בתשובה לאלון עמית, 13/11/03 6:41
 |
|
 |
||
|
||||
 |
כל מה שרציתי להגיד הוא שלדעתי אם אקסיומה תראה כלא הגיונית או ככזאת שלא משקפת את המציאות, אזי אולי המתמטיקה המבוססת עליה תהיה נכונה ביחס אליה, אך ביחס למציאות היא תהיה שגויה. אני מאמין שבבסיסה המתמטיקה אמורה ללכת בקו אחד עם המציאות, ולא לסתור את ההגיון. אם אני מוצא סתירה לוגית מסוימת באקסיומה, או שאני רואה שהגדרה לא הוגדרה נכון (מהבחינה שהאדם אשר הגדיר אותה לא חשב על העניין לעומק) האקסיומה/הגדרה אמורה להיחשב כלא נכונה, ולכן המתמטיקה המבוססת עליה, גם אם היא הגיונית ביחס להגדרה, כבר לא תהיה מתמטיקה מבחינתי. אולי אני רק ילד שלא מבין כלום בעניין, אך זאת היא דעתי. אני חושב שדווקא אותם אנשים אשר מתהדרים בתאריהם במתמטיקה ובידע הנרחב שלהם לעיתים שוכחים מה מתמטיקה נועדה להיות מלכתחילה. ושוב, כאן יש מקום לוויכוח פילוסופי על מהות המתמטיקה, ואולי לכל אחד יש דעה שונה בעניין, ולכן מבחינתי אין טעם להמשיך בשיחה הזאת. אני מעריך את עזרתכם. תודה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
זו זכותך לעצור את הדיון, אבל חבל. אם תתחרט, אשמח אם תספק דוגמאות לאקסיומות הסותרות את ההגיון, או למתמטיקה שהיא כבר לא מתמטיקה מבחינתך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לצערי- וכבר אמרתי זאת- אין לי ממש דוגמאות, אולי אין כאלו, אך גם אם היו- אין לי הרבה דרכים ללמוד עליהן. זהו אולי הצד החלש בטיעון שלי, אך אני רק מתאר מצב אפשרי, ולא כותב סקירה הסטורית על התפתחות ההגדרות במתמטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעברית: אליעזר שישא - מתמטיקה ומתמטיקאים סדרת "לייף" - מתמטיקה קרול וורדרמן - כיצד פועלת המתמטיקה? את שני הראשונים אני מכיר והם נחמדים אם כי מיושנים קצת. את השלישי מצאתי ב-"מיתוס" אך אינני מכיר אותו. באנגלית: Ian Stewart - Concepts of Modern Mathematics אלו ספרים הרבה יותר מעמיקים, אך בכל זאת נעימים לקריאה. אינני בטוח אם יש בעברית משהו דומה. תוכל לדעתי לקבל מושג טוב על ה-"משמעות" של מתמטיקה גם מ-Courant & Robbins - What is Mathematics Douglas R.Hofstadter - Godel, Escher, Bach (כן, שוב פעם הוא...). הנה קישור רלוונטי: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאני די בטוח שמאוד תהנה לקרוא אותו, והוא קצר ומתאים מאוד לתלמידי י"א (ולכל השאר) - "משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה" מאת ארנון אברון. סיכוי טוב שהוא נמצא בספריית בית הספר. כדי לגרות את סקרנותך, אם צריך: הגישה שאתה מציג כאן - שאקסיומות יכולות להיות נכונות נכונות או שגויות, ושהן צריכות להיות נכונות - דווקא היתה מקובלת, שלא לומר מובנת מאליה, עבור מתמטיקאים עד אמצע המאה ה-19. ואז התרחש משבר הגיאומטריה הלא-אאוקלידית, ולמעשה אילץ את המתמטיקאים לעבור לגישה שאותה ייצגו כאן עוזי ואלון. בספר הנ"ל תוכל לקרוא על כך, ועל עוד הרבה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה דעתך על "דרך נקודה מחוץ לישר לא ניתן להעביר ישר מקביל לישר הנתון"? זו אקסיומה אמיתית. הגיונית? לא הגיונית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל זו אקסיומה "תלושה" מכל קונטקסט, נכון? כלומר, היא לא אחת האקסיומות של הגיאומטריה האאוקלידית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כפי שאמרת היא לא נכונה למרחבים אוקלידיים, אבל למה זה מתליש אותה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היא לא הביאה אותה כדוגמה לאקסיומה שכולנו מכירים, ונראית לנו טבעית. מדובר באקסיומה שכרגע אנחנו עוסקים *בה* בלי קשר לשאר האקסיומות במערכת אליה היא שייכת. אם הטיעון היה "דרך כל שתי נקודות שונות עובר בדיוק קו ישר אחד", אז היינו יכולים לבחון את ה"הגיוניות" של האקסיומה ע"פ האקסיומות האחרות במערכת, אותן נאו מכירים היטב. אבל עבור רובנו, ולצורך הדיון, האקסיומה הנתונה היא *מערכת אקסיומות שלמה* (אולם די קטנה..). כך שברור שהיא לא מובילה לסתירה. השאלה שלי בעצם הייתה, האם זו הייתה אקסיומה לא ידועה שהובאה לצורך הדיון, או פשוט טעות בניסוח של אקסיומה שכולנו מכירים מביה"ס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי זה בדיוק להיפך: היא ניסתה להראות שאכסיומה לא צריכה להיות "הגיונית" במובן שיש מודל אינטואיטיבי שבו היא מתקיימת. כמובן, הכל מתחיל ונגמר בשאלה למה אנחנו קוראים "אכסיומה": האם למשפט שרירותי שאינו דורש הוכחה (כדרכם של מתמטיקאים), או למשפט שנכון בעליל ולכן אינו דורש הוכחה (כדרכם של הקדמונים ושל פילוסופים מסויימים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו אקסיומה יודועה - היא זו שהופכת גיאומטריה אוקלידית לגיאומטריה אליפטית. הסבר ממצה ומוצלח ביותר (ושלי, כמובן): תגובה 59483 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגיונית מאד, כפי שיוכל להעיד כל מי שאין בידו סרגל :-) | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |