בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 17/04/04 10:47
אפס אחד לאבי 212632
כרגיל, כל מה שכתוב להלן מקורו מפוקפק ביותר. תיקונים והרחבות יתקבלו בברכה.

כן, מקובל לפעמים להרחיב את הממשיים או את המרוכבים כך שיכילו את "אינסוף" כמספר וינסו להכליל את האריתמטיקה לגביו (ולדבר על דברים כמו "חמש חלקי אפס שווה לאינסוף").

כשמרחיבים את הממשיים, יש להוסיף שני סמלים: אינסוף, ומינוס אינסוף, והמבנה החדש מאבד את תכונותיו כשדה:
ההרחבה הזו מאפשרת הכללות וניסוחים אלגנטים של משפטים שונים (למשל בתורת המידה, לפחות אצל רודין‏1).

כשמרחיבים את המרוכבים, מספיק להוסיף סמל אחד (אינסוף). גם אז האריתמטיקה לא נשמרת, אבל ממילא יותר מעניין המבנה הטופולוגי שנוצר (ספירת רימן) שמאפשר לדבר למשל על "סינגולריות באינסוף" ושוב, כמובן, להכליל ולפשט משפטים (בקשר להעתקות מביוס, למשל):
האריתמטיקה במקרה הזה:
For all finite a ==> a+inf=inf+a=inf
For all b!=0 ==> b*inf=inf*b=inf
לא ניתן להכליל ביטויים כמו
a/0 (a!=0) or b/inf (b!=inf)
אבל לפחות אהלפורס‏2 כותב במקרים אלה באופן די חופשי ש-
a/0=inf and b/inf=0

(המקור של האינסוף בשני המיקרים הנ"ל הוא אנליטי (גבול), לא מתורת הקבוצות (עוצמות או סודרים)).

(וסלחו לי על שניצלתי את ההזדמנות ליחצ"ן את האתר הנ"ל, המקור הטוב ביותר, מכל הידועים לי, ל-Text books באנגלית. גם הספרים לא רעים :))
אפס אחד לאבי 212636
אני חושב שאפילו אני כבר נתקלתי קצת בהרבה הזו של הממשיים. אבל מאחר שהוא גורם לכך שתכונות השדה יאבדו, אין לנו כאן את האריתמטיקה ששאלתי עליה. אבל נחמד, בכל מקרה.
אפס אחד לאבי 212778
"כרגיל, כל מה שכתוב להלן מקורו מפוקפק ביותר". למה החששנות הזו? :-) לא כתבת שום דבר טפשי, ורודין ואלפורס הם מקורות לא מפוקפקים בכלל.

האתר combooks.co.il חדש לי, וכרגע נראה גם שהוא קצת מרגיש לא טוב. בכל אופן, מהיותו ישראלי אני מניח שדמי המשלוח שלו נמוכים מאלו של אמאזון - האם בכך יתרונו? והמחירים באמת דומים לאלו באמאזון או bn?

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים