בתשובה לדובי קננגיסר, 14/04/04 23:52
שכחת אחד 211877
באמת אמר, והרבה יותר:

אני לא יודע מה יותר גרוע, דעותיו הילדותיות על תורת האבולוציה, או הנחתו היהירה והמטופשת ש"מדענים בימינו" כבר לא עושים את הדברים הפשוטים הבאים: "לפקוח את העיניים ולהתבונן בעולם, וגם לחשוב קצת, לחשוב באמת, על הכל מחדש".

ואני מסכים שזה חבל. עד היום בבוקר בכלל לא הכרתי את שלל השטויות שאמר, והערכתי אותו כאדם נבון. פתאום הוא הפך למין בור חשוך. כשחיפשתי באייל מצאתי שיובל כבר הזכיר פעם את קשקושיו.

אגב, לקישור הנ"ל הגעתי דרך הערך "פוסט-מודרניזם" בויקי העברית, ואני מנחש שהתודה מגיעה לשמעון ג.
שכחת אחד 211898
אגב, עוד אחת מהמתקפות הפרועות שלו מופנית נגד לימוד המתמטיקה בבית הספר. לדעתו, היא הורסת את חיי התלמידים (עכשיו אני סתם מקצין) ומוטב להם להסתפק בשברים פשוטים, פרט למעטים מביניהם שבאמת יצטרכו את זה, ובמוכשרים יש להשקיע.

(הוא גם תוקף את סגנון לימוד הספרות והתנ"ך העכשווי, אבל זה לא רלוונטי)

מה דעתך? עברו כבר ארבע שנים מאז שסיימתי, אבל ממה שזכור לי, לימודי החדו"א בבית הספר היו מגוחכים ולא לימדו כלום חוץ מטריקים טכניים בסיסיים שכל תלמיד שנה א' לומד מחדש - ובפרט לא לימדו למה החומר הזה הוא דבר יפה. וזו רק דוגמא אחת. גם שאר הדברים (חוץ אולי מאלגברה בסיסית, גיאומטריה וקצת טריגו) נראו לי מיותרים/מועברים לא נכון.
Everybody get one? Not bad for the first day! 211906
ההסתכלות שלי על הנושא הזה איננה מקורית במיוחד: הכל תלוי במורה. מורה טוב/ה‏1 ת/יצליח לעשות כמה דברים קשורים: לחשוף את היופי שבחומר, להלהיב או לפחות לעניין את התלמידים, ולהעביר את מה שחשוב באמת - חשיבה הגיונית, בהירה, מסודרת וקצת מופשטת. זה לא מאוד משנה אם במקום טריגו ילמדו חבורות סופיות ובמקום חדו"א עצמות וסודרים.

1 אני זכיתי לאחד כזה בתיכון, אבל היו אלה שני מרצים מופלאים בשנה א' באוניברסיטה שהלהיבו אותי כל-כך שהחלטתי להתרכז בלימודי המתמטיקה.
Everybody get one? Not bad for the first day! 212045
לא יודע מה איתך, אבל אני חושב שאני הייתי אוהב מתמטיקה הרבה יותר עוד בתיכון אם היינו לומדים על משהו יפה ולא טכני יתר על המידה כמו עוצמות, ולא היינו משננים עד מחר נוסחאות גזירה של פולינום וארקטנגנס.

תמיד אפשר להגיד ש''הכל תלוי במורה'', אבל זה לא נכון לגמרי. מורה טוב יכול להציל ומורה רע יכול להרוס, אבל צריך לשאול גם למה להגיע למצב שבו צריך להציל, כשאפשר להיות במצב שבו יש מה להרוס. אם כל לימודי המתמטיקה היו פתרון של משוואות ריבועיות, אני לא חושב שאף מורה היה מצליח להוציא מזה הרבה.
Everybody get one? Not bad for the first day! 212087
Hear Hear!
Everybody get one? Not bad for the first day! 212242
הבעייה היא, כמובן, שאין הסכמה כללית על מהו "יפה". הנקודה שניסיתי להעביר היא פחות פשטנית, אני מקווה, ממה שהבנת: בטח שהמורה הוא לא הגורם היחיד, אבל הוא חשוב הרבה יותר מכל מהפכה שתנסה לעשות בסילבוס.

אתה התחלת מציון העובדה "לא לימדו למה החומר הזה הוא דבר יפה", כשהתייחסת לחדו"א. כלומר, חדו"א יכול להיות מספיק יפה? אם כן, מצויין, ואתה מסכים איתי שההצלחה תלויה במורה. אם לא, ועצמות לא, ומשוואות ריבועיות לא, מה כן?

הזכרת "משננים עד מחר נוסחאות גזירה". מתמטיקה היא, לעניות דעתי, התחום בו צריך הכי פחות לשנן והכי הרבה להבין. מה שלא יהיה החומר הנלמד, תמיד יימצאו מורים חסרי-מעוף (ולדעתי גם חסרי-הבנה) שיהפכו אותו לשינון חסר-בינה.

ובקיצור, לאן אתה חותר? מה אתה מציע? שינוי בסילבוס? שינוי בשיטה? לי אישית אין דרך ברורה איך להעלות אלפי מורים רמה, אך מאידך די ברור לי שמהפכות תוכן וצורת-לימוד נוסח "New Math" לדורותיו הן עקרות ולא מעניינות. אבל אני מוכן לשמוע.
Everybody get one? Not bad for the first day! 212255
חדו"א זה דבר נהדר, העניין הוא שגם עם המורה הכי טוב, לא הייתי יודע את זה, כי אין שום דבר נהדר בחומר הלימוד. אלמלא המורה הנהדר שלי לפיסיקה דווקא, שהראה לי טורי טיילור וכדומה, ייתכן שלא הייתי לומד היום מתמטיקה.

איך אפשר להבין חדו"א, ויסלחו לי הקוראים שאינם אלון (יש כאלה?) על הגלישה לפסים הטכניים, בלי להבין מה זה גבול, ברמה של הגדרות אפסילון דלתא? אצל בני גורן אומרים בפירוש "לא ניכנס בכלל להגדרה המדוייקת של הגבול", ואומרים מה הוא *בערך*. אחרי זה נותנים לך לחשב, בצורה טכנית, עשרות גבולות, וגם אחרי שסיימת, אין לך שום הבנה לגבי מה זה גבול.

אתה אומר "מתמטיקה היא, לעניות דעתי, התחום בו צריך הכי פחות לשנן והכי הרבה להבין" ואני מסכים איתך לגמרי. אז למה נותנים בעיקר שינונים? למה כמעט כל מה שלמדתי (ואין לי שום תלונות על המורה שלי) היה טכניקות אלגבריות? למה למדתי חדו"א בלי ללמוד את משפט לגראנז' וראיתי את כלל לופיטל בלי להבין למה הוא טוב, ולמה הוא עובד? למה למדתי כשלמדתי אינטגרלים גם נמנעו מללמד את הטכניקות הרציניות (הצבה, אינטגרציה בחלקים), וגם נמנעו מלהסביר שאינטגרל מוגדר כיותר מ"ההפך מנגזרת"? לא נראה לי שסכומי דרבו (שגם אותם הראה לי אותו מורה לפיסיקה) זה משהו שמעבר לכוחותיו של תלמיד תיכון. אבל בחדו"א הבית ספרית יותר חשוב כנראה ללמד את הנוסחה לחישוב נפח של גופי סיבוב, שעדיין לא נתקלתי בה באוניברסיטה (כן, רק התחלתי).

גם לי אין שום תרופת פלא, ובהחלט לא צריך להתחיל לעשות מהפכה. החומר הבסיסי שלומדים הוא גם מה שצריך ללמוד, אבל אי אפשר להוריד את הדגש מהטכניקות ולתת יותר מקום להבנה? לא כדאי שלפני שתלמידים מחשבים גבול, הם יבינו מה הוא, גם אם הזמן שיקח ללמד אותם את זה יבוא על חשבון למידה של איך מתמודדים עם שורשים במכנה?
Regroup, and you change a ten to ten ones 212266
אתה מכיר את השיר אליו אני רומז בכותרות‏1? זה העניין, ניסו את זה כבר. אתה מציע להחליף את החומר הנלמד בהבנה יותר עמוקה של המושגים, ואני מנסה לטעון שעם מורים חסרי-כשרון זה ייגמר בקטסטרופה - וזה מה שקרה עם ה"New Math" המקורי בארה"ב (שעסק בעיקר, עד כמה שידוע לי, בכיתות הנמוכות יותר).

ברור שעדיף להבין. אבל הגדרת הגבול היא נושא מורכב יותר ועדין יותר מגזירה-על-פי-נוסחאות, והרושם הכללי (והמצער) הוא שהמורים, ובעקבותיהם התלמידים, לא יעמדו בזה. אתה בטוח שאתה רוצה להוסיף את "למה כלל לופיטל עובד" לחומר הלימוד ב*תיכון*?

ייתכן שבלימודיך לא תיתקל אף פעם בנוסחה לחישוב גופי סיבוב, אז אל תעצור את נשימתך. באוניברסיטה המתמטיקה היא באמת אחרת ממה שרואים בתיכון. ומדוע? כי

1. מורה טוב מוכרח להכיר את החומר שש (סתם מספר) רמות מעל מה שהוא מלמד. באוניברסיטה יש מצאי של מורים כאלה, ובתיכון פשוט אין. נדמה לי שמורה למתמטיקה בתיכון בישראל אמור להיות דוקטור. כמה מהם לדעתך באמת כאלה?

2. הסטודנטים הם קבוצה הרבה יותר הומוגנית מבחינת נטיות-ליבם, כישוריהם והמוטיבציה שלהם.

עם כל זאת, אני לא טוען שהמצב הנוכחי הוא הטוב ביותר שניתן לקוות לו. אני בעד לשנות את הדגשים, אבל צריך להביא בחשבון את מגבלות המערכת.

1"Tom Lehrer - "New Math. אם אתה לא מכיר, אני אסביר.
Regroup, and you change a ten to ten ones 212270
מה היה ב"New math"? את לרר אני מכיר, אבל את השיר (והמושג) לא.

אין שום ספק שהשאלה "מה זה גבול" הרבה יותר מורכבת מהשאלה "איך גוזרים פולינום". אלא שאני, תמים שכמותי, משוכנע שתלמידים ש*טובים* במתמטיקה יעמדו בזה. אני מדבר כאן על חמש יחידות, ועל אנשים שבאמת רוצים ללמוד מתמטיקה. לא ברור לי למה צריך להכריח אנשים שלא רוצים ללמוד מתמטיקה ולא לומדים מקצועות ריאליים ללמוד חדו"א, אבל זה דיון אחר.

אם המורים יעמדו בזה, זו כבר בעייה, אתה צודק. אבל האם מישהו עם תואר ראשון במתמטיקה לא יכול להעביר את החומר הזה, לדעתך?

איך לדעתך צריך לשנות את הדגשים?
Regroup, and you change a ten to ten ones 212283
אני לא בטוח שכל מי שלומד חמש יחידות רוצה באמת ללמוד מתמטיקה, ולא שהוא בהכרח תלמיד טוב. אני נוטה להסכים שמורה מעולה יכול להסביר את מושג הגבול לחלק ניכר מהכיתה, אבל זה ממש לא פשוט.

מישהו עם תואר ראשון במתמטיקה: תלוי מי. לרוב בוגרי תואר ראשון אין, להערכתי, כישרון פדגוגי. למעשה לימדתי את החומר שאתה מדבר עליו כמתרגל בכל מיני הזדמנויות ובתנאים שונים (כשתרגלתי אינפי לשנה א' זה היה אחרת מכשתרגלתי חדו"א לכימאים), ואני יכול להבטיח לך ש*כיתה* היא דבר הרבה פחות אינטליגנטי מהתלמיד הממוצע בה. זה לא קל. אני בטוח שהצלחתי לגרום רק לחלק מהאנשים להבין באמת, וכמה שלא נעים להודות בזה אני יודע שהייתי מתרגל ממש טוב. ואני גם יודע שאילו תרגלתי ישר אחרי התואר הראשון הייתי טוב פחות, באופן משמעותי.

לשנות את הדגשים - בכיוונים שתיארת, פחות נוסחאות ויותר הבנה. אבל בזהירות.
עושה רושם שהגענו להסכמה 212284
שאלה: 212335
א-פרופו שינון והבנה, שמתי לב שהרבה ילדים חובבי מתמטיקה לומדים בע"פ את הספרות של פיי. מי השיאן בין באי האייל (אני זוכר רק 5)?
3.1415926536 212344
או שמא טעיתי.
3.14159265358979 212359
"How I like a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics"

http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/jbpimem.htm
3.14159265358979 212363
אה, תודה שהזכרת לי. מישהו כבר כתב ספר שלם, או לפחות סיפור קצר בנוסח הזה? מסכן המתרגם.
שאלה: 212415
מעוונות ילדותי, אני זוכר איזה 45. אין לי שום הסבר טוב לזה.
שאלה: 212530
נדמה לי שהיה זה הופשטטר שסיפר פעם שאחד מחוויות הלא-ילדות שלו היתה פגישה עם מרטין גרדנר, ועוד כמה אנשים ששמם זרח מפרחוני כרגע, וכולם קראו בקול (מהזכרון, כמובן) את הספרות של פאי -- מאה מהן, אם זכרוני אינו מטעני.

התברר גם כי כל הנוכחים באותו מפגש ביזארי זכרו בעל-פה את טווח הערכים בכרכים השונים של האנציקלופדיה בריטניקה.
בוריה - במברגר 212534
וגם ''פקטה - קאוצ'וק'', נדמה לי.
בוריה - במברגר 212539
?
בוריה - במברגר 212540
אה, התכוונת לטווחי ערכים בבריטניקה. סליחה על ההצתה האיטית. א-אלול, אם אני זוכר נכון, ו... זהו.

(אבל את רשימת הכרכים של אנציקלופדיה ''מעיין'' אני זוכר על-פה).
בוריה - במברגר 212544
ב''עברית'', למעשה.
אבוהב - דרמה 213351
"מכלל". סבא שלי נתן לי לקרוא כשהייתי מאוד קטן. היו שם כמה דברים שבילבלו אותי: למה דברים שזכרתי ואהבתי כל פעם נעלמו (התשובה שהתבררה אחר כך: כי יש ארבעה כרכים). ומה שבאמת קשה: אחרי שכבר הבנתי את הקטע שאת השמות כותבים הפוך - "צ'רצ'יל, ווינסטון" - פשוט לא הצלחתי להבין למה שמות עם שלושה חלקים כותבים בסדר המוזר "הרצל, בנימין זאב" ולא, כפי שיותר עקבי, "הרצל, זאב, בנימין". אבל הקריירה שלי כעורך טריוויה התחילה שם; תודה לסבא.
צב''ג 213354
(מהסוגריים).
שאלה: 212537
ספרתי, וזה יוצא בדיוק 50 - כנראה ששם החלטתי לעצור. מעניין כמה מספרי טלפון שכחתי בגלל הפאי הזה.
שאלה: 212811
אם כך בינתיים אתה השיאן המקומי. אתה עובד כבר על ספור קצר?
פאי תפוחים 212845
הוא לא יוצא קצר כל כך, זו הבעייה. אבל א-פרופו פאי, התוכל לנחש מה עושה תכנית ה-C (החוקית!) הכתובה כאן?

למי שלא מכיר את תחרות Obfuscated C, כדאי מאוד להציץ. יש שם דברים מדהימים. בין החביבים עלי (אני מכיר רק את הישנים, לא התעדכנתי הרבה זמן) יש את זה:

זה:

וזה - תכנית בת 1024 בתים שמשחקת אותלו:

(אני זוכר שהיה גם טטריס, אבל אין לי כח לחפש עכשיו).
פאי תפוחים 213026
רק LIVEART ו ROEMER מתקפמלים (על GCC), ו ROEMER גורר SEGFAULT.
פאי תפוחים 213055
יו, כמה עצוב. מה שהזמן עושה. בזמנו התקמפלו כל אלה בלי בעייה, זה היה קריטריון חשוב להתקבל לתחרות. יש לך אפשרות לנסות את roemer עם cc סתם? אני גם אנסה. נסה גם להריץ את roemer עם פרמטר מספרי קטן, אם אני זוכר הוא מקבל כזה.
פאי תפוחים 213187
אין לי גישה ל CC, רק GCC אצלי ובאוניברסיטה (אולי שם הוא דווקא כן יתקמפל, אני אנסה). בכל מקרה, ניסיתי את ROEMER עם פרמטר מספרי קטן, עדיין לא עובד.
פאי תפוחים 213306
זכור לי במעומעם שפעם-פעם, כשתכנתתי ממש, ידעתי ש-gcc לא מממש בצורה מדוייקת את ANSI C או מה שלא יהיה הסטנדרט המקובל. אחלה גְנוּ וחינם והכל, אבל לפעמים קומפיילרים אחרים עדיפים. איזו מערכת הפעלה יש לך שם באוניברסיטה? אין שם cc?
פאי תפוחים 213393
באוניברסיטה כמו בבית יש לינוקס.
פאי תפוחים 213436
ואללה? בזמניי העתיקים לינוקס או שלא היה קיים, או שהיה פריווילגיה של אנשים בבית...
פאי תפוחים 213484
קשישא... כבר גילינו שאנו חולקים את חודש הלידה (ואהבה למתמטיקה, טעם דומה במוזיקה ועוד כמה דברים לא קשורים), מה הפרש השנים בינינו? (אני יליד 81)
12 213496
פאי תפוחים 213497
ינוקא, אתה חושב שאם חשפת את שמך אני מחוייב מוסרית לחשוף את גילי :-) ? נו, טוב, יכולת למצוא את זה לבד בדף הכותב שלי. ההפרש הוא תריסר, ואני אשאיר לך לגלות באיזה כיוון. אני התקנתי לינוקס בבית כשאתה עוד התמודדת עם ההפטרה... אבל מיה יותר צעירה ממך. נה.
פאי תפוחים 213556
טוב, האמת שחשיפת שמי בתגובה נעשתה בטעות (כניסה ממחשב אחר), אך אין זה משנה כיוון ש:
א) שם זה כבר נחשף בעבר כאשר כתבתי ביקורת על תשדירי הבחירות.
ב) זהו שם בדוי כיוון שהייתי חייל באותה תקופה (הוא מורכב ממלים נרדפות לשמי האמיתי - מה שפתאום גורם לי לחשוב, מה היה שם משפחתך לפני שעוברת?)

מיה אמנם צעירה ממני, אך כיוון שהיא כבר מדברת היא ודאי צעירה מאחיינתי החדשה בת השבועיים (כן, גם היא ילידת אפריל). נה.
פאי תפוחים 213560
מעניין, איכשהו ניחשתי גם שזה נעשה בטעות וגם שזה שם בדוי (סתם לא נדבק על שועלון שכמוך). אתה גם עמית?

נראה לי שאיכשהו התבלבלת עם ה"נה" שלך, אבל הבנתי, מזל טוב.
פאי תפוחים 213612
איני עמית, אך אם אי פעם יעוברת שמי זה יהיה תרגום לא רע.
מה לא בסדר ב'נה' שלי?
פאי תפוחים 213646
גם פה הופיע השם בטעות...
שירות אישי: מה לא בסדר ב"נה" 213656
לא ה"נה" לא בסדר אלא יש איזושהי בעיה לוגית עם המשפט שלפני כן: "מיה אמנם צעירה ממני, אך כיוון שהיא כבר מדברת היא ודאי צעירה מאחיינתי החדשה בת השבועיים..."

אולי התכוונת לומר שכיוון שמיה כבר מדברת היא בוודאי *אינה* צעירה מאחייניתך בת השבועיים. מזל טוב, בכל אופן.
שירות אישי: מה לא בסדר ב"נה" 213873
צודק, לא שמתי לב להשמטת ה''אינה''.
שירות אישי: מה לא בסדר ב"נה" 213881
תיארתי לי שאם אסביר לאט, תבין מהר :-) (אצלי, אגב, זה לא תמיד עובד)
שירות אישי: מה לא בסדר ב"נה" 213946
וואו, קיבלתי הסברה איטית מחשמנית על מונית. מגניב...
פרוינד? 214064
פרוינד? 214094
נראה לי שכבר אפשר להוסיף את שאלת זהותי למדור הטריוויה של מאי.
פאי תפוחים 213604
טוב, אני אענה, חשבתי לעשות מזה שאלת טריוויה אבל ירדתי מזה: שם אבי היה כְּרוֹך‏1. שאלת הטריוויה קצרת-הימים דנה בתנועה מפורסמת שמייסדה עמד בראשה למעלה מ-‏60 שנה.

1 ויש לי מזל שלא נולדתי מוקדם מדי.
אריה כרוך!? 213718
אריה כרוך!? 213719
כן, אבל זו שאלה רטורית?
טעות שלי, סליחה. 213720
__________
העלמה עפרונית, מסמיקה.
אין על מה להתנצל 213723
אבל להסמיק זה חמוד מאוד :-)
אריה כרוך 213721
רק להבהיר, שם אבי אילן. אריה כרוך היה סבא שלי. מנסיוני, חיפאים בני למעלה מ-‏40 נוטים להכיר את שמו.
213722
בפעם האחרונה שבדקתי, אני לא חיפאית ורחוקה מלהיות בת 40.
לוגיקה, העלמה 213724
הוא לימד בריאלי, אבל לא *רק* חיפאים מעל 40 מכירים את שמו... היית בצופים?
מודה באשמה. 213727
(לוגיקה מעולם לא הייתה הצד החזק שלי. עד כה העולם מצליח להתמודד עם זה)
דיון 983
מודה באשמה. 213733
אכן :-) לא זכרתי... תורי להתנצל.
מודה באשמה. 213806
מה להתנצל? העם דורש שתסמיק.
מודה באשמה. 213908
במקום להסמיק, אפשר לעגוב?
213875
זה פשוט מתבקש: מתי היתה הפעם האחרונה שבדקת?
כאחד שכבר לא(1) 213878
את הרבה פחות רחוקה ממה שנדמה לך.

___
(1) כבר לא חיפאי, וכבר לא בן 40.
פאי תפוחים 213063
roemer מתקמפל ורץ אצלי - cc פשוט על Solaris.
Everybody get one? Not bad for the first day! 213239
אם כבר פסים טכניים, דווקא את המושג של גבול נראה לי שאפשר די יפה ''לתפוס'' בלי שום אפסילונים ובלגנים. אני עוד זוכר איך המורה שלנו עשתה את זה בבית ספר - נתנה לנו לחשב גבולות של פונקצות רציונליות ע''י הצבה של מספרים גדולים ושימוש במחשבון. עד היום אני זוכר את הרגע שבו בתרגול החמישי בערך הבליחה בי לפתע המחשבה ''שתיים'' והנחתי את המחשבון. לא היה לי מושג מה זה אפסילון, אבל היה לי מושג לא רע מה זה גבול.
עד כדי ידיעותי המוגבלות, אני חושב שהתופעה הזו מאפיינת גם נושאים אחרים במתמטיקה. הדיוק הוא כמובן חיוני - אבל ההבנה והאינטואיציה מתלוות לפעמים דווקא לעירפול ולרשלנות.
Everybody get one? Not bad for the first day! 213332
כולנו למדנו גבול בצורה הזו - וגם כשמלמדים באמת מה זה גבול, רצוי להתחיל בצורה כזו. אבל העניין הוא שזה רחוק מלהיות מספיק. זה מסייע להבנה האינטואיטיבית, כן, אבל רחוק מלהשיג הבנה *אמיתית* של גבול. איך אפשר בצורה אינטואיטיבית לדעת מה הגבול של סינוס איקס חלקי איקס באפס? מחשבון?

זה נכון שיש לך מושג בהחלט לא רע של מה זה גבול, אבל רצוי שבנוסף למושג הזה, גם באמת תדע מה זה גבול. לטעמי האישי, אחד הדברים היפים במתמטיקה הוא היכולת לנסח בצורה מדוייקת וללא כפל משמעות מושגים שנראים מאוד ערטילאיים בתחילה. שלא לדבר על זה שבלי להבין את ההגדרה המדוייקת, קשה להבין את ההגדרה של רציפות, וכמעט בלתי אפשרי להבין את ההגדרה של רציפות במידה שווה, שבהם בכלל לא נוגעים בבית הספר.
Let X=X 213353
דווקא עם מחשבון אפשר להעריך יופי את הגבול של סינוס איקס חלקי איקס... ואפשר אפילו לראות זאת מאינטואיציה גיאומטרית, בלי מחשבון.

כמובן שהכי טוב זה להביא את התלמיד למצב שהוא מבין גם את האינטואיציה, גם את ההגדרה הפורמלית, וגם את הקשר ביניהם.

ואתה לא ברצינות מציע לדון ברציפות במידה שווה בבית-ספר, נכון? זה מושג חשוב, אבל אם הכיתה ממש הבינה את מושג הגבול ונניח נגזרת, לדעתי השגת כל מה שצריך מהוראת מתמטיקה בתיכון. בכל מקרה, אסור ללמד יותר מדי דברים, בסוף מישהו יעלה על טנגנס חצי-תיטא וכל הפרק של זהויות טריגונומטריות יתמוטט, ואז אנה יבואו במשרד החינוך? (-;
Let X=X 213414
האמת, הדוגמא לא הייתה כל כך טובה, אבל הכוונה שלי הייתה שיש פונקציות ש*בלי* מחשבון כבר לא תצליח להבין אותן באופן אינטואיטיבי - דהיינו, במקום שתסתייע במחשבון כדי להבין "את העיקרון" (ובפונקציות רציונלית, אחרי שאתה מציב קצת במחשבון אתה כבר יכול לראות מייד מה הולך שם גם בלי מחשבון) אתה הופך לתלוי במחשבון. זו לא דוגמא טובה, כי אפשר, כפי שאתה אומר, לראות את זה עם אינטואיציה גיאומטרית, ומצד שני, כשאני זוכר כמה המרצה שלנו הסתבך כשהוא ניסה להראות את זה, אני לא בטוח שזה נכון לכולם.

אני ממש לא מצפה ללמד רציפות במידה שווה, זו התעללות בתלמידים מסכנים - אבל אני כן הייתי שמח אם היו נותנים כבר בבית ספר לתלמידים את הכלים הבסיסיים להבין מושגים כמו זה אם הם רוצים לנסות. כמו שזה עכשיו, תלמידים לא ממש מקבלים כלים בסיסיים, אלא לכל היותר כמה טכניקות אלגבריות, ומושג אינטואיטיבי כללי, שלא הכי יעזרו להם כשהם הולכים ללמוד אינפי באמת (לי, לפחות, זה לא עזר).

מה זה טנגנס חצי תיטא?
Let X=X 213445
רק לעשות סדר, אני ממש נגד תלות במחשבון - בתיכון אימללתי את הבחורה שישבה לידי כשהחרמתי לה אותו ביד גסה כל פעם שרצתה לחשב משהו קטן‏1. אבל הדוגמה, כפי שאמרת, לא היתה מוצלחת. המרצה שלך הסתבך כשניסה להראות זאת? אז הוא לא התכונן. לא בסדר.

טנגנס חצי תיטא, הידוע יותר בשמו העממי טנגנס תיטא-חצי, הוא עובדה מוכרת ההופכת את הנושא של זהויות טריגונומטריות לחסר ערך, פחות או יותר. אם קוראים לטנגנס תיטא-חצי בשם t, אז קל לראות (תרגיל‏2) שסינוס תיטא וקוסינוס תיטא וכו' הם פונקציות *רציונליות* ב-t.

עכשיו אם מתקילים אותך בזהות טריגונומטרית מפחידה עם סינוסים וטנגנסים וקוסקנסים לרוב, במקום להתחיל לשבור את הראש איזו זהות להפעיל קודם ואיפה, אתה מגדיר את t כנ"ל, מחליף בקור-רוח את הכל בפונקציות רציונליות, כופל במכנים, מסדר באדישות והכל מתבטל - מש"ל. תרגיל מכני במקום חידה מחשבתית.

בקיצור, אם למדת בתיכון 5 יחידות (גם 4?) ולא סיפרו לך את זה, יש סיבה.

1 זה עבד, אגב. היום היא עובדת מצליחה בחברת היי-טק מוצלחת לא רחוק מכאן :-)

2 וגם כאן יש סיבה גיאומטרית פשוטה. פירוט ע"פ דרישה (על מי אני עובד).
Let X=X 213451
לא, נתקלתי בזה לראשונה באינטגרלים, וגם שם אני לא אוהב את זה. נכון, זה הופך את הפתרון לטכני לגמרי, אבל לרוב למשהו טכני מאוד מאוד מכוער. כמעט תמיד כשנותנים תרגיל בסינוסים וקוסינוסים יש דרך לפתור אותו שכוללת קצת מחשבה. להפוך את זה לרציונלי פירושו (לרוב, לפחות בתרגילים שאני ראיתי) לקחת את הדרך הארוכה והקשה במקום את דרך הקיצור הקלילה, סתם כי לא בא לך לחפש.

אבל אולי כשלא פותרים תרגילים שנבחרו מראש אלא מנסים לפתור בעיות, עדיף להשתמש בזה. לא יודע.
Let X=X 213481
סתם שלא נשאיר משהו יפה בכיעורו - יש סיבה "אמיתית" ויפה לקיומו של ה-t הזה, והיא נקראת פרמטריזציה רציונלית של עקומים ממעלה 2 (בעצם, מגֶנוּס 0).
Let X=X 213579
למרות שאני מכיר את ההחלפה, לא חשבתי אף פעם בכיוון של זהויות טריגונומטרית- נחמד. עד היום, כשהייתי נתקל בדבר כזה, הייתי כותב הכל כאקספוננטים ומפתח. מן הסתם העיקרון דומה.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים