בתשובה לשוקי שמאל, 12/08/03 17:05
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"לטעמי הספוילר שלך לא מספיק ..." - כי הוא לא נכון, לא ברור, או לא מספיק קצר? למרות שההסבר של מ. השור נכון לחלוטין, קשה לי לראות איך הוא לא שונה מהותית מה-"ספוילר", שאין בו אינדוקציה או חישוב כלשהו. ההסבר בפיסקה הראשונה שלך לא ברור לי לפחות: מדוע הגורם השני בכל מכפלה הוא מה שהוא? אתה הרי לא מניח שאחרי הפיכת קלף נוסף ישר נעצור. עליך להניח באינדוקציה את ערך המשחקים הפשוטים יותר, וזה בדיוק מה שמ. השור עשה. בכל אופן ההסבר ממש לא דומה להסבר המילולי הקצר שניסיתי לתאר. הנה הוא שוב, במילים אחרות: בכל שלב במשחק, הסיכוי שהקלף הבא יהיה אדום שווה לסיכוי שהקלף האחרון יהיה אדום (או כל קלף אחר שטרם נפתח); אבל הקלף האחרון הוא תמיד אותו קלף, והחלטת העצירה שלך אינה משפיעה על סיכוייו להיות אדום. זהו! כדי לא לענות את האיילים האומללים, אשמח להמשיך את הדיון איתך ב-e-mail. בסוף נפתור את אי-ההבנות. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אולי הפעם נתכנס. ההסבר שלי הוא באמצע, בין ההסבר של מ. השור להסבר שלך. כמוך איני משתמש באינדוקציה, אך לעומת זאת מחשב את ההסתברות של הקלף האחרון (או כל קלף לא הפוך אחר) להיות אדום. החישוב הוא כך: נניח שכבר הפכנו n אדומים ו-k שחורים. אם נחליט לעצור סיכוי הזכיה שוה לסיכוי של הקלף הבא להיות אדום (N-n)/(2N-n-k). אם נחליט להמשיך והקלף הבא יתגלה כאדום, הסיכוי של כ"א מן הקלפים הנותרים להיות אדום הוא (N-n-1)/(2N-n-1-k). סיכוי הזכיה במשחק בהנחה שנעצור לפני אחד מן הקלפים הנותרים (על סמך הידע שיש לנו כרגע) הוא (N-n)/(2N-n-k)*(N-n-1)/(2N-n-1-k). אם נוסיף לביטוי זה את סיכוי הזכיה במקרה שהקלף הבא הוא שחור, מקבלים סה"כ שוב (N-n)/(2N-n-k). זהו גם הסיכוי ברגע זה של הקלף האחרון (או כ"א מאלו שעדיין לא הפכנו) להיות אדום וגם הסיכוי הכולל לזכות במשחק אם נהפוך עוד קלף. בנקודה זו אני אומר שבין אם נעצור ובין אם נמשיך סיכוי הזכיה אינו משתנה ולכן בשום מקום במשחק אין מקום בו כדאי במיוחד לעצור. (שים לב שהסיכוי של האחרון להיות אדום אינו חצי כפי שהיה בתחילת המשחק אלא הוא נקבע ע"י התוחלת של כל הסידורים האפשריים כאשר n+k הראשונים ידועים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תראה מה מפריע לי. בשלב האינדוקציה שלך אתה מחשב מה הסיכוי של כל אחד מן הקלפים הנסתרים להיות אדום, ומזה אתה גוזר בלי להניד עפעף שזהו גם "סיכוי הזכייה במשחק בהנחה שנעצור לפני אחד מן הקלפים הנותרים (על סמך הידע שיש לנו כרגע)". זה כמובן נכון, אבל *למה*? מדוע האסטרטגיה מכאן והלאה לא משפיעה על סיכוי הזכייה? הלא לפני שהשאלה נפתרה, האמנו שעבור כמות נתונה של אדומים ושחורים, אפשר לשחק יותר טוב או פחות טוב. אחת משתיים - או שאתה מניח שזה ברור אינטואיטיבית שהאסטרטגיה לא תשפיע, ואז מתעוררת השאלה, למה לא יישמת הבנה זו כבר בראשית המשחק כדי לטעון שסיכוי הזכייה הוא חצי וגמרנו? ואם אתה לא מניח זאת, עליך להוכיח זאת באינדוקציה, וזו ההוכחה של השור - אתה לא עושה זאת, מפני שאתה *מניח* את זה בשלב האינדוקציה. זו הסיבה שקשה לי להבין איזו מן הוכחה נמצאת "באמצע" בין ההסבר המילולי להוכחה באינדוקציה. לגבי המשפט האחרון שלך, חציו הראשון נכון לגמרי, אך חציו השני סתום בעיני. מה זה "התוחלת של כל הסידורים האפשריים"? תוחלת יש למשתנה מקרי, שהוא גודל מספרי. הסיכוי של האחרון להיות אדום הוא פשוט מספר האדומים שנותרו חלקי מספר הקלפים שנותרו. ככל שאתה חושף יותר קלפים אתה משנה את הערכתך לגבי סיכוי זה, אבל ברור שאינך משנה את צבעו של הקלף ולכן אין זה משנה כלום אם תפתח אותו ישר בהתחלה (כאשר הסיכוי להערכתך הוא חצי) או אחרי שפתחת שבעה-עשר קלפים, שישה מתוכם אדומים (שאז הערכתך היא אחרת). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתחיל בחלק היותר קל. לגבי "התוחלת של כל הסידורים האפשריים". מה שאני אומר זה פשוט ההגדרה המדוייקת של הסתברות ה"אדומיות" של הקלף האחרון. למושג הזה אין משמעות עבור סידור קלפים מסויים אחד. נניח למשל 10 קלפים לאחר שנחשפו 2 אדום+3 שחור. סיכוי ה"אדומיות" של הקלף האחרון (ובכלל כל 5 הקלפים הנותרים) היא 3/5. מנין? ערוך לפניך את כל הסידורים האפשריים של 3 אדום+2 שחור. ב-3/5 מן הסידורים האלו הקלף האחרון הוא אדום. השאלה ששאלת בהתחלה היא יותר קשה לי. אנחנו מסכימים שה-3/5 הזה הוא גם סיכוי הזכיה במשחק בשלב זה. השאלה היא רק איך להוכיח זאת אינטואיטיבית או מילולית. יתכן וכאן מסתתרת איזו אינדוקציה. דרך אגב בספוילר שלך יש מצב ממש דומה. ראה תגובה 163475 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ה-email שלי לא פועל מאתמול, לכן אטריד את מנוחת האיילים עוד מעט. את הספוילר הבנתי יותר בהסבר השני אבל עדיין חסרה לי שורת המחץ בסיום. הבנתי שבכל נקודה במשחק סיכויי הזכיה שוים לסיכויי ה"אדומיות" של הקלף האחרון (אבל סיכוי זה משתנה בכל מצב ואינו דוקא חצי. סיכוי זה בלאו הכי אין לו משמעות בסידור ספציפי אלא רק באוסף כל הסידורים האפשריים). איך מגיעים מהנקודה הזאת לסיכוי האדומיות של הקלף האחרון על כל הסידורים האפשריים, שהוא חצי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מבלבל את עצמך. ערבבת חפיסת קלפים. הנחת אותה הפוכה על שולחן. הקלף האחרון הוא או אדום או שחור, זה כבר נקבע רק שאתה לא יודע מה המצב. פעולות החשיפה שלך בראש החפיסה *לא משנות את הסיכוי שלו להיות אדום*, רק את *ההערכה שלך לגבי סיכוי זה*. אתה יודע שבסוף תהפוך את הקלף האחרון ותזכה אם הוא אדום. אם פתחת קלף ראשון וראית שחור, האם עכשיו "יותר כדאי לך" להפוך את האחרון משהיה כדאי לך לפני רגע? שני אנשים משחקים את המשחק במקביל. אחד חושף ישר את האחרון, ואחד פותח X קלפים (כל פעם X אחר, לפי אלגוריתם סבוך) ואז חושף את האחרון. יש למישהו מהם יתרון? לבסוף, ננסה לייצר אנלוגיה לחידת הווילונות. אומרים לך מראש שהווילון שתפתח הוא הימני ביותר. אין לך ברירה! אתה יכול לבקש מהמנחה לפתוח קודם את הוילון השמאלי, ואם בא לך אז גם את האמצעי. זה משנה משהו? |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |