בתשובה לירדן ניר-בוכבינדר, 19/06/04 9:08
סתם, כי בא לי לקנטר 226985
אלון עמית • בתשובה לירדן ניר-בוכבינדר שבת, 19/6/2004, 14:25
זהו בדיוק, שהמושג שיובל הזכיר תופס (נראה לי) את מה שחיפשת: דרך פורמלית לומר "הסיכוי שמספר טבעי יתחלק ב-‏4 הוא 1/4". יש כמה דרכים להגדיר "צפיפות אסימפטוטית" של אוסף של טבעיים, וזו הטבעית ביותר אם כי לא הכי גמישה (יש הגדרה אחרת שמכלילה אותה, כלומר מסכימה איתה כששתיהן קיימות אבל מוגדרת ביותר מצבים).

בכל אופן, לשאלתך הראשונה - למה מתעקשים ש"שווה-גודל" זה דווקא המושג של "התאמה חד-חד-ערכית" - על כך רציתי לכתוב עוד קודם את ה-rant הרגיל שלי: אין סיבה ואין חובה, זו פשוט הגדרה שימושית ונוחה. בתורת המספרים יש בוודאי חשיבות רבה למושגים אחרים של השוואת גודל, כמו הצפיפות האסימפטוטית שהוזכרה.

בנושא הזה, כדי להזכיר דיכוטומיה מעניינת ופשוטה-להגדרה בין קבוצות "דלילות" ו"צפופות" של טבעיים: נאמר שקבוצה של טבעיים היא צפופה אם ורק אם סכום ההפכיים של איבריה מתבדר. למשל:

הטבעיים כולם - צפופים. זו ההתבדרות של הטור ההרמוני.

חזקות שתיים - דלילות. כנ"ל חזקות 10 וכו'.

הראשוניים - צפופים. זו עובדה לא טריויאלית וחשובה.

הראשונים הסמוכים (כלומר 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, וכו', הראשוניים שיש במרחק 2 מהם עוד ראשוני) - דלילים. זה משפט קשה מאוד ומצער למדי, כי אילו היו אלה צפופים היינו יודעים בפרט שיש אינסוף כאלה. זה עדיין לא ידוע.

השאלה שפול ארדש היה מוכן לשלם הכי הרבה כסף למי שפותר אותה היא: קבוצה של טבעיים היא צפופה אםם היא כוללת סדרות חשבוניות ארוכות כרצוננו. זו שאלה קשה מאוד וחשובה למדי; למשל, איננו יודעים אם יש סדרות חשבוניות ארוכות כרצוננו של ראשוניים, וההשערה של ארדש פותרת גם את זה כמקרה פרטי ביותר.
סתם, כי בא לי לקנטר 227001
האייל האלמוני • בתשובה לאלון עמית שבת, 19/6/2004, 17:44
אם אינני, טועה המקרה הפרטי שהזכרת נפתר ממש לאחרונה (אני חושב ע''י טרנס טאו ובן גרין).
סתם, כי בא לי לקנטר 227034
אלון עמית • בתשובה להאייל האלמוני שבת, 19/6/2004, 22:20
קודם כל, תודה - לא שמעתי על זה, וחיפוש זריז הביא את

ועכשיו להסתייגויות הזהירות: המאמר עוד לא פורסם, והוא מסתמך על עבודה של גולדסטון ויילדירים שהכתה גלים לא מזמן אך שמעתי שייתכן שהיא שגויה - אינני יודע וייתכן שאין זה נכון, נחכה ונראה.
סובבים במעגל 227027
עוזי ו. • בתשובה לאלון עמית שבת, 19/6/2004, 21:59
כדאי להעיר שהצפיפות שהזכרת נקראת "הצפיפות של Schnirelmann", מוגדרת עבור קבוצה A של טבעיים כאינפימום של השכיחות של A בקטע מאחד-עד-n (למשל, הצפיפות של הזוגיים היא אפס! - כי אין מספרים זוגיים מאחד-עד-אחד; הצפיפות של האי-זוגיים היא 1/2). השתמשו בה כדי להוכיח גרסה מוקדמת של השערת גולדבך: כל מספר זוגי הוא סכום של 18 ראשוניים לכל היותר. הצעד המרכזי בהוכחה הוא להראות שהצפיפות של קבוצת המספרים מהצורה p+q, כאשר p ו- q ראשוניים‏1 גדולה מאפס.

‏1 יחד עם המספר 1 שצריך לזרוק פנימה מסיבות טכניות
סובבים במעגל 227031
אלון עמית • בתשובה לעוזי ו. שבת, 19/6/2004, 22:16
אני מכיר את ההגדרה הזו לצפיפות (מהספר "שלוש פנינים" של חינצ'ין), אבל דווקא לא אליה התכוונתי בתור ההגדרה הגמישה יותר. התכוונתי למושג של "צפיפות אנליטית" המשמש לעיתים קרובות בניסוחים של משפטים על ראשוניים. הצפיפות של שנירלמן, כמו שהדגמת, עשויה להיות *שונה* מהצפיפות הטבעית גם כששתיהן קיימות; הצפיפות האנליטית מתלכדת עם הצפיפות הטבעית אך מוגדרת בעוד מצבים.

נדמה לי שכל עוד עוסקים במספרים הטבעיים, אפשר להגדיר את הצפיפות האנליטית ע"י הגבול (כש-x שואף לאינסוף של)

(1 / log x) Sum(1/m)

כשהסכום הוא על אותם m-ים הקטנים מ-x ומצויים בקבוצה אותה מודדים.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות