הנייד עצמו.
עבור שני מטבעות זהים n-m = 2-1 = 1
נוסיף קצת נפנוף ידיים: במהלך הקפת הגלגל הנייח, הגלגל הנייד אמנם הסתובב פעמיים, אך צירו הסתובב פעם אחת. לכן אם נמתח גומייה בין הגלגל הנייד לבין צירו, נמצא שהגומיה קיבלה רק ליפוף אחד במהלך הקפת הגלגל הנייח. אם הגומיה (של מיקרוסופט כמובן) נקרעת אחרי ליפוף אחד, היא תיקרע רק עם השלמת הקפת הירח.
150855
furthermaor (11:08 PM) :
עברית שפה יפה:
יש "סב", יש "מקיף".

על זה בעצם התגובה שלי.
בגלל זה יש רוולושן בכותרת, כדי להבהיר את המובן מאליו - שזו בעיה מילולית פשוטה.

lior (11:09 PM) :
זו גם אחת הסיבות המרכזיות שבגללן לא תרגמתי את גרדנר
וגם עיבדתי את החידה שלו

furthermaor (11:09 PM) :
נחמד ומשעשע.

------

ובגלל זה גם ה"יענו" וה"בקיצור". ההגדרה המדוייקת שלך כמובן סוגרת את הפן השני של הסיפורון.
you say you want a revolution 150963
"אחת מהפינות של המטבע" הוא משפט שראוי למסגר ולתלות על הקיר.

מכירים את הבדיחה על איך משגעים פרסי?
150971
תודה. התלבטתי בין זה ובין ''כל הפינות של המטבע''.
פתרון החידה 150842
גרדנר מציע כי הויכוח כולו נשתל במכוון ע"י העורכים. משם הוא ממשיך:
"Obviously it is no more than a debate over how one chooses to define the phrase "rotates on its own axis." To an observer on the fixed penny the moving coin rotates once. To an observer looking down from above it rotates twice. The moon does not rotate relative to the earth; it does rotate relative to the stars." ‏1

ואמנם, אם נגלגל מטבע של עשרה ש"ח על פני מטבע אחר של עשרה ש"ח, נראה אותו משלים שני סיבובים סביב עצמו במהלך הקפה אחת סביב המטבע הנייח. למשל, אם נסדר את שני העצים בשורה, כך שסמל המנורה במטבע הימני נושק לשפת המטבע השמאלי, נקבל שוב שורת עצים במחצית ההקפה. לעומת זאת, סמל המנורה במטבע הימני לא יישק שוב למטבע השמאלי אלא כעבור הקפה שלמה סביבו. כלומר, מבחינת המטבע הימני ‏2, הוא משלים הקפה סביב עצמו רק בתום הקפת המטבע השמאלי.

בקיצור, החד-אופן של ביל גייטס ישלים את הקפת הירח, ורק אז יתפרק. כרטיס הטיסה מוענק ליובל רבינוביץ' ושות.

ככלל, מבאר גרדנר ‏3, אם a הוא רדיוס המטבע הנייח וb הוא רדיוס המטבע המסתובב, ישלים המטבע המסתובב 1 + a/b סיבובים סביב עצמו בכל הקפה של המטבע הנייח. בפרט אם a=b הוא ישלים שני סיבובים סביב עצמו בכל הקפה, וזאת כאמור בעיני מתבונן חיצוני שאינו מצוי על אחד המטבעות.

1 שם, שם. היה צ"ל עמודים 206-207 ולא כפי שכתבתי.
2 וגם מבחינת המטבע השמאלי
3 שם, עמ' 214.

__________
בתקווה שהמלבן הזה עונה לשאלותיך, מאור.
פתרון החידה 150871
לומר שתשובתי היתה נכונה תהיה הגזמה פראית.

לא שאיכפת לי לקבל את כרטיס הטיסה, אבל נראה שהוכחתי שלא כדאי שאני אנווט.
פתרון החידה 150872
במה זה שונה, מהותית, ממה שכתבתי בתגובה 150252?
פתרון החידה 150912
מהותית, גם אתה בזוכים.

מעשית, ''יובל ושות.'' זה קצת יותר ספציפי מאשר ''אלמוני ושות.''.

כרונולוגית, רציתי להיצמד לספר של גרדנר בעת חשיפת הפתרון, תנאי שהתקיים רק אתמול.

רעיונית, לא הייתי בטוח שאני מבין לחלוטין את תגובתך. בפרט לא רציתי לערב את כדור הארץ והשמש בחידה. הרי אותו הפתרון תקף כשהם אינם.

טכנית, אתה אמנם הראשון שהביא הסבר נכון לחלוטין לתשובה נכונה לחלוטין. אתה מוזמן לפנות לנציגות השירות של 'דורון נסיעות' לקבלת הפרס, ולקוות שתדע לנווט לשם טוב יותר משותפיך.
פתרון החידה 150937
כדור הארץ והשמש נכנסו לתאור (והתנועות היחסיות נדרשו להיות זניחות) כדי לייצר מערכת ייחוס נייחת, באנלוגיה לשולחן ולאצבע הלוחצת על המטבע שמייצגת את הירח. אפשר היה כמובן להסתפק בירח עצמו.
פתרון החידה 150978
ברכות על חזרה לשם המשפחה.
כיצד איבדת אותו ומדוע - זו נראית לי חידה קשה בהרבה מזו שבה דנו זה עתה.
מטבעות היכון רוץ 150220
ליאור וליאור,

האם לנצח נצטרך "לבדוק" את כתובות האימייל שלכם? למה אתם לא מוסיפים שם משפחה, ובא לציון גואל?
ליאורה הכפולה 150235
אני חושב שגולגר לא כל-כך אוהב שקוראים לו גולגר, אולי בגלל זה הוא הוריד את שם המשפחה. יכול להיות שבאמת הגיע הזמן לכבד את בקשתו, ולהתחיל לקרוא לילד בשמו (הפרטי). נדמה לי שזה יואל.
ליאורה הכפולה 150236
אוהב לא אוהב, למה אנחנו צריכים לטרוח כל פעם מחדש?

קצת התחשבות בזולת, זה כל מה שאני מבקש. ואני מתפלא שזה לא מפריע להם. לי זה היה מפריע.
ליאורה הכפולה 150242
לך זה היה מפריע? כי לדעתי יש עוד כמה מגיבים באייל שמשתמשים בניק שלך.
מטבעות היכון רוץ 150252
יש פה לפי הבנתי אי הבנה שנובעת מהניסוח "הגלגל משלים סיבוב סביב עצמו".

נניח שביל מסמן את הנקודה על הגלגל, שנמצאת הכי קרוב אליו בתחילת הדרך, בצבע לבן, ואת הנקודה המרוחקת ממנו, שנוגעת בפני הירח, בסגול. אם בתחילת הדרך השמש נמצאת מעל ראשו של ביל, הרי שהנקודה על הגלגל שהכי קרובה אליה היא הלבנה. אם ביל נוסע כה מהר, שניתן להתעלם מתנועות הירח והארץ סביב עצמם וסביב השמש, הרי שלאחר מחצית ההקפה, שוב תהיה הנקודה הלבנה הכי קרובה לשמש (רק שעכשיו הירח יהיה בין הנקודה ובין השמש) והסגולה תהיה הכי רחוקה. במערכת ייחוס זו, בה הירח והשמש נייחים, "הגלגל השלים סיבוב סביב עצמו" לאחר מחצית ההקפה.

מצד שני, הנקודה הלבנה תחזור להיות הכי קרובה לביל, והסגולה תהיה הכי רחוקה ותיגע שוב בפני הירח, רק לאחר הקפה מלאה. כלומר: הנקודה הסגולה תיגע באותה נקודה על פני הירח בה נגעה בהתחלה. במערכת הייחוס בה ביל ו"מזלג" החד-אופן במנוחה, זהו המצב בו "הגלגל השלים סיבוב סביב עצמו". כשאנו רוכבים על אופניים, זו ההגדרה הטבעית שלנו לסיבוב, למרות שבנסיעה מישורית בה הגלגל קטן בהרבה מרדיוס העקמומיות, ההפרש בין שתי ההשקפות זניח. במובן זה, תשובתו של יובל רבינוביץ נראית נכונה.

ובמידה וגם צדקתי, הריני מתנצל בפני כל מי שקילקלתי לו.
צר לי צר 150541
זהירות: מה שנכון עם מטבעות משוננים, לא תמיד נכון לגבי גלגלים. כשגלגל מסתובב כדי היקפו, ההתקדמות על הקרקע עשויה להיות קטנה מהיקפו, משום שחלק מהתנועה מקדמת את הגלגל קדימה – אבל לא כל התנועה כולה. אינני זוכר את המונחים המדוייקים מפיזיקה (גלגול לעומת החלקה, כמדומני).

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים