בתשובה לNik The Greek, 12/08/03 2:40
המלך הוא ערום? 163107
אביב י. • בתשובה לNik The Greek יום ג', 12/8/2003, 2:56
"את המתמטיקה לא הצליחו לבסס על הלוגיקה"

מה זאת אומרת? או ליתר דיוק, למה בדיוק אתה מתכוון כשאתה אומר _לבסס על_?
המלך הוא ערום? 163108
Nik The Greek • בתשובה לאביב י. יום ג', 12/8/2003, 3:04
אני מדבר על כשלון מפעל הלוגיציזם.
המלך הוא ערום? 163111
אביב י. • בתשובה לNik The Greek יום ג', 12/8/2003, 3:26
כשלון? אתה מתכוון לטענותיו/הוכחותיו של Kurt Gödel?
המלך הוא ערום? 163112
Nik The Greek • בתשובה לאביב י. יום ג', 12/8/2003, 3:33
בין היתר.
המלך הוא ערום? 163357
אלון עמית • בתשובה לNik The Greek יום ג', 12/8/2003, 23:29
מה פירוש "כשלון הנסיון לבסס את המתמטיקה על הלוגיקה"? לא ידוע לי שנסיון כזה נכשל. המתמטיקה אכן מבוססת על העקרונות הפורמליים של הלוגיקה, ומשפט גדל הוא עצמו טענה מתימטית יפה במסגרת זו.

התקווה (הנאיבית, במבט לאחור) שניתן יהיה להוכיח עקביות ושלמות של תורת המספרים אכן נתבדתה, אך מכאן ועד לטענה מרחיקת לכת כזו שציינת המרחק הוא רב מאוד.
קיצור דרך 163359
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאלון עמית יום ג', 12/8/2003, 23:35
תגובה 85278
המלך הוא ערום? 163368
Nik The Greek • בתשובה לאלון עמית יום ד', 13/8/2003, 0:09
העמדה שניתן לבסס את המתמטיקה כולה על הלוגיקה התחילה, אם אני לא טועה, אצל פרגה. שמה לוגיציזם. ראסל מצא פרדוקס במערכת הפרגיאנית שייאשה את פרגה מלהמשיך את הפרוייקט. עם זאת ראסל חשב שיש עתיד ללוגיציזם וניסה להציע גרסה משלו (תיאוריית הטיפים אם אני לא טועה) בה ''פרדוקס ראסל'' לא יכול להתעורר. אבל גם העבודה הסמינלית של ראסל ווייטהאד ''פרינקיפיה מתמטיקה'' שמטרתה הייתה ביסוס אחד ולתמיד של כל המתמטיקה על לוגיקה נכשלה כאשר גדל הראה את מה שהראה לגבי מערכות אקסיומתיות. לוגיציזם מת עם הפרינקיפיה עד כמה שאני יודע.
הלוגיציזם מת, אך מדוע זה רלבנטי? 163371
אביב י. • בתשובה לNik The Greek יום ד', 13/8/2003, 0:31
אבל מותו של הלוגיציזם לא הרג את המתמטיקה עצמה ולא מנע את השימוש בלוגיקה במתמטיקה. למה שמותו ימנע *בהכרח* פיתוחה של שפה חד ערכית, שיש בה שימוש נרחב בלוגיקה?

(לשים לב שאני לא שואל מדוע שפה פילוסופית חד ערכית היא בלתי אפשרית. אני שואל מדוע מות הלוגיציזם בהכרח מונע את פיתוחה של שפה כזאת, בעוד שמותו לא גרם לנו לזרוק את המתמטיקה לפח).

המתמטיקה היא לעולם לא שלמה. תמיד נשארים בה תומים לחקירה, הרחבה ואף אפילו שלילה. אפשר להגיד את אותו הדבר על אותה שפה חד ערכית - גם אם היא לא תהיה שלמה, היא מאפשרת מסגרת חקירה עקבית, שבה ניתן להתקדם באופן מתודולוגי יותר, מאשר שאפשר עם השפה ה"רגילה".
הלוגיציזם מת, אך מדוע זה רלבנטי? 163374
Nik The Greek • בתשובה לאביב י. יום ד', 13/8/2003, 0:59
רק רציתי לשמוע מדוע אתה חושב שלמרות שהמתמטיקה עצמה שהיא המדע הפורמלי ביותר לא מצליחה להיות מבוססת על לוגיקה לבדה דווקא שפה פילוסופית שצריכה להיות מסוגלת להביע הרבה יותר ממתמטיקה יכולה להיות מבוססת על כללים נוקשים והגדרות פורמליות.
אין פה טיעון נגד שפה חח''ע, את זה כבר עשיתי במספר דרכים אחרות, רק פניה לקומונסנס.
הלוגיציזם מת, אך מדוע זה רלבנטי? 163383
אביב י. • בתשובה לNik The Greek יום ד', 13/8/2003, 2:29
קודם כל, לא לשכוח שאל"פ ואני די בור בפילוסופיה (בין השאר). אני רק מביע דעה.

אני מסכים עם טיעון שאומר: אם לא ניתן לבסס (לבסס במובן אליו אתה מתכוון) את המתמטיקה על הלוגיקה, אז בטח שאי אפשר לבסס משהו "חמקמק" כמו הפילוסופיה על הלוגיקה.

מה שניסיתי להגיד הוא, שלמרות חוסר ביסוס שכזה (שוב, ביסוס במובן בו אתה השתמשת), המתמטיקה היא עדיין שימושית למדי ומהווה מסגרת חקירה עשירה, חד ערכית, מדויקת ועקבית למדי (תוך כדי שימוש אינהרנטי בלוגיקה). מדוע ששפה חד ערכית תהיה בלתי אפשרית רק בגלל שהלוגיציזם מת?

אני חושב שגם אני העלתי טיעון או שניים כנגד השפה החד ערכית (למרות שאני עושה זאת בשפה רדודה יותר ועם פחות הכרה של תורות פילוסופיות ומונחים נחוצים. בשבועות האחרונים אני מנסה לקרוא לראשונה את קאנט וההצלחה שלי היא חלקית בלבד).

לדעתי, הבעיה בדיון זה, נעוצה בחוסר הבהירות שבמונח *פילוסופיה*.

אם אנחנו מדברים על הפילוסופיה של האתיקה, גם אני לא מבין על מה בדיוק מדברים כאשר דנים על שפה חד ערכית. אם מדברים על חקר התופעות, לדעתי הפילוסופיה כבר הצליחה ליצר מתודה מוצלחת למדי, שבה מיצרים שפה חד ערכית (או לפחות שפה מדויקת יותר ששואפת להיות חד ערכית ומנפה שגיאות מעצמה). אנחנו קוראים לשפה הזאת - מדע.

אם מדברים על מטאפיזיקה - אני לא רואה איך אפשר לבנות מטאפיזיקה על בסיס לוגי (או ליתר דיוק, אני לא מבין איך אפשר לעשות דבר כזה. אשמח אם מישהו ירביץ בי בינה בעניין זה).

אך מעבר לכך, כנראה (וזה *כנראה* גדול למדי) שיש איזשהו מקום לשיח פילוסופי פורמלי. למשל, אולי יש להעביר את הפילוסופיה של המדע, תהליך של פורמליזציה? האם הדיון המטא-מדעי הגיע אל סיומו? האם אין מקום לדייק יותר בדיון שכזה ולנסות לערוך ניפוי אינטנסיבי של חוסר הבהירות הקיים בשפה ה"טבעית", לצורך דיון ספציפי זה (בניגוד לשפה חד ערכית שתעסוק בפילוסופיה כולה)?
המלך הוא ערום? 163373
שוב אני • בתשובה לNik The Greek יום ד', 13/8/2003, 0:45
נכון.

אך בין זה לבין "המתמטיקה לא מבוססת על הלוגיקה" יש מרחק רב (שנובע, כמובן, מעודף פירושים למשפט...). המתמטיקה בהחלט מבוססת על הלוגיקה, לפחות במובן זה שכל מערכת אקסיומות של תורה מתמטית מכילה *גם* את מערכת האקסיומות של הלוגיקה המתמטית.

ולנושא שעלה קודם: "עקביות". חשבתי שאת רוב העבודה כבר עשו למעני אנשים כמו פרגה, אותו הזכרת.

קבוצת משפטים תכונה "עיקבית" כאשר לא ניתן להרכיב רק באמצעותה משפט הסותר משפט בקבוצה.

קבוצת משפטים תכונה "מדוייקת" כאשר היא עקבית, ולא ניתן להרכיב רק באמצעותה משפט הסותר את המושג המנטלי שהיא מתיימרת לתאר.

מן הסתם "עיקבית" הוא מאפיין "אובייקטיבי" (כוונתי בכך, אני מניח, ברורה) ואילו "מדויקת" הוא מאפיין סובייקטיבי (כלומר ניתן לטעון שהיא מדוייקת או לא מדוייקת, בהתאם לכוונת השימוש).

ולגבי התועלת, שייתכונתה -כך נראה - זוכה לבוז רב מכולם: לא הייתי ממהר לשפוט. כך או כך, פיתוח "תורה פורמלית" לדיון פילוסופי-קלאסי נראה לי שעשוע אינטלקטואלי חביב ומאתגר, וזה העיקר (כמו במתמטיקה ופילוסופיה בכלל, לטעמי). אם יהיו לו תוצאות מועילות או מעניינות בפני עצמן, פה ושם - מה טוב.

אגייס לשירותי כמשל דוגמא פופלרית מהמתמטיקה: משפט פרמה.

נדמה לי שהיה זה...גאוס(?) שאמר שהוא אינו מוצא ערך בניסיון להוכיח את משפט פרמה, כי הוא יכול להמציא 10 בעיות דומות ובלתי פתירות בדקה. ואכן, קשה לדמיין שימושים מועילים לתוצאה הזו. אתה מסוגלים? גאוס לא הצליח. ובכל זאת אלפים רבים ניסו את כוחם בהוכחת המשפט. למה? טוב, כי הובטח פרס כספי עסיסי במיוחד לכל פותר, אבל חוצמזה - מכיוון שזה מעניין ומאתגר בפני עצמו. אבל העבודה הרבה סביב המשפט לא הייתה לשווא. בזכותה פותחו ושוכללו כלים שימושיים ביותר - כמו האידיאלים והעקומות האליפטיות. על פניו נראה לי סביר מאד שעיסוק פורמלי בפילוסופיה (ובכל, במדעי החברה והפסיכולוגיה למשל) יניב תוצאות מעניינות.

יש לי הרגשה שאת הפסקה האחרונה לא הייתי צריך לכתוב. מזל שאני אלמוני.
מתמטיקה ולוגיקה 163375
Nik The Greek • בתשובה לשוב אני יום ד', 13/8/2003, 1:03
חשבתי שזה ברור שטענתי היא שהמתמטיקה אינה מבוססת *רק* על הלוגיקה. כמובן שהלוגיקה היא חלק חשוב ממתמטיקה. הנקודה היא שהלוגיקה עצמה אינה מספקת (גם לא בתוספת תורת הקבוצות) - זוהי תמצית כשלון הלוגיציזם.
מתמטיקה ולוגיקה 163387
אלון עמית • בתשובה לNik The Greek יום ד', 13/8/2003, 2:59
לא, שוב אני חייב לא להסכים. אני מודה שהנני פילוסוף מוגבל מאוד, אבל אני נהייה סופר-רגיש כשטוענים טענות לגבי אהובתי משכבר (המתמטיקה) שאני לא יכול לקבל.

מה פירוש "הלוגיקה עצמה אינה מספקת", עם או בלי תורת הקבוצות? למה (ל' שוואית) היא לא מספקת, והאם לטענתך המתמטיקאים פרצו מגבולות הלוגיקה והלכו לרעות בשדות זרים?

את ההיסטוריה של הנסיונות של פרגה, הילברט וראסל אני מכיר, אם כי מודה הנני שאת המושג "לוגיציזם" לא הכרתי. אבל כשלון התכנית המקורית של ה-"פרינקיפיה" לא חולל שום שינוי בעובדה שלוגיקה היתה ונשארה היסוד. האקסיומות של תורת הקבוצות רועננו - כן, גדל הראה שלא כל אמיתה היא יכיחה - פנטסטי, אבל בזה זה נגמר.

אז בוא נחדד: "המתמטיקה אינה מבוססת *רק* על הלוגיקה" - על מה עוד?
מתמטיקה ולוגיקה 163391
Nik The Greek • בתשובה לאלון עמית יום ד', 13/8/2003, 4:46
> "אז בוא נחדד: "המתמטיקה אינה מבוססת *רק* על הלוגיקה" - על מה עוד?"

על שאר האקסיומות המתמטיות. הרי יש בה אקסיומות נוספות מעבר למודוס פוננס וחוק הסתירה, לא? (כן)
מתמטיקה ולוגיקה 163395
אלון עמית • בתשובה לNik The Greek יום ד', 13/8/2003, 5:57
בוודאי! לא טענתי "המתמטיקה היא לוגיקה", רק שהמתמטיקה מבוססת על הלוגיקה. מה הקשר בין העובדה שבמתמטיקה מניחים אקסיומות נוספות, כדי לבנות תיאוריה, לבין "כשלון הלוגיציזם"? גם הלוגיציסטים האופטימיים ביותר מעולם לא העלו על דעתם שהלוגיקה לבדה תמציא בעבורם את האקסיומות של אוקלידס, או של תורת החבורות. רק שבהינתן האקסיומות, כללי הגזירה הם לוגיים.

וזה, כאמור, לא השתנה כלל. מה שכן השתנה זו ההכרה שבמערכת אקסיומטית עשירה מספיק, יהיו טענות נכונות שלא ניתן להוכיחן - זאת בניגוד למצב האידילי של הגיאומטריה האוקלידית. והפרדוקס של ראסל שהזכרת קודם הוא לא יותר מאשר ההבחנה שמערכת אקסיומות נאיבית מאוד של תורת הקבוצות איננה עקבית.

הנה טענה קודמת שלך:

"אפילו את המתמטיקה לא הצליחו לבסס על הלוגיקה", שאת זה פירשת ככשלון מפעל הלוגיציזם, שאת *זה* פירשת (בין היתר) כמשפט גדל. ואחר כך: "הנקודה היא שהלוגיקה עצמה אינה מספקת (גם לא בתוספת תורת הקבוצות) - זוהי תמצית כשלון הלוגיציזם". וכעת הסברת לי שאת אי-המספיקות של הלוגיקה אתה מפרש כצורך המתמטי להניח אקסיומות נוספות. כעת תורי לשאול, מה הקשר? העובדה שבמתמטיקה דרושות אקסיומות נוספות מעבר למודוס פוננס וכו' היא טריויאלית, ואין לה דבר עם כשלון הלוגיציזם.

ניסית להביא כשלון זה כטיעון נגד האפשרות לבסס את הפילוסופיה על שפה פורמלית, שכן לטענתך אפילו במתמטיקה זה נכשל. זה לא. מי שמקווה (וזה ללא ספק קשה עד בלתי סביר) לבסס כך את הפילוסופיה מדבר בדיוק על מה שבמתמטיקה עובד מצויין - ניקח מערכת אקסיומות, ונגזור מסקנות לוגיות. ייתכן מאוד שאתה צודק שזה קשה, או בלתי אפשרי, או אפילו לא מעניין - אבל אף אחד מהדברים האלה לא נגזר מאיזשהו כישלון בפורמליזם של המתמטיקה.
מתמטיקה ולוגיקה 163393
Nik The Greek • בתשובה לאלון עמית יום ד', 13/8/2003, 4:51
> לטענתך המתמטיקאים פרצו מגבולות הלוגיקה והלכו לרעות בשדות זרים?

מה הקשר? אף אחד לא מאשים את המתמטיקאים בשום עוול, רק שהמדע שלהם אינו טאוטולוגיה והם מודעים לזה היטב.
או בכיוון השני, אתה יכול לבצע עבורנו רדוקציה של משפט כלשהו במתמטיקה ללוגיקה ותו לא? אתה יכול לפחות להצביע על אחת?
מתמטיקה ולוגיקה 163394
אביב י. • בתשובה לNik The Greek יום ד', 13/8/2003, 5:18
אז הרי לך הרעיון שיכול לעמוד מאחורי שפה חד ערכית, שעוסקת בנושא פילוסופי ספציפי. עכשיו רק צריך לשמוע ממישהו איזו אקסיומה פילוסופית *מוגדרת היטב*, שניתן לחקור אותה הלאה בעזרת הסקה לוגית.

אני לא מכיר אקסיומה שכזו.

האם בכל תחומי הפילוסופיה כולם ובכל דיבריהם של הפילוסופים כולם, אי אפשר למצוא איזו אקסיומה קטנה ומוסכמת שלהטיל בה ספק זה מעשה שדומה להטלת ספק באקסיומות מתמטיות? אם כן, מהי? אם לא, מה מיוחד באקסיומות המתמטיות ומה מבדיל אותן מהלך החשיבה הפילוסופי?
מתמטיקה ולוגיקה 163396
אלון עמית • בתשובה לNik The Greek יום ד', 13/8/2003, 6:07
לא. לא צריך. ראה תגובתי לעיל. גם הלוגיציסטים לא חשבו שאפשר לעשות זאת.
המלך הוא ערום? 163376
Nik The Greek • בתשובה לשוב אני יום ד', 13/8/2003, 1:18
זה נשמע שיש לך תוכנית לא רעה, לך על זה. :)

> "קבוצת משפטים תכונה "מדוייקת" כאשר היא עקבית, ולא ניתן להרכיב רק באמצעותה משפט הסותר את המושג המנטלי שהיא מתיימרת לתאר."

מהו מושג מנטלי? האם כל משפט מייצג "מושג מנטלי"? איך ניתן לדעת אם מושג מנטלי מתנגש עם משפט?

השאלות הללו אינן סתם כי אני מעוניין לעזור לך להנהיר את השפה הפורמלית שלך. קיוותי שתראה את התבנית החוזרת ונשנית של קשיים לפרמל את עולם המחשבה האנושי. אבל אתה מוזמן לענות על השאלות הנוספות שהצגתי כעת, אם זה גורם לך להנאה. אבל אני לא מבטיח שאני אמשיך לשאול אותן...
המלך הוא ערום? 163385
אביב י. • בתשובה לNik The Greek יום ד', 13/8/2003, 2:40
לדעתי, הצעד הראשון הוא צמצום היומרה ותיחום הנושא בו השפה צריכה לעסוק. פילוסופיה היא מילה גדולה מידי, רב משמעית מידי ושעוסקת בתחומים רבים מידי (הן ברצוי והן במצוי).

על מנת לנהל דיון שבו ניתן להתוכח על סבירות הפירמול, צריך להחליט על הנושא אותו רוצים לפרמל. כאשר אומרים לפרמל את הפילוסופיה, זה כמעט כמו לדבר על פורמליזציה של *כל* עולם המחשבה האנושי. זה "קצת" מוגזם.
המלך הוא ערום? 163392
Nik The Greek • בתשובה לאביב י. יום ד', 13/8/2003, 4:48
''... זה קצת מוגזם''
על זה אני מסכים.
המלך הוא ערום? 341783
יובל נוב • בתשובה לNik The Greek יום ו', 28/10/2005, 19:32
משפט מהתגובה לה אני מגיב זכה להיכנס ל"מילון הסלנג המקיף" של רוביק רוזנטל, כדוגמא לשימוש במילה "לפרמל"! ראו http://www.professor.co.il/articles/article.htm?arti... (חפשו את המילה "האייל" בעמוד).

תודה לגולש יהונדב, שהביא את העניין לידיעת המערכת.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות