בתשובה למאותגר גדל-ית, 19/08/03 14:28
שאלה מטא-מתמטית 164538
אם מוכיחים שלא ניתן להפריך את השערת גולדבך במסגרת אקסיומות פאנו, אז בפרט לא ניתן להצביע על מספר שאינו סכום של שני ראשוניים. אם כך, ההשערה נכונה.

(לכן השערת גולדבך אינה יכולה להיות בלתי תלויה באקסיומות פאנו).
שאלה מטא-מתמטית 164541
כנראה שלא ירדתי לסוף דעתך.
אם לא ניתן להצביע על מספר כזה, אז הוא לא קיים (כי לכל מספר טבעי ניתן להגיע, ולו ע''י מעבר סדרתי על כל הטבעיים עד אליו).
שאלה מטא-מתמטית 164542
withdrawn
שאלה מטא-מתמטית 164595
נדמה לי שאני לא מסכים לטענה בסוגריים. האם לא ייתכן מצב שבו לא ניתן לגזור מ-PA את GC וגם לא את GC~? למה? מנין ל-PA הכוח הזה?

קח את המשוואה הדיופנטית של מאטייסביץ'. קיום פתרון למשוואה זו הוא לא כריע, ולכן בפרט אין לה פתרון (באותו מובן שאין לגולדבך דוגמה נגדית), כי אילו היה לה, היה קל לוודא אותו. למרות זאת, אין הוכחה שאין פתרון כזה. לפי הנימוק שלך, משוואה כזו לא תיתכן.
הערה מטא-מטא-מתמטית 164621
איזה יופי, גם מתמטיקאים לא-טרחנים לא תמיד ומיד מסכימים זה עם טענותיו של זה :-)
הערה מטא-מטא-מתמטית 164631
כן, אבל כשזה קורה הם לפחות מודים (אחד מהם, לפחות, וזה לא עוזי) שהם מדברים על דברים שהם לא מבינים בהם. חוץ מזה, חכה, גג שבוע ואנחנו נסכים.
הערה מטא-מטא-מתמטית 164633
כן, התכוונתי להגיד שאני בטוח שתגיעו להסכמה ואני מתכוון לחכות בסבלנות.
שאלה מטא-מתמטית 165943
כנראה שחוסר ההסכמה נובע מאי-בהירות בטענה המקורית.

כשמדברים על השערת גולדבך, זו יכולה להיות ההשערה ה"מתמטית", הסטנדרטית (שעוסקת רק במערכת הטבעיים המוכרת), או ההשערה ה"לוגית", זו שאומרת אותו הדבר, אבל מנוסחת כטענה מסדר ראשון על מערכת פאנו שבו היא מופיעה (אפשר להגדיר "כפל", "ראשוני" ו"ניתן לכתיבה כסכום שני ראשוניים" בשפה מסדר ראשון מעל מערכת פאנו).
ההשערה הלוגית היא רחבה יותר, משום שבמערכת פאנו לא סטנדרטית היא מתייחסת גם לאברים ה"לא טבעיים". ההבדל המהותי הוא, כמובן, שבהשערה המתמטית כל דוגמא נגדית אפשר לבדוק בזמן סופי (אלא ש"אפשר לבדוק בזמן סופי" נמצא מחוץ למסגרת האקסיומות מסדר ראשון).

אי-בהירות נוספת: אי-תלות "סתם", שבה ההשערה הנוספת נראית כאילו היא בלתי תלויה במערכת האקסיומות, לעומת אי-תלות "מוכחת" שבה, באמצעים שמחוץ-למערכת *מוכיחים* את אי-התלות (כמעט תמיד - על-ידי בניית מודל).

כעת אנסה לנסח ולהוכיח את הטענה שלי מחדש. לא יתכן ש*נוכיח* (מחוץ למסגרת מערכת פאנו) שהשערת גולדבך (המתמטית!) אינה תלויה במערכת פאנו - או אפילו שעקבי להניח את השלילה שלה, משום שאז לא תתכן דוגמא נגדית "סופית" (ממערכת פאנו הסטנדרטית), ובכך הוכחנו את ההשערה כמשפט.

אני מודה שזו טענה קצת מוזרה, כי בדרך כלל כשמדובר על אי-תלות, צריך להיות ניסוח של ההשערה בכלים של אותה מערכת (פאנו, במקרה שלנו), ואני לא טוען שום דבר על השערת גולדבך ה"לוגית", המנוסחת בשפה מסדר ראשון.
בנוסף, הנימוק שלי עובד רק כשיש *הוכחה* לאי-התלות. אין לי שום דבר נגד מי ש*מאמין* באי-התלות, כל עוד הוא לא מתיימר לספק הוכחות (ובכך אני מתחיל לגלוש אל מחוץ לשטח השיפוט שלי).
שאלה מטא-מתמטית 166063
1. אני לא מבין איך יכול להיות מודל של פאנו שבו ההשערה "הלוגית" לא נכונה, אבל אין לשלילתה הוכחה סופית.
(הרי את הדוגמה הנגדית אפשר להרכיב ע"י סדרה סופית של פעולות successor מאפס).

2. אני מתאר לעצמי שבעיקרון, אפשר להוכיח את אי התלות גם בלי לספק מודל (למשל, אני חושב שמשפט גדל הוא כזה). האם הטיעון שלך תופס למקרה כזה?
שאלה מטא-מתמטית 166104
1. אשמח אם תרחיב (המושג "ניתן להגיע אחרי סדרה סופית" אינו מסדר ראשון).

2. הטיעון שלי אינו דורש מודל, אלא הוכחה (מתמטית).
שאלה מטא-מתמטית 166167
1. א. אני לא לחלוטין מבין במה שאני מדבר כאן.
ב. לא טענתי שהמושג "ניתן להגיע אחרי סדרה סופית" הוא מסדר ראשון.
התהייה שלי הייתה איך ייתכן שיש מודל שבו ההשערה לא נכונה, אבל שאין לעובדה זו הוכחה. זאת מאחר ונראה שאם ההשערה לא נכונה, אז יש לה דוגמא נגדית, ואם יש לה דוגמא נגדית, אז הדוגמה הזו בעצם מהווה הוכחה בתוך אקסיומות פאנו.

2. האם לא ייתכן ש:
א. השערת גולדבך נכונה.
ב. לעובדה הזו אין הוכחה בפאנו.
שאלה מטא-מתמטית 166760
1. אני לא בקיא במודלים לא סטנדרטיים למערכות פאנו, ולכן צמצמתי את הטענה ל"השערת גולדבך המתמטית". יתכן שאת הדוגמא הנגדית (שאולי קיימת במערכת פאנו לא סטנדרטית) אי-אפשר לבדוק, שהרי במערכת לא סטנדרטית לא כל מספר הוא סופי (דהיינו, שרשרת סופית של פעולות עוקב על האיבר הראשון).

2. כנראה שזה המצב. אקסיומות פאנו הן חלשות מכדי שאפשר יהיה להוכיח בהן משהו מעין השערת גולדבך.
שאלה מטא-מתמטית 166774
1. אני גם לא בקי אבל חשבתי שבכל מודל למערכת פאנו לא ייתכן מספר שלא ניתן להגיע אליו בשרשרת סופית של פעולות עוקב.

(זאת מאחר שאם נגדיר את הקבוצה S כמכילה את 0 + כל המספרים שאפשר להגיע אליהם במספר סופי של פעולות עוקב מ0, אז לפי אקסיומת האינדוקציה* S יכיל את כל המספרים).

* אקסיומה מס' 5 ב:
שאלה מטא-מתמטית 166803
הוא אשר אמרתי: "אפשר להגיע במספר סופי של פעולות עוקב מ- 0" זה לא משפט בשפה מסדר ראשון, ולכן אקסיומת האינדוקציה לא חלה עליו.

(וכל מערכות פאנו מסדר שני איזומורפיות זו לזו).
שאלה מטא-מתמטית 166804
לא, זה בדיוק לא המצב. האקסיומה שציטטת היא מסדר שני, ובהקשר זה באמת אין מודלים לא-סטנדרטיים והבעייה נמוגה. בסדר ראשון, אי-אפשר לנסח את הטענה שלך ב-‏1.
תודה 166806
(גם לעוזי)
שאלה מטא-מתמטית 166095
או, אז אם כך באמת אין לנו ויכוח, ותודה על ההבהרה.

התיאור שלך גם מצדיק, לדעתי, את מה שאורי אמר בהתחלה על הוספת גולדבך כאקסיומה: אם מוכיחים את אי-תלות גולדבך הלוגית, זה אומר שהגירסה המתמטית נכונה (מה שאורי קרא "אין דוגמה נגדית במספרים רגילים"), ולכן סביר שנניח אותה כאקסיומה בנוסף לפאנו.

מיץ, ראית? פחות משבוע!! :-)
ספרות 166106
אוקי, ועכשיו הגיע הזמן למידע נוסף:
האם אתם מכירים ספרים או מאמרים טובים ללימוד-עצמי (אפילו לא מעמיק במיוחד) בנושאים שהוזכרו כאן (תורת המודלים, חשבון מונים, כריעות וכיוצא באלה), אם אפשר שיתאימו לבעלי קצת ידע מתמטי?
ספרות 166199
אני לא ממש מכיר ספציפית ספרים בלוגיקה, אני מוכרח להודות, אבל נראה לי ש-"A Mathematical Introduction to Logic" של Enderton מכסה לא רע את הנושאים שעלו כאן. אם אתה מעוניין בדיון ארוך, משעשע ולא מעמיק, תמיד יש את GEB של Hofstadter שכבר הוזכר כמה פעמים בתגובות. ברשת, יש לפחות ספר אחד שנראה יסודי (די מעמיק ומדוייק):

הזכרת גם "חשבון מונים", שזה נושא אחר קצת, ונדון בספרים לרוב עם הכותרת "תורת הקבוצות". יש ספר חמוד של Kamke, ואני חייב להזכיר גם את On Numbers and Games המופלא של Conway, שהוא מאוד לא אורתודוקסי אבל בעצם... מי צריך חשבון מונים אחר? אם תהית פעם כמה זה באמת אפסילון (כלומר, אחד חלקי אומגה), זה הספר בשבילך.
תודה. 166413
שאלה מטא-מתמטית 164640
זו בדיוק הייתה כוונתי, אלא שאני חושש שאתה טועה במסקנתך, כלומר, פורמלית יתכן שהשערת גולדבך בלתי תלויה באקסיומות פאנו. במקרה זה, ניתן לבנות מודל עם דוגמא נגדית, אלא שהדוגמא הנגדית הנ''ל לא תוכל להיות במספרים ''רגילים'', אלו המשמשים אתנו לספור.
מכיוון שאלו בדיוק המספרים שאותם אנו מנסים למדל ע''י אקסיומות פאנו, טבעי שנרצה להוסיף את השערת גולדבך לאקסיומות.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים