בתשובה ליובל נוב, 07/08/03 8:32
חידה 162242
טוב, זה אגוז קטן ונחמד אבל די מוכר - לא אקלקל לכולם.
אם אנחנו כבר בשוונג, וממילא עיצבנו את האייל ההומניסט מתגובה 161524, אז למה לא עוד אחת, קלה, מסוג אחר? מי שמכיר, נא להיות מנומס...

*** תחרות לקוראי האייל ***
*** התחרות פתוחה ומתאימה לכל ***
*** לא רק לכמה סטודנטים לפיסיקה מהטכניון ***

מנצח מי ששולח את המספר הגדול ביותר שהוא מכפלה של מספרים טבעיים שסכומם 100. שימו לב: לאו דווקא _שני_ מספרים טבעיים.

הפרס: יופי של קארמה, שזה בדיוק ההיפך מעונשו של מי שמכיר את החידה ושולח כדי לצאת כאילו גדול.
תשובת תם 162248
2 בחזקת 50?
1125899906842624
תשובת תם 162255
עוד לא הספקתי להרהר מספיק בענין (תרוצים, תרוצים...), אבל ארבע כפול שלש בחזקת שלשים ושנים נראה לי חביב.
תשובת תם 162281
בהחלט! יפה מאוד. ממש ממש לא צריך מטלב בשביל לראות שזה (הרבה) יותר משתיים בחזקת חמישים - אבל האינטואיציה של הרבה אנשים מוליכה אותם להרבה פעמים שתיים.

אפשר לכתוב את ההוכחה שזה אופטימלי בערך בשתי שורות, אם אף אחד אחר לא יעשה זאת אז אני אסביר.
תשובת תם 162284
או קיי, נדמה לי שפתרתי. אמנם לא פתרון של שתי שורות, אבל אני חושב שהוא נכון.

נניח שנתונה לנו סדרת טבעיים שסכומם מאה, ונתבונן באבר x כלשהו בסדרה.

אם x הוא זוגי, מה יקרה אם נחליף בסדרה את x בפעמיים x/2 ? כדי שזה "ישתלם", אנחנו צריכים שיתקיים

x < (x/2)^2

דהיינו: x > 4. לכן, אין טעם שבסדרת המסוכמים יהיו מספרים זוגיים הגדולים מ- 4.

אם x הוא אי-זוגי, מה יקרה אם נחליף בסדרה את x ב- (x+1) חלקי 2 ו- (x-1) חלקי 2?

עכשיו צריך שיתקיים

x < (x^2 - 1)/4

ותחת אילוצי הטבעיות, נקבל x > 4 שוב, כך שאין טעם שבסדרת המסוכמים יהיו מספרים אי-זוגיים הגדולים מ- 4.

ממה שקבלנו עד עכשיו נובע שסדרה אופטימלית מורכבת בהכרח מהמספרים 2, 3 ו- 4 (ברור ש- 1 לא עוזר). היות ש- 2+2=4 וגם 2 כפול 2 זה ארבע, אפשר תמיד להחליף ארבע בפעמיים שתיים, כך שנשארנו רק עם המספרים 2 ו- 3.

כל שלושה מופעים של 2 אפשר להחליף בשני מופעים של 3, ולקבל במכפלה 9 במקום 8. לכן, אסור שיופיעו יותר משני מופעים של 2 בתשובה.

מסקנה סופית: שלושים ושניים מופעים של 3, ושניים של 2. (כמובן שאפשר להחליף פעמיים 2 ב- 4).
תשובת תם 162285
נכון מאוד, אבל אפשר טיפה לקצר - כדאי להחליף כל m>3 ב-‏2 ו-(m-2), אין צורך להפריד לזוגיים ואי-זוגיים.
תשובת תם 162258
מטלב אומר:
4*(3^32)-2^50 = +6.29e015
תשובת תם 162263
אני חושב שדי קל להוכיח שהפתרון הזה אופטימלי.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים