מחקר מתמטי הוא דדוקטיבי במובן זה שכשאתה כבר יודע מה אתה רוצה להוכיח, עליך להוכיח זאת בצורה היסקית מטענות שהן כבר ידועות. אבל חוקרים יכולים להשקיע זמן רב בבחינה תצפיתית של האובייקטים המעניינים אותם, ביצוע סטטיסטיקות, חיפוש תבניות וקשרים, ממש כמו במדעים אחרים. השלב *האחרון*, הדדוקטיבי, הוא באמת ייחודי למתמטיקה.
למשל: כמה ראשוניים יש בין 1 ל-n? גאוס ואחרים שיערו את "מספר המספרים הראשוניים" בערך 100 שנה לפני שהוא הוכח, מחקר תצפיתי-סטטיסטי במובהק. אם תטען שזה לא *מחקר* מתמטי, אתווכח איתך. עד היום מתפרסמים מאמרים, ולאו דווקא שוליים, שכל עניינם חידוד תצפיות מסוג זה. לעיתים קרובות מדובר בחישובים קשים מאוד ונדרשת גאוניות רבה לבצעם.
דוגמא אחרת: קטלוגים של קשרים (knots) שהוכנו עוד בסוף המאה ה-19. לא הייתה שם שום דדוקציה, אבל הרבה מאוד "אינדוקציות", דהיינו, השערות שונות שהוצעו על-סמך התצפיות הללו. למחקרים אלה אני נוטה, למעשה, לקרוא איכותניים: לא היה שם "מדגם" עם משמעות סטטיסטית, אך מצד שני בחינה מעמיקה של מקרים פרטיים, חיפוש תבניות, תובנות חדשות וכו'.
יש דוגמאות אחרות למכביר, פשוט מפני שכמעט כל השערה מתמטית צמחה מתוך תצפיות והסקה אינדוקטיבית. אציין רק עוד אחת, יוצאת-דופן קצת: ב-1970 לערך הבחין מתמטיקאי בשם John McKay שהמספר 196884 מופיע בשני תחומים לא קשורים לחלוטין במתמטיקה1. הוא ניחש שזה לא מקרה, וזכה כמעט ללעג - השערותיו כונו בשם2 Moonshine conjectures. מהר מאוד נוספו עדויות נומריות שהפכו את ההשערה מתצפית יחידאית למחקר כמותי של ממש, ורק לא מזמן זכה Borcherds בפרס החשוב ביותר במתמטיקה על הוכחתו את השערות אלה.
1 אם אתם מתעקשים לדעת: זהו המקדם הלא-טריויאלי הראשון בפיתוח פורייה של הפונקציה המודולרית האליפטית j, וזהו גם אחד יותר מהמימד של ההצגה האי-פריקה הקטנה ביותר של "המפלצת".
2 Moonshine זה בערך "שטויות" או "הזיות בהקיץ". דוגמה מהחיים:
"The energy produced by the atom is a very poor kind of thing.
Anyone who expects a source of power from the transformation of these
atoms is talking moonshine."
Lord Ernest Rutherford
|
RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש